江西省临川第一中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

**基本信息** 以书香校园统计分析、圆锥几何证明、向量旋转综合题为载体，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）与语言（数据意识），体现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、统计、立体几何|基础概念辨析，如纯虚数定义、中位数计算| |多选|3/18|概率、统计|选项分层，如概率事件的多种表述| |填空|3/15|立体几何表面积体积、向量坐标|空间几何与向量结合，如正四棱台体积计算| |解答题|5/77|统计图表分析、立体几何证明、向量旋转创新题|情境真实（阅读调查）与思维综合，如16题用频率分布直方图考查数据处理，19题结合旋转与等边三角形考查创新意识|

2024—2025学年（下）高一年级数学期末试题 (试卷满分：150分 考试用时：120分钟) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．若复数是纯虚数，则实数的值为（     ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 2．样本数据，，，，，，的中位数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．从三个白球和一个黑球中分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的方式抽取两个球，抽到的两球都是白球的概率分别是，，则有（    ） A． B． C． D． 7．一列高铁列车在平直铁轨上沿水平向右的方向做匀速直线运动，速度大小为米/秒，列车车轮半径为米，当秒时，车轮上的点恰好与铁轨表面接触（即位于最低点）．设经过时间秒，点到铁轨表面的高度为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（    ） A．20000名学生的数学成绩是总体 B．200名学生是样本 C．每名学生是个体 D．样本容量是200 10．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从袋内各摸出1个球，则（    ） A．2个球不都是红球的概率是 B．2个球都是红球的概率是 C．至少有1个红球的概率是 D．2个球中恰有1个红球的概率是 11．已知在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________． 13．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标是____________． 14．在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数（）． (1)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围； (2)若为正实数，是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值． 16．读书启智，书香润心．坚持课外阅读不仅能积累知识、开阔眼界，更能涵养品格、丰盈内心，青少年应当主动培养每日阅读的良好习惯．为营造书香校园氛围，了解学生日常阅读情况，某校随机抽取100名高一学生，调查他们一周课外阅读时长（单位：小时），根据统计结果作得下面频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校高一学生平均每周课外阅读时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)用分层抽样的方法，样本按比例分配，从课外阅读时长在的学生中抽取5人，请问课外阅读时长在有多少人； (3)定义“阅读爱好者”为一周课外阅读时长不低于第80百分位数的学生，请估计该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值． 17．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且， (1)求证: 平面 (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 18．在中，内角，，的对边分别是，，，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值； (3)若，，求． 19．已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． (1)若，求向量的坐标； (2)求面积的最大值； (3)若，求角θ． 数学试卷第1页，共2页 数学试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2024一2025学年（下)高一年级数学期末试题 配套参考答案 1.A 【分析】由纯虚数的概念列式可得结果， m-2=0 【详解】由二=(-2)+(-1)i是纯虚数，可得 -1≠0’解得m=2. 2.B 【详解】将数据从小到大排序为：10,12,14,14,16,20,24，样本容量=7， 故该样本数据的中位数为14. 3.D 【详解】对于选项A:若/n,ml/a,则nl/a或nca,故A错误： 对于选项B:若B,lCa&,ncB,则ln或m,n异面，故B错误； 对于选项C:若&⊥B,B⊥y,则u∥y或，Y相交，故C错误： 对于选项D:若/n,⊥a,则n⊥， 又因为lB,则n⊥B,故D正确. 4.A 【详解】由正弦定理，simA:sinB:sinC=a:b:c=2:5:(8+1）, 不妨设a=2,b=√6，c=√3+1， 则由余弦定理，0s4-+c-d_6+(5+-4255+1-互 2bc 2x6x(N5+12x6×(N3+12 因为0°<A<180°，所以A=45°. 5.D 【详解】由na=2a,得-治，即有aco=2ss. 1 sin(a+B)=sinacosB+cosasinB= 3 则2 c+=号得3= 3 1 2 解得：=ncosp= 9 故sin(a-P）=sino0-=?_】_月 999 6.A 【详解】若采用有放回简单随机抽样，则R=4×年16： 339 若采用不放回简单随机抽样，则乃=三×2=}： Γ432 答案第1页，共9页 可知>月，月+片-6名1，故A正确，B0D错炭 一十 7.C 【详解】根据v=wR得W=二=160ad/5,当t=0秒时，点P位于最低点， R 则经过时间t秒后车轮转过的角度0=1t=160t, 则点P到铁轨表面的高度为h(d)=R-Rcos日=】上。 22cos160u】 得到h(0)=0符合初始条件. 8.D 【分析】由5-≥5-对任意实数t恒成立，两边同时平方化简整理得： -t-(1-列≥0对任意实数t恒成立，故△=（何-2≤0，解得5=2.利用绝对值的三角 不等式即可求解 【详解】由题可知6E-os60- 由5-≥万-，两边同时平方得+r-26-e≥矿+-2五.e,化简整理得 -5t-1-l20 因为5-≥5-对任意实数1恒成立，所以P-1-1-)≥0对任意实数t恒成立， 所以△=+41-)=(-2≤0，所以=2 所以a++la-≥(a+)-(a--5+-V5+-++25e-4+1+2-万， 当且仅当向量a+e与a-b方向相反时等号成立，所以a++a-的最小值为√万 故选：D. 9.AD 【分析】根据统计中总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断各选项。 【详解】总体是指所要考察的对象的全体，本题考察对象为学生的高三模拟考试数学成绩， 因此20000名学生的数学成绩是总体，A选项正确， 又因为样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体， 因此本题的样本为抽取的200名学生的数学成绩，而非200名学生本身，B选项错误， 个体是总体中的每一个考察对象，因此本题的个体为每名学生的数学成绩，而非每名学生 本身，C选项错误， 样本容量是样本中所包含的个体的数目，无单位，本题抽取了200名学生的数学成绩， 因此样本容量为200，D选项正确， 10.BC 【分析】结合独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式计算即可. 答案第2页，共9页 【详解】A:两个球不都是红球的概率为：1-×=。，故A错误； 326 B:两个球都是红球的概率为： 上×上=，故B正确： 3×26 C:至少有一个红球的概率为： 3“乞方十专*2子放C正确： 11,21,1.12 1.1,211 D:两个球中，恰好有一个红球的概率为：了X2十学×22故D错误 故选：BC 11.ABD 【分析】根据正弦定理、余弦定理，结合二倍角的正弦公式、余弦公式、同角的三角函数关 系式逐一判断即可. 【详解】根据正弦定理，由sinB+sinC=2sinA→b+c=2a,所以选项A正确； b+C 由余弦定理，得 b2+c2-a2 b2+c2 2 cos4= 3b2+3c2-2bc、6bc-2bc: 2bc 2bc 8bc 8bc 4bc 1 即coA≥ be2, 当且仅当b=c时取等号，所以选项B正确； 因为cosA≥2，且A∈(0，四， 所以0<A≤，因此选项C不正确： 3 B C B 、B sin 2 2sin B tamtam=B 2 2sin C 2 sin B 1-cos X 2 2 -C coS- COS- 2cos B 2sin cos C上coB siIC 2 2 2 2 2 B C b 1-cosC 由正弦定理，得tan2am 2 1+cos B c 由余弦定理，得 1-n+b-c2 B C b 2b a2b2+c2 21++c2-b× tantan= 2ab 2 2ac+a2+c2-b2 2ac c2-(a-b)'(c+a-b)(c-a+b)c-a+b (a+c)-b2 (a+c+b)(a+c-b)a+c+b 因为b+c=2a, 所以ta unC-c-atb-2a-a-1 2+c+b2a+a3，因此选项D正确， 12 5+3V7/3√7+5 7626 66 【分析】作出辅助线，求出四棱台的侧高和高，求出表面积和体积 【详解】如图，过A作AM⊥AC,垂足为M,易知AM为四棱台ABCD-AB,CD的高， 答案第3页，共9页 D B B 因为AB=2,AB=1,A4=V2, 所以上底面面积为12=1，下底面面积为22=4， 所以侧面职为40-2小3方。 所以该棱台的表面积为1+4+3√7=5+3√7， 又4q-4-方548-9，A04c-5aB=万， 2 故4wac4C马，期4=--29 所以所球体积为r背-16x575 2 6 故答案为：5+37,6 13.(-1,3) 【详解】设点D的坐标是(x,y),则AD=(:+2,y-1),BC=(1,2), 因为四边形ABCD为平行四边形，则AD=BC, x+2=1 x=-1 可得 v-1=2’解 y=3,即D(-1,3) 14. 62 【分析】①以∠CAE为直线AE与AC所成的角或其补角，利用余弦定理求解；②分别取 CD,B,C,BB,AB,AD的中点F,G,M,N,H,则点P的轨迹是六边形EFGMNH, 【详解】①连接AC,易得AC1/1AC, 所以∠CAE为直线AE与AC所成的角或其补角.又AC=2√2，AE=C,E=5, 答案第4页，共9页 由余弦定理得cos∠CAB-4S+AE-CE-(2+5-5_而 2AC·AE 2x212x5 即直线AB与AC所成角的余弦值为 5 ②分别取C1D,B,C1,BB,AB,AD的中点F,G,MN,H, 连接EF,FG,GM,MN,NH,HE,AB,DC, 因为AD//BC且AD=BC D H 所以四边形AB,C,D是平行四边形，所以DC/AB, 因为F,M,N分别是CD,BB,AB的中点，所以EF11CD,MN IAB,, 所以NI/EF,同理可得MG//HE,FG/NMH, 所以E,F,G,M,N,H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为√2的正六边形， 因为CC1⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以CC1⊥BD,又BDL AC, AC∩CC=C,AC,CCc平面ACC1A,所以BD⊥平面ACC1A, 又ACC平面ACAC1,所以BD⊥AC,因为N,H分别为AB,AD的中点，所以NH/BD, NH⊥AC,同理可得N⊥AC,又WH∩N=N,NH,MNc平面EFGMNH, 所以AC⊥平面EFGMNH,因为PE⊥AC,所以点P的轨迹是六边形EFGMNH, 所以点P的轨迹长度为6√2. 15.(1)(-2,1) (2)19 【分析】(1)根据z对应点所在象限列不等式，由此求得m的取值范围 (2)先求得z,然后根据虚根成对以及根与系数关系求得a,b，,进而求得a+b 【详解】(1)若复数z在复平面内对应的点在第四象限， 则/m+20 {m2+2m-3<0'解得-2<m<1,即me(-2,1). 答案第5页，共9页 (2)由于z为正实数，所以 m+2m-3=0,解得m=1,所以z=3, m+2>0 而二-4i=3-4i是方程x2++b=0的一个根， 所以3+4i也是方程x2+ax+b=0的一个根， [3+4i+3-4i=6=-a 所以 (3+4)(3-4=25=b°即a=-6,b=25, 所以a+b=19 16.(1)a=0.1,平均每周课外阅读时长为5.3小时： (2)2人： (3)7.6小时. 【分析】(1)由频率分布直方图的性质，列出方程，求得α的值，结合频率分布直方图的平 均数的计算公式，求得平均每周课外阅读时长； （2)求得课外阅读时长在2,4和[2,6的频率分别为0.2和0.5，结合分层抽样的方法，即 可求解： (3)根据题意，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】(1)解：由频率分布直方图的性质，可得(0.05+a+0.15+0.125+0.075)×2=1, 可得a=0.1, 则平均每周课外阅读时长 x=1×0.05×2+3×0.1×2+5×0.15×2+7×0.125×2+9×0.075×2=5.3(小时). (2)解：由频率分布直方图知，课外阅读时长在[2,6]的频率为(0.1+0.15)×2=0.5， 其中课外阅读时长在2,4的频率为0.1×2=0.2， 若从课外阅读时长在2,6]的学生中抽取5人，则课外阅读时长在[2,4有5x0一2人 (3)解：由频率分布直方图知，前3个矩形的面积和为(0.05+0.1+0.15)×2=0.6， 前4个矩形的面积之和为(0.05+0.1+0.15+0.125)×2=0.85， 设第80%分位数位于[6,81，设第809%分位数为x,则x=6+0,806×2=76, 0.25 所以该校高一学生“阅读爱好者”一周课外阅读时长的最小值为7.6小时. 17.(1)连接BC交OE于D,因为E为劣弧CB的中点， 故D是BC中点，又O是AB中点，所以OE/IAC, OEZ平面PAC,ACc平面PAC,因此OE/平面PAC (225 3 【分析】(1)利用线面平行的判定定理求解： (2)利用线面垂直的判定定理得到CO⊥平面PAB,故∠CPO是直线PC与平面PAB所成 的角.计算tan∠CPo=OC 的值，从而得解， PO 【详解】（1)略 (2)依题意，PO⊥平面ABC,COC平面ABC,故PO⊥CO, 答案第6页，共9页 A6==------ -----22B C 又C为半圆弧AB的中点，因此CO⊥AB,AB⌒PO=O,AB,POC平面PAB, 因此CO⊥平面PAB,故∠CPO是直线PC与平面PAB所成的角. 因为AB=4,所以OC=2, 因为P0=V5,所以tan∠cPo=OC-2-2v5 PO3 3 故直线PC与平面PAB所成角的正切值为2 3 1.0A-等 (2)165 (3)a=V3 【分析】(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即可； (2)结合(1)、余弦定理及基本不等式得到bc≤64，再根据三角形的面积公式求解即可： 3 1 (3)根据题意及和角的余弦公式得到si血Bsi血C=8再根据正弦定理得到bc=a,最后 2 根据余弦定理求解即可. 【详解】(1)因为S= -sin B+cos B, a 3 则由正弦定理得sinC=√3 -sin B+cos B, sinA 3 所以nC-in Acos-5 in Asin, 3 sinC=sin(A+B)=sin AcosB+cos Asin B, 所以cosAsinB=V5i -sin Asin B 3 又B∈(0，π)，得sinB>0, 则cosA= 3snA,即tanA=5, 因为A∈(0，m),所以A=亚 3 (2)由余弦定理得d=b2+c2-2 bc cosA, 结合(1)可得82=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 则bc≤64，当且仅当b=c=8时，等号成立， 答案第7页，共9页 所以aABC的面积为S=csin4=5bc≤165， 2 4 即△ABC的面积的最大值为16√3. (3》因为A=T,则8+C=2 3 3 所以cos(B+C)=cos B cosC-sin BsinC=-1 又cos BeosC=-1 8’则sin Bsin C=3 2a 由正弦定理得 sinA sin B sinC√5' 所以nBsin C=5B0.y5c-3c-3,得bc=a, 12 2a2a4a28 2 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bc cosA=b2+c2-bc=(b+c)-3bc, 即a2 V30 -3×d,解得a=5, 19.(1)2+1,2) 21+3 4 6)0-写 【分析】(1)先求得OC的坐标，然后利用向量的坐标运算求得AC. (2)先求得OP,也即求得P的纵坐标，然后求得三角形△AOP面积的表达式，再根据三 角函数的最值来求得△AOP面积的最大值， (3)先求得Q,P的坐标，然后根据O,Q,P三点共线列方程求得日. 【详解】(1)由题意知OB=(2,0) 当0-时.0c-(2cos平2n到-5.). 则Ac=oc-0A=(N2,V2)-(-1,0)=(N2+1,V2), 所以当0=平时，AC的坐标为(N2+1V2) (2)由向量旋转可知OC=(2cos6,2sim8),AC=(2cos6+1,2sin0), 又△4CP为等边三角形，则AP可看作由AC绕点A沿逆时针方向旋转T得到的， 则aA0-(（2cos0+1jcos写2sin0sm5(2cos0+1)sm于+2n0cos写 cos0-sinoin 2 答案第8页，共9页 所以op-0A+aA0-cs0-5sn0-号5cos0+sn0r- w-a4w-9o9-m到9 因为0+到}s1,所以5e15 4 当且仅当9：号号即0：君时，S心取得技大值1+店 (3)若40-4c,则o0-0i+A0-01+写4c-aAoc-a 3a+元-310+2oa2s0)-3os0-1-号0 由(2)知AP= c0-5n0-55ca4n09) 所以OP-OA+AP= cos-5cosin 2 2 由O,Q,P三点共线可知 cos0-3 sin- (c0s0-1), 2 +-5 化简整理得sin日+3)F2 因为00登0+，所以0：号则0- 答案第9页，共9页