专题13 球 （7大知识点+7大题型+真题检验）讲义-2025年高二数学暑假班预习提升（沪教版（2020））

上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题13 球 知识点1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 知识点2球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 知识点3平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 知识点4.地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点5.球的体积公式 球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 知识点6.球的表面积 球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 知识点7球的性质 圆的主要性质 球的主要性质 1 平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹） 空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面 2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍 同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍 3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2 4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦 不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆 5 过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面 6 圆周长＝2π×圆半径 大圆周长＝2π×球半径 题型1：球的结构特征辨析 【例1】下列命题中，真命题的是 ．（选填序号） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑤空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 【答案】①②⑤ 【分析】根据球的相关概念和性质即可求解. 【解析】解：对于①，球的半径是球面上任意一点与球心连线的线段，所以①对. 对于②，球的任意两个大圆的交点的连线经过球心，所以是球的直径，所以②对. 对于③，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，而不是圆，所以③错. 对于④，以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球面，而不是球，所以④错. 对于⑤，空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面，故⑤对. 故答案为：①②⑤ 【跟踪训练】 1．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是 . 【答案】①④ 【分析】由球的定义和截面性质可逐项判断得可得答案. 【解析】由球的定义可得①是正确的；因为直径一定过球心，故②不对； 用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，③不对. 由球的定义可得过球心的截面的最大的截面，且截面的半径就是球的半径, 则不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆，故④正确. 故答案为：①④. 题型2：球的截面性质及计算 【方法点拨】球的截面的性质：球的截面是圆面；球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离就是球心到截面圆心O1的距离，则有OO1＝； 【例2】已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是 cm. 【答案】8 【分析】根据球的截面圆的性质即可求解. 【解析】如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R. 由题意知，R=10cm，由πr2=36π，得r=6cm， 所以 故答案为：8 【跟踪训练】 1．把地球视为一个球，如果地球半径增大米，那么地球赤道的长度会增大 （精确到米）． 【答案】米 【分析】根据圆的周长公式可直接求得结果. 【解析】设地球半径为，则（米）， 即地球赤道长度会增大米. 故答案为：米. 2．（2023上海·位育中学高二期中）已知球的半径为25,有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49和400,则这两个平行平面间的距离为___________ 【答案】9或39 【分析】先根据两个截面圆的面积分别求出对应圆的半径，再分析出两个截面所存在的两种情况，最后对每一种情况分别求出两个平行平面的距离即可. 【详解】解：设两个截面圆的半径别为，球心到截面的距离分别为.球的半径为. 由，得. 由，得. 如图①所示.当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差， 即. 如图②所示.当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和. 即. 故答案为：9或39. 【点睛】本题主要考查两个平行平面间的距离计算问题.此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系以及空间想象能力和计算能力.本题的易错点在于只考虑一种情况，从而漏解. 题型3：球面距离 【方法点拨】球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间的劣弧长，求球面距离的步骤是先求两点间的直线距离，在大圆中求球心角，再求球面距离； 【例3】在北纬45°圈上有、两点，若该纬度圈上、两点间的劣弧长为（为地球的半径），则、两点间的球面距离是 ． 【答案】 【分析】先求出北纬圈所在圆的半径，是、两地在北纬圈上对应的圆心角，得到线段的长，设地球的中心为，解三角形求出的大小，利用弧长公式求、这两地的球面距离． 【解析】北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于为地球半径）， 是、两地在北纬圈上对应的圆心角）， 故，线段， ， 、这两地的球面距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题． 【例4】已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是 【答案】 【分析】同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上,根据纬度差即可求得圆心角,进而求得两地间距离. 【解析】由题意可知,同一纬度的两地之间与球心共在一个大圆上 当甲地纬度为北纬75°,乙地纬度为北纬15°,则两地间所在的大圆圆心角为60° 所以两地的球面距离为 故答案为 【点睛】本题考查了球的截面性质,大圆及球面距离的求法,属于基础题. 【跟踪训练】 1．地球半径为R，则南纬30°的纬线圈长为________________________ 【答案】πR； 【解析】如图是过球心O及纬线圈圆心O1的轴截面，则∠OAO1＝30°，AO＝R， ∴AO1＝R·cos30°＝R， ∴纬线圈周长为2π·AO1＝πR； 2．在半径为3的球面上有､､三点，，，球心到平面的距离是，则､两点的球面距离是 . 【答案】 【分析】由球体半径与Rt△的外心及斜边的关系求，又，结合等腰直角三角形的性质求，即可知△为等边三角形，进而求､两点的球面距离. 【解析】由题设，如下图示，，为△的外心且，， ∴，又，则， ∴，即△为等边三角形， ∴､两点的球面距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据球面两点的距离等于这两点与球心构成的面与球体所成的截面圆的劣弧长，进而根据弧长公式求两点的球面距离. 题型4：球的体积 【例5】已知两球体积之比为27：1，它们的半径之比为 【答案】 【分析】根据球的体积公式求解 【解析】设两个球的体积为，半径分别是，由题意得，，解得. 故答案为： 【例6】已知圆台上､下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为 . 【答案】 【分析】设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高，求出圆台体积，球的体积即可． 【解析】如图， 设球的半径OA＝OB＝2，由题意可知∠OAB＝，故△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝，∴∠，∴，． ∴圆台的体积为：， 球的体积为：， ∴圆台的体积与球体积之比为：． 故答案为：． 【跟踪训练】 1．（2021秋•黄浦区校级月考）若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为，则球的体积为 　 　． 【分析】根据题意求出球的半径，再计算球的体积． 【解答】解：如图所示， 依题意知，截面圆的半径为r＝AC＝，球心O到截面圆的距离为d＝OC＝， 所以球的半径为R＝OA＝＝3， 所以球的体积为V＝π×33＝36π． 故答案为：36π． 【点评】本题考查了球的体积计算问题，也考查了球面被平面所截的截面圆问题，是基础题． 2．个平面截一个球得到面积为的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半，则该球的体积等于 . 【答案】 【分析】根据截面半径和球心到截面的距离与球的半径的勾股关系直接求解. 【解析】由平面截一个球得到面积为的圆面可得，截面圆的半径为， 设球的半径为，球心到这个圆面的距离为， 所以由勾股定理可得，即，所以， 所以球的体积为， 故答案为: . 题型5：球的表面积 【例7】已知球的体积为，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】由球的体积公式求出球的半径R，再由表面积公式计算即可． 【解析】由球的体积公式可知，，解得， ∴球的表面积． 故答案为： 【例8】在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，则所得几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算可得答案． 【解析】图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的旋转体是圆柱去掉一个半径为1的半球， 半球的表面积为， 圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的底面面积为π×12＝π，圆柱的侧面积为2π×1×1＝2π， 则所得几何体的表面积为2π＋π＋2π＝5π． 故答案为：5π． 【跟踪训练】 1．若球的体积是，则球的表面积是 . 【答案】 【分析】求出球体的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【解析】设该球的半径为，则球的体积为，解得， 因此，该球的表面积为. 故答案为：. 2．（2021秋•奉贤区校级期中）两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为　 　． 【分析】由题意，设两个球的半径，表示出求的表面积和体积；根据体积比，得到表面积的比． 【解答】解：设两个球的半径分别为r，R，由两个球的体积之比为8：27， 得到r3：R3＝8：27，所以r：R＝2：3，那么这两个球的表面积的比为r2：R2＝4：9； 故答案为：4：9． 【点评】本题考查了球的体积和表面积；明确体积、表面积公式是关键． 3．已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面的，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为 .    【答案】 【分析】画图，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为，建立方程由基本不等式求出的最大值，然后求出剩下的几何体的表面积 【解析】依题意，设球的半径为，圆柱的高为，底面半径为， 如图所示：    则， 所以， 当且仅当时，取到等号， 因此剩下的几何体的表面积为： . 故答案为：. 题型6：球的切、接问题 【例9】已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，利用球体积，表面积公式计算得结果. 【详解】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为， ， ：：2 故选：D 【点睛】本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题. 【例10】已知长方体的棱长分别为3，4，5，长方体的各个顶点都在一个球面上，则该球的表面积等于_______________． 【答案】 【分析】根据长方体的结构特征，可得长方体的体对角线长等于其外接球的直径，由此求出球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】因为长方体的体对角线长等于其外接球的直径，该长方体的棱长分别为3，4，5， 所以外接球的直径为，则， 所以该球的表面积为. 故答案为： 【例11】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到该圆锥内半径最大的球为该圆锥的内切球，结合图象，根据，求得内切球的半径，结合表面积公式，即可求解. 【详解】当球为该圆锥的内切球时，此时球的半径最大，如图所示， 又由，则圆锥的高为， 设圆锥的内切球与圆锥相切于点，半径为，则， 可得，即，解得， 所以该球的表面积为. 故选：B. 【跟踪训练】 1．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体内切球直径与棱长相等，结合已知条件及球体体积公式求正方体的棱长，进而求正方体的表面积. 【详解】正方体性质知：内切球的直径等于棱长， ∴由题意，，得， ∴正方体表面积. 故选：C. 2．如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，可得出，利用基本不等式得出的最大值，可得出圆柱的侧面积的最大值，利用等号成立求得、与的等量关系，进而可计算得出球的体积与该圆柱的体积之比. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，可得出， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当，时，等号成立， 圆柱的侧面积为， 所以，球的体积与该圆柱的体积之比为. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．（2021·上海·高二专题练习）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为_________. 【答案】 【解析】设球的半径为，高为,则圆柱的底面半径为由球的表面积等于圆柱的侧面积, 得,由圆柱和球的体积公式可求出其体积之比. 【详解】设球的半径为，高为，则圆柱的底面半径为. 由球的表面积等于圆柱的侧面积，有，得. 设球的体积为，则，圆柱的体积为,则 所以 故答案为： 【点睛】本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，考查球和圆柱的性质，属于中档题. 题型7：球的综合 【例12】（2022秋·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. (1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积； (2)若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）. 【答案】(1)； (2)55mm. 【分析】（1）由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以为半径的圆的面积.根据已知条件，分别求出各部分的面积即可得出答案； （2）设钉身的长度为，表示出钉身的体积.根据已知求出钉身加工后的体积，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】（1）解：由已知可得，铆钉为以为半径的半球与圆柱的组合体. 由钉身长度是钉帽高度的3倍，可知圆柱的高为，圆柱底面半径为. 由图可知，铆钉的表面积等于半球的表面积加上圆柱的侧面积加上以为半径的圆的面积. 半球的表面积为，圆柱的侧面积为，圆的面积. 所以，铆钉的表面积. （2）解：设钉身的长度为，，则钉身的体积. 由已知加工前后体积不变，加工后体积为钉身与钉帽体积之和，其中钉身长度为20，底面圆半径为，钉帽是以半径的半球. 所以. 所以，解得，满足条件. 所以钉身的长度为. 【跟踪训练】 1．在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈． (1)请在图中画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）直接由旋转体的结构特征得结论； （2）结合图中数据计算该组合体的表面积和体积. 【详解】（1）根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后所得几何体是上部是圆锥,下部是圆柱挖去一个半径等于圆柱体高的半球的组合体; （2）该组合体的表面积为 ， 组合的体积为 . 2．（2023秋·高二课时练习）如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．    (1)以r为变量，表示圆柱的表面积和体积； (2)当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1) ，. (2)当时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是. 【分析】（1）取中点，连接，根据勾股定理求出的值，即可求得圆柱的表面积和体积； （2）利用基本不等式可求得圆柱的侧面积最大值，利用等号成立的条件可求得的值. 【详解】（1）解：记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接. 高为，则，所以， 所以，圆柱的底面积为，侧面积为， 圆柱的表面积为，圆柱的体积为.    （2）由（1）知，圆柱的侧面积为，    则， 当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为． 一、填空题 1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 【答案】8π ； 【解析】设球的半径为R，则截面圆的半径为， ∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2， ∴球的表面积S＝4πR2＝8π； 2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm. 【答案】4； 【解析】如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π， 则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°， 所以该地球仪的半径R＝＝4 cm； 3．（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 ． 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和球的体积差，求出水的体积即可. 【详解】设球的半径为，由题意得球的表面积为， 所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4， 所以最多可以注入的水的体积为． 故答案为： 4．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为 ． 【答案】/ 【分析】先求出截面圆半径，再求球半径，最后根据球体积公式得结果. 【详解】因为与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为，所以该截面圆的半径为1， 因此球的半径为，故该球的体积为. 故答案为： 5．（2023秋·高二课时练习）直四棱柱的底面是菱形，其侧面积是，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可确定直四棱柱的底面是正方形，设底面边长为a，侧棱长为h，可推出，得出其外接球的表面积的表达式，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为直四棱柱的底面是菱形，且它有外接球，所以其底面是正方形， 设直四棱柱底面边长为a，侧棱长为h， 则其侧面积为，故， 又该直四棱柱的外接球的半径， 所以其外接球的表面积， 当且仅当，即时等号成立， 故其外接球的表面积的最小值为， 故答案为： 6．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知在四面体V-ABC中，，，，则该四面体外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出V在平面的射影为的外心,求出四面体外接球的半径，即可求出四面体外接球的表面积. 【详解】∵， ∴V在平面ABC的射影为的外心． 又，，所以的外接圆的半径； ,设四面体外接球的半径为R，． 解得． 所以外接球的表面积为． 故答案为：． 7．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期末）在中，，顶点在以为直径的圆上.点在平面上的射影为的中点，，则三棱锥外接球的半径为 . 【答案】2 【分析】根据三棱锥的外接球几何关系和勾股定理即可求. 【详解】    设球的半径为， 所以， 解得， 所以外接球的半径为2. 故答案为：2. 8．（2023秋·高二课时练习）已知正三棱柱的所有顶点都在同一个半径为的球面上，则该三棱柱侧面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，计算出的外接圆直径，根据，并结合基本不等式可求得的最大值，由此可得出该正三棱柱侧面积的最大值. 【详解】如下图所示：      圆柱的底面圆直径为，母线长为， 则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心. 设球的半径为，由勾股定理可得， 设正三棱柱的底面边长为，高为， 将正三棱柱置于圆柱内，使得、的外接圆分别为圆、圆，        则圆柱的底面圆的直径为， 所以，， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，该三棱柱侧面积为. 故答案为：. 9．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为 ． 【答案】 【分析】连接，求出，图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体为一个圆锥中间挖掉一个球，再根据圆锥和球的体积公式即可得解. 【详解】连接，则， 在中，， 则，解得， 在中，，则， 图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体为一个圆锥中间挖掉一个球， 其中圆锥的高为，底面圆的半径为， 球的半径为， 所以所求体积为. 故答案为：. 10．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知球面上有A，B，C三点，球心到A，B，C所在平面的距离等于球的半径的一半，且，则球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】设外接圆的半径为，球的半径为，先求出，再根据求出，再根据球的表面积公式即可得解. 【详解】设外接圆的半径为，球的半径为， 由，得为等边三角形， 所以，所以， 则，解得， 所以球的表面积为. 故答案为：. 11．（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为 . 【答案】 【分析】由空间想象得到为棱长为5的正方体，去掉中心处棱长为1的正方体，各角去掉正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后余下部分，各棱处去掉长方体减去一条高为轴，1为底面半径的圆柱后的部分，再结合正方体、球体、圆柱的体积公式求体积. 【详解】由题设，动球在运动过程中经过区域可看作棱长为5的正方体，先去掉中心处棱长为1的正方体， 8个角处去掉：棱长为1的正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后剩余部分， 12条棱处去掉：底面边长为1，高为3的棱柱减去一条高为3，底面半径为1的圆柱后剩余部分， 综上，的体积为. 故答案为： 12．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 【答案】 【分析】证明平面，从而得点的轨迹为平面与球的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球面圆半径后可得其周长．题中球心到截面的距离利用体积法求解．球半径利用球的体积公式计算可得． 【详解】如图，取中点，连接，，，正方体内切球球心为正方体的中心. 因为点N为线段的中点，可得，则，所以 所以， 又平面，平面，所以，同理， 因为，平面， 所以平面， 则点的轨迹为平面与球的截面圆周， 设正方体的棱长为，则，解得，正方体内切球半径为2,连接，，， 如下图，在对角面中， ， 到平面的距离即到平面的距离为， ， 又，， 设到平面的距离为，则，， 得到平面的距离为， 所以截面圆的半径， 则点的轨迹长度为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题考查空间的几何体中的轨迹问题，解题关系是确定平面，得点的轨迹为平面与球的截面圆周，为了求截面圆半径，需求得球半径和球心到截面的距离，这个距离我们利用体积法求解． 二、选择题 13．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（    ） A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9 【答案】A 【分析】球的表面积之比是两球的半径的平方之比，体积之比是半径的立方之比，据此即可计算. 【详解】设两球的半径分别为，则，∴， 所以两球的体积比为； 故选：A. 14．（2023春·上海杨浦·高二统考期末）如图，已知球的半径为5，球心到平面的距离为3，则平面截球所得的小圆的半径长是（   ）    A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据球的几何性质，利用截面距及球半径由勾股定理计算即可求得截面圆半径. 【详解】如图所示，为球面上一点，则， 球心到平面的距离为3，即，且， 则小圆的半径长即为， 在中，由勾股定理可得，解得. 故选：D 15．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（　　） A．64π B．48π C．36π D．32π 【分析】画出图形，利用已知条件求出OO1，然后求解球的半径，即可求解球的表面积． 【解答】解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π，可得O1A＝2，则 AO1＝ABsin60°，， ∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2， 外接球的半径为：R＝＝4， 球O的表面积：4×π×42＝64π． 故选：A． 【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键． 16．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设球心为，连接，则可得和均为等边三角形，所以，再在中利用余弦定理可求出. 【详解】设球心为，连接，由， 所以和均为等边三角形， 所以， 所以，当且仅当共面时取等号，如图所示， 此时取得最大值， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 所以的最大值为， 故选：C 三、解答题 17．（1）已知球的直径为2，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比； 【解析】（1）因为直径为2，所以半径R＝1，所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积V球＝πR3＝π×13＝π. （2）因为V球＝πR3＝π，所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π. （3）设三个球的半径分别为R1，R2，R3， ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9， ∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9， 即R∶R∶R＝1∶4∶9， ∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R∶R∶R＝1∶8∶27， ∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27. 18．（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期末）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 【答案】(1) (2)3768 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 19．（2021·上海市控江中学高二期中）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C． (1)求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)； (2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积. 【答案】(1)；(2)； 【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得. (2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R即可计算作答. (1)如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高， 依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r， 在中，，即，整理化简得：， 所以球冠所在球的半径R有：. (2)因球冠底面圆周长，则， 又球冠表面积公式为，且，则，由(1)知， 即，解得， 于是得，球O的表面积为， 所以的值是，球冠所在球的表面积是. 20．“车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程．某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为，高为．该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？ 【答案】表面积为；体积为． 【分析】 根据球与圆锥的内切关系及题中的轴截面将问题转化为平面几何问题求解即可得出结果. 【详解】 根据题意，图中，，且 ， 从而有，． 设内切球的半径为R，根据等面积法得， 所以内切球的半径， 故该球的表面积， 体积． 21．如图，圆柱中，、分别为圆、圆的直径，为母线，，点在上底面的圆内，点在弧上. （1）求三棱锥的体积的最大值； （2）求三棱锥的外接球的体积的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）设，，则，进而利用均值不等式求出的最大值，进而可求出结果； （2）设球的半径为，，，结合图形可得以及然后根据的范围求出的范围，进而可以求出的最值，从而求出结果. 【详解】 （1）设，，则， 三棱锥的体积（为点到底面）， ，，当且仅当时，等号成立， 所以，故当时，三棱锥的体积取得最大值. （2） 易知三棱锥的外接球球心在线段上. 设球的半径为，，， 在中，，即； 在中，，即； 联立两式，可得， 又因为，所以，，. 故当时，取得最小值，三棱锥的外接球的体积取得最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020必修第三册第11章空间直线与平面（预修课程） 专题13 球 知识点1.球的定义 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 知识点2球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 知识点3平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 知识点4.地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点5.球的体积公式 球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 知识点6.球的表面积 球的表面积：设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 知识点7球的性质 圆的主要性质 球的主要性质 1 平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹） 空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）是球面 2 同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍 同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍 3 与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2 与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径2 4 不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦 不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆 5 过切点的圆半径垂直于圆的切线 过切点的球半径垂直于球的切面 6 圆周长＝2π×圆半径 大圆周长＝2π×球半径 题型1：球的结构特征辨析 【例1】下列命题中，真命题的是 ．（选填序号） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑤空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． 【跟踪训练】 1．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是 . 题型2：球的截面性质及计算 【方法点拨】球的截面的性质：球的截面是圆面；球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离就是球心到截面圆心O1的距离，则有OO1＝； 【例2】已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是 cm. 【跟踪训练】 1．把地球视为一个球，如果地球半径增大米，那么地球赤道的长度会增大 （精确到米）． 2．（2023上海·位育中学高二期中）已知球的半径为25,有两个平行平面截球所得的截面面积分别是49和400,则这两个平行平面间的距离为___________ 题型3：球面距离 【方法点拨】球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间的劣弧长，求球面距离的步骤是先求两点间的直线距离，在大圆中求球心角，再求球面距离； 【例3】在北纬45°圈上有、两点，若该纬度圈上、两点间的劣弧长为（为地球的半径），则、两点间的球面距离是 ． 【例4】已知地球半径为，处于同一经度上的甲乙两地，甲地纬度为北纬75°，乙地纬度为北纬15°，则甲乙两地的球面距离是 【跟踪训练】 1．地球半径为R，则南纬30°的纬线圈长为________________________ 2．在半径为3的球面上有､､三点，，，球心到平面的距离是，则､两点的球面距离是 . 题型4：球的体积 【例5】已知两球体积之比为27：1，它们的半径之比为 【例6】已知圆台上､下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为 . 【跟踪训练】 1．（2021秋•黄浦区校级月考）若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为，则球的体积为 　 　． 2．个平面截一个球得到面积为的圆面，球心到这个圆面的距离等于球半径的一半，则该球的体积等于 . 题型5：球的表面积 【例7】已知球的体积为，则该球的表面积为 . 【例8】在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，则所得几何体的表面积为 ． 【跟踪训练】 1．若球的体积是，则球的表面积是 . 2．（2021秋•奉贤区校级期中）两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为　 　． 3．已知半球的半径为2，如图，截面圆平行于半球的底面的，以该截面圆为底面挖去一个圆柱，则剩下的几何体的表面积的最大值为 .    题型6：球的切、接问题 【例9】已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ） A． B． C． D． 【例10】已知长方体的棱长分别为3，4，5，长方体的各个顶点都在一个球面上，则该球的表面积等于_______________． 【例11】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是（ ） A．B．C． D． 3．（2021·上海·高二专题练习）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为_________. 题型7：球的综合 【例12】（2022秋·上海静安·高二上海市回民中学校考期中）如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）. (1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积； (2)若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）. 【跟踪训练】 1．在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈． (1)请在图中画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征； (2)求所得几何体的表面积和体积． 2．（2023秋·高二课时练习）如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r． (1)以r为变量，表示圆柱的表面积和体积； (2)当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 一、填空题 1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm. 3．（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为 ． 4．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为 ． 5．（2023秋·高二课时练习）直四棱柱的底面是菱形，其侧面积是，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为 ． 6．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知在四面体V-ABC中，，，，则该四面体外接球的表面积为 ． 7．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考期末）在中，，顶点在以为直径的圆上.点在平面上的射影为的中点，，则三棱锥外接球的半径为 . 8．（2023秋·高二课时练习）已知正三棱柱的所有顶点都在同一个半径为的球面上，则该三棱柱侧面积的最大值为 . 9．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为 ． 10．（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知球面上有A，B，C三点，球心到A，B，C所在平面的距离等于球的半径的一半，且，则球的表面积为 ． 11．（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为 . 12．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）已知点M为正方体内切球球面上的动点，点N为线段且，若该内切球的体积为，则动点M的轨迹的长度为 二、选择题 13．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（    ） A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9 14．（2023春·上海杨浦·高二统考期末）如图，已知球的半径为5，球心到平面的距离为3，则平面截球所得的小圆的半径长是（   ）    A．2 B．3 C． D．4 15．（2020•新课标Ⅰ）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（　　） A．64π B．48π C．36π D．32π 16．（2023春·上海嘉定·高二统考期末）已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 三、解答题 17．（1）已知球的直径为2，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； 18．（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期末）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 19．（2021·上海市控江中学高二期中）如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C． (1)求球冠所在球的半径R(结果用h､r表示)； (2)已知球冠表面积公式为，当，时，求的值及球冠所在球的表面积. 20．“车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程．某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为，高为．该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？ 21．如图，圆柱中，、分别为圆、圆的直径，为母线，，点在上底面的圆内，点在弧上. （1）求三棱锥的体积的最大值； （2）求三棱锥的外接球的体积的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$