精品解析：四川内江市2025-2026学年度第二学期八年级期末测评数学试题

内江市2025-2026学年度第二学期八年级期末测评 数学试题 本测评卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目写在试卷相应的位置上． 2．每小题选出答案后，用钢笔把答案标号填写在第Ⅱ卷卷首的选择题答题卡的相应号上，不能答在第Ⅰ卷的试题上． 3．考试结束后，监考人员将第Ⅱ卷收回并按考号顺序装订密封． 一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 4. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 5. 如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 20 6. 如果把分式中的和都变为原来的10倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的十分之一 C. 扩大为原来的10倍 D. 扩大为原来的100倍 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为的中点，于点，于点，若，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 10. 若关于的方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或1 D. 11. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，使得点，，，在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 四边形为正方形，，为对角线上一点（不与、重合），连结，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连结，取的中点，连结，当最小时，线段的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共72分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚． 二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在横线上） 13. 2026年3月11日，我国自主研发的T1200级超高强度碳纤维全球首发并实现百吨级量产，其单丝直径仅约0.000006米，将数据0.000006用科学记数法表示为_______ 14. 若一组数据2，4，，1，6的平均数为3，则这组数据的方差为_______； 15. 如图，A是反比例函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图像于点B，点C在x轴上，且，则k的值为_______． 16. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为_______________． 三．解答题（本大题6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. 按要求解答下列问题： （1）计算： （2）先化简，再求值：，请从1，2，4中选一个合适的数代入求值． 18. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形 （2）若，，求的度数． 19. 2026年5月3日，2026年跳水世界杯总决赛落幕，中国队包揽全部9枚金牌，中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．为了解八、九年级男生做“引体向上”的情况，体育老师在八、九年级中各随机抽取了40名男生，测试了这些男生一分钟所做“引体向上”的次数，测试结果统计如图表： 九年级所抽取男生一分钟所做“引体向上”次数统计表 次数/次 6 7 8 9 10 人数/人 3 8 12 10 7 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，九年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的中位数为____________次、众数为___________次； （2）求八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数； （3）若该校八、九年级各有400名男生，请估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数． 20. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 22. 下面是老师引导学生对四边形的探究：四边形中，点、在边、上（不与四边形顶点重合），． （1）【操作发现】 如图1，四边形是平行四边形，，把绕点逆时针旋转得，若点，，在同一条直线上，可得以下结论：①，②为等边三角形，③ 根据结论①可以得到： ； 根据结论①②③可以得到：、、之间的数量关系为 ； （2）【初步探究】 如图2，四边形是正方形，，、分别交对角线于点、．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，四边形是矩形，，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市2025-2026学年度第二学期八年级期末测评 数学试题 本测评卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目写在试卷相应的位置上． 2．每小题选出答案后，用钢笔把答案标号填写在第Ⅱ卷卷首的选择题答题卡的相应号上，不能答在第Ⅰ卷的试题上． 3．考试结束后，监考人员将第Ⅱ卷收回并按考号顺序装订密封． 一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解： 、中分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是常数，不是字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是含有字母的整式，符合分式的定义，是分式，符合题意； 、是整式，不属于分式，不符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的点的特征是关键．根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：点A的坐标为， 点A关于x轴的对称点的坐标是． 故选：D． 3. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x-1≠0， 解得：x≥-2且x≠1． 故选：B． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 4. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组，  则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170，  ，  乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195，  乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 5. 如图，的对角线，相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 10 B. 5 C. 2.5 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质计算即可． 【详解】的对角线，相交于点， ，点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ． 6. 如果把分式中的和都变为原来的10倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的十分之一 C. 扩大为原来的10倍 D. 扩大为原来的100倍 【答案】A 【解析】 【分析】首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：把分式中的和都变为原来的10倍得到：， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知条件，（），再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解:因为 ， 设 ，（） 则 ， 故选C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 9. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为的中点，于点，于点，若，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 4.8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，然后可得到，根据菱形的性质，可证四边形是矩形，连接，则． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则． 10. 若关于的方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分情况计算即可得到m的值． 【详解】解：原方程为， 方程两边同时乘以，得， 整理得． 若，即，则方程无解，原分式方程无解； 若，即，则方程的解为， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 解得． 综上所述，的值为或． 11. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，使得点，，，在直线上，点，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求点坐标，可得正方形边长为，即可得，同理求，，，，，得出，代入即可求解． 【详解】解：直线与轴交于点，令得， ∴， ∴正方形边长为， ∴， ∵点在直线上且纵坐标为，代入解析式得， ∴， ∴正方形边长为， ∴， 同理得：，，，， ∴， 当时，即． 12. 四边形为正方形，，为对角线上一点（不与、重合），连结，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连结，取的中点，连结，当最小时，线段的长为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于N，于M，证，再证得点G始终在过点C且垂直于的直线上运动，由垂线段最短可得当时，有最小值，此时点G与点T重合，画出图形根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，作于N，于M， ∵ 四边形是正方形， ∴，， ∴ 四边形是矩形，， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴， ∵ 四边形 是矩形， ∴ 矩形是正方形； ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点G始终在过点C且垂直于的直线上运动， 过点O作于T， 由垂线段最短可得当时，有最小值，此时点G与点T重合， 如图： ∵，，，，的中点为， ∴， 设， 则 解得或（舍去） ∴． 第Ⅱ卷（非选择题共72分） 注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚． 二．填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在横线上） 13. 2026年3月11日，我国自主研发的T1200级超高强度碳纤维全球首发并实现百吨级量产，其单丝直径仅约0.000006米，将数据0.000006用科学记数法表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 14. 若一组数据2，4，，1，6的平均数为3，则这组数据的方差为_______； 【答案】3.2 【解析】 【分析】先求出未知的数据x，再根据方差计算公式计算即可． 【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为， ∴， ∴方差． 15. 如图，A是反比例函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交反比例函数的图像于点B，点C在x轴上，且，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义得出是正确解答的关键． 根据反比例函数系数的几何意义可得，，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得，根据，求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，延长交轴于，则，， 轴， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为_______________． 【答案】或5 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，①，可得点落在对角线上，然后结合折叠的性质对运用勾股定理建立方程求解；②，可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①，如图所示．连接， ∵矩形 ∴， 在中，，， ∴， ∵沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴ ∴点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处， ∴，， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当为直角三角形时，的长为或5． 三．解答题（本大题6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. 按要求解答下列问题： （1）计算： （2）先化简，再求值：，请从1，2，4中选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）3 （2）化简为，选择代入，值为 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， 当时，原式 18. 如图，在平行四边形中，连接，分别过点、点作于点，作于点，连接． （1）求证：四边形为平行四边形 （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由垂直可得，，再利用平行四边形的性质证明，得到，即可求证； （）利用等腰三角形的性质和三角形内角和得，即得，再根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 19. 2026年5月3日，2026年跳水世界杯总决赛落幕，中国队包揽全部9枚金牌，中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮．为了解八、九年级男生做“引体向上”的情况，体育老师在八、九年级中各随机抽取了40名男生，测试了这些男生一分钟所做“引体向上”的次数，测试结果统计如图表： 九年级所抽取男生一分钟所做“引体向上”次数统计表 次数/次 6 7 8 9 10 人数/人 3 8 12 10 7 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，九年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的中位数为____________次、众数为___________次； （2）求八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数； （3）若该校八、九年级各有400名男生，请估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数． 【答案】（1） 8，8 （2）八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数为7.8次 （3）估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数为110名 【解析】 【分析】（1）求出7次的人数，进而补全条形统计图；根据中位数和众数的定义作答即可； （2）根据平均数的定义计算即可； （3）用八、九年级的男生数乘以各自所做“引体向上”次数为10次的男生人数的比例，相加即可． 【小问1详解】 解：八年级一分钟所做“引体向上”次数为7次的人数为（人） 补全条形统计图如图所示： ∵，， ∴中位数为次； ∵8次出现的次数最多， ∴众数为8次； 【小问2详解】 解：（次）， ∴八年级所抽取的这40名男生一分钟所做“引体向上”次数的平均数为7.8次； 【小问3详解】 解：（名）， ∴估计该校这两个年级的男生一分钟所做“引体向上”次数为10次的男生总数为110名． 20. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元 （2）当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． （1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元． 【小问2详解】 解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得：， 由题意得，， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）依题意把代入，得出，进而把代入中得出，再待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （2）根据交点的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）记直线与直线的交点为得出，设点，根据三角形的面积公式建立绝对值方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意把代入，得出， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． 则结合图象，当时，则或； 【小问3详解】 解：如图，记直线与直线的交点为 ∵， ∴当时，则， ， ∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为35， ∴， 即 ∴ 解得或， ∴点坐标为或． 22. 下面是老师引导学生对四边形的探究：四边形中，点、在边、上（不与四边形顶点重合），． （1）【操作发现】 如图1，四边形是平行四边形，，把绕点逆时针旋转得，若点，，在同一条直线上，可得以下结论：①，②为等边三角形，③ 根据结论①可以得到： ； 根据结论①②③可以得到：、、之间的数量关系为 ； （2）【初步探究】 如图2，四边形是正方形，，、分别交对角线于点、．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，四边形是矩形，，试探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）证明：如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到，与是对应边， ∴与成角，即， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图3，将绕点逆时针旋转得到，则， ∴，，，，， 设，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 连接，过点作的延长线于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，根据绕点逆时针旋转得得出，即可得出，，，进而得出，为等边三角形，进而证明，得出，进而得出； （2）将绕点逆时针旋转得到，则，与是对应边，，连结，证明得出，根据勾股定理得出，等量代换即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，则，设，，，连接，过点作的延长线于，同理证明，得出，在中，，进而等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵绕点逆时针旋转得， ∴， ∴，，，，， ∴，， ∴，为等边三角形， 又∵， ∴， ∴． ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $