广西南宁市第十四中学2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

**基本信息** 南宁市第十四中学高一期末数学试卷，以复数、集合、概率统计、立体几何等知识为载体，通过劳动实习、竞赛统计等情境，考查数学思维的推理运算能力与数学语言的数据模型表达，体现对数学眼光观察现实世界的引导。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数共轭、集合运算、概率频率、统计百分位数、立体几何位置关系|单选第3题用摸球试验考频率估计概率，多选第12题结合正方体动态点考查空间观念| |填空题|3题15分|解三角形、向量线性运算、异面直线成角|第14题以中点为背景考查向量表示，体现几何直观| |解答题|5题77分|向量夹角、函数性质、立体几何证明与线面角、统计概率应用、解三角形|第19题结合竞赛统计考频率分布与概率计算，体现数据意识；第18题以圆台加工球体为背景，考查空间想象与创新意识|

高一数学期考答案：1-8：BCCC,DABB π 1a+26 1 π 9.ACD10.ACD11.AC12.413.6314.2 &由已知得P(P)言A风乙)信P 5_5 6_1 6x636PT)-6x66 1-1 6×636P(忆丙)= 1 1 P(甲丙)=0，P(甲丁) ×63 ,P(丙丁)0 由于P(甲丁)P甲)P(T)36根据相互独立事件的性质，知享件甲与丁相互独立，故选 B. 10. ACD【解析】因为a>0.6>0,且a+b=1,所以由基本不等式va6<“2,得ab<)=,当且仅当a 6-时，等号成立，所以ab的最大值是子故A正确， 因为时+方>，合·石-品0<<所以品8，当且仅当。-6-时，等号成立，所以时+疗的最小值 112 是8，故B错误 因为十-b+6中ab20ab≤所以26+<所以22 1 1(a+1)+(b+1) 3 a+古)儿6+日)-a6+品+2.令1=ab,则01≤分函数)=1++2在(0，]上单周递减.所以f)在 60,]上的最小值为（侣）-+4+2-要所以e++)》空当且仅当a=6=时等号成立，故D 正确.故选ACD. 11.AC因为A1D⊥平面ABBA1,ABC平面ABB1A1,所以A1D⊥AB,又A1B⊥AB,A1B∩A1D=A1, A1B,A1DC平面AD1B,所以AB1⊥平面AD1B,又BD1C平面A1DB,所以BD⊥AB1,A正确：取 AD的中点G,连接EG,GA,EC,易得EC∥AC,所以过点E,A,C的平面截该正方体所得的截面为梯形 BGAC,又BG=2,AC=22,AG=CE=5,易得梯形BGAC的高为是，所以截面面积为E+2E×是= 2 号，故B错误，因为点E,F分别是CD,DD,的中点，易得EF∥AB,又EF丈平面AB,C,AB,C平面 AB,C,所以EF∥平面AB,C,又点P是线段EF上的一动点，所以点P到平面AB1C的距离为定值，故C 正确；因为点P到平面AB,C的距离为定值，所以当CP最小时，直线CP与平面AB,C所成角的正弦值取 得最大值，此时P是EF的中点，CP-3,故D错误故选AC 15.解：(1)因为à=4,61=2，且向量与向量6的夹角为2 3 所以ā-6=1a61cos2m=-4. 3 (a+26)(à-b)=+ab-2b2=16-4-2×4=4° (2）1a-6=a-i=8-2ā-6+6=16-2×-4)+4=28 所以à-=2/7， 1a+26=(a+25P=a2+4a-6+462=16所以1a+26=4 向量a-与向量a+26的夹角0的余弦值cos0=(a--(ā+26- 47 la-bla+2b 2V7×414 16.白g意可知f0=sn2×0*pj=snp=号 因为0<0<受所以p=君此时.f(x=sin2x+君 6 gx=fx+fx+g =sin2x+ 2+nx+n2x肾+-s2x+号n2x+经引2x 6 2 sin 2xco0x) 3 2 sin 2x+cos2x 3 93sn2x+cos2x=sn2xcas+os2xsn引}-3n2x+ 因为正弦函数 sin2x+乃 的值域为「-1,1]' 3 所以gx)=83sin2x+写 的值域为「-只3,3]° 正弦函数y=A sinz(A>0)的单调递减区间满足： 2 L+2km≤z≤37+2k,k∈7 +2au≤2x+s3π+2km,k∈Z 2 32 +kT≤X 12 7+k 12 所以，gx)的单调递减区间为 12 7π+k,k∈Z +k, 同理可求得增区间为 5亚+k,12 12 +k,k∈Z 17.由题意，PA=2,AB=2V2,故BC=2,∠ABC=45, 在△ABC中，由余弦定理， AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(29V2)2+2-2×29V2×2×cos45°=4 所以AC=2,故PA=AC, 结合E为PC中点可得AE⊥PC①， 因为AC+BC2=2+2=8=AB,所以BC⊥AC, 又PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以BC⊥PA, 结合AC、PA是平面PAC内的相交直线得BC⊥平面PAC, 因为AEC平面PAC,所以AE⊥BC, 结合①以及PC、BCC平面PBC,PCn BC=C可得AE⊥平面PBC。 (2)解法1：如图，取AB中点F,连接CF、PF。 由PA⊥平面ABCD,CFC平面ABCD可得CF⊥PA。又CA=CB=2,F为 AB的中点，所以CF⊥AB。 结合PA、AB是平面PAB内的相交直线得CF⊥平面PAB。 在线段PF上取点G,使PG=2FG,连接GE、AG,则PC=PE=2,所以 FG CE GE‖CF,故GE⊥平面PAB。 所以∠EAG即为直线AE与平面PAB所成的角。 GE-2CF=2xLAB-22,AF--AB-N2.PA=2.PF-VPA+AF-96 3 32 GF=1PF= 6 3 3 在△PAF中，cs∠AFG=AE-3 PF 3 在△AGF中，由余弦定理， AG2=AF2+GF2-2AF·GF·cos∠AFG=(2P+ 6 -2×V2× 6.3-4 3 333 所以AG=23 。 因为GE⊥平面PAB,AGC平面PAB,所以GE⊥AG, 故AE=VAG+GE= 23222225 3 3 3 2V2 在△AGE中，sin∠EAG-GE 3 9V10 AE 25 5。 3 V10 故直线AE与平面PAB所成角的正弦值为 5。 解法2： 3d。 设E到平面PAB的距离为d,则由PE=2CE可得点C到平面PAB的距离为 因为Sm-=号AB-1=号×22×2=22， 3d=82d, 防以V题5ae受 另-方面，V-版号aP阴-写××2×2×2-专 32 因为V-w=V,,所以2d-放d-22 3 由PA⊥平面ABCD,ACC平面ABCD得PA⊥AC。结合PA=AC=2可得 △PAC是等腰直角三角形，放∠ACE=45,且PC=/PA+AC=2R2 2V2 所以CE=号PC= 3 3。 在△ACE中，由余弦定理， AE2=AC2+CE-2AC·CE·cos∠ACE=2+ 22 2×2×22 12 cos45°= 20 3 3 9 所以AE=2 3 设直线AE与平面PAB所成的角为日， 2V2 则sin日=d 3 10 AE 25 5’ 3 V10 所以AE与平面PAB所成角的正弦值为 5 18.(1)由频率分布直方图得，10×(0.005+a+0.030+0.035+0.010)=1, 解得a=0.020 估计初赛成绩的平均数为： x=55×0.05+65×0.2+75×0.3+85×0.35+95×0.1=77.5 第一组频率：0.05 ·第二组频率：0.20 ● 第三组频率：0.30 所以中位数落在第三组[70,80)内。 我们需要在第三组中补充的频率为： 0.5-0.25=0.25 设中位数为m,则有： （m-70)×0.030=0.25 m-70=025-25≈8.33，m=70+25-210+25=235≈78.33 0.0303 33 3 (2)由(1)知，成绩在[60,70，[70,80)的频率之比为0.2：0.3=2：3， 2 则在[60,70)中随机抽取了5×号2人，记为a,b, 3 5×二=3 在70,80)中随机抽取了5人，记为c,4,e, 从5人中随机抽取2人的样本空间为：2={ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de;, 共10个样本点， 设事件D=“有1名或2名学生的成绩在[60,70)内”， 则D={b,ac,ad,ae,c,d,bc,有7个样本点， 因此PD) 7 10,所以有1名或2名学生的成绩在[60,70)内的概率为10. (3)①“恰好两局结束”意味着前两局某人全胜。 ·情况1：甲连胜两局(AA),概率22_4。 3-g ·情况2：乙连胜两局(BB),概率 3 9 ·总概率=4+1-5 999° ·②甲夺冠包含两种互斥情况： :情况1：2：0获胜(A4,概率4。 ·情况2：2：1获胜（前两局1胜1负，第三局A胜）。排列可以是ABA或BAA。 ·概率=2×号×与 2.12 22_8。 ×二=2×二×二= 333 9327 ·总概率=4+8=12+8=20 927272727° 19.(1)求角A 由正弦定理 sin Asin B'可得asin B=-bsin A. 代入已知等式V3 bcos A=asin B,得：V3 bcos A=bsin A 因为b≠0，两边同除以b得：V3cosA=sinA→tanA=3 又因为A∈(0，π)，所以：A=乃 3 (2)求△ABC的周长 因为AD平分∠BAC,由)知A号则∠BAD=∠CAD 69 利用面积法，S△ABC=S△ABD+S△ACD,即： besinAeADsin ADsin 62 代入数据： bc36+c2距.号 32 化简得： bc-3b+c-bc=号b+ey 4 6 由余弦定理a2=b+c2-2 bc cos A,得： 4=(b+c9-2bc-2bc(b+c)-3bc 将bc=号b+c)代入上式： 4=b+c}-3-2(b+c4=6+c2-2b+c 3 令t=b+c,则t2-2t-4=0。 解得t=1±5。 因为b+c>a=2,所以取b+c=1+V5。 故△ABC的周长为a+b+c=2+1+V5=3+V5。 (B)若△ABC为锐角三角形，求b+c的取值范围 a=b-c 由正弦定理AsinB sinc且Q=2,A=行可得外接圆直径 2R= 2 -4V3 sin(π/3）3 所以b=43 3 sin B.c=493 3sinC.则：b+c=43 (sin B+sin C) 3 因为A+B+C=,且A=号所以C--B. 3 b+c=43 sin B+sin 3 2-B 展开并化简： b+c= 4V3 3 sin B+3 大3SB+smBb+=兰|号sinB+3。。 32 2cos Bb+c=23sin B+2cos B 利用辅助角公式：b+c=4 -sin B+1 >三osB=4sin\B+石 因为△ABC是锐角三角形，所以三个角都必须小于？ 0<B< 2 且0<C<5→0<2n-B<→L<B<2n 2 3 26 3 取交集得B的取值范围为：<B<乃 6 2 由此推导B+的范围：3B+”之刀 6 63 3 <sin B+Is1 2 6 最后计算b+e的范用：4×3<45nB+ 2 ≤4×12V3<b+c≤4 6 综上所述，b+c的取值范围是（23,4]。 南宁市第十四中学2025～2026年春季学期高一期末测试 数学试题（满分150分，120分钟完成） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 4. 一组样本数据 8，3，5，7，10，4，3，这组样本数据的第 80 百分位数（ ） A.5 B.6 C.8 D.10 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 为调查某地区中学生的身高情况，采用样本量比例分配的分层随机抽样。现抽取男生 600 人，其平均身高为 170 cm，方差为 10；抽取女生 400 人，其平均身高为 160 cm，方差为 15.则估计该地区中学生身高的总方差为（ ） A. 36 B. 42 C. 49 D. 55 7. 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”, 乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”, 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”, 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 8. 某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，在上的投影向量为 10. 已知 ，且 ，则下列结论正确的有 A. 的最大值是 B. 的最小值是 10 C. 的取值范围是 D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 点到平面的距离为定值 D. 当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，，则 . 13. 中,D为AB边中点,，则 . （用，表示） 14. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （满分13分）已知 ，，且向量 与向量 的夹角为 ． （1）求 与 的值； （2）求向量 与向量 的夹角的余弦值． 16. （满分15分）已知函数 （ ）， . （1） 求 的值； （2）设函数 ，求 的值域和单调区间. 17. （满分15分）如图，在四棱柱 中， 平面 ，四边形 为平行四边形，其中 ，， 为棱 上一点. （1）若 为 中点，求证： 平面 ； （2）若 ，求直线 和平面 所成角的正弦值. 18. （满分17分） 南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率． （3）已知本次竞赛最终由 两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）.已知每一局比赛中 胜 乙 的概率均为 ，且每局比赛结果互不影响. ① 求比赛恰好进行两局就结束的概率； ② 求 获得冠军的概率. 19. （满分17分） 已知内角，，的对边分别为，，，若，. （1）求角； （2）若，求的周长. （3）若 为锐角三角形，求 的取值范围. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $