专题08 柱体 （3大知识点+9大题型+21题强化）----2026年新高二数学沪教版必修第三册暑假班预修提升讲义

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题08 柱体 知识点一、棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 特征 1、 两个底面全等且平行； 2、 侧面是平行四边形； 3、侧棱互相平行。 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 知识点二、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 特征 （1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 知识三、柱体的体积 1、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 2、柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高) 知识点四、柱体的展开图与表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 考点一、棱柱与圆柱 题型01：棱柱的结构特征与分类 【例1】下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义逐项判断即可. 【详解】根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体； 根据棱柱的概念可得选项B为棱柱； 根据棱台的定义知选项C为棱台； 根据棱锥的概念知选项D为棱锥. 故选：B 【例2】下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【答案】B 【分析】根据棱柱的结构特征，判断选项中的结论是否正确. 【详解】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱； B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同； C错误，正六棱柱的两个相对侧面互相平行； D错误，“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱． 故选：B. 【例3】下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 【答案】D 【分析】根据长方体、直四棱柱、平行六面体的定义、性质和关系判断即可得解. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故A正确；正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确； 长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D错误； 故选：D. 【跟踪训练】 1.观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ） A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③⑥ D．③④⑥ 【答案】A 【解析】由棱柱的定义可知：①③⑤满足棱柱的定义．故选:A. 2．下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 3.已知集合正四棱柱，为直平行六面体，为长方体，为正方体，则这四个集合之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱柱，直平行六面体，长方体，正方体的定义结合集合的包含关系分析判断即可. 【详解】直平行六面体是底面为平行四边形，侧棱与底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直平行六面体； 正四棱柱是底面为正方形的直平行六面体； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱． 分析可知. 故选：C 4.下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据直四棱柱的定义，分别判断各个命题即可得出结果. 【详解】对于命题（1），斜四棱柱的两个相对侧面可能平行且垂直于底面，故命题（1）为假命题； 对于命题（2），两截面的交线平行于侧棱且垂直于底面，故命题（2）为真命题； 对于命题（3），如图③：作正四棱柱的两个平行的菱形截面，可得满足条件的斜四棱柱，故命题（3）为假命题；    对于命题（4），如图④：四棱柱的一个对角面的两条对角线恰为四棱柱的对角线，故对角面为矩形， 于是侧棱垂直于底面的一对角线，同样侧棱也垂直于底面的另一对角线，故侧棱垂直于底面，故命题（4）为真命题； 故选：B. 题型02：圆柱的结构特征 【例4】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是 ． 【答案】（1）（2） 【详解】解：圆柱的底面是圆面，故（1）正确； 圆柱的母线都平行且相等，且都垂直于底面，则经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故（2）正确； 圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，则圆台的任意两条母线所在的直线相交，故（3）错误； 当两个截面不平行或截面平行但不与底面平行时，两个截面间的几何体不是旋转体，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）． 【跟踪训练】 1. 请在圆柱上写出下列所指部分的名称：轴、底面、侧面、母线． 【答案】答案见解析 【详解】 2. 下列命题中正确的是（ ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D； 【解析】由圆柱的概念可知D正确； 题型03：棱柱与圆柱的截面问题 【例5】用一个平面截正方体，截面图形可能是（    ） A．钝角三角形 B．直角梯形 C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形 【答案】C 【分析】根据正方体的截面分析得到答案. 【详解】用一个平面截正方体，截面图形可能是三角形，四边形，五边形，六边形. 对于A：截面图形如果是三角形，只能是锐角三角形，不可能是直角三角形和钝角三角形. 如图所示的截面三角形. 设，所以，，. 所以由余弦定理得：所以为锐角. 同理可求：为锐角，为锐角. 所以为锐角三角形.故A错误； 对于B：截面图形如果是四边形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形. 故B错误； 对于C：如图示的截面图为五边形，并且有两个角相等. 故C正确； 对于D：因为正方体有六个面，所以一个平面截正方体，边数最多为6.所以D错误. 故选：C 【例6】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D 【跟踪训练】 1．如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【答案】B 【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时， 可得分别为圆柱的母线，所以且， 又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以， 所以截面为矩形. 故选：B. 2.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【答案】C 【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论 【详解】当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆； 当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆； 故选：C 3．已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案. 【详解】分别取、、的中点、、，连接、、， 在正方体中，，，分别是，，的中点， ，，， 六边形是过，，这三点的截面图， 过这三点的截面图的形状是六边形． 故选：D 4.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为，则它的一个底面面积是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得底面直径等于圆柱母线，则得到，则底面积为. 【详解】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径， 则，得. 所以底面面积为. 故选：C. 5.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是，求此圆柱的底面半径． 【答案】. 【分析】圆柱的底面直径，即为轴截面的边长，进而可得答案． 【详解】解：圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为， 故此正方形的边长为， 故此圆柱的底面直径为， 故此圆柱的底面半径为， 故答案为：． 6.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，此圆柱的底面半径为______． 【答案】 【详解】∵圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为，故此正方形的边长为， 故此圆柱的底面直径为，故此圆柱的底面半径为，故答案为. 7.轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为，求该等边圆柱的底面周长和高. 【答案】该等边圆柱的底面周长为，高为 【分析】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，设图柱的底面半径为r，根据面积计算得到，再计算底面周长和高得到答案. 【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形 设图柱的底面半径为r，则. 轴截面ABCD的面积，解得. 所以该等边圆柱的底面周长为，高为 . 题型04：柱体中的有关计算 【例7】长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为______． 【答案】 【分析】由长方体的三个面的面积求出同一点出发的三条棱长，根据长方体的结构特征即可求出结果. 【详解】 设长方体从顶点B出发的三条棱长分别为，且，，，则，，， 所以长方体中线段的长等于. 故答案为： 【例8】正六棱柱底面边长为2，最长的对角线长为5，求正六棱柱的高． 【答案】3 【分析】根据正六棱柱的结构特征可得，，，利用勾股定理即可求出棱柱的高． 【详解】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，如图， 底面，底面，， 又，正六棱柱的高． 【例9】正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是______ 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 【跟踪训练】 1. 长方体长､宽､高分别为3，4，5，则它的对角线长为 . 【答案】 【分析】利用勾股定理进行求解即可. 【详解】因为长方体长､宽､高分别为3，4，5， 所以它的对角线长为， 故答案为： 2.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【分析】作出几何图形，利用正三棱柱的结构特征及勾股定理列式求出答案. 【详解】如图，正三棱柱中，， 点分别在棱上， 且是以为斜边的等腰直角三角形， 设，则， 作于，于，于， 则，， ， 在中，， 即，解得， 所以该三角形的面积为. 故选：A    3.如图，在正三棱柱中，分别是和的中点，则直线与所成的角余弦值为 .    【答案】 【分析】分别取中点，易证得四边形和均为平行四边形，根据平行关系可知所求角为或其补角，利用余弦定理可求得结果 【详解】分别取中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，所以为等边三角形， 设，,， 所以四边形和均为平行四边形，（或其补角）即为直线与所成角； ,又， , 所以直线与所成的角余弦值为, 故答案为：.    4．如图，正三棱柱中底面边长为a，D、E分别在与上，且. （1）求截面的面积； （2）上是否存在一点P，使得面？若不存在，说明理由；若存在，指出P的位置. 【答案】（1）；（2）存在，P为中点. 【分析】（1）取的中点，连接，求出三角形的三边即可得面积； （2）取，中点，连接，，，证明面即可得结论. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， ∵，∴,， ∴，，， 在等腰三角形中，高为， ∴. （2）存在，P为中点，证明如下： 取，中点，连接，，， ∵，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 由正三棱柱的性质可得，， ∵，∴面， ∴面 考点二、柱体的体积 题型05：求柱体的体积 【例10】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等；设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据逆否命题的等价性判断与的关系； 【答案】B； 【解析】“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以； 反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由推不出， 所以，是的必要不充分条件； 【例11】若正六棱柱的高为4，底面边长为2，则这个正六棱柱的体积是 ． 【答案】 【分析】由柱体的体积公式即可求解. 【详解】由题意，该正六棱柱的底面边长为2， 则其底面面积， 又因为该正六棱柱的高， 所以该正六棱柱的体积. 故答案为：. 【例12】已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为_______ 【分析】设正方体的棱长为，根据侧面积相等，可得圆柱的底面半径为，再根据体积公式可得答案. 【详解】设正方体的棱长为，则圆柱的高为，设圆柱的底面半径为， 则正方体的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以，所以， 所以正方体和圆柱的体积之比为. 【点睛】本题考查了正方体和圆柱的侧面积与体积公式，属于基础题. 【例13】一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（    ）. A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】当高为时，底面周长为，则底面半径为， 所以， 同理可得当高为时，， 因为，所以， 故选：C． 【跟踪训练】 1. 高为的两圆柱体枳分别为Vm和Vn，其侧面面积相等，则Vm与Vn的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据体积公式表示底面半径，再由侧面积相等列等式化简得，从而可判断. 【详解】设高为的两圆柱的底面半径分别为， 所以， 所以， 根据侧面积相等可得：， 整理得，所以. 故选：A. 2.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、， （1）求这个长方体的对角线长。 （2）求这个长方体的的体积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设此长方体的棱长分别为a，b，c，则，解出a，b，c，再利用长方体的对角线长l=即可． （2）由（1）知a，b，c，利用长方体体积公式即可得到结果． 【详解】（1）设此长方体的棱长分别为a，b，c，则，可得，解得，a=，b=1． 这个长方体的对角线长l==． （2）由（1）可知：V=abc=． 【点睛】熟练掌握长方体的侧面积、对角线长及体积计算公式是解题的关键． 题型06：求简单组合柱体的体积 【例14】如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度. 【详解】在图2中，水中部分是四棱柱， 四棱柱底面积为，高为2， ∴四棱柱的体积为， 设图1中容器内水面高度为h， 则V，解得h. ∴图1中容器内水面的高度是. 故选：D. 【例15】如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，， (1)将S表示为x的函数； (2)求V的最大值． 【答案】(1) ； (2)2. 【分析】（1）连接，求出，即得解； （2）求出V的解析式，再利用二次函数图象性质求解. 【详解】（1）连接，因为矩形ABCD内接于⊙O， 所以AC为⊙O的直径． 因为，， 所以， 所以， （2）因为长方体的高， 所以， 因为，所以， 故当即时，V取得最大值，此时. 【跟踪训练】 1. 如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 【答案】96 【分析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使，再由柱体的体积公式计算即可得出答案. 【详解】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱， 使，所以V几何体＝V三棱柱. 故答案为：. 2.如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是______． 【答案】 【分析】如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 据此计算即可得解. 【详解】如图，在正方体中， 若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形， 设正方体内水的体积为V，而， 而（升）， （升） 所以V的取值范围是. 故答案为： 3.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是__． 【答案】． 【分析】由不同的拼接方式，分别计算棱柱全面积，根据全面积最小值的情况列不等式求的取值范围. 【详解】①拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况， 将上下底面对接，其全面积为． 边可以合在一起时，其全面积为． 边合在一起时，其全面积为． ②拼成一个四棱柱，有四种情况，其中全面积有三种情况， 就是分别让边长为，，所在的侧面重合， 其上下底面积之和都是， 但侧面积分别为， 显然，三个四棱柱中全面积最小的值为． 由题意得，解得， 所以的取值范围为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题除了考查棱柱全面积的计算外，重点在三棱柱和四棱柱的拼接方式，要考虑全面，不能有遗漏. 4.一个圆柱的母线长为3，底面半径为2，则此圆柱的轴截面的面积为___________. 【答案】12 【分析】由圆柱的轴截面的面积为求解. 【详解】因为圆柱的母线长为3，底面半径为2， 所以圆柱的轴截面的面积为， 故答案为：12 考点三、柱体的表面积 题型07：求柱体的展开图与表面积 【例16】如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原圆柱的底面圆半径为，高为，得到，从而求出侧面积. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，则原圆柱的表面积为， 新几何体的表面积为， 故，原圆柱的侧面积为. 故选：B 【跟踪训练】 1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值． 【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，， 全面积为，而侧面积为， 所以全面积与侧面积之比这． 故选：A 2.长方体的所有棱长和为56，表面积为112，求长方体的对角线长． 【答案】. 【分析】设长方体的一个顶点处的三条棱长分别为a，b，c，根据已知条件建立方程组，进而得出所求的结果． 【详解】设长方体的一个顶点处的三条棱长分别为a，b，c， 由所有棱长的和为56，得，即①， 由表面积为112，得②， 由①的平方减去②得：， 所以长方体的对角线长为：. 3.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的侧面积公式以及正方体的表面积公式即可求解. 【详解】所得几何体的表面积为， 故选：D 4.若正四棱柱的底面的面积为，其对角线和底面成角，则此正四棱柱的全面积是______. 【答案】/ 【分析】作出正四棱柱的图象，根据几何关系求出棱柱的棱长，从而可求其全面积． 【详解】如图，正四棱柱的底面是正方形，面积是， 则 ∵正四棱柱的对角线和底面成角，⊥底面ABCD， ， ， 正四棱柱的全面积为， 故答案为：． 5.如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是_________． 【答案】/ 【分析】过点作于，证出≌，得出，证得平面，得出，结合再证明出，得出平行四边形为矩形，即可计算出斜三棱柱的侧面积． 【详解】过点作于，如图所示， ，，， ≌， ， ，即， 又， 平面， 又平面， ， 又， ， ∴平行四边形为矩形， ∴该斜三棱柱的侧面积为：， 故答案为：． 题型08：最短距离与最小值问题 【例17】如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    【答案】（1）答案见解析（2） 【分析】（1）依题意画出即可； （2）借助勾股定理，分别计算以为轴展开、以为轴展开、以为轴展开所得矩形的对角线的长度，取其中最小即可. 【详解】（1）平面展开图如图所示：    （2）沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法： ①如图（1），以为轴展开，； ②如图（2），以为轴展开，； ③如图（3），以为轴展开，；    综合以上，蚂蚁爬行的最短路线长：. 【例18】如图，在长方体中，，若点P在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于平面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时取等号. 所以的最小值为. 故选：C 【跟踪训练】 1.如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为__． 【答案】 【解析】正三棱柱的侧面展开图如图所示的矩形， 矩形的长为3，宽为1，则其对角线AA1 的长为最短路程． 因此蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：． 2.如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 3.如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为___________. 【答案】 【解析】如图将正三棱柱侧面展开2次， 可知曲面上的最小值即为对角线= 故答案为： 4.直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为________ 【答案】 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 5.正方体的棱长为2，M是棱上的一个动点（含端点），则的最小值为_____ 【分析】将绕翻折至与共平面，当、、共线时，最小，与（或）重合时最大，可得结论. 【详解】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将左图中绕翻折至与共平面（如右图）， 因为，， 所以当、、共线时最小， 此时为中点，，， 此时，， 则最小值为； 5.如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【答案】 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 6．如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】以为顶点，构造棱长为的正方体，利用对称性将转化为，再根据四点共线时取最小值完成计算. 【详解】以为顶点，构造棱长为的正方体，如下图所示： 由对称性可知，， 又因为是上的动点，是下底面上的动点，所以是直角三角形， 又因为是中点，，所以， 当取得最小值时，此时四点共线， 则， 故答案为：. 题型09：柱体综合 【例19】作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆半径分别为，，根据三角函数得到，得到答案. 【详解】如图所示：两圆半径分别为，，    在中，，，故. 故选：A 【跟踪训练】 1.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解. （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解. 【详解】（1）因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. （2）剩余部分几何体的表面积为 . 2.如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求圆柱的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与所成的角. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据圆柱的表面积=侧面积+底面积×2； （2）根据等体积法，由求出点到平面的距离； （3）由，与所成角即为与所成角，通过余弦定理求出的大小即可. 【详解】 （1）是圆的直径 又 圆柱的表面积为 （2） 设点到平面的距离为 由，得 解得 点到平面的距离为 （3） 与所成角即为与所成角， 联结，则,, 即直线与所成的角为 【点睛】本题考查了圆柱的表面积公式，等体积法和异面直线所成角的求法．通常情况下，求点到平面距离都是用等体积法；异面直线所成角，去找其中一条直线或两条直线的平行线，得到相交的角，再通过余弦定理等方法求出角的大小．本题属于中等题． 一、填空题 1.平行六面体的每个面都是______． 【答案】平行四边形 【分析】根据平行六面体的定义即可求解. 【详解】根据平行六面体的定义可知：平行六面体的每个面都是平行四边形. 故答案为：平行四边形 2.一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 【答案】16 【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可. 【详解】因为一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是. 故答案为：16 3.若圆柱的底面半径与高均为3，则其侧面积为____________. 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径与高均为3，所以圆柱的侧面积. 故答案为：. 4.一个长方体的长、宽、高分别为1、2、4，若一个正方体的体积和该长方体体积相等，则这个正方体的表面积为________． 【答案】24 【分析】本题根据正方体的体积和该长方体体积相等得出正方体的边长，从而求出正方体的表面积. 【详解】根据题意得，正方体的体积，所以正方体的边长为， 所以正方体的表面积为. 故答案为：24. 5．已知长方体的对角线的长是，且直线在长方体上经过点的三个面上的投影长分别为、、，则此长方体的体积是____________. 【答案】 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，进而根据体对角线与面对角线的关系求解即可. 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为，    则长方体的体对角线的长满足， 直线在长方体上经过点的三个面上的投影分别为三个面的对角线， 所以，在面上的投影长为； 在面上的投影长为； 在面上的投影长为； 所以，，，，即，，， 所以长方体的体积满足：，即 故答案为： 6.长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为______． 【答案】 【分析】由长方体的三个面的面积求出同一点出发的三条棱长，根据长方体的结构特征即可求出结果. 【详解】 设长方体从顶点B出发的三条棱长分别为，且，，，则，，， 所以长方体中线段的长等于. 故答案为： 7.已知正六棱柱各棱长均为2，如果一只小蚂蚁从沿表面移动到时，其最短路程为___． 【答案】/ 【解析】将所给的正六棱柱下图（2）表面按图（1）展开， ， ，， ， 故从A沿正侧面和上表面到的路程最短为. 故答案为：. 8. 如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________.    【答案】 【分析】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，连接与交于点时，即为的最小值，进而求解即可. 【详解】连接，将矩形绕旋转到与矩形在同一平面，如下图，    连接与交于点时，即为的最小值， 由题意，，则， 所以. 故答案为：. 二、选择题 9．以下命题中真命题的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．体对角线都相等的平行六面体是长方体 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】C 【详解】对于选项A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体，如直三棱柱，故选项A不正确， 对于选项B，有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱，但这两个侧面如果不相邻，就不一定是直棱柱了，故选项B不正确， 对于选项C，如图，对于平行六面体， 四边形是平行四边形，又，故平行四边形为矩形，则， 同理可得，又，所以， 又与相交，面，所以面， 又由体对角线相等，易得，所以为矩形， 所以为长方体，故选项C正确， 对于选项D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形，但不是正四棱柱，故选项D不正确； 故选：C 10．设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据几何体的特点可知，长方体是底面为矩形的直四棱柱，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，正方体是侧面均为正方形的正四棱柱可以得到这些集合的关系， 故选：B. 11.下列命题不正确的是（ ） A．正方体一定是正四棱柱 B．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．平行六面体的六个面均为平行四边形 【答案】B 【解析】对于A，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱， 所以正方体是正四棱柱，故A正确； 对于B，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱， 底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B错误； 对于C，有两个相邻的侧面是矩形，说明公共侧棱与底面两条相交直线垂直， 则侧棱与底面垂直，而侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱， 所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正确； 对于D，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体， 而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故D正确．故选：B 12.一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 13.设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 【答案】D 【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，根据已知列出方程求解即可. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为， 则①，即②， ①②得，，即或， 当时，解得，体积， 当时，解得，体积， 故选：D 14.圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，直接计算求解即可. 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 15．给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 【答案】C 【详解】对于命题：如图即为反例，故命题为假命题；    对于命题：如图所示，在该棱锥中，底面. 在底面中，，，….    根据三垂线定理，则所有侧面都是直角三角形，即命题为真命题. 故选：C 16.已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，利用平面展开图求解可得. 【详解】如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 因为，所以小虫爬行的最短路程为. 故选：A 三、解答题 17.如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，五边形即为所求截面，得到答案. （2）根据相似得到各线段长度，再计算周长得到答案. 【详解】（1）如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点E，连接交于点F， 交的延长线于点H，连接交于点Q，连接，， 所以五边形即为所求截面. （2）因为，所以，得. 因为，所以，得， 则，，所以， ，， 则截面的周长为. 18.上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 【答案】(1)克； (2)2罐. 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助材料的密度求出材料的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而该3D打印材料的密度为1.3， 所以打印一件这样的零件需要克材料. 答：需要847克材料. （2）此零件的表面积为（）， 则需要购买每罐300克的喷漆共，显然，所以需要两罐. 答：需要2罐. 19．已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断三棱柱是正三棱柱，再根据底面正三角形和侧面正方形的面积和，求解棱柱表面积即可； （2）作出辅助线，结合题干和勾股定理可得线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平面，三棱柱为正三棱柱，且侧面均为正方形， 则 （2）如图所示，取中点，连接， 因为 所以， 因为 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 20．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为; 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为. （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. （3）设三棱柱的外接球半径为， 则， 所以三棱柱的外接球体积为：. 21.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】（1）圆柱的侧面积（平方单位）,圆柱的体积（立方单位）（2） 【分析】（1）根据底面半径和高,利用侧面积和体积公式可求得; （2）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上．利用两点之间连线段长最小以及余弦定理可求得. 【详解】（1）圆柱的底面半径，高，圆柱的侧面积（平方单位）． 圆柱的体积（立方单位）； （2）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上． ∵，，，， ∴在三角形中,由余弦定理得， ∴的最小值等于． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和体积公式，同时也考查了侧面展开图的问题，考查计算能力，属于中档题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题08 柱体 知识点一、棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 特征 1、 两个底面全等且平行； 2、 侧面是平行四边形； 3、侧棱互相平行。 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱；否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 知识点二、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 特征 （1）底面是互相平行且全等的圆面； （2）母线有无数条，都平行与轴； （3）轴截面为矩形。 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 知识三、柱体的体积 1、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 2、柱体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高) 知识点四、柱体的展开图与表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 考点一、棱柱与圆柱 题型01：棱柱的结构特征与分类 【例1】下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列说法正确的是（    ） A．棱柱中相邻两个面的公共边叫做侧棱 B．棱柱中至少有两个面的形状完全相同 C．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 【例3】下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 【跟踪训练】 1.观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ） A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③⑥ D．③④⑥ 2．下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 3.已知集合正四棱柱，为直平行六面体，为长方体，为正方体，则这四个集合之间的关系是（   ） A． B． C． D． 4.下面是关于四棱柱的四个命题： （1）若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （2）若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 （3）若四个侧面中的任何两个都全等，则该四棱柱为直四棱柱 （4）若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02：圆柱的结构特征 【例4】给出下列说法： （1）圆柱的底面是圆面； （2）经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面； （3）圆台的任意两条母线所在的直线可能相交，也可能不相交； （4）夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是 ． 【跟踪训练】 1. 请在圆柱上写出下列所指部分的名称：轴、底面、侧面、母线． 2. 下列命题中正确的是（ ） A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 题型03：棱柱与圆柱的截面问题 【例5】用一个平面截正方体，截面图形可能是（    ） A．钝角三角形 B．直角梯形 C．有两个内角相等的五边形 D．正七边形 【例6】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【跟踪训练】 1．如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 2.在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 3．已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为，则它的一个底面面积是(　　) A． B． C． D． 5.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是，求此圆柱的底面半径． 6.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，此圆柱的底面半径为______． 7.轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为，求该等边圆柱的底面周长和高. . 题型04：柱体中的有关计算 【例7】长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为______． 【例8】正六棱柱底面边长为2，最长的对角线长为5，求正六棱柱的高． 【例9】正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是______ 【跟踪训练】 1. 长方体长､宽､高分别为3，4，5，则它的对角线长为 . 2.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 3.如图，在正三棱柱中，分别是和的中点，则直线与所成的角余弦值为 .    4．如图，正三棱柱中底面边长为a，D、E分别在与上，且. （1）求截面的面积； （2）上是否存在一点P，使得面？若不存在，说明理由；若存在，指出P的位置. 考点二、柱体的体积 题型05：求柱体的体积 【例10】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等；设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，根据祖暅原理可知，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例11】若正六棱柱的高为4，底面边长为2，则这个正六棱柱的体积是 ． 【例12】已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为_______ 【例13】一张矩形纸的边长分别为、，把它作为一个圆柱的侧面，再添加圆柱的两个底，可以得到高分别为和的两个圆柱体，其体积为和，则和的大小关系是（    ）. A． B． C． D．不确定 【跟踪训练】 1. 高为的两圆柱体枳分别为Vm和Vn，其侧面面积相等，则Vm与Vn的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 2.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、， （1）求这个长方体的对角线长。 （2）求这个长方体的的体积 题型06：求简单组合柱体的体积 【例14】如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（    ） A． B． C． D． 【例15】如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱中有一内接长方体，设矩形的面积为S，长方体的体积为V，， (1)将S表示为x的函数； (2)求V的最大值． 【跟踪训练】 1. 如图，在△ABC中，，DB⊥平面ABC，且，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________． 2.如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是______． 3.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是__． 4.一个圆柱的母线长为3，底面半径为2，则此圆柱的轴截面的面积为___________. 考点三、柱体的表面积 题型07：求柱体的展开图与表面积 【例16】如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了20，则原圆柱的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 2.长方体的所有棱长和为56，表面积为112，求长方体的对角线长． 3.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 4.若正四棱柱的底面的面积为，其对角线和底面成角，则此正四棱柱的全面积是______. 5.如图，斜三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，，则该斜三棱柱的侧面积是_________． 题型08：最短距离与最小值问题 【例17】如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    【例18】如图，在长方体中，，若点P在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为__． 2.如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 3.如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为___________. 4.直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为________ 5.如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 6．如图，正方体的棱长是，是上的动点，、是上、下两底面上的动点，是中点，，则的最小值是 . 题型09：柱体综合 【例19】作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： (1)剩余部分几何体的体积； (2)剩余部分几何体的表面积. 2.如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求圆柱的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与所成的角. 一、填空题 1.平行六面体的每个面都是______． 2.一个正四棱柱底面边长为2，高为1，则它的表面积是_____. 3.若圆柱的底面半径与高均为3，则其侧面积为____________. 4.一个长方体的长、宽、高分别为1、2、4，若一个正方体的体积和该长方体体积相等，则这个正方体的表面积为________． 5．已知长方体的对角线的长是，且直线在长方体上经过点的三个面上的投影长分别为、、，则此长方体的体积是____________. 6.长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为______． 7.已知正六棱柱各棱长均为2，如果一只小蚂蚁从沿表面移动到时，其最短路程为___． 8. 如图，长方体中，，，，点M为线段上的动点，则线段的最小值为________.    二、选择题 9．以下命题中真命题的是（    ） A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．体对角线都相等的平行六面体是长方体 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 10．设，，，，则这些集合的关系是（    ） A． B． C． D． 11.下列命题不正确的是（ ） A．正方体一定是正四棱柱 B．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．平行六面体的六个面均为平行四边形 12.一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 13.设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 14.圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 15．给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 16.已知长方体中，一只小虫从长方体顶点出发沿表面爬行到顶点，则小虫爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17.如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 18.上海市实验学校的小明同学根据他的创新特需课题所需，设计了某零件并委托网络商家3D打印.零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱，如图所示（图中单位：cm）.    (1)已知3D打印材料的密度为1.3，求打印一个这样的零件需要多少克材料？（四舍五入到整数克，不计其他损耗） (2)小明委托打印了5个该型零件，再对零件的表面（包含底面）喷漆油漆，若预计每平方厘米要用漆0.12g（已计入可能的损耗），求小明需要购买每罐300克的喷漆共多少罐？ 19．已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 20．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 21.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $