专题03：直线与直线的位置关系（3大知识点+11大题型+23题强化）-2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义（沪教版必修第三册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题03 直线与直线的位置关系 知识点01 平行公理 1、文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2、图形语言： 3、符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c. 4、作用：判断空间两条直线平行的依据 注意：（1）在同一个平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线. （2）两个重要结论： ①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. ②在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 （3）公理4表述的性质通常叫做平行线的传递性. 知识点02 等角定理 　 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2. 推论 推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 知识点03 异面直线 1.异面直线 ①定义：不同时在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. ②画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托如下图所示： 2.空间两条直线的三种位置关系. 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 3.判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 知识点04 异面直线所成的角 1.定义：如图，是异面直线，在空间中任选一点，过点分别作的平行线和，则这两条直线和所成的锐角或直角，称为异面直线所成的角． 2.异面直线所成角范围：（0，] 3.求异面直线所成的角的步骤： 一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证，即证明作出的角是异面直线所成的角 三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 4.两条异面直线互相垂直： 定义：若两条异面直线所成的角为 直角（或），则称它们互相垂直．两条互相垂直的异面直线，记作  ． 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 考点一、空间的平行直线 题型01：平行公理 【方法点拨】（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用平行公理：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 【例1】下列命题中，正确的命题序号是（    ） ①平行于同一直线的两直线平行； ②垂直于同一直线的两直线平行； ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用平行线的传递性可判断①；利用空间中直线的位置关系可判断②；利用反证法可判断③；利用圆柱可判断④. 【详解】对于①，由平行线的传递性可知①对； 对于②，垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，②错； 对于③，若在直线外，若过点存在两条不同的直线、，使得，， 则，与假设矛盾，假设不成立，③对； 对于④，设直线为圆柱的轴所在的直线，如下图所示： 所有与直线平行且到直线的距离为的直线可视为底面半径为的圆柱的母线所在的直线， 故与已知直线平行且距离长为定值的直线有无数条，④错. 故选：B. 【跟踪训练】 1．如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【详解】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 2．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解：若，又，则，故充分性成立， 反之，若，又，则，故必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 3.下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可. 【详解】①错误，两条直线可以异面； ②正确，平行的传递性； ③错误，和另一条直线可以相交也可以异面； ④正确，平行的传递性. 故选：B. 题型02：等角定理 【方法点拨】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补． 【例2】已知空间中两个角，的两边对应平行，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】 由等角定理得：相等或互补，所以或， 故选：D 【例3】下列命题中，真命题的序号是______． ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这组直线所成的锐角（或直角）相等； ③如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 【答案】②④ 【分析】由等角定理可判断②；由直线平行性的传递性可判断④；举反例可判断①③. 【详解】在长方体中，记AB、的中点分别为E、， 易知的两边分别平行，但两个角不相等，①错误； 由等角定理可知②正确； 易知，但既不相等也不互补，③错误； 由直线平行性的传递性可知④正确. 故答案为：②④ 【跟踪训练】 1.若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【解题思路】根据空间等角定理判断即可. 【解答过程】因为，，且， 所以 或 . 故选：C. 2.如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（    ） A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 【答案】D 【解析】若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补； 若这两个角分别在两个平面，则由面面平行的判定定理可知，这两个角所在的两个平面平行， 若两个角在同一个平面，则这两个角所在的两个平面重合. 故选：D 3.给出下列三个命题： ①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____. 【答案】1. 【分析】根据空间中，直线与直线位置关系，逐一判断，即可求解. 【详解】①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对 只有一个结论正确 故答案为：1 【点睛】空间中直线与直线位置关系，与平面内直线与直线位置关系有所不同，需仔细辨析，本题属于中等难度. 题型03：判断与证明直线平行 【方法点拨】线线平行的证明方法： 1.定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 2.利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形，平行四边形等关于平行的性质； 3.利用平行线的传递行：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. 【例4】如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【答案】证明见详解 【分析】根据三角形中位线、平行线等分性质结合平行线的传递性分析证明, 【详解】∵E、H分别是AB、CD的中点，则 ， 又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则 ， ∴ ， 故直线EH与直线FG平行． 【例5】已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 【解析】 证明：如图所示： 连接AC， 由正方体的性质可知： AA′=CC′，AA′CC′， ∴四边形AA′C′C为平行四边形， ∴A′C′=AC．A′C′AC， 又∵M，N分别是CD，AD的中点， ∴MN∥AC，且MN＝AC， ∴MN∥A′C′且MN≠A′C′． ∴四边形MNA′C′是梯形． 【跟踪训练】 1. 如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（  ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【分析】利用中位线定理与平行线的传递性即可得解. 【解析】因为，分别是棱，的中点，所以 因为，分别是棱，的中点，所以 所以. 故选：A. 2. 如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据中位线定理和平行公里，利用平行关系转化，即可判断. 【详解】因为H，G分别是，的中点，所以，且， 同理，且 ，所以四边形是平行四边形， 同理，且，且，又， 所以，故四边形为菱形. 故选：C. 3. 如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【解析】 在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC， 而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC， 由平行公理得：MN//EF， 所以直线MN与直线EF平行． 考点二、空间直线的位置关系 题型04：空间直线位置关系的判断 【方法点拨】（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况． 【例6】已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【解析】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【例7】在棱长为1的正四面体中，直线与是（  ）． A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系 【答案】C 【分析】利用异面直线的判断方法判断即可. 【解析】作出正四面体，如图，    因为平面，平面，，平面， 所以与是异面直线. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知直线，若，则与的位置关系为___________. 【答案】平行、相交或异面 【分析】根据空间中直线的位置关系即可判断. 【详解】若在同一个平面内，由题设条件可得； 若在空间中，则直线与的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． 故答案为：平行、相交或异面 2.在正方体中，E、F分别是棱、的中点．则下面直线的位置关系是：    （1）与： ；    （2）与： ； （3）与： ；    （4）与： ； 【答案】 异面 平行 相交 异面 【解析】由于与相交，而,所以与异面， 取中点，连接,由于,而，故， 由于，且，所以四边形为平行四边形，故与相交， 由于相交，而,所以与异面 故答案为：异面，平行，相交，异面 3.已知，是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线，的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 【答案】D 【解析】如图，在正方体中，记上下底面分别为，如图1，，如图2，，相交，如图3，，异面， 故选：D. 4.若直线，，满足，，异面，则与（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 【答案】C 【分析】在正方体中，，和是异面直线，；，和是异面直线，和是异面直线；直线，，满足，，异面，则由平行公理得与不可能是平行直线． 【详解】解：在正方体中， A．，和是异面直线，， 故直线，，满足，，异面，则与可能相交，不一定是异面直线，故A错误； B．，和是异面直线，和是异面直线， 故直线，，满足，，异面，则与可能是异面直线，故B错误； C．直线，，满足，，异面，则由平行公理得与不可能是平行直线，故C正确； D．，和是异面直线，， 故直线，，满足，，异面，则与可能相交，故D错误． 故选：C． 题型05：异面直线的概念与辨析 【方法点拨】共面直线包括相交和平行，不是共面关系的两直线就是异面直线。 【例8】设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点. 故选：B. 【跟踪训练】 1．“是异面直线”是指： （1）平面，平面，且； （2）且不平行； （3）平面，平面，且； （4）平面，平面； （5）不存在平面，使且． 上述说法中，正确的序号是 ． 【答案】（2）（5） 【分析】根据异面直线定义，逐一判断即可得出正确结论. 【详解】（1），即没有交点，但可能平行，得不出是异面直线； （2）由条件可知没有交点，且也不平行，所以只能是异面直线； （3）由可得，此时可能平行，得不出是异面直线； （4）由平面，平面可知，可能平行也可能相交，得不出是异面直线； （5）根据异面直线定义可知，不在同一平面内，即能判断出是异面直线； 故答案为：（2）（5） 2.若a，b是异面直线，直线，则c与b的位置关系是（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 【答案】D 【解析】通过反证法的思想，可以判断出选项正误. 【详解】若a，b是异面直线，直线，则c与b不可能是平行直线．否则，若，则有，得出a， b是共面直线．与已知a，b是异面直线矛盾，故c与b的位置关系为异面或相交， 故选：D 3.两条异面直线指的是（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．在空间内不相交的两条直线 C．分别位于两个不同平面内的直线 D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 【答案】A 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】解：两条异面直线指的是不同在任何一个平面内的两条直线，故A正确； 空间中不相交的两条直线可以平行或异面，故B错误； 分别位于两个不同平面内的两条直线可以平行、相交或异面，故C错误； 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可以平行、相交或异面，故D错误. 故选：A 题型06：异面直线的判定 【方法点拨】判定两条异面直线的方法： 方法1，定义法.把“不同在任何一个平面内，没有公共点的两直线”叫做异面直线. 方法2，排除法.根据空间中任意两条直线间的位置关系来分类，一共可分为三类。分别是：两直线相交、两直线平行、两直线异面. 方法3，定理法.根据教材中异面直线的判定定理，其实就是判断（和寻找）异面直线. 【例9】如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（  ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【解析】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 【跟踪训练】 1. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 2. 如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 【答案】 【分析】还原正方体并确定各线所在位置，进而判断直线的位置关系． 【详解】展开图还原后与重合，则与交于点，即与共面， 平面，平面，故与直线异面的是直线． 故答案为：． 3.如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答. 【详解】在长方体中， ，当是与的交点时，平面，与相交，A不是； 当点与重合时，平面，与相交，B不是； 当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是； 因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是. 故选：D 题型07：异面直线数量 【例10】从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】根据正方体的结构特征，先确定至多可选出4条，再确定选出4条两两异面的线，即可得到结论． 【详解】正方体共有8个顶点，若选出的条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线（如图 ），故所求的最大值是4． 故答案为：4． 【例11】在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，分每条棱与其他棱构成异面直线，每条棱与面对角线构成异面直线，每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，三种情况讨论即可. 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故选：D. 【例12】如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【答案】5 【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案. 【详解】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而， 又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 【跟踪训练】 1. 在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 【答案】 【分析】根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义即可判断. 【详解】 根据三棱柱的几何特征以及异面直线的定义有、与直线异面， 所以三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有条. 故答案为： 2. 直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】由已知直三棱柱的结构特征，列举与AC垂直且异面的棱即可. 【解析】直三棱柱中，， 则与AC垂直且异面的直线有和. 故选：B. 3. 如图，已知点在四边形所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，那么与四边形的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8条直线中，异面直线共有______对． 【答案】8 【分析】由四棱锥的性质和异面直线的定义列举出所有的异面直线，即可得出答案. 【详解】如图，已知点在四边形所在平面外，如果把两条异面直线看成一对， 那么与四边形的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线 共8条直线中，异面直线共有： 与，与，与，与，与， 与，与，与，共有8对. 故答案为：8. 4.已知a，b是异面直线，若直线m上任意一点到a，b的距离都相等，则这样的直线m（    ） A．存在且只有一条 B．存在且只有两条 C．存在无数条 D．不存在 【答案】B 【分析】分别过a，b作与它们都平行的平面，再作一个他们正中间的平面，将两条异面直线投影到中间平面上，投影直线构成的四个角的角平分线即为所求. 【详解】分别过a，做平面，使得，过b作平面，使得，然后在这两个平行平面中间作一个平面，使得平面到平面、平面的距离相等，则直线在平面内的投影分别为，则，则在平面内两条直线构成的四个角的角平分线即为所求直线（共两条）, 故选：. 题型08：异面直线的证明 【例13】已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 【答案】证明见解析 【分析】用反证法证明，假设它们是异面直线，然后可以得到在同一平面，与题干相矛盾，从而证之. 【详解】证明：假设与不是异面直线，则与共面， 从而与共面，即与共面， 所以在同一平面内，这与是所平面外的一点相矛盾． 故直线与是异面直线． 【跟踪训练】 1．四面体中，，求证：与中边上的高和必为异面直线． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用反证法推理论证即可. 【详解】如图，由，得是的中点， 若不是异面直线，显然不会重合，则，或相交， 若，令它们所确定的平面为，则，由，得， 因此与为共面直线，但为异面直线，矛盾，即与不平行； 若和相交，令交点为，由平面，平面，平面平面， 得点，而，因此与必重合，由是的中点，且， 得必为等腰三角形，即，则，这与矛盾，从而不可能相交， 所以必为异面直线. 2．如图，已知，，，，．求证：b与c是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】假设与是共面于，则点与直线也在此面中，从而可证重合，得到矛盾. 【详解】证明：反证法.假设与不是异面直线即共面于. 所以，因为，故 ∵，∴，∴点与直线确定一个平面（即）. 而过直线和直线外一点有且只有一个平面，故、重合. ∴直线与共面于. 又，故，故重合，与条件矛盾. ∴与是异面直线. 3．如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，与是否为异面直线？请说明理由． 【答案】与不是异面直线，理由见解析 【详解】与不是异面直线．如图，连接， 因为P是的中点，Q是的中点， 所以是的中位线，故， 而在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以，得到共面，故与共面， 4．如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 则与不是异面直线得证. 5．在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据已知推得，，进而得出； （2）结合已知，根据异面直线的定义，即可得出证明. 【详解】（1）    如图，连接， 因为、分别是棱、的中点， 所以，. 由已知可得，，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以，、、、四点共面. （2）因为平面，平面， 平面，但是， 根据异面直线的定义可得，直线与是异面直线. 考点三、两条异面直线所成的角 题型09：求异面直线所成的角 【例14】正方体中，    （1）异面直线与所成角的大小为 ； （2）异面直线与所成角的大小为 ； （3）异面直线和所成角的大小为 ． 【答案】 45° 90° 60° 【分析】运用平移法找出异面直线所成的角度即可. 【详解】异面直线与所成角即为；    异面直线与所成角即为;    异面直线和所成角，由于面对角线， 则为等边三角形，则.则异面直线和所成角大小为.    故答案为：. 【例15】直三棱柱中，，，则与所成角大小为______． 【答案】 【分析】作出与所成角，并判断出角的大小. 【详解】设，设是的中点，连接， 则，所以与所成角是或其补角. 根据直棱柱的性质以及可知， 所以， 所以三角形是等边三角形，所以， 所以与所成角大小为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】平移直线至，将直线PB与所成的角转化为PB与所成的角，解三角形即可. 【详解】连接与交于， 因为是正方体，且P为的中点， 所以，所以为直线PB与所成的角. 设正方体的棱长为2， 则在中，，，所以 所以直线PB与所成的角的正切值为 故选：A 2.在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°. 【详解】如下图所示,连接 , 则异面直线与所成角为 ,即为等边三角形 . 故选:C. 3.在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解 【详解】连接，，如图， 因为正方体中， 所以就是与所成的角， 在中，. ∴. 故选：C 4.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【解析】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 5.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ，，，即可得到，则或其补角是异面直线与所成的角，求出，，，再利用余弦定理计算可得. 【详解】解：如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接 ，，， 由于分别是棱的中点，所以，故四边形为平行四边形，进而, 又因为是的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角. 设，则， 从而， ， 故, 故异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C 题型10：由异面直线所成的角求其它 【例16】已知两异面直线，所成的角为80°，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为50°，那么这样的直线有条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】分析：如图所示，把平移到点处，则与所成的角都为的直线有3条. 详解：过作与平行的直线， 如图，， 直线过点且，这样的直线有两条. 又，直线为的平分线，则， 综上，满足条件的直线的条数为3. 【例17】在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】连接，可得或，求解三角形即可求出. 【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，， 在中，因为为中点，所以，， 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，所以， 当，由余弦定理可得，即， 所以的长为1或. 故选：C. 【跟踪训练】 1. 异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先将直线平移至点，再根据两条直线的夹角和其补角的角平分线，判断直线的条数. 【详解】如图，过点作直线，与的夹角为，所以直线与的夹角相等的直线的射影落在或的角平分线上， 的角平分线与的夹角为，则其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 的角平分线与的夹角为，其他射影落在角平分线的直线与的夹角都大于， 所以只有1条直线l与所成的角均为，也即只有1条直线l与所成的角均为. 故选：A 2. 如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】5 【解析】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故答案为：5 3.如图，已知空间四边形两对角线和的长分别为8和10，所成的角为，依次连接各边中点所得四边形的面积是_________; 【答案】 【分析】根据，，，分别为，，，中点得到四边形为平行四边形，且，，根据与所成角为得到平行四边形的一个内角为，然后求面积即可. 【详解】因为，，，分别为，，，中点， 所以，，且，， 所以四边形为平行四边形， 因为与所成角为，所以平行四边形的一个内角为， 所以. 故答案为：. 题型11：判断与证明异面直线垂直 【例18】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由正方体ABCD­-A1B1C1D1的图象结合线线垂直的定义即可求解结果． 【详解】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条． 故选：D． 【跟踪训练】 1.空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行关系，证明，转化为证明. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 2.如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据异面直线的夹角结合勾股定理分析证明. 【详解】如图，取的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为的中点， ∴，∴BE和EF所成角为， 即为异面直线BE与所成角，且. 在正三棱柱中，，. 在等边三角形ABC中，， 在Rt△BCF中，. 在△BEF中，， ∴，∴. 一、填空题 1.已知，则 ． 【答案】或 【解题思路】结合两直线平行相关的等角定理即可求解． 【解答过程】若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，如图所示，    因为，所以或． 故答案为：或． 2.如图，在正方体中，异面直线与所成的角是______ 【分析】利用几何法确定异面直线夹角. 【解析】由正方体可知，且四边形为正方形， 所以异面直线与所成的角的平面角为， 3. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为____ 【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案. 【解析】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 4. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）,再利用余弦定理及同角三角函数关系即可求. 【解析】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF， 显然是的中点，则，是与所成的角或其补角， 在中，，，， ，， 所以直线与直线所成角的正切值为. 故答案为： 5. 在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求. 【解析】如图，取的中点，连接， 则，所以，且， 故四边形是平行四边形， 则，故即为与所成的角（或其补角）， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得 ， 故与两条异面直线所成角的余弦值为. 故答案为： 6两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为____________. 【答案】12或 【分析】根据题意，画出相应示意图，且，，，则，，分两种情况求对应线段AB的长. 【详解】由题意，有如下两种情况，且，，，则，， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 如上图，，又，即， 则， 又，则， 所以线段AB的长为12或. 故答案为：12或 7．空间四边形ABCD中，AC与BD成30°角，，，E、F、G、H分别是四边的中点，那么四边形EFGH的面积等于 ． 【答案】3 【分析】根据三角形的中位线定理知，或其补角即为所成的角，且的长为其第三边的一半，根据平行四边形的面积公式即得． 【详解】如图，在平行四边形中，，， 或，    ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 8.若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有 条. 【答案】 【解析】在空间取一点，经过点分别作，，设直线、确定平面， 当直线满足它的射影在、所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角，设直线与、所成角为， 因为直线、所成角为，得、所成锐角为， ①当直线的射影在、所成锐角的平分线上时， 则与、所成角的范围是， 这种情况下，过点有条直线与、所成角都是； ②当直线的射影在、所成钝角的平分线上时， 与、所成角的范围是， 这种情况下，过点有且仅有条直线（即时）与、所成角都是. 综上所述，过点且与、所成角都是的直线有条. 故答案为：. 9．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH= ． 【答案】或 【分析】由题意可知四边形为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为，再由所给边长即可求得的长. 【详解】如图，    由分别是的中点，得， ，则四边形为菱形，又与所成的角为， 于是直线与所成角为，即菱形的边长为1，相邻两个内角分别为， 即或，当时，, 当时，， 所以或. 故答案为：或 二、选择题 10. 已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（  ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断与的位置关系. 【解析】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 11．如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A．要么相交，要么平行 B．要么相交，要么异面 C．要么平行，要么垂直 D．不相交时，要么平行，要么异面 【答案】D 【分析】根据空间中直线的位置关系的类型可得正确的选项. 【详解】空间直线间的位置关系有相交，平行或异面， 故D正确； 故选：D. 12. 如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（  ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】连接，根据三角形中位线性质以及平行直线的传递性，即可判断答案. 【解析】如图，连接，则分别为的中点，    故, 由分别是线段的中点，得， 故, 故选：C. 13.如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】对于A，如图，是的中点， 连接，连接， 因为，所以，所以共面； 对于B，如图，因为是的中点， 取的中点，连接， 可得，所以，即四点共面， 因为，所以，即四点共面， 因为过的平面有且只有1个， 所以四点共面； 对于C，如图，三棱锥中连接， 因为是的中点， 则，，所以，即四点共面； 对于D，如图，连接， 平面，即四点不共面. 故选：D. 14.下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】还原为正方体根据空间直线的位置关系结合正方体的性质即得. 【解答过程】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体, 则BF与DN是异面直线，故①错误； CM与BN平行，故②错误； 由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确； AE与DN是异面直线，故④正确； 故正确个数为2． 故选：B. 15.下列命题正确的为（ ） A．已知为三条直线，若异面，异面，则异面 B．已知为三条直线，若，则 C．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线 【答案】D 【解析】对于A，直线是异面直线，是异面直线，则可能平行、相交或异面，A错误； 对于B，，则可能平行、相交或异面，B错误； 对于C，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，该三棱锥不一定是正三棱锥， 如图：为等腰直角三角形，，为等边三角形， ，此时三棱锥不是正三棱锥，C错误； 对于D，如图，设平面平面，由，得平面， 则，同理，所以三点共线，D正确. 故选：D 16.已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【解题思路】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【解答过程】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 17.已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】先将异面直线a，b平移到点P，结合图形知，当使直线l在平面BPE的射影为的角平分线时，存在2条直线满足条件，当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时，存在2条满足条件，则可判断4条直线满足. 【详解】如图：    通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意，,, 而的角平分线与a和b的所成角为， 的角平分线与a和b的所成角为， 因为，所以直线l和a，b所成角均为的直线有4条， 其中直线l在平面BPE的射影为的角平分线时存在2条直线满足条件， 当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时存在2条满足条件，故共4条. 故选：C. 18.已知等边三角形的边长为4，D为的中点，将沿折到，使得为等边三角形，则直线与所成的角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别取，，的中点E，F，G，连接，，，， 则，，且，，， 所以直线与所成的角为（或其补角）， 由题意可知：，，，，平面， 所以平面， 且平面，可得，则， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成的角的余弦值为． 故选：D． 19.在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示，根据三角形的中位线定理可得，所以异面直线与所成的角即或其补角． ，， 在中，，，，所以， 所以，所以． 在中，，， 可得． 在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B． 三、解答题 20．如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 21.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 【答案】(1)45°； (2)或 【分析】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；利用中位线定理得到EG＝GF且EG⊥GF，所以EF与AB所成的角即为∠EFG，进而求解； （2）根据题意可得∠EGF＝60°或120°，然后分情况讨论即可求解. 【详解】（1）取BD的中点G，连接EG、FG；    因为E、F分别为BC、AD的中点，所以EG∥CD，GF∥AB， 且EG＝CD，GF＝AB；又AB＝CD，所以EG＝GF； 因为AB⊥CD，所以EG⊥GF； 在△EGF中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°； 因为GF∥AB，所以EF与AB所成的角即为∠EFG， 即EF与AB所成的角的大小为45°； （2）因为AB＝CD＝2，所以EG＝GF＝1； 因为AB与CD所成角的大小为60°，所以∠EGF＝60°或120°； 在△EGF中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故EF＝1； 在△EGF中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故EF＝， 综上，或 22. 已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 【答案】(1)，，，DA，DC，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用异面直线的定义判断作答. （2）（3）利用异面直线的定义，求出异面直线的夹角即可作答. 【详解】（1）正方体共有12条棱，与相交的棱有6条，与平行的棱不存在， 因此余下的6条棱所在直线分别与直线是异面直线，它们是，，，DA，DC，． （2）在正方体中，由，得与AD的夹角就是与BC的夹角， 因为，则与BC的夹角为， 所以． （3）连接，因为， 于是四边形是平行四边形，即， 从而与AC的夹角就是与的夹角，连接， 而，与都是正方体的面对角线，则有，即是正三角形， 所以与的夹角为，即与AC的夹角为． 23. 如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 【解析】（1）设，取中点，连接，， 为等边三角形，为中点， ， 在中，为中点，， 在中，， ， 在中，， . （2）设，取中点，连接，， 取中点，连接，由（1）得，， 在中，为中点， 且， 故异面直线与所成角为与所成的角， 在中，, , 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设,， 异面直线与所成角的余弦值为 由（2）可知， ，故， 在中，， ，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题03 直线与直线的位置关系 知识点01 平行公理 1、文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2、图形语言： 3、符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c. 4、作用：判断空间两条直线平行的依据 注意：（1）在同一个平面内没有公共点的两条直线叫做平行直线. （2）两个重要结论： ①过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. ②在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 （3）公理4表述的性质通常叫做平行线的传递性. 知识点02 等角定理 　 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2. 推论 推论1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 推论2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 知识点03 异面直线 1.异面直线 ①定义：不同时在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. ②画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托如下图所示： 2.空间两条直线的三种位置关系. 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内 没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 3.判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 知识点04 异面直线所成的角 1.定义：如图，是异面直线，在空间中任选一点，过点分别作的平行线和，则这两条直线和所成的锐角或直角，称为异面直线所成的角． 2.异面直线所成角范围：（0，] 3.求异面直线所成的角的步骤： 一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角 二证，即证明作出的角是异面直线所成的角 三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 4.两条异面直线互相垂直： 定义：若两条异面直线所成的角为 直角（或），则称它们互相垂直．两条互相垂直的异面直线，记作  ． 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 考点一、空间的平行直线 题型01：平行公理 【方法点拨】（1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用平行公理：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 【例1】下列命题中，正确的命题序号是（    ） ①平行于同一直线的两直线平行； ②垂直于同一直线的两直线平行； ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ④与已知直线平行且距离长为定值的直线有两条． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【跟踪训练】 1．如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为 ． 2．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.下列结论中正确的是（    ） ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 题型02：等角定理 【方法点拨】空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补． 【例2】已知空间中两个角，的两边对应平行，且，则（    ） A． B． C． D．或 【例3】下列命题中，真命题的序号是______． ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这组直线所成的锐角（或直角）相等； ③如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 【跟踪训练】 1.若，，且，则等于（    ） A． B． C．或 D．不能确定 2.如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（    ） A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 3.给出下列三个命题： ①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____. 题型03：判断与证明直线平行 【方法点拨】线线平行的证明方法： 1.定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 2.利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形，平行四边形等关于平行的性质； 3.利用平行线的传递行：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行. 【例4】如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【例5】已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 【跟踪训练】 1. 如图所示，在三棱锥中，，，，分别是棱，，，的中点，则与的位置关系是（  ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 2. 如图，在三棱锥中，分别是边的中点，且，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3. 如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 考点二、空间直线的位置关系 题型04：空间直线位置关系的判断 【方法点拨】（1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）排除法（反证法）：排除两直线共面（平行或相交）的情况． 【例6】已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【例7】在棱长为1的正四面体中，直线与是（  ）． A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．无法判断位置关系 【跟踪训练】 1.已知直线，若，则与的位置关系为___________. 2.在正方体中，E、F分别是棱、的中点．则下面直线的位置关系是：    （1）与： ；    （2）与： ； （3）与： ；    （4）与： ； 3.已知，是夹在两个平行平面间的线段，若两线段的长度相等，则直线，的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 4.若直线，，满足，，异面，则与（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 题型05：异面直线的概念与辨析 【方法点拨】共面直线包括相交和平行，不是共面关系的两直线就是异面直线。 【例8】设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【跟踪训练】 1．“是异面直线”是指： （1）平面，平面，且； （2）且不平行； （3）平面，平面，且； （4）平面，平面； （5）不存在平面，使且． 上述说法中，正确的序号是 ． 2.若a，b是异面直线，直线，则c与b的位置关系是（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 3.两条异面直线指的是（    ） A．不同在任何一个平面内的两条直线 B．在空间内不相交的两条直线 C．分别位于两个不同平面内的直线 D．某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 题型06：异面直线的判定 【方法点拨】判定两条异面直线的方法： 方法1，定义法.把“不同在任何一个平面内，没有公共点的两直线”叫做异面直线. 方法2，排除法.根据空间中任意两条直线间的位置关系来分类，一共可分为三类。分别是：两直线相交、两直线平行、两直线异面. 方法3，定理法.根据教材中异面直线的判定定理，其实就是判断（和寻找）异面直线. 【例9】如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（  ） A． B．C．D． 【跟踪训练】 1. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 2. 如图是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，线段、所在的直线中，与直线异面的是______． 3.如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． 题型07：异面直线数量 【例10】从正方体的12条棱和12条面对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值为______． 【例11】在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【例12】如图为正六棱柱.其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有________条. 【跟踪训练】 1. 在三棱柱各棱所在直线中，与直线异面的有__________条. 2. 直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，与AC垂直且异面的有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3. 如图，已知点在四边形所在平面外，如果把两条异面直线看成一对，那么与四边形的四个顶点的连线以及此四边形的四条边所在的直线共8条直线中，异面直线共有______对． 4.已知a，b是异面直线，若直线m上任意一点到a，b的距离都相等，则这样的直线m（    ） A．存在且只有一条 B．存在且只有两条 C．存在无数条 D．不存在 题型08：异面直线的证明 【例13】已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 【跟踪训练】 1．四面体中，，求证：与中边上的高和必为异面直线． 2．如图，已知，，，，．求证：b与c是异面直线． 3．如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，与是否为异面直线？请说明理由． 4．如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 5．在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 考点三、两条异面直线所成的角 题型09：求异面直线所成的角 【例14】正方体中，    （1）异面直线与所成角的大小为 ； （2）异面直线与所成角的大小为 ； （3）异面直线和所成角的大小为 ． 【例15】直三棱柱中，，，则与所成角大小为______． 【跟踪训练】 1.在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 2.在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3.在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4.如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 5.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 题型10：由异面直线所成的角求其它 【例16】已知两异面直线，所成的角为80°，过空间一点作直线，使得与，的夹角均为50°，那么这样的直线有条 A．1 B．2 C．3 D．4 【例17】在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【跟踪训练】 1. 异面直线所成的角为，过空间一点P作直线l，使l与所成的角均为，这样的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 3.如图，已知空间四边形两对角线和的长分别为8和10，所成的角为，依次连接各边中点所得四边形的面积是_________; 题型11：判断与证明异面直线垂直 【例18】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条． A．2 B．4 C．6 D．8 【跟踪训练】 1.空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 2.如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 一、填空题 1.已知，则 ． 2.如图，在正方体中，异面直线与所成的角是______ 3. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为____ 4. 如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ． 5. 在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为 . 6两条异面直线a，b所成的角为，在直线上取点A，E，在直线上取点B，F，使，且.已知，则线段AB的长为____________. 7．空间四边形ABCD中，AC与BD成30°角，，，E、F、G、H分别是四边的中点，那么四边形EFGH的面积等于 ． 8.若异面直线、所成的角为，为空间一定点，则过点且与、所成的角都是的直线有且仅有 条. 9．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH= ． 二、选择题 10. 已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（  ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 11．如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A．要么相交，要么平行 B．要么相交，要么异面 C．要么平行，要么垂直 D．不相交时，要么平行，要么异面 12. 如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（  ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 13.如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A．B．C． D． 14.下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15.下列命题正确的为（ ） A．已知为三条直线，若异面，异面，则异面 B．已知为三条直线，若，则 C．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线 16.已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 17.已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 18.已知等边三角形的边长为4，D为的中点，将沿折到，使得为等边三角形，则直线与所成的角的余弦值（    ） A． B． C． D． 19.在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 20．如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 21.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 22. 已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 23. 如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $