精品解析：江西景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年下学期期末考试 高一数学试卷 时长：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的加减法和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得， 则在复平面内对应的点的坐标为，则其位于第四象限. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为平面向量，，且， 所以 . 3. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，同理， 所以. 4. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A. B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】由题可作出如图所示： 由题意，，，， 则， 故的周长为. 5. 如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以是异面直线和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和所成角的大小是. 6. 函数是（ ） A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数 【答案】D 【解析】 【详解】∵，定义域为，又， ∴是偶函数，且不是奇函数， 又，又因为， 所以当时，取得最大值2；当时，取得最小值. 7. 已知，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，利用同角关系式和两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，，所以， 已知 ，所以， 因此， 已知，，所以， 则 . 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对的得部分分） 9. 已知向量 则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 可以构成一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量平行坐标运算求解判断A，D，应用数量积运算判断B，根据坐标表示及数乘运算判断C. 【详解】因为向量  因为，所以，A选项正确； 因为，所以不成立，B选项错误； ，与方向相反，C选项正确； 因为，所以不可以构成一组基底，D选项错误； 10. 设是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 若，则 C. D. 是实数 【答案】ABD 【解析】 【详解】设，则， 对于A，，故A正确； 对于B，即为，由A可得，故，故B正确； 对于C，取，则，，故C错误； 对于D，，故D正确. 11. 已知函数．则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 在区间上单调递减 C. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D. 若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用两角和正弦公式结合二倍角公式和辅助角公式化简得出解析式判断A，应用正弦函数单调性判断B，应用平移变换判断C，由对称性得出即可判断D. 【详解】因为 所以的最大值为，故A错误； 若，则， 所以得在区间上单调递减，故B正确； 将的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误； 若的图象关于轴对称， 则， 所以，所以的最小正值为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，，则__________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】因，， 则 .  13. 已知函数，则的最小正周期为_________________. 【答案】 【解析】 【详解】， 则的最小正周期为. 14. 如图所示，直角梯形ABCD中，，，，，点E是线段BC上的动点，，则满足条件的点E的个数是______． 【答案】1 【解析】 【详解】设，以为轴，为轴，建立直角坐标系，，所以；，所以；，且，所以；在的右侧，且，所以，如下图所示： 点在线段上，是从到的竖直线段，所以，其中. ，，因为，由题意已知，所以，化简得，则，满足，所以唯一一个点为中点，故满足条件的点的个数是1. 四、解答题（本题共5小题，共77分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）若复数（其中）为纯虚数，求a的值： （2）已知，求； 【答案】（1） （2）  【解析】 【分析】（1）根据纯虚数实部为且虚部不为来确定的值. （2）先将复数化简，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】（1）根据纯虚数的定义可得： ，化简可得：， 求解可得：，所以. （2）， ， 根据共轭复数的定义，实数不变，虚部取相反数， 可得：. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理角化边，再利用已知求出三角形面积. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，得，而，且， 则，解得， 所以的面积. 17. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）设，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得，从而求得. （2）先根据向量的运算及三角函数恒等变换求出，再利用三角函数值的取值范围求出的取值范围． 【小问1详解】 因为，则，即，得. 【小问2详解】 所以 . 因为，所以， 则，， 因此，即的取值范围为. 18. 已知函数图象的一个对称中心到与它相邻对称轴的距离为，且该图象上的一个最低点的坐标为． （1）求的最小正周期以及的解析式； （2）求在上的单调递减区间． 【答案】（1） 最小正周期为，解析式为； （2） 单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）根据几何特征求周期、振幅、相位得到解析式； （2）利用正弦函数的单调性求解给定区间内的单调递减区间. 【小问1详解】  正弦函数对称中心到相邻对称轴的水平距离为， 由题意得，解得最小正周期. 由周期公式得，又函数最低点纵坐标为，且，故. 将最低点代入，得， 即，解得， 结合得，因此. 【小问2详解】 正弦函数的单调递减区间满足， 由（1）此. 令，则， 解得. 结合，取得， 即在上的单调递减区间为. 19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造花园，该花园的平面示意图为如图的四边形，已知，花园的两个顶点，分别在两条公路上（沿着公路且异于点)，为了便于游客赏玩，花园中修建服务通道， （1）若，求通道的长； （2）若，求折线段通道最长（即最大）； （3）若且的面积为6，求服务通道的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，在中利用余弦定理建立关于的方程，然后求解方程并根据实际情况舍去不合理的根. （2）利用正弦定理得的确切长度，再令，，利用余弦定理得，配方并利用基本不等式求出的最大值即可. （3）令，，，利用三角形面积公式可将与联系起来，再用“余弦定理”得到关于的三角函数表达式，利用三角函数的性质求得. 【小问1详解】 在中，设，已知， ，​，由余弦定理可得： ， 即，整理可得： 解得正根（负根舍去）， 所以. 【小问2详解】 在中，，由三角形内角和得： ，已知，， ，由正弦定理可得：，​  即，整理得：， 设，，在中，， 由余弦定理可得：，即， 令，则，代入得：  ，由基本不等式得：   当且仅当​​时取等号， 所以最长为. 【小问3详解】 设，则，设， 由面积为：  由余弦定理可得： ， 化简为：，令， 整理得， 由辅助角公式，得 （）， 当时，​，取最小值，因此， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末考试 高一数学试卷 时长：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数，，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 3. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. 0 D. 4. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A. B. C. D. 12 5. 如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 函数是（ ） A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数 C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数 7. 已知，，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对的得部分分） 9. 已知向量 则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 与方向相反 D. 可以构成一组基底 10. 设是的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 若，则 C. D. 是实数 11. 已知函数．则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值为 B. 在区间上单调递减 C. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象． D. 若函数的图象关于轴对称，则正数的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，，则__________． 13. 已知函数，则的最小正周期为_________________. 14. 如图所示，直角梯形ABCD中，，，，，点E是线段BC上的动点，，则满足条件的点E的个数是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）若复数（其中）为纯虚数，求a的值： （2）已知，求； 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）设，，求的取值范围． 18. 已知函数图象的一个对称中心到与它相邻对称轴的距离为，且该图象上的一个最低点的坐标为． （1）求的最小正周期以及的解析式； （2）求在上的单调递减区间． 19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造花园，该花园的平面示意图为如图的四边形，已知，花园的两个顶点，分别在两条公路上（沿着公路且异于点)，为了便于游客赏玩，花园中修建服务通道， （1）若，求通道的长； （2）若，求折线段通道最长（即最大）； （3）若且的面积为6，求服务通道的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $