第十一章 一元一次不等式 一元一次不等式 含参问题 专项练习 2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦一元一次不等式(组)含参问题，通过五大必考题型系统覆盖参数取值范围的各类考法，以题载理构建从性质应用到综合关联的递进逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|1例+6变式|考查不等式性质与参数符号的关联|从不等式基本性质出发，建立参数对解集方向的影响逻辑| |解的存在性|2例+5变式|分析不等式组有解或无解的边界条件|深化不等式组解集概念，理解参数对解的存在性的制约| |解集判定|1例+5变式|根据解集结果反推参数取值范围|强化解集与参数的相互制约关系，培养逆向推理能力| |整数解分析|1例+7变式|结合整数解个数或特征确定参数范围|提升对解集区间的精细分析，发展数学思维的严谨性| |方程组关联|1例+11变式|将方程组解的性质转化为不等式问题|实现方程与不等式的知识融合，培养综合应用意识|

一元一次不等式(组)含参问题（必考五大题型） 参考答案与试题解析 题型一：根据不等式的性质求参数取值范围 【例1】若ax﹣5≥0的解是x≤﹣2.5，则a的值为（　　） A．a＝ B．a＝﹣ C．a＝2 D．a＝﹣2 【分析】根据解集为x≤﹣2.5，列出关于a的方程，解方程求出a的值． 【解答】解：∵ax﹣5≥0， ∴ax≥5， ∵ax﹣5≥0的解是x≤﹣2.5， ∴a＜0，＝﹣2.5， ∴a＝﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 【变式1-1】关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0 【分析】根据不等式的性质3，两边都除以m+1后得到x＜1，可知m+1＜0，解之可得． 【解答】解：∵不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1， ∴m+1＜0，即m＜﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式1-2】如果不等式（a﹣4）x＜2（a﹣4）的解集为x＞2，则a必须满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＞4 C．a≠4 D．a＞0 【分析】根据不等式的基本性质即可求得a﹣4＜0，解答即可． 【解答】解：不等式（a﹣4）x＜2（a﹣4）的解集为x＞2， ∴a﹣4＜0， ∴a＜4， 故选：A． 【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 【变式1-3】已知关于x的不等式（4﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是（　　） A．a＞4 B．a＜4 C．a≠4 D．a≥4 【分析】根据已知解集得到4﹣a为负数，即可确定出a的范围． 【解答】解：∵不等式（4﹣a）x＞2的解集为x＜， ∴4﹣a＜0， 解得：a＞4． 故选：A． 【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 【变式1-4】如果关于x的不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，那么a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 【分析】运用不等式的基本性质求解即可． 【解答】解：∵不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1， ∴a＜0， 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质． 【变式1-5】若不等式ax+x＞1+a的解集是x＜1，则a必须满足的条件是（　　） A．a＜﹣1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＞1 【分析】根据不等式的性质3：不等式两边除以同一个负数时，不等式的方向改变，可知a+1＜0，由此得到a满足的条件． 【解答】解：由原不等式可得（1+a）x＞1+a， 两边都除以1+a，得：x＜1， ∴1+a＜0， 解得：a＜﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的解集及不等式的性质，根据解集中不等式的方向改变，得出a+1＜0是解题的关键． 【变式1-6】将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：∵（a﹣2）x＞4﹣2a， ∴（a﹣2）x＞﹣2（a﹣2）， ∵不等式的解集为x＜﹣2， ∴a﹣2＜0， 解得：a＜2， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/8 20:23:45；用户：付文金；邮 题型二：根据不等式组有解、无解求参数的取值范围 箱：1851.87396759；学号：59【】【】8269071.【例1】若关于x的不等式组有解，则m的取值范围为（　　） A．m≥﹣3 B．m＞﹣3 C．m≤﹣3 D．m＜﹣3 【分析】先求出解集，然后根据题不等式组有解，即可求出m的取值范围． 【解答】解：∵不等式组有解， ∴m＜x＜﹣3， 解得m＜﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的解集以及解一元一次不等式组，掌握不等式组的解集是大于小的小于大的是解题关键． 【变式1-1】关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为（　　） A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解可得答案． 【解答】解：， 解不等式x﹣m＜0，得：x＜m， 解不等式3x﹣1＞2（x﹣1），得：x＞﹣1， ∵不等式组有解， ∴m＞﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【例2】若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a≥2 D．a＞2 【分析】结合关于x的一元一次不等式组无解，得出a≤2，即可作答． 【解答】解：∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴a≤2， 故选：B． 【点评】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，熟练掌握该知识点是关键． 【变式2-1】若关于x的不等式组无解，则m的值可以为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．5 【分析】先分别解不等式组中两个不等式，得到各自的解集，再根据不等式组无解的条件得到m的取值范围，最后结合选项得到正确答案． 【解答】解：解不等式x﹣1＜2得x＜3， 解不等式x+2＞m得x＞m﹣2， ∵不等式组无解， ∴m﹣2≥3， 解得m≥5， 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． 【变式2-2】如果不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【分析】整理不等式组得，，由题意得a＜1，选择答案即可． 【解答】解：整理不等式组得，， ∵不等式组无解， ∴a＜1， 故选：C． 【点评】通过不等式组无解，确定A的取值范围，这是此题的突破口． 【变式2-3】若关于x的一元一次方程12﹣2x＝3k的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先解出方程的解和不等式组的解集，再根据题意即可确定k的取值范围，从而可以得到符合条件的整数，然后相加即可． 【解答】解：， 由不等式①，得：x≤﹣1， 由不等式②，得：x≥k， ∵关于x的不等式组无解， ∴k＞﹣1， 由方程12﹣2x＝3k，得x＝， ∵关于x的一元一次方程12﹣2x＝3k的解为正整数， ∴，得k＜4， 由上可得，k的取值范围是﹣1＜k＜4， ∵为正整数， ∴k的整数值为0，2， ∴符合条件的整数k的值的和为：0+2＝2， 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出k的取值． 题型三：根据不等式组的解集求参数取值范围 【例1】不等式组的解集为x＜a，则a满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＝4 C．a≤4 D．a≥4 【分析】根据不等式组的解集的确定方法，就可以得出a的范围． 【解答】解：∵不等式组的解集为x＜a， ∴a≤4， 故选：C． 【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 【变式1-1】若不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围为（　　） A．a≤﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞﹣4 D．a＝﹣4 【分析】先求出第一个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定a的取值范围． 【解答】解：由不等式x+a＜0得x＜﹣a，由不等式x﹣4＜0得x＜4， ∵不等式组的解集为x＜4， ∴﹣a≥4， 解得：a≤﹣4， 故选：A． 【点评】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集与两个不等式解集间的关系是解题的关键． 【变式1-2】若不等式组的解为x＜a，则下列各式正确的是（　　） A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b 【分析】根据同小取小，即可解答． 【解答】解：若不等式组的解为x＜a，则a≤b， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【变式1-3】关于x的不等式组的解集为x＜2，那么a的取值范围为（　　） A．a＝2 B．a＞2 C．a＜2 D．a≥2 【分析】先解不等式3x﹣2＞4（x﹣1）得到x＜2，再根据x＜2，由不等式组解集的规律即可得解． 【解答】解：解不等式3x﹣2＞4（x﹣1）得到x＜2， ∵关于x的不等式组的解集为x＜2， ∴a≥2． 故选：D． 【点评】考查了解一元一次不等式组，关键是熟悉不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【变式1-4】若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣2 B．m≤2 C．m＜2 D．m＝2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案． 【解答】解：解不等式x﹣m＞0，得：x＞m， 解不等式5﹣2x≤1，得：x≥2， ∵不等式组的解集为x≥2， ∴m＜2， 故选：C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式1-5】不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a＞1 【分析】根据不等式的性质求出不等式①的解集，根据不等式组的解集得出a+1≤2，求出不等式的解集即可． 【解答】解：， ∵解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＞a+1， 又∵不等式组的解集是x＞2， ∴a+1≤2， ∴a≤1． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，关键是根据不等式组的解集得出关于a的不等式，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 题型四：根据不等式组的整数解情况求参数取值范围 【例1】不等式组的负整数解是（　　） A．﹣2，0，﹣1 B．﹣2 C．﹣2，﹣1 D．不能确定 【分析】先求出不等式组的解集，再找出解集中符合要求的负整数． 【解答】解：不等式组的解集为：﹣2≤x＜3， ∴该不等式组的负整数解是﹣2，﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握该知识点是关键． 【变式1-1】若关于x的不等式组有3个整数解，则a的值取值范围是（　　） A．2＜a≤3 B．2＜a＜3 C．2≤a＜3 D．2≤a≤3 【分析】先根据题意找出整数解，再得出选项即可． 【解答】解：∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴3个整数解为3，4，5， ∴2＜a≤3． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，求出不等式组的整数解是解题关键． 【变式1-2】已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（　　） A．﹣3＜a≤﹣2 B．﹣3＜a＜﹣2 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3≤a≤﹣2 【分析】解不等式组得出a＜x＜1，根据关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，知这3个整数只能是﹣2，﹣1，0，据此可得答案． 【解答】解：解不等式组得：a＜x＜1， ∵不等式组的解集中有且仅有3个整数， ∴这3个整数只能是﹣2，﹣1，0， ∴﹣3≤a＜﹣2． 故选C． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式1-3】若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A．a＝﹣2或a≥2 B．﹣2＜a＜2 C．﹣2≤a≤2 D．﹣2＜a≤2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得答案． 【解答】解：解不等式，得：x＜5， 解不等式5x﹣2≥x+a，得：x≥， ∵关于x的不等式组有且只有四个整数解， ∴0＜≤1， ∴﹣2＜a≤2， 故选：D． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式1-4】已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论： 甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是5≤a＜6； 乙：若它无解，则a≤2． 其中下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 【分析】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解． 【解答】解：若它的整数解仅有3个，则4≤a﹣1＜5， 解得：5≤a＜6， 故甲正确； 若它无解，则a﹣1≤1， 解得：a≤2， 故乙正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 【变式1-5】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范围为（　　） A．﹣4≤m＜﹣2或2≤m＜4 B．﹣4＜m≤﹣2或2＜m≤4 C．﹣4≤m＜﹣2 D．﹣4＜m≤﹣2 【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜m， 解不等式②得：x＞﹣4， ∴不等式组的解集为﹣4＜x＜m， ∵关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5， ∴不等式组必有整数解﹣3，﹣2或是﹣3，﹣2，﹣1，0，1， ∴﹣2＜m≤﹣1，或1＜≤2， ∴﹣4＜m≤﹣2或2＜m≤4， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 【变式1-6】已知关于x的不等式组的最小整数解是3，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣2＜m≤﹣1 【分析】先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式即可求解． 【解答】解： 由①得：x≥4+m； 由②得：x≥1， ∵不等式组的最小整数解是3， ∴2＜4+m≤3， 解得：﹣2＜m≤﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查已知一元一次不等式组的解集情况求参数问题，根据题意建立关于参数的不等式是关键． 【变式1-7】若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】解不等式组可得x＜2a，x＞0，由关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，可得2a＞2，计算求解，然后作答即可． 【解答】解：， x﹣2a＜0， 解得，x＜2a， 2x＞0， 解得，x＞0， 由题意可得：2a＞2， 解得，a＞1， ∴整数a的最小值为2， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组．正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 题型五：根据方程组的解的情况求参数取值范围 【例1】若关于x的一元一次方程4x+m+1＝x﹣1的解是负数，则m的取值范围是 m＞﹣2　 ． 【分析】求出方程的解，根据已知得关于m的不等式，求出即可． 【解答】解：4x+m+1＝x﹣1， 移项得：4x﹣x＝﹣1﹣1﹣m， ∴x＝， ∵方程的解是负数， ∴＜0， ∴m＞﹣2， 故答案为m＞﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式的应用，关键是能根据题意得出不等式＜0，题型较好，难度适中． 【变式1-1】方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣4 B．m≥﹣4 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4 【分析】将方程组中两方程相加，便可得到关于x+y的方程，再根据x+y＞0，即可求出m的取值范围． 【解答】解：， ①+②得，（x+2y）+（2x+y）＝（1+m）+3， 即3x+3y＝4+m， 可得x+y＝， ∵x+y＞0， ∴＞0， 解得m＞﹣4． 故选：A． 【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意x+y＞0，则解出x，y关于m的式子，最终求出m的取值范围． 【变式1-2】若的解x，y满足x+y＞0，则m取值为（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3 D．m≥3 【分析】两式相加，得出x+y，再由x+y＞0，得出m的取值范围． 【解答】解：， ①+②，得3x+3y＝3﹣m， ∴x+y＝1﹣， ∵x+y＞0， ∴1﹣＞0， 解得m＜3． 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握． 【变式1-3】关于x，y的方程组的解满足2x+3y＞7，则m的取值范围是（　　） A．m B．m＜0 C．m D．m＞7 【分析】两方程相减得出2x+3y＝3m+6，根据2x+3y＞7列出关于m的不等式，解之可得． 【解答】解：， ①﹣②，得：2x+3y＝3m+6， ∵2x+3y＞7， ∴3m+6＞7， 解得：m＞， 故选：C． 【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程、二元一次方程组的解等知识点，能得出关于m的方程是解此题的关键． 【变式1-4】已知关于x，y的方程组，若x＞y，求a的取值范围． 【分析】利用加减消元法可求出x＝2a+1，y＝a﹣2，再利用x＞y得到2a+1＞a﹣2，然后解一元一次不等式即可． 【解答】解：， ①+②得4x＝8a+4， 解得x＝2a+1， ①﹣②得﹣2y＝﹣2a+4， 解得y＝a﹣2， ∵x＞y， ∴2a+1＞a﹣2， 解得a＞﹣3， 即a的取值范围为a＞﹣3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质和解一元一次不等式的基本步骤是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组． 【变式1-5】已知关于x、y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值． （2）若方程组的解满足x+y＜0，求满足条件的整数m的最小值． 【分析】（1）用加减消元法解出x和y的值，把x和y用含有m的式子表示，代入x﹣y＝6，求出m的值即可； （2）把x和y用含有m的式子表示，代入x+y＜0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可． 【解答】解：（1）， ①+②得：8x﹣8y＝4m+8，即x﹣y＝1+m， 代入x﹣y＝6得：1+m＝6， 解得：m＝10， 故m的值为10； （2）②﹣①得：2x+2y＝8﹣4m，即x+y＝4﹣2m， ∵x+y＜0， ∴4﹣2m＜0， 解得：m＞2， 故m的取值范围为：m＞2， ∴满足条件的整数m的最小值为3． 【点评】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于m的一元一次方程；（2）根据不等量关系列出关于m的一元一次不等式． 【变式1-6】已知关于x，y的二元一次方程组 （1）用含有m的代数式表示方程组的解； （2）如果方程组的解x，y满足x+y＞0，求m的取值范围． 【分析】（1）将m看作已知数求出方程组的解即可； （2）根据已知不等式求出m的范围即可． 【解答】解：（1） ①﹣②，得3y＝12﹣3m， 解得y＝4﹣m． 将y＝4﹣m代入②，得x﹣（4﹣m）＝3m， 解得x＝2m+4． 故方程组的解可表示为； （2）∵x+y＞0， ∴2m+4+4﹣m＞0， 解得m＞﹣8． 故m的取值范围是m＞﹣8． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【变式1-7】已知关于x，y的二元一次方程组的解是一对正数． （1）求a的取值范围； （2）化简：|a+4|﹣|a|+|2a+3|． 【分析】（1）先解方程组，用含a的式子表示出x、y，再根据方程组的解是一对正数列出关于a的不等式组，解之即可得解； （2）根据a的取值范围判断出a+4＞0，a＜0，2a+3＜0，再根据绝对值性质去绝对值符号、合并同类项即可得解． 【解答】解：（1）， ①+②得2x＝2a+8， 解得x＝a+4， 代入①得y＝﹣2a﹣3． 故方程组的解为：， ∵x＞0，y＞0， ∴， 解得：﹣4＜a＜﹣1.5； （2）由（1）得：a+4＞0，a＜0，2a+3＜0， ∴原式＝a+4﹣（﹣a）+（﹣2a﹣3） ＝a+4+a﹣2a﹣3 ＝1． 【点评】本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组及绝对值的性质． 【变式1-8】已知方程的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围． 【分析】本题可对一元二次方程运用加减消元法解出x、y关于a的式子，然后根据x≤0和y＞0可分别解出a的值，然后根据两个都小于则小于小的，两个都大于则大于大的，或夹在较小的和较大的数之间三种情况判断a的取值． 【解答】解：， 得，． ∵， ∴． 解得﹣2＜a≤3． 【点评】解：本题考查了二元一次方程的解法和一元一次不等式的性质．根据运算可将x、y化为关于a的式子，然后计算出a的取值． 【变式1-9】已知关于x、y的方程满足方程组． （1）用含m的代数式表示x，y； （2）若x、y均为非负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，求S＝2x﹣3y+m的最大值和最小值． 【分析】（1）解方程组得x＝m﹣3，y＝5﹣m； （2）根据x、y均为非负数得x＝m﹣3≥0，y＝5﹣m≥0，解此不等式组得m的取值范围是3≤m≤5； （3）把x＝m﹣3，y＝5﹣m代入S＝2x﹣3y+m得S＝6m﹣21，根据3≤m≤5得﹣3≤6m﹣21≤9，则﹣3≤S≤9，由此即可得出S的最小值和最大值． 【解答】解：（1）对于方程组， ②×2，得：4x+2y＝2m﹣2③， ③﹣①，得：x＝m﹣3， 将x＝m﹣3代入②，得：2（m﹣3）+y＝m﹣1， 解得：y＝5﹣m， ∴x＝m﹣3，y＝5﹣m； （2）∵x、y均为非负数， ∴x＝m﹣3≥0，y＝5﹣m≥0， 由m﹣3≥0，解得：m≥3， 由5﹣m≥0，解得：m≤5， ∴3≤m≤5， 即m的取值范围是：3≤m≤5； （3）把x＝m﹣3，y＝5﹣m代入S＝2x﹣3y+m， 得：S＝2（m﹣3）﹣3（5﹣m）+m＝6m﹣21， ∴在（2）的条件下， ∴3≤m≤5， ∴18≤6m≤30， ∴18﹣21≤6m﹣21≤30﹣21， 即﹣3≤6m﹣21≤9， ∴﹣3≤S≤9， ∴S的最小值为﹣3，最大值为9． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组，一元一次不等式的方法与技巧是解决问题的关键． 【变式1-10】已知关于x，y的方程满足方程组． （1）若x﹣y＝2，求m的值； （2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子：|m﹣3|+|m﹣5|； （3）在（2）的条件下求s＝2x﹣y+m的最小值及最大值． 【分析】（1）把方程①﹣②求出x+y＝2，再根据x+y＝2，利用加减消元法求出x，再代入x+y＝2求出y，最后把x，y代入①求出m即可； （2）先利用加减消元法求出x，y，再根据x，y，m均为非负数，列出关于m的不等式组，解不等式组求出m的取值范围，最后根据绝对值的性质化简即可； （3）根据（2）中所求结果，先求出m的最大值与最小值，再把x，y代入s＝2x﹣y+m，求出答案即可． 【解答】解：（1）， ①﹣②得：x+y＝2③， ∵x﹣y＝2④， ∴③+④得：x＝2， 把x＝2代入③得：y＝0， 把x＝2，y＝0代入①得：m＝5； （2）， ②×2得：4x+2y＝2m﹣2③， ③﹣①得：x＝m﹣3， 把x＝m﹣3代入②得：y＝5﹣m， ∵x，y，m均为非负数， ∴， 由①得：m≥3， 由②得：m≤5， ∴不等式组的解集为：3≤m≤5， ∴|m﹣3|+|m﹣5| ＝m﹣3+5﹣m ＝2； （3）由（2）得：x＝m﹣3，y＝5﹣m，3≤m≤5， ∴m的最小值是3，最大值是5， ∵s＝2x﹣y+m， ∴s＝2（m﹣3）﹣（5﹣m）+m ＝2m﹣6﹣5+m+m ＝4m﹣11， 当m＝3时，4m﹣11＝4×3﹣11＝1； 当m＝5时，4m﹣11＝4×5﹣11＝9； ∴s＝2x﹣y+m的最小值是1，最大值是9． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题关键的熟练掌握利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组． 【变式1-11】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的“相伴方程”． （1）若不等式组为则方程2（x﹣1）+7＝1是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和＝﹣2都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再根据“相伴方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“相伴方程”的定义得出2.5＜≤3，再解不等式组即可； （3）分别求出两个方程的解，再根据k≠2分为两种情况：①当k＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当k＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【解答】解：（1）方程2（x﹣1）+7＝1是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得x≤﹣2， 解方程2（x﹣1）+7＝1得：x＝﹣2； ∵﹣2≤﹣2， ∴方程2（x﹣1）+7＝1是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：2.5＜x≤3， 解方程2x﹣a＝1，得：x＝， ∵关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程， ∴2.5＜≤3， 解得：4＜a≤5， 即a的取值范围是4＜a≤5； （3）解方程5x+10＝0，得：x＝﹣2， 解方程＝﹣2，得：x＝﹣1， ∵方程5x+10＝0和＝﹣2都是关于x的不等式组的相伴方程，k≠2， 所以分为两种情况： ①当k＜2时，不等式组为， 此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去； ②当k＞2时，不等式组的解集是k﹣5≤x＜1， 所以根据题意得：， 解得：2＜k≤3， 所以k的取值范围是2＜k≤3． 【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/8 18:56:54；用户：付文金；邮箱：18587396759；学号：59826907 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次不等式(组)含参问题（必考五大题型） 题型一：根据不等式的性质求参数取值范围 【例1】若ax﹣5≥0的解是x≤﹣2.5，则a的值为（　　） A． a＝ B．a＝﹣ C．a＝2 D．a＝﹣2 【变式1-1】关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0 【变式1-2】如果不等式（a﹣4）x＜2（a﹣4）的解集为x＞2，则a必须满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＞4 C．a≠4 D．a＞0 【变式1-3】如果不等式（a﹣4）x＜2的解集为x＞，则a必须满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＞4 C．a≠4 D．a＞0 【变式1-4】如果关于x的不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，那么a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 【变式1-5】若不等式ax+x＞1+a的解集是x＜1，则a必须满足的条件是（　　） A．a＜﹣1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＞1 【变式1-6】将已知关于x的不等式（a﹣2）x＞4﹣2a的解集为x＜﹣2，则a的取值范围是（　　） A．a＞2 B．a＜2 C．a≥2 D．a≠2 题型二：根据不等式组有解、无解求参数的取值范围 【例1】若关于x的不等式组有解，则m的取值范围为（　　） A．m≥﹣3 B．m＞﹣3 C．m≤﹣3 D．m＜﹣3 【变式1-1】关于x的不等式组有解，那么m的取值范围为（　　） A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1 【例2】若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围为（　　） A．a＜2 B．a≤2 C．a≥2 D．a＞2 【变式2-1】若关于x的不等式组无解，则m的值可以为（　　） A．﹣3 B．2 C．3 D．5 【变式2-2】如果不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1 【变式2-3】若关于x的一元一次方程12﹣2x＝3k的解为正整数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三：根据不等式组的解集求参数取值范围 【例1】不等式组的解集为x＜a，则a满足的条件是（　　） A．a＜4 B．a＝4 C．a≤4 D．a≥4 【变式1-1】若不等式组的解集为x＜4，则a的取值范围为（　　） A．a≤﹣4 B．a≥﹣4 C．a＞﹣4 D．a＝﹣4 【变式1-2】若不等式组的解为x＜a，则下列各式正确的是（　　） A．a＜b B．a≤b C．a＞b D．a≥b 【变式1-3】关于x的不等式组的解集为x＜2，那么a的取值范围为（　　） A．a＝2 B．a＞2 C．a＜2 D．a≥2 【变式1-4】若关于x的不等式组的解集为x≥2，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣2 B．m≤2 C．m＜2 D．m＝2 【变式1-5】不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a≥2 C．a≤1 D．a＞1 题型四：根据不等式组的整数解情况求参数取值范围 【例1】不等式组的负整数解是（　　） A．﹣2，0，﹣1 B．﹣2 C．﹣2，﹣1 D．不能确定 【变式1-1】若关于x的不等式组有3个整数解，则a的值取值范围是（　　） A．2＜a≤3 B．2＜a＜3 C．2≤a＜3 D．2≤a≤3 【变式1-2】已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（　　） A．﹣3＜a≤﹣2 B．﹣3＜a＜﹣2 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3≤a≤﹣2 【变式1-3】若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A．a＝﹣2或a≥2 B．﹣2＜a＜2 C．﹣2≤a≤2 D．﹣2＜a≤2 【变式1-4】已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论： 甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是5≤a＜6；乙：若它无解，则a≤2． 其中下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 【变式1-5】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣5，则m的取值范围为（　　） A．﹣4≤m＜﹣2或2≤m＜4 B．﹣4＜m≤﹣2或2＜m≤4 C．﹣4≤m＜﹣2 D．﹣4＜m≤﹣2 【变式1-6】已知关于x的不等式组的最小整数解是3，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣2＜m≤﹣1 【变式1-7】若关于x的不等式组的解集中至少有2个整数解，则整数a的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型五：根据方程组的解的情况求参数取值范围 【例1】若关于x的一元一次方程4x+m+1＝x﹣1的解是负数，则m的取值范围是 　 　 ． 【变式1-1】方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣4 B．m≥﹣4 C．m＜﹣4 D．m≤﹣4 【变式1-2】若的解x，y满足x+y＞0，则m取值为（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3 D．m≥3 【变式1-3】关于x，y的方程组的解满足2x+3y＞7，则m的取值范围是（　　） A．m B．m＜0 C．m D．m＞7 【变式1-4】已知关于x，y的方程组，若x＞y，求a的取值范围． 【变式1-5】已知关于x、y的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足x﹣y＝6，求m的值． （2）若方程组的解满足x+y＜0，求满足条件的整数m的最小值． 【变式1-6】已知关于x，y的二元一次方程组 （1）用含有m的代数式表示方程组的解； （2）如果方程组的解x，y满足x+y＞0，求m的取值范围． 【变式1-7】已知关于x，y的二元一次方程组的解是一对正数． （1）求a的取值范围； （2）化简：|a+4|﹣|a|+|2a+3|． 【变式1-8】已知方程的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围． 【变式1-9】已知关于x、y的方程满足方程组． （1）用含m的代数式表示x，y； （2）若x、y均为非负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，求S＝2x﹣3y+m的最大值和最小值． 【变式1-10】已知关于x，y的方程满足方程组． （1）若x﹣y＝2，求m的值； （2）若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子：|m﹣3|+|m﹣5|； （3）在（2）的条件下求s＝2x﹣y+m的最小值及最大值． 【变式1-11】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x﹣7＝1的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜4＜5，所以称方程2x﹣7＝1是不等式组的“相伴方程”． （1）若不等式组为则方程2（x﹣1）+7＝1是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣a＝1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围； （3）若方程5x+10＝0和＝﹣2都是关于x的不等式组的相伴方程，求k 学科网（北京）股份有限公司 $