精品解析：广东省河源市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

河源市2025—2026学年第二学期初中非毕业班期末考试市级供题 八年级数学 本试卷共5页．23小题，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号、将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案． 【详解】解：． 故选：D． 2. 已知，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项，即可找出错误的结论． 【详解】解：A、∵，不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变， ∴，原式正确，不符合题意； B、∵，不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变， ∴，原式正确，不符合题意； C、∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴给不等式两边同时乘负数，得，原式正确，不符合题意； D、∵，不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变， ∴给不等式两边同时乘正数，得，原式错误，符合题意． 3. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取、的中点、，测得、两点间的距离为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵、两点间的距离为， ∴、两点间的距离为． 4. 如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（ ） A. 13米 B. 12米 C. 11米 D. 10米 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，在中，米，米，， ∴（米）， ∴这根钢缆长为13米． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，−y），进而求出即可． 【详解】解：点P（−3，2）关于x轴的对称点的坐标为：（−3，−2）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键． 6. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴的周长． 7. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ①②得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 8. 质检员小李检验如图所示的零件是否为平行四边形，则下列检查方法错误的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该方法可以判定，不符合题意； B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合平行四边形的定义，该方法可以判定，不符合题意； C、一组对边平行、另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，该方法错误，符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该方法可以判定，不符合题意． 9. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 10. 如图，一条河的两岸有，两个村庄，河宽为2千米，，两村庄的直线距离为13千米，，两村庄到河岸的距离分别为1千米、2千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，为靠近村庄的河岸上一点，则的最小值为（ ） A. 12千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题解题关键在于作出正确的示意图，取关于下方河岸的对称点，任意在两边河岸取点满足垂直于两岸，连接，证明出四边形是平行四边形后得到，则的最小值转化为三点共线时线段和最短的问题，再构造直角三角形即可通过勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，取关于下方河岸的对称点，过点作垂直河岸于点，取点使垂直于两岸，连接，过点作的延长线于点 千米，千米，千米，千米 千米， 都垂直于河岸， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 显然当三点共线时，最小且等于， 由勾股定理得千米， 千米， 最小值为千米． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）． 11. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）． 故答案是a（a+2）． 12. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件要求分母不为，据此计算即可． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得． 13. “花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则__________． 【答案】75 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为360度即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 14. 在四边形中，，，点、分别是、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边高相等以及同底等高确定，再减去共同的，得到，同理，利用求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴、之间的高都相等， 设、之间的高为， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴． 【点睛】 15. 在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、说理过程或演算步骤）． 16. 解不等式组和化简求值 （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）先解第一个不等式，再解第二个不等式，合并两个不等式的解集即可． （2）化简，分母相同，分子相减，再运用平方差公式，进行化简即可． 【小问1详解】 解：解不等式 得 得． 解不等式 得 得． 取两个不等式的交集得 ． 【小问2详解】 解： 当时，将代入，可得值为． 17. 如图，在平行四边形中，． （1）用尺规作图法过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）如图所示， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：垂线作法如下： ①以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点， ②分别以为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于点 ③连接，交于点． 【小问2详解】 解：， ， 由角所对直角边是斜边的一半可知． 18. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： （1）因式分解： （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：将“”看成整体，令， 则原式 ， 再将“B”还原，可以得到：原式； 【小问2详解】 解：将“”看成整体，令， 则原式 再将“C”还原，可以得到：原式． 19. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； （3）小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】（1）7.5；8 （2）乙，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可解答； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：乙组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是7、8，则乙组的中位数； 甲组学生成绩8分学生数最多，故甲组的众数； 【小问2详解】 解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生； 【小问3详解】 解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面． 20. 随着“体重管理年”三年行动的实施，河源市市民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低30元，用5000元购买甲型健身器材的数量和用5600元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，求本次购买最少花费多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材的单价为250元，乙型健身器材的单价为280元 （2）本次购买最少花费5150元 【解析】 【分析】（1）设甲型健身器材的单价为x元，则乙型健身器材的单价为元，根据用5000元购买甲型健身器材的数量和用5600元购买乙型健身器材的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买甲型健身器材m台，本次购买花费为y元，列出y关于m的一次函数关系式，再根据甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍列出不等式，求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材的单价为x元，则乙型健身器材的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型健身器材的单价为250元，乙型健身器材的单价为280元； 【小问2详解】 解：设购买甲型健身器材m台，本次购买花费为y元， 由题意得，， ∵甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍， ∴， ∴， ∴，且m为整数， ∵在中，， ∴y随m的增大而减小， ∴当时，y有最小值，最小值为， 答：本次购买最少花费5150元． 21. 如图，在中，为的中点，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，， ， ，， 又为的中点， ， 在和中，， ； ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意易知，再证，得到，再由平行四边形的判定即可证明； （2）先证明是的中点，然后根据等腰三角形三线合一可得，再利用勾股定理计算边长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， 又在中，，， ，即是的中点， ， ， ∵，， ． 22. 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）结合图形，直接写出当时，的取值范围为__________；求出直线的表达式； （2）当，时，求证：； （3）如图2，当时， ①试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论． ②直接写出关于的函数关系式． 【答案】（1）， （2）证明：，， ， 轴，轴， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ； （3）①； 证明：过点作轴，交于点，交直线于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据图象直接得出当时，的取值范围，将点和点坐标代入，解二元一次方程组即可； （2）用勾股定理求出的长，进而得到，用证明三角形全等即可； （3）过点作轴，用等腰三角形结合图象得到，用一线三垂直模型证明全等即可；借助等腰直角三角形，得到和的关系，利用全等性质，结合图象，得出关于的函数关系式． 【小问1详解】 解：直线：与轴交于， 当时，根据图象可得：； 将和代入得， ，解得， 直线的表达式：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略； ②， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】一线三垂直模型证明全等，利用余角的性质寻求两直角三角形中一组角相等，再加上一组对边相等，易证两直角三角形全等． 23. 将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图1，在和中，，，． （1）如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接．求证：是等边三角形． （2）如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点，与相交于点． ①的长度为__________，的度数为__________． ②求证：点为线段的中点． （3）在绕点旋转过程中，试探究、、三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明：在和中，，． ， ，， 为等边三角形． （2）①；； ②证明：延长、相交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段的中点． （3）或或 【解析】 【分析】（1）在中，可求得，结合，可证明为等边三角形，从而求得； （2）①先通过两直线平行内错角相等，得到，接着求得，，可求出的长度；接着利用，那么有，接着利用求得答案； ②延长、相交于点，先利用两直线平行内错角相等，证明，从而推出，又因为，推出，结合，证明，从而得出结论； （3）由（1）图2可知，时，，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，；在绕点逆时针旋转时，落在的边的延长线上时，连接、，先证明为等边三角形，再证明，接着利用勾股定理求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①，， ， ， ， 又， 为含的直角三角形， ， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：由，，， 为含的直角三角形， ， 由勾股定理得，， 能构成以为直角边的直角三角形，理由如下， 由（1）图2可知，时，， 在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示： 由题意可知，， ，， 此时； 在绕点逆时针旋转时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示： ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河源市2025—2026学年第二学期初中非毕业班期末考试市级供题 八年级数学 本试卷共5页．23小题，满分为120分，考试用时为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号、将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果为( ) A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取、的中点、，测得、两点间的距离为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（ ） A. 13米 B. 12米 C. 11米 D. 10米 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 7. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 质检员小李检验如图所示的零件是否为平行四边形，则下列检查方法错误的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一条河的两岸有，两个村庄，河宽为2千米，，两村庄的直线距离为13千米，，两村庄到河岸的距离分别为1千米、2千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，为靠近村庄的河岸上一点，则的最小值为（ ） A. 12千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）． 11. 因式分解：_________． 12. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 13. “花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则__________． 14. 在四边形中，，，点、分别是、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为__________． 15. 在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、说理过程或演算步骤）． 16. 解不等式组和化简求值 （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平行四边形中，． （1）用尺规作图法过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 18. 阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： （1）因式分解： （2）因式分解：． 19. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； （3）小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 20. 随着“体重管理年”三年行动的实施，河源市市民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低30元，用5000元购买甲型健身器材的数量和用5600元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，求本次购买最少花费多少元？ 21. 如图，在中，为的中点，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 22. 如图1，直线：与轴交于点，与轴交于，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）结合图形，直接写出当时，的取值范围为__________；求出直线的表达式； （2）当，时，求证：； （3）如图2，当时， ①试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论． ②直接写出关于的函数关系式． 23. 将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙． 已知：如图1，在和中，，，． （1）如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接．求证：是等边三角形． （2）如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点，与相交于点． ①的长度为__________，的度数为__________． ②求证：点为线段的中点． （3）在绕点旋转过程中，试探究、、三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $