2027届高考数学一轮复习讲义----第8讲 函数的图象

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖描点法与变换法作图、对称翻折规律及图象应用，按知识点梳理、题型探究、跟踪训练递进架构，通过考点解析、方法提炼、真题演练帮助学生构建知识网络，突破作图与应用难点。 资料以数学眼光观察图象变换规律，数学思维分析对称关系，设计分层训练与真题融合教学，如通过多选例3-1培养性质推理能力，课时精练分层次巩固，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供系统支持。

2027年高考一轮复习讲义 第8讲 函数的图象 知识点预览 1．利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 常用结论 1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 探究核心题型 考点一 作函数的图象 例1-1 作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝|x－1|－1. 跟踪训练 1 作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. 2. 作出下函数y=|x2-4x-5|的图象. 考点二 对数函数的图象及应用 例2-1. (2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 例2-2. (2025·深圳模拟) 函数f(x)=的大致图象为(　　) 跟踪训练 1. 函数y=-的图象是(　　) 2. (2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　) 3. (2024·濮阳模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 4. (2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 考点3 函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 例3-1. (多选)(2023·聊城模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　) A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2 D．函数f(x)有且仅有两个零点 命题点2　利用图象解不等式 例3-2. (2023·商丘联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例3-3. (2026·咸阳模拟)已知函数f(x)=若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是(　　) A.(1，10) B.(5，6) C.(8，10) D.(10，12) 跟踪训练 1. (2026·北京东城区模拟)函数y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图所示)，则不等式f(x)<f(-x)+2x的解集为(　　) A. B. C. D. 2. (多选)(2025·桂林模拟)已知函数f(x)=x2-4|x|，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在[2，+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为-4 C.方程f(x)=-1有2个解 D.若t∈(4，6)，则f(t-4)<f(t) 3. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有三个零点，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 课时对点精练 一、单项选择题 1．把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2023·万州模拟)将函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为(　　) A．y＝2(x－2)2＋6 B．y＝2x2＋6 C．y＝2x2 D．y＝2(x－2)2 3．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间上的图象大致为(　　) 4．(2026·北京朝阳区检测)为了得到函数y=ln(ex)的图象，只需把函数y=ln x图象上所有的点(　　) A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度 C.向左平移e个单位长度 D.向右平移e个单位长度 5．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是(　　) A．1－f(x) B．－f(2－x) C．f(－x)－1 D．1－f(－x) 6．(2026·铜仁模拟)某条公共汽车的路线收支差额(收支差额=车票收入-支出费用)y与乘客人数x的图象如图所示.由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：(1)不改变车票价格，减少支出费用；(2)不改变支出费用，提高车票价格.图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态.则下列说法正确的是(　　) A.①反映了建议(2)，③反映了建议(1) B.①反映了建议(1)，③反映了建议(2) C.②反映了建议(1)，④反映了建议(2) D.④反映了建议(1)，②反映了建议(2) 7. (2025·扬州模拟)已知图①对应的函数为y=f(x)，则图②对应的函数是(　　) A.y=f(-|x|) B.y=-f(-|x|) C.y=f(-x) D.y=-f(-x) 8．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0) D．∅ 二、多项选择题 9．(2025·邵阳模拟)下列函数对于任意x1，x2∈(0，+∞)，都有f≥成立的是(　　) A.f(x)=ln x B.f(x)=x2+1 C.f(x)= D.f(x)=2x 10．(2023·宜春模拟)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　) A．a<0 B．b<0 C．c>0 D．abc<0 11. 已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 三、填空题 12．已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)，则实数t的值为　　　　.  13．(2025·日照模拟)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1，1)，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是　　　　　.  14．把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为____________． 四、解答题 15．设f(x)为定义在R上的偶函数，如图是其函数图象的一部分，当0≤x<2时，图象是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的二次函数图象的一部分. (1)在图中的直角坐标系中将函数f(x)的图象补充完整；(3分) (2)求函数f(x)在[0，+∞)上的解析式；(5分) (3)求函数f(x)的单调区间和最大值.(5分) 16. 已知函数f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象； (2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况． 17. . (2024·北京模拟)已知函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)． (1)若a∈Z，且f(4)>0，求a的最大值； (2)当a＝3时，求函数f(x)的零点； (3)若对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，求a的取值范围． 18. (2026·佛山模拟)若图中所示为在同一平面直角坐标系中y=f(x)的图象及y=g(x)的图象，则(　　) A.g(x)=2f(2x) B.g(x)=2f C.g(x)=f(2x)+4 D.g(x)=f+4 19. (多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是奇函数 B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4) C．函数y＝f(x)的值域为[0,2] D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增 20. (2026·南昌模拟)在平面直角坐标系中，动点P到x轴、y轴、坐标原点O的距离分别为d1，d2，d3，这3个距离均大于0，且2d1d2=，则动点P的轨迹大致为(　　) 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第8讲 函数的图象 知识点预览 1．利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)． (3)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 常用结论 1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2. 函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 3．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 探究核心题型 考点一 作函数的图象 例1-1 作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝|x－1|－1. 解　(1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝|x|的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝|x|＝其图象可由y＝x的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到， 则y＝|x－1|－1的图象如图所示． 跟踪训练 1 作出下列各函数的图象： (1)y＝x2－2|x|－3； (2)y＝|log2(x＋1)|. 解　(1)y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示． (2)y＝|log2(x＋1)|，其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度， 再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图所示． 2. 作出下函数y=|x2-4x-5|的图象. 解　y=|x2-4x-5|的图象可由函数y=x2-4x-5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示. 考点二 对数函数的图象及应用 例2-1. (2025·天津)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 答案　D 解析　由题图可知，该函数为偶函数，而函数f(x)=和函数f(x)=为奇函数，故A，B错误； 又当x∈(0，1)时，1-x2>0，x2-1<0，此时f(x)=>0，f(x)=<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C错误，D正确. 例2-2. (2025·深圳模拟) 函数f(x)=的大致图象为(　　) 答案　B 解析　函数f(x)=的定义域为(-∞，-3)∪(-3，3)∪(3，+∞)， 而f(-x)==-=-f(x)， 所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D； 当x>3时，f(x)>0，排除C； 当0<x<3时，f(x)<0，排除A，故B正确. 跟踪训练 1. 函数y=-的图象是(　　) 答案　C 解析　函数y=-的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，B，D选项排除； 当x=2时，y=-1，A选项排除，故C正确. 2. (2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为(　　) 答案　B 解析　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x) =-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[-2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0，故可排除D. 3. (2024·濮阳模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 答案　C 解析　由题意知函数f(x)的定义域为， 因为f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A； 因为f(1)＝>0，故排除B； 因为f(2)＝>＝f(1)，故排除D. 4. (2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　A 解析　对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝sin 3>0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0<x<时，0<cos x<1，故y＝<≤1，与图象不符，故排除C. 考点3 函数图象的应用 命题点1　利用图象研究函数的性质 例3-1. (多选)(2023·聊城模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　) A．函数f(x)在区间(1,2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2 D．函数f(x)有且仅有两个零点 答案　ABD 解析　由函数y＝ln x，x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝|ln x|的图象， 将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝|ln|x||＝|ln|－x||的图象， 将函数图象向右平移2个单位长度，可得函数y＝|ln|－(x－2)||＝|ln|2－x||的图象， 则函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示． 由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，故A正确； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确； 若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1，x2关于直线x＝2对称，则x1＋x2＝4，故C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，故D正确． 命题点2　利用图象解不等式 例3-2. (2023·商丘联考)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A．(－，0)∪(，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2) D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞) 答案　C 解析　根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示， 由x2f(x)>2f(x)，得(x2－2)f(x)>0， 则或 解得x<－2或<x<2或－<x<0， 故不等式的解集为(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)． 命题点3　利用图象求参数的取值范围 例3-3. (2026·咸阳模拟)已知函数f(x)=若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是(　　) A.(1，10) B.(5，6) C.(8，10) D.(10，12) 答案　D 解析　画出函数f(x)的大致图象如图所示，不妨设a<b<c，令t=f(a)=f(b)=f(c)， 结合f(10)=1和图象可知t∈(0，1)，ab=1，c∈(10，12)，则abc=c，故abc的取值范围为(10，12). 跟踪训练 1. (2026·北京东城区模拟)函数y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图所示)，则不等式f(x)<f(-x)+2x的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据图象可知函数f(x)是定义在[-1，0)∪(0，1]上的奇函数， 故f(-x)=-f(x). 所以原不等式可化为f(x)<-f(x)+2x，即f(x)<x.如图所示， 易得A，B. 要使不等式成立，根据图象可知原不等式的解集为. 2. (多选)(2025·桂林模拟)已知函数f(x)=x2-4|x|，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)在[2，+∞)上单调递增 B.f(x)的最小值为-4 C.方程f(x)=-1有2个解 D.若t∈(4，6)，则f(t-4)<f(t) 答案　ABD 解析　f(x)=x2-4|x|=画出f(x)的图象如图所示， 由图可知，f(x)在[2，+∞)上单调递增，故A正确； f(2)=f(-2)=-4，则f(x)分别在x=-2，x=2处取得最小值-4，故B正确； 由图象知，直线y=-1与f(x)的图象有4个交点，所以方程f(x)=-1有4个解，故C错误； 因为t∈(4，6)，所以t-4∈(0，2)，由图可知， f(t-4)<0<f(t)，故D正确. 3. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有三个零点，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　要使函数g(x)＝f(x)－a有三个零点， 则f(x)＝a有三个不相等的实根， 即y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点， 当x≤－1时，f(x)＝1－3x＋1在(－∞，－1]上单调递减，f(x)∈[0,1)； 当－1<x≤0时，f(x)＝3x＋1－1在(－1,0]上单调递增，f(x)∈(0,2]； 当x>0时，f(x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如图所示． 由y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0,1)． 课时对点精练 一、单项选择题 1．把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象， 则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增， 又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增， 所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2. 2．(2023·万州模拟)将函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解析式为(　　) A．y＝2(x－2)2＋6 B．y＝2x2＋6 C．y＝2x2 D．y＝2(x－2)2 答案　C 解析　函数y＝2(x－1)2＋3的图象向左平移1个单位长度得到y＝2x2＋3的图象， 再向下平移3个单位长度得到y＝2x2的图象． 3．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间上的图象大致为(　　) 答案　A 解析　方法一　(特值法) 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0； 取x＝－1，则y＝cos(－1) ＝－cos 1<0.结合选项知A正确． 方法二　令y＝f(x)， 则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x) ＝－(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以函数y＝(3x－3－x)cos x是奇函数， 排除B，D； 取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1>0，排除C，故A正确． 4．(2026·北京朝阳区检测)为了得到函数y=ln(ex)的图象，只需把函数y=ln x图象上所有的点(　　) A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度 C.向左平移e个单位长度 D.向右平移e个单位长度 答案　A 解析　因为y=ln(ex)即为y=1+ln x， 故只需把函数y=ln x图象上所有的点向上平移1个单位长度即可，故A正确，B错误； 对于C，把函数y=ln x图象上所有的点向左平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y=ln(x+e)，故C错误； 对于D，把函数y=ln x图象上所有的点向右平移e个单位长度后所得图象对应的解析式为y=ln(x-e)，故D错误. 5．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是(　　) A．1－f(x) B．－f(2－x) C．f(－x)－1 D．1－f(－x) 答案　C 解析　由题图知，将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2， 将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数y＝f(－x)的图象， 再向下平移1个单位长度，可得y＝f(－x)－1的图象， 所以题图2所表示的函数是y＝f(－x)－1. 6．(2026·铜仁模拟)某条公共汽车的路线收支差额(收支差额=车票收入-支出费用)y与乘客人数x的图象如图所示.由于目前本条路线存在亏损情况，公司有关人员提出了两条建议：(1)不改变车票价格，减少支出费用；(2)不改变支出费用，提高车票价格.图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态.则下列说法正确的是(　　) A.①反映了建议(2)，③反映了建议(1) B.①反映了建议(1)，③反映了建议(2) C.②反映了建议(1)，④反映了建议(2) D.④反映了建议(1)，②反映了建议(2) 答案　B 解析　建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象且在原图象上方，故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图象倾斜度增大，故③反映了建议(2). 7. (2025·扬州模拟)已知图①对应的函数为y=f(x)，则图②对应的函数是(　　) A.y=f(-|x|) B.y=-f(-|x|) C.y=f(-x) D.y=-f(-x) 答案　B 解析　由图①②可知，将y=f(x)在(-∞，0]上的的图象沿着y轴对称得到y=f(-|x|)的图象， 然后再沿着x轴翻折， 即可得到y=-f(-|x|)的图象. 8．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0) D．∅ 答案　B 解析　不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|， 分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，如图所示，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)， 由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)， 即不等式f(x)>0的解集是(0,1)． 二、多项选择题 9．(2025·邵阳模拟)下列函数对于任意x1，x2∈(0，+∞)，都有f≥成立的是(　　) A.f(x)=ln x B.f(x)=x2+1 C.f(x)= D.f(x)=2x 答案　AC 解析　因为对任意x1，x2∈(0，+∞)，都有f≥，则函数在(0，+∞)上为上凸函数， 对于A，f(x)=ln x在(0，+∞)上的图象是上凸的，符合题意； 对于B，f(x)=x2+1在(0，+∞)上的图象是下凸的，不符合题意； 对于C，f(x)=在(0，+∞)上的图象是上凸的，符合题意； 对于D，f(x)=2x在(0，+∞)上的图象是下凸的，不符合题意. 10．(2023·宜春模拟)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　) A．a<0 B．b<0 C．c>0 D．abc<0 答案　BCD 解析　由图知f(0)＝>0，所以b<0，B正确； 当x＝－c时，函数f(x)无意义， 由图知－c<0，所以c>0，C正确； 令f(x)＝0，解得x＝， 由图知<0， 又因为b<0，所以a>0，A错误； 综上，a>0，b<0，c>0，所以abc<0，D正确． 11. 已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=2 B.x3x4=1 C.0<x1+x2+x3+x4< D.0<x1x2x3x4<1 答案　BCD 解析　作出f(x)的图象如图. 由图知，x1+x2=-2，A选项错误； 由图象知|log2x3|=|log2x4|且0<x3<1<x4， 则-log2x3=log2x4， 即log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0， ∴x3x4=1，B选项正确； ∴x4=，而当f(x)=1，x>0时， 有|log2x|=1，得x=或x=2， ∴<x3<1<x4<2， ∵函数y=x+在上单调递减， ∴2<x3+x4=x3+<， 即得0<x1+x2+x3+x4=-2+x3+x4<，C选项正确； ∵x1∈(-2，-1)，∴x1x2x3x4=x1x2=x1(-2-x1)=-(x1+1)2+1∈(0，1)，D选项正确. 三、填空题 12．已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)，则实数t的值为　　　　.  答案　1 解析　由题图可知不等式-2<f(x+t)<4，即f(3)<f(x+t)<f(0)， 由图知函数f(x)单调递减，所以x+t∈(0，3)， 即不等式的解集为(-t，3-t)， 又因为不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1，2)， 所以-t=-1且3-t=2，可得t=1. 13．(2025·日照模拟)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，且线段BC的中点坐标为(1，1)，则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是　　　　　.  答案　(-1，1] 解析　由题图得f(x)= 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与y=log2(x+1)，x>-1的图象，如图所示， 当x=1时，y=log2(1+1)=log22=1，所以f(x)与y=log2(x+1)的交点坐标为(1，1)，由图象可得不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为(-1，1]. 14．把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为____________． 答案　y＝2(x＋1)2＋3 解析　把抛物线y＝2(x－1)2＋1向左平移2个单位长度，得到y＝2(x－1＋2)2＋1＝2(x＋1)2＋1的图象，再向上平移2个单位长度得到y＝2(x＋1)2＋1＋2＝2(x＋1)2＋3的图象． 四、解答题 15．设f(x)为定义在R上的偶函数，如图是其函数图象的一部分，当0≤x<2时，图象是线段OA；当x≥2时，图象是顶点为P(3，4)，且过点(2，2)的二次函数图象的一部分. (1)在图中的直角坐标系中将函数f(x)的图象补充完整；(3分) (2)求函数f(x)在[0，+∞)上的解析式；(5分) (3)求函数f(x)的单调区间和最大值.(5分) 解　(1)如图，根据函数f(x)为偶函数，函数的图象关于y轴对称，其完整图象如图. (2)当0≤x<2时，f(x)=x； 当x≥2时，设f(x)=a(x-3)2+4， 将点(2，2)代入，得a+4=2，解得a=-2， 故f(x)=-2(x-3)2+4=-2x2+12x-14. 即函数f(x)在[0，+∞)上的解析式为f(x)= (3)由图知，函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-3]和[0，3]，单调递减区间为[-3，0]和[3，+∞)， 函数f(x)在x=-3和x=3处取得最大值，且f(3)=f(-3)=4， 所以函数f(x)的最大值为4. 16. 已知函数f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象； (2)讨论方程f(x)－m＝0根的情况． 解　(1)当x≤0时，0<2x≤1，则f(x)＝|2x－2|＝2－2x∈[1,2)， 作出函数f(x)的图象，如图所示． (2)由f(x)－m＝0可得m＝f(x)， 则方程f(x)－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f(x)图象的交点个数， 如图所示． 当m≤0时，方程f(x)－m＝0无实根； 当0<m<1或m≥2时，方程f(x)－m＝0只有一个实根； 当1≤m<2时，方程f(x)－m＝0有两个不相等的实根． 17. . (2024·北京模拟)已知函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)． (1)若a∈Z，且f(4)>0，求a的最大值； (2)当a＝3时，求函数f(x)的零点； (3)若对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0，求a的取值范围． 解　(1)因为函数f(x)＝2x－ax＋1(a∈R)， 所以f(4)＝24－4a＋1>0，即a<， 又a∈Z，所以a的最大值为4. (2)当a＝3时，f(x)＝2x－3x＋1， 由f(x)＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1， 作出函数y＝2x与y＝3x－1的图象，如图所示． 由图可知y＝2x与y＝3x－1的图象有两个交点， 即函数f(x)有两个零点， 又因为f(1)＝2－3＋1＝0，f(3)＝23－3×3＋1＝0， 故函数f(x)的零点为1,3. (3)因为对任意x∈(－∞，1)都有f(x)>0， 所以2x>ax－1在(－∞，1)上恒成立， 即当x∈(－∞，1)时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝ax－1的上方， 作出函数y＝2x，x∈(－∞，1)与y＝ax－1的大致图象，如图所示． 则a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3， 即a的取值范围为[0,3]． 18. (2026·佛山模拟)若图中所示为在同一平面直角坐标系中y=f(x)的图象及y=g(x)的图象，则(　　) A.g(x)=2f(2x) B.g(x)=2f C.g(x)=f(2x)+4 D.g(x)=f+4 答案　A 解析　由题图可知y=f(x)的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数y=g(x)的图象，所以g(x)=2f(2x). 19. (多选)(2023·滨州模拟)在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是奇函数 B．对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4) C．函数y＝f(x)的值域为[0,2] D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增 答案　BCD 解析　由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆； 当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆； 当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示． 此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误； 因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确； 由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确； 由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在[－2,0]上的图象相同，即f(x)在[6,8]上单调递增，故D正确． 20. (2026·南昌模拟)在平面直角坐标系中，动点P到x轴、y轴、坐标原点O的距离分别为d1，d2，d3，这3个距离均大于0，且2d1d2=，则动点P的轨迹大致为(　　) 答案　A 解析　设P(x，y)，则d1=|y|>0，d2=|x|>0，d3=>0. 因为2d1d2=，所以2|xy|=x2+y2(x≠0，y≠0)， 则(|x|-|y|)2=0(x≠0，y≠0)，则y=±x(x≠0，y≠0)， 所以动点P的轨迹为两条直线y=-x与y=x(除去坐标原点)，其轨迹大致为选项A中的图象. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $