精品解析：广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年下学期 八年级期末数学试卷 一．选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为美化环境，兰州市政府计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A、B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得，则A、B两处的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ） A. 4 B. C. D. 4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边互相平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 5. 一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 正八边形每一个外角的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 9. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 分解因式：x2﹣64=_____． 12. 在中，，则的度数为_________． 13. 如图，在中，，平分，交于点D，，，，则_________． 14. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_______． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：． 17. 如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 18. 先化简，再求值：，其中． 四．解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，在中，点分别在上，． （1）请判断的位置关系，并说明理由； （2）求证：． 20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． （1）判断的形状； （2）求证：平分． 21. 苹果寓意“平平安安”．春节里，“开心水果店”第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完．该店立即又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，已知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的进货价比第一次的进货价每千克少了1元． （1）求第一次所购进的苹果每千克多少元？ （2）店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有的损耗，但其他全部售完，售完之后购进第二批苹果．第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有的损耗，每千克售价比第一批的售价贵1元．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值． 五．解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： （1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； （2）请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； （3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 23. 综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． （1）【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； （3）【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年下学期 八年级期末数学试卷 一．选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 【详解】解：A.是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.不是中心对称图形； D.不是中心对称图形； 故选A． 2. 为美化环境，兰州市政府计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A、B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得，则A、B两处的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理．由三角形中位线定理得到，据此求解即可． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴A、B两点间的距离为． 故选：B． 3. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为4时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键． 4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边互相平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，熟知矩形和平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、矩形和平行四边形的对边都互相平行，故此选项不符合题意； B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； C、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； D、矩形和平行四边形的对角都相等，故此选项不符合题意； 故选；B． 5. 一次函数（k，b是常数，）的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值y随x的增大而增大， 所以当时，函数值大于0， 即关于x的不等式的解集是． 故选：A． 6. 正八边形每一个外角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，根据正多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，正八边形的每一个外角都相等， ∴正八边形的每一个外角的度数为：． 故选：B． 7. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质．根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 8. 若的三边长分别是a、b、c，且满足，则的形状是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【详解】题目主要考查因式分解的应用，三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解题关键 根据平方差公式和提取公因式即可得，再由三角形三边关系得出，得，即可得出结果． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 故选：B． 9. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握相关量之间的数量关系是解题的关键． 先将物体B的体积表示出来，再根据物体A的密度是物体B密度的2倍，利用质量与体积关系列方程，即可． 【详解】解：物体A的体积是，物体B的体积比物体A的体积大， 物体B的体积为， 根据物体A的密度是物体B密度的2倍，得． 故选：A． 10. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 分解因式：x2﹣64=_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为： 12. 在中，，则的度数为_________． 【答案】##32度 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分，交于点D，，，，则_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先求出，再由角平分线的性质得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：6． 14. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【详解】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解不等式及分式方程的方法是解题的关键． 将分式方程后根据其解是非负数得到关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：原方程去分母得， 整理得：， ∵它的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当____________________时，以点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=QA时，以点A，Q， C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若时，3-2t= t；若 ，2t-3=t；若 时，2t-3=4-3(t-4)；若，然后分别解方程即可确定满足条件的t的值． 【详解】∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2）， ∴OA=4，BC=3，BC//x轴， ∵PC//AQ ∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形， 若时，BP=2t， PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1; 若时，BP=2t, PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3； 若时，BP=2t, PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)； 若t，BP＝2t，PC=2t-3， OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13; 综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为1或3或13 【点睛】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分解答即可． 【详解】解：由，得； 由，得． ∴不等式的解集：． 17. 如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 四．解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：如图，在中，点分别在上，． （1）请判断的位置关系，并说明理由； （2）求证：． 【答案】（1） ， 理由如下： 在中，， ， ， ． ； （2） 证明：在中，， 在和中， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质，结合平行线的判定与性质即可得到的位置关系； （2）由平行四边形性质得到，再由两个三角形全等的判定定理求证即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的判定与性质、两个三角形全等的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质、两个三角形全等的判定是解决问题的关键． 20. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，． （1）判断的形状； （2）求证：平分． 【答案】（1）等边三角形； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． （1）根据旋转的性质得到，，则根据等边三角形的判定方法可得到为等边三角形； （2）根据旋转的性质得到，，则可证明，加上，于是可判断垂直平分，然后根据等边三角形的性质得到平分． 【小问1详解】 解：∵绕点A逆时针旋转， ∴，， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 证明：∵绕点A逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴平分． 21. 苹果寓意“平平安安”．春节里，“开心水果店”第一次用800元购进一批糖心苹果，很快售完．该店立即又用1920元第二次购进同样品种的糖心苹果，已知第二次购进数量是第一次购进数量的3倍，且第二次的进货价比第一次的进货价每千克少了1元． （1）求第一次所购进的苹果每千克多少元？ （2）店主在销售第一批苹果时，每千克的售价为8元，发现第一次购进的苹果有的损耗，但其他全部售完，售完之后购进第二批苹果．第二批苹果在购进后到售完的过程中，发现有的损耗，每千克售价比第一批的售价贵1元．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元，求y的最大值． 【答案】（1）第一次所购进的苹果每千克5元 （2）y的最大值为15 【解析】 【分析】（1）设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克元，根据“第二次购进数量是第一次购进数量的3倍”列方程求解即可； （2）由题意得第一批苹果每千克进价5元，购进数量为千克，售价为每千克8元．第二批苹果每千克进价元，购进数量为千克，售价为每千克元．根据“该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2168元”列不等式求解即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出关于y的一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设第一次所购进的苹果每千克x元，则第二次所购进的苹果每千克元，根据题意，得 ， 解得， 经检验：是所列方程的解． 答：第一次所购进的苹果每千克5元． 【小问2详解】 解：知第一批苹果每千克进价5元，购进数量为千克，售价为每千克8元．第二批苹果每千克进价元，购进数量为千克，售价为每千克元．根据题意，得 ， 解得， ∴y的最大值为15． 五．解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： （1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； （2）请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； （3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查公式法分解因式； （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式； （3）设，再将y代入即可求解． 【小问1详解】 设 则：原式 ， 故答案为：； 【小问2详解】 设 原式= ； 【小问3详解】 设 ∴原式 ． 23. 综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． （1）【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； （2）【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； （3）【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $