专题10 多面体与旋转体 （2大知识点+6大题型+16题强化）--2026年新高二数学沪教版必修第三册暑假班预修提升讲义

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题10 多面体与旋转体 知识点一、多面体 1、多面体的概念：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体的分类：有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、正多面体的概念：如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体；正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 4、正四面体的概念与性质 （1）定义：四个面都是三角形的三棱锥，正四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； （2）性质（将正四面体放在正方体中） 1　 正四面体的对棱相互垂直 2　 3　 4　 若正四面体棱长设作1，则 对应的正方体棱长为,外接球半径为；正四面体的体积,正四面体的高 5、多面体的欧拉定理 简单凸多面体满足：（：顶点数 ：棱数 ：面数（包含上下底面、所有侧面） 知识点二、旋转体 1、旋转体：由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 2、旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 考点一、多面体 题型一、多面体概念及分类 【例1】1.一个多面体至少有________面。 【答案】四个面． 【分析】根据多面体的定义及三维结构，即知最少的面数. 【详解】多面体定义：若干平面围成的几何体，且最少为四面体， 所以一个多面体至少有4个面. 2. 正多面体按其面数分有 种 【答案】5 【分析】由正多面体的概念判断． 【详解】正多面体有正四面体，正方体（正六面体），正八面体，正十二面体，正二十面体共5种， 故答案为：5. 【例2】下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体 B．正多面体的面不是三角形，就是正方形 C．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体 D．正三棱锥就是正四面体 【答案】C 【分析】由正多面体的概念对选项依次辨析即可. 【详解】 对于A，如上图所示正四棱锥，底面为正方形，且，即满足底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等，但该多面体不是正多面体，故选项A错误； 对于B，如上图所示正十二面体的各个面均为正五边形，故选项B错误； 对于C，若长方体的各侧面都是正方形，则该长方体为正方体，即正六面体，故选项C正确； 对于D，如上图所示正三棱锥，且，但侧棱与底面边长不相等，则该正三棱锥不是正四面体，故选项D错误. 故选：C． 【跟踪训练】 1. 列多面体中，属于五面体的是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 【答案】B 【分析】根据多面体的概念判断． 【详解】三棱锥只有4个面，三棱柱有五个面，四棱柱有六个面，五棱锥有六个面． 故选：B． 2. 下列命题：①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②由若干个平面多边形围成的几何体是多面体；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④正多面体只有五种．其中，真命题的个数是 ． 【答案】2 【分析】举反例说明①③不正确；②是多面体的定义，正确；利用正多面体顶点与棱的关系及欧拉公式可计算判断. 【详解】对于①，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①不正确； 对于②，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，故②正确； 对于③，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱，故③不正确； 对于④，设正多面体的顶点数为，棱数为，面数为,设每个面是正边形，每个顶点有条边与之交汇，则与欧拉公式联立，得，即，所以，故，所以或或或或，则为4，8，6，20，12，故空间正多面体只有正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体和正二十面体五个多面体，故④正确. 故答案为：2 题型二、正四面体的概念与性质 【例3】在正四面体中，设，则四面体的体积等于（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意将正四面体补形成边长为1的正方体，从而可求解. 【详解】如图，把正四面体补形成边长为1的正方体， 则四面体的体积为， 故四面体的体积为，故C正确. 故选：C.    【跟踪训练】 1．正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 【答案】/ 【分析】作出辅助线，得到即为点A到平面的距离，为等边三角形的中心，结合勾股定理求出答案. 【详解】取的中点，连接，则⊥， 过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离， 则点在上，且为等边三角形的中心， 因为正四面体的棱长为1，则， 由勾股定理得，则， 因为，由勾股定理得， 则点A到平面的距离为. 故答案为： 2.在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到或其补角是直线与所成的角，求出各边长，利用余弦定理求出答案.. 【详解】取棱的中点，连接，， 因为是的中点，所以，⊥， 则或其补角是直线与所成的角，. 由题中数据可知，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理可得， 则， 故. 故选：A 题型三、多面体性质探究 【例4】萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所示的正八面体EABCDF中，EA与平面ABCD所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正八面体的结构特征和线面角的定义求解即可 【详解】设正八面体的棱长为a， 由题意得四棱锥和均为正四棱锥， 连接AC与EF的交点为正方形的中心， 则平面，即为直线EA与平面ABCD所成的角， 又，， 即，则， 所以， 故选：A 【跟踪训练】 1. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为 ．    【答案】 【分析】根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式可得答案. 【详解】由图可知该多面体有24个顶点，36条棱， 正八面体的棱长为6，从各棱的三等分点处截得多面体， 则该多面体的棱长为2，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为， 故答案为：. 2.多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合欧拉公式列出方程组，求解方程组即得. 【详解】设该多面体的顶点数为，棱数为， 依题意，，消去得， 所以. 故选：C 3.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V、棱数E及面数F间有著名的欧拉公式：，并且多面体所有面的内角总和为.已知某正多面体所有面的内角总和为，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n，则该正多面体的顶点数V= ，棱数E= . 【答案】 12 30 【分析】由正多面体所有面的内角总和公式求得V，设过每个顶点的棱数为n，把正多面体的棱数与面数用含有n的代数式表示，代入欧拉定理求得n，则答案可求． 【详解】解：由题意，，得，即； 设过每个顶点的棱数为n，则 ， ， 代入，得，解得． 故． 故答案为∶12；30． 4.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数. (1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数； (2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱； (3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值. （2）当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系. （3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可. 【详解】（1）设足球有个正五边形，则有个正六边形， 足球的顶点，棱数， 由欧拉公式得， 解得，即此足球中有个面为正五边形， 所以此足球的棱数. （2）由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形， 当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即， 又，即，解得， 故个顶点的凸多面体，至多有条棱. （3）设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形， 则此多面体棱数，，即， 由欧拉公式，得， 所以，即，即， 所以， 当时，，所以，，； 当时，，所以，，； 当时，，所以，，； 综上：棱数可能为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，讨研得点与棱、点与面、棱与面的数量之间的关系，从而得解. 题型四、多面体的表面积与体积 【例5】将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【详解】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 【跟踪训练】 1．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 【答案】D 【分析】设为底面的中心，连接，先求出，再利用勾股定理求出，即可求出棱台的高，再根据台体的体积公式即可得解. 【详解】如图，在正三棱台中，， 将棱台补全为正三棱锥， 设为底面的中心，连接，则平面， 而平面，所以， 因为，所以， ， 所以， 则正三棱台的高， 该正三棱台的上底面面积， 下底面面积， 所以该正三棱台储物凳的储物容积 . 故选：D. 2．如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥 (2)答案见解析 【详解】（1）解：根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，可得如图所示的一个三棱锥. （2）解：由（1）知，其中为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为等腰三角形，且，可得边上的高为， 所以面积为. 考点二、旋转体 题型五、旋转体形成的判断 【例6】如图，已知正方体的上、下底面的中心分别为、，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据的中点到旋转轴的距离小于、两点到旋转轴距离，得到B项不符合题意．再由所得旋转体的侧面上有无数条直线且直线的方向与转轴不共面，可得A、C两项不符合题意，由此可得答案． 【详解】设正方体的棱长等于， 的中点到旋转轴的距离等于，而、两点到旋转轴的距离等于， 的中点旋转一周，得到的圆较小，可得所得旋转体的中间小，上、下底面圆较大． 由此可得B项不符合题意，舍去． 又的中点与连线上的点在所得旋转体应该在内部A、C两项不符合题意， 故选：D． 【例7】如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体．（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】B选项，旋转一周后，为两个圆锥拼成的几何体； C选项，旋转一周后，为圆锥和圆柱拼成的几何体； D选项，旋转一周后，是上下两个圆锥，中间用圆柱相连的几何体； A选项，旋转一周后，是圆台和圆锥形成的几何体，只有A符合题意. 其余平面图形旋转得到的几何体如图：      故选：A 【跟踪训练】 1.已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？    【答案】答案见解析 【分析】分别画出对应立体图形，逐个说明即可. 【详解】①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台；如图（1）所示； ②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥；如图（2）所示； ③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥； 如图（3）所示． ④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥；如图（4）所示.    2. 若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 【答案】B 【来源】辽宁省部分学校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题 【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可. 【详解】由题意可知形成如图的几何体，    该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体. 故选：B 3.如图，等腰三角形在平面上方，，若以为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若以为旋转轴旋转，形成的旋转体是一个由两个相同的圆锥底面重合形成的组合体，如图所示： 若，则旋转体在平面内的投影如选项D所示； 若，则旋转体在平面内的投影为正方形； 若与所成的角在时，则旋转体在平面内的投影如B所示； 若与所成的角在时，则旋转体在平面内的投影如A所示； 所以综上可知ABD有可能是旋转体在平面α内的投影. 故选：C． 4．请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【答案】答案见解析 【来源】【典例题】 4.1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球 课堂例题-湘教版（2019）必修（第二册）第4章 立体几何初步 【分析】根据组合体特征确定是由基本空间几何体拼接，还是挖去得到的几何体. 【详解】图（1）是由两个圆台拼接而成的组合体； 图（2）是由圆台挖去一个圆锥后得到的几何体； 图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱柱后得到的几何体． 题型六、求旋转体的表面积或体积 【例8】以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，    底面半径,母线长, 由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为. 故选:C. 【例9】已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成一个几何体，则的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，计算可求矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积. 【详解】根据题意作出矩形与几何体，分别如图下左右两图所示： 旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体， 将这两个几何体的体积均记为，这两个几何体的重叠部分是以圆O为底面， A，C分别为顶点的两个小圆锥，记两个小圆锥的体积和为， 而，点B到直线的距离为，圆O的半径为， 所以的体积. 故选：C 【例10】已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 【答案】 【分析】先分析出旋转体为圆锥，然后根据表面积等于侧面积加上底面积求解出结果. 【详解】因为，所以， 所以旋转体是底面半径为，高为，母线长为的圆锥， 所以表面积为， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.平面直角坐标系中以四个点为顶点的直角梯形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，则（    ） A． B． C． D．大小无法计算 【答案】A 【分析】由圆台、圆锥以及圆柱的体积公式计算并比较大小即可得解. 【详解】 绕y轴旋转一周所得到的是圆台， 绕x轴旋转一周所得到的旋转体为圆柱和圆锥的组合. 所以， 故选：A. 2．三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示.盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半.设剩余饮料的高度从左到右依次为，则它们的大小关系是 . 【答案】 【分析】根据圆锥、圆台、圆柱的结构特征判断大小关系即可. 【详解】圆锥、圆柱是圆台的特例，它们上底面积、高相同， 所以各自饮杯中饮料一半后，所剩饮料最大，最小（为原来的一半），介于之间， 所以. 故答案为： 3. 在梯形ABCD中，，，且，将梯形绕着边BC所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知空间几何体是圆台，利用圆台的体积公式计算即可. 【详解】将梯形ABCD绕着边BC所在的直线旋转一周，形成以BC为轴的圆台，如图：    由于，，设的中点为M，连接， 可得，，，所以， 所以圆台的体积为. 故选：A 一、填空题 1.正多面体按其面数分有 种 【答案】5 【分析】由正多面体的概念判断． 【详解】正多面体有正四面体，正方体（正六面体），正八面体，正十二面体，正二十面体共5种， 故答案为：5. 2.已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意正三棱锥三个侧面全等，利用锥体的高及底边长求得斜高，即可得到侧面积. 【详解】 在正三棱锥中，底面边长为6，高， 且为的中心也是重心，所以， 则，所以， 即. 故答案为：. 3.如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）    【答案】（1）（2）（4） 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 4.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为______ 【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，继而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面边长，继而可求正三棱柱的侧面积. 【详解】如图为中点，为点在底面的投影， 由题意得，， ， 所以该正四面体的体积为. 所以正三棱柱的体积为，高为， 所以正三棱柱的底面积为， 设正三棱柱的底面边长为，则， 可得， 所以正三棱柱的底面边长为， 所以该正三棱柱的侧面积为. 5．正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 【答案】 20 30 【分析】根据多面体的特征，设每个面是n边形，每个顶点关联r条棱，计算得到顶点数和棱的条数，再结合欧拉定理进行求解即可． 【详解】正十二面体有个面，设每个面是边形，每个顶点关联条棱，面的个数． 每个面有个顶点，每个顶点关联条棱存在于个面中，故顶点数． 每个面有条边，每条棱都存在于个面中，故棱的条数． 代入欧拉定理得，解得． 由于为大于等于的正整数，故，故或． 当时，；当时，（舍去）， 故且，得到，． 6．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有___________________个面． 【答案】32 【分析】首先推导出之间的关系，然后代入欧拉公式即可求解. 【详解】设该凸多面体顶点数为，三角形面共个，五边形面共个，总面数，棱数为， 每个顶点处有个面，对应每个顶点连条棱，每条棱由个顶点共用，因此： . 每个三角形含个顶点，每个顶点对应个三角形面，因此： ， 同理，每个五边形含个顶点，每个顶点对应个五边形面，因此： ， 总面数，代入欧拉公式， 可得， 因此总面数. 7.如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为 g.（结果用π表示） 【答案】 【分析】外部正六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，计算其体积；内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥，计算其体积，两体积之差即为该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到的几何体的体积，乘以密度即可求解. 【详解】外部正六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个全等的圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为, 体积为. 内部的六边形边长为2cm，旋转得到的几何体是一个圆柱和两个与圆柱同底的圆锥， 圆锥的底面半径为，高为1cm，圆柱的底面半径为，高为， 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为， 所以该几何体的体积为，用密度为的材料去制造该几何体， 则该几何体的质量为. 故答案为：. 8.将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周形成的几何体的构成为__________________. 【答案】一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥 【分析】过顶点作旋转轴的垂线，得到平面图形的特征，即可判断旋转图形的特征. 【详解】解：如图，过顶点作垂线，可以得到一个直角三角形和一个矩形，绕轴旋转一周， 得到一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥. 故答案为：一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥 9. 如图，O为坐标原点，A在x轴上，，，，若及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______．    【答案】 【分析】由题意可得及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体为一个圆台挖去一个圆锥的几何体，进而分别计算其体积可求得结论. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为， 因为，，，所以， 由，所以， 解得，所以，所以， 四边形绕y轴旋转一周得到一个圆台， 此圆台的上下底面半径分别为，，高为， 所以圆台的体积为， 三角形绕y轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的底面半径为，高为， 所以， 又及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体为圆台挖去一个圆锥， 所以该几何体的体积为. 故答案为：.    二、选择题 10. 如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为草垛上半部分是圆锥，下半部分是圆柱，而圆锥可由直角三角形绕其一条直角边旋转而得， 圆柱可由矩形绕其一条直角边旋转而得，结合选项，可知B正确，其它选项错误. 11.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ）    A．30 B．20 C．12 D．10 【答案】C 【分析】首先求出棱数，在根据所给公式计算可得. 【详解】因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每1条棱被2个三角形共用， 即1个面对应条棱，所以共有条棱， 所以由顶点数－棱数＋面数，得：顶点数棱数面数. 故选：C 12.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱锥的性质，结合线面角的定义即可求解正弦值. 【详解】 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，可设底面边长为1，侧棱长为2 连接顶点与底面中心，如图所示: 由底面正三角形的中心到点A的距离为， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为：， 则侧棱与底面所成角的正弦值为：， 故选：C. 三、解答题 13.如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥，4个面 (2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【详解】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ， ， . 14．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 15．如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． (1)求该旋转体的表面积； (2)求该旋转体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】分析旋转后的几何体是由两个圆锥与一个圆柱的组合体，作出图形： （1）由圆锥和圆柱的表面积公式求解即可； （2）由圆锥和圆柱的体积公式求解即可 【详解】（1）分别过点，点作于点于点， ， ． 等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体， 两个圆锥与圆柱的底面半径，圆锥的母线， 圆柱的高, 所以两个圆锥的侧面积相等， 设每个圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，旋转体的表面积为：， ． ． ． （2）由（1）知等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体，且两个圆锥的体积相等， 设每个圆锥的体积为，圆柱的体积为，旋转体的体积为， 则． ． ． 16.（1）求一个棱长为的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你将它补充完成.解：构造一个棱长为1的正方体—我们称之为该四面体的“生成正方体”，如左下图：则四面体为棱长是___________的正四面体，且有___________. （2）模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为和，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明； （3）如1图，一个相对棱长都相等的四面体（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分别为，，，类比（1）（2）中的方法或结论，求此四面体的体积. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）根据生成正方体的棱长计算出四面体的棱长，并根据割补法计算出四面体的体积； （2）直接根据棱锥与棱柱的体积关系得到对应结论； （3）根据条件得到“生成长方体”，结合条件计算出长方体的长宽高，由此可计算出四面体的体积. 【详解】（1）因为构造的正方体棱长为，所以面对角线长度为，所以四面体为棱长是， 且 ； （2）； （理由供参考：“生成平行六面体”由四面体和四个三棱锥组成，每个三棱锥的底面积等于 “生成平行六面体”的底面积的一半且高相等，所以三棱锥的体积等于“生成平行六面体” 体积的，由此可得结果） （3）类似（1），构造该四面体的“生成长方体”， 设棱长分别为，则有， 则有 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题10 多面体与旋转体 知识点一、多面体 1、多面体的概念：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体的分类：有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、正多面体的概念：如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体；正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 4、正四面体的概念与性质 （1）定义：四个面都是三角形的三棱锥，正四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； （2）性质（将正四面体放在正方体中） 1　 正四面体的对棱相互垂直 2　 3　 4　 若正四面体棱长设作1，则 对应的正方体棱长为,外接球半径为；正四面体的体积,正四面体的高 5、多面体的欧拉定理 简单凸多面体满足：（：顶点数 ：棱数 ：面数（包含上下底面、所有侧面） 知识点二、旋转体 1、旋转体：由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 2、旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 考点一、多面体 题型一、多面体概念及分类 【例1】1.一个多面体至少有________面。 2. 正多面体按其面数分有 种 【例2】下列说法中，正确的是（    ） A．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体 B．正多面体的面不是三角形，就是正方形 C．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体 D．正三棱锥就是正四面体 【跟踪训练】 1. 列多面体中，属于五面体的是（    ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥 2. 下列命题：①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②由若干个平面多边形围成的几何体是多面体；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④正多面体只有五种．其中，真命题的个数是 ． 题型二、正四面体的概念与性质 【例3】在正四面体中，设，则四面体的体积等于（    ）. A．1 B． C． D．  【跟踪训练】 1．正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 2.在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 题型三、多面体性质探究 【例4】萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所示的正八面体EABCDF中，EA与平面ABCD所成的角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为 ．    2.多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为，面数为，棱数为，则满足. 已知某面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则 （   ） A．6 B．10 C．12 D．20 3.多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其顶点数V、棱数E及面数F间有著名的欧拉公式：，并且多面体所有面的内角总和为.已知某正多面体所有面的内角总和为，且各面都为正三角形，设过每个顶点的棱数为n，则该正多面体的顶点数V= ，棱数E= . 4.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数. (1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数； (2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱； (3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值. 题型四、多面体的表面积与体积 【例5】将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【跟踪训练】 1．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 2．如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 考点二、旋转体 题型五、旋转体形成的判断 【例6】如图，已知正方体的上、下底面的中心分别为、，将正方体绕直线旋转一周，其中由线段旋转所得图像是（    ） A．B．C． D． 【例7】如图，该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体．（  ）    A．   B．   C．   D．   【跟踪训练】 1.已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？    2. 若正五边形的中心为，以所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（    ） A．该几何体为圆台 B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体 C．该几何体为圆柱 D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体 3.如图，等腰三角形在平面上方，，若以为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面内的投影不可能是（ ） A． B． C． D． 4．请描述如图所示的几何体是如何形成的． 题型六、求旋转体的表面积或体积 【例8】以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例9】已知矩形中，，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成一个几何体，则的体积为（   ） A． B． C． D． 【例10】已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是 ． 【跟踪训练】 1.平面直角坐标系中以四个点为顶点的直角梯形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，则（    ） A． B． C． D．大小无法计算 2．三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示.盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半.设剩余饮料的高度从左到右依次为，则它们的大小关系是 . 3. 在梯形ABCD中，，，且，将梯形绕着边BC所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 一、填空题 1.正多面体按其面数分有 种 2.已知正三棱锥底面的边长为6，高为3，则该正三棱锥的侧面积为 ． 3.如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号）    4.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为______ 5．正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同．在正十二面体中，有______个顶点和______条棱． 6．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．已知一个凸多面体的每个面或是三角形或是五边形，每个顶点处均有2个三角形面和2个五边形面相交，则该凸多面体有___________________个面． 1． 7.如图所示的正六边形，是由六个直角边长分别为与的全等的直角三角形拼接而成的，该图形（阴影部分）绕着线段的中垂线旋转一周得到一个几何体，现在用密度为的材料去制造该几何体，则该几何体的质量为 g.（结果用π表示） 8.将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周形成的几何体的构成为__________________. 9. 如图，O为坐标原点，A在x轴上，，，，若及其内部绕y轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为______． 二、选择题 10. 如图，草垛（上半部分是圆锥，下半部分是圆柱）可以由某个图形绕轴（直线）旋转而成，这个图形可以是（    ） A． B． C． D． 11.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数，则正二十面体的顶点的个数为（    ）    A．30 B．20 C．12 D．10 12.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 13.如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 14．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 15．如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． (1)求该旋转体的表面积； (2)求该旋转体的体积． 16.（1）求一个棱长为的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你将它补充完成.解：构造一个棱长为1的正方体—我们称之为该四面体的“生成正方体”，如左下图：则四面体为棱长是___________的正四面体，且有___________. （2）模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为和，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明； （3）如1图，一个相对棱长都相等的四面体（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分别为，，，类比（1）（2）中的方法或结论，求此四面体的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $