精品解析：河北省石家庄市第二十七中学2025--2026学年七年级下学期期末数学试卷

石家庄市第二十七中学2025—2026学年第二学期期末考试 初二数学 （共120分） 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写在答题卡上，并在规定区域里，正确粘贴条形码，考试结束，监考人员将答题卡收回，试卷自行保管． 2．客观题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，主观题答用0.5毫米黑色签字笔作答，务必在规定区域里作答，答案写在规定区域外无效． 3．书写要工整，卷面要干净整洁． 一、选择题（共12小题，共36分） 1. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 点在第一象限 B. 点到y轴的距离为3 C. 已知点，点，则轴 D. 若，则点一定在y轴上 3. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. 的值随着增大而减小 B. 函数图象经过第一、三、四象限 C. 函数图象与轴的交点坐标为 D. 当时， 4. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 为了了解我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这6000名学生的数学会考成绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量是200，其中说法正确的有（  ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. l个 6. 下列调查方式合适的是（ ） A. 为了解镇江市初中生平均每天的阅读时间，采用普查的方式 B. 为了解一批手机电池的使用寿命，采用普查的方式 C. 为了解某班学生的身高情况，采用普查的方式 D. 为了解“天问一号”零件的质量情况，采用抽样调查的方式 7. 在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①填 B. ②填 C. ③填 D. ④填 8. 如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从向点运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加 9. 如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”．请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为（ ） A. 155杯 B. 140杯 C. 130杯 D. 120杯 10. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 11. 如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之左右移动，已知是边的中点，连接，．下列判断正确的是　　 结论Ⅰ：在移动过程中，的长度不变； 结论Ⅱ：当时，四边形是平行四边形． A. 结论Ⅰ、Ⅱ都对 B. 结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C. 只有结论Ⅰ对 D. 只有结论Ⅱ对 二、填空题（共4小题，共12分） 13. 已知一组数据3、a、4、6的众数为3，则这组数据的中位数是_______． 14. 点，关于轴对称，则___． 15. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 16. 如图，正方形的边长为，为坐标原点，和分别在轴、轴上，点是边的中点，过点的直线交线段于点，连接，若平分，则的值为________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 2025年4月15日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人，探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（）与操控无人机的时间t（）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： （1）图中的自变量是_____；无人机在高的上空停留的时间是_____ ； （2）在上升或下降过程中，无人机速度为____； （3）图中a表示的数是_____；b表示的数是_____ ； （4）当第时无人机的飞行高度是_____． 18. 如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． （1）嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； （2）如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 19. 有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相同，在生长旺季，两家均排出优惠方案.甲园的优惠方案是:采摘的草莓不超过时，按原价销售；若超过超过部分折优惠；乙园的优惠方案是:游客进园需购买元门票.采摘的草莓直接按降价出售.已知在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同. 在乙采摘园所需费用( 元)与草梅采摘量(千克)满足一次函数关系，如下表: 数量/千克 ··· 费用元 ··· （1）求与的函数关系式(不必写出的范围)； （2）求两个采摘园的草莓在生长旺季前的销售价格.并求在甲采摘园所需费用(元)与草莓采摘量(千克)的函数关系式； （3）若嘉琪准备花费元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多数量的草莓？ 说明理由. 20. 如图，若三角形是由三角形平移后得到的（点的对应点分别是点），且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，且，，． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）求三角形的面积． （3）在轴正半轴上是否存在点，使得三角形为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标． 21. 年是“十五五”规划开局之年，人工智能与机器人制造被明确列为高质量发展核心抓手．我国人工智能机器人已进入规模化商用爆发期，在人形机器人硬件集成、产业链完备度、场景落地应用等方面全球领先，正从“技术追赶”迈向“定义标准”新阶段．某校组织九年级学生进行人工智能机器人知识答题竞赛，竞赛共有道单选题，答对一题得分，答错得分，根据最终成绩分为四个等级（等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分及以下），并抽取了部分学生的成绩整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）该调查的样本容量为______，等级所在扇形对应圆心角的度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）若该校九年级共人参加此次竞赛，请估计此次竞赛成绩达到分及以上的九年级学生人数． 22. 石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 23. 如图，已知一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数； （2）若点在该函数图象上，连接，求的面积； （3）若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 24. 综合与实践 【问题情境】 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将沿所在的直线折叠，得到． 【特例感知】 （1）如图1，当点在上时，请判断四边形的形状，并证明． （2）如图2，当点在对角线上时， ①的长为__________，的长为__________． ②求此时的长． （3）如图3，当点在对角线上时，与相交于点，求的长． 【深入探究】 （4）连接，当的面积为4时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第二十七中学2025—2026学年第二学期期末考试 初二数学 （共120分） 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号、准考证号填写在答题卡上，并在规定区域里，正确粘贴条形码，考试结束，监考人员将答题卡收回，试卷自行保管． 2．客观题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，主观题答用0.5毫米黑色签字笔作答，务必在规定区域里作答，答案写在规定区域外无效． 3．书写要工整，卷面要干净整洁． 一、选择题（共12小题，共36分） 1. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在中，，， ， 又， ． 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 点在第一象限 B. 点到y轴的距离为3 C. 已知点，点，则轴 D. 若，则点一定在y轴上 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线条件等基础知识，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．点的横坐标和纵坐标都是正数， ∴该点在第一象限，该选项正确，不符合题意； B．点到y轴的距离为，该选项正确，不符合题意； C．点和点的横坐标相同， 轴，该选项正确，不符合题意； D．，或， 点在x轴上或在y轴上，该选项错误，符合题意． 3. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. 的值随着增大而减小 B. 函数图象经过第一、三、四象限 C. 函数图象与轴的交点坐标为 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ∴，随增大而减小，A正确； ∵对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限； ∴当时，函数图象经过第一、二、四象限，而非第一、三、四象限，B错误； 当时，，图象与轴交点为，C正确； ∵随增大而减小，且时， 故时，D正确； 故选：B． 4. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一次函数的交点结合图形得出不等式的解集，即可得解． 【详解】解：一次函数与（为常数，）的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示为 5. 为了了解我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这6000名学生的数学会考成绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量是200，其中说法正确的有（  ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. l个 【答案】C 【解析】 【详解】解：本题中的个体是每个考生的数学会考成绩，样本是200名考生的数学会考成绩， 故（2）和（3）错误； 总体是我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，样本容量是200． 所以（1）和（4）正确． 故选C． 6. 下列调查方式合适的是（ ） A. 为了解镇江市初中生平均每天的阅读时间，采用普查的方式 B. 为了解一批手机电池的使用寿命，采用普查的方式 C. 为了解某班学生的身高情况，采用普查的方式 D. 为了解“天问一号”零件的质量情况，采用抽样调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】普查适用于调查范围小，调查无破坏性，要求结果准确的情况，抽样调查适用于调查范围大，调查有破坏性，不需要精确结果的情况，据此逐一判断选项即可． 【详解】A选项中，镇江市初中生人数多，调查范围大，适合抽样调查，因此A不合适； B选项中，调查手机电池使用寿命具有破坏性，无法采用普查，适合抽样调查，因此B不合适； C选项中，一个班的学生人数少，调查范围小，适合采用普查，因此C合适； D选项中，“天问一号”零件质量要求精准，必须采用普查，抽样调查不合适，因此D不合适． 7. 在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. ①填 B. ②填 C. ③填 D. ④填 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 8. 如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从向点运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，再根据点的运动轨迹分析长度的变化情况，进而得出长度的变化规律． 【详解】解：是的中点，是的中点，  是的中位线，  ．   四边形是平行四边形，  ．   点从向点运动的过程中，   当时，的长度最小．， 的长度先减小再增大， 的长度先减小再增加． 9. 如图是某饮品店经过一段时间的统计后，绘制的关于“卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间关系的趋势图”．请你预测一下，当一天的最高气温为时，饮品店卖出的冷饮杯数大约为（ ） A. 155杯 B. 140杯 C. 130杯 D. 120杯 【答案】A 【解析】 【详解】解：观察统计图可知，随着温度的升高，卖出的冷饮杯数随着气温的升高逐渐呈现上升趋势，且温度每升高，冷饮杯数大约增加5杯， 由统计图可知时，冷饮杯数约为150杯，则时，饮品店卖出的冷饮杯数约为155杯． 10. 八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（ ） A. 甲组跳绳次数的波动比乙组大 B. 乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C. 甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D. 乙组跳绳次数的最大值大于190 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组，  则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170，  ，  乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195，  乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 11. 如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、全等三角形的判定与性质，熟练光的反射定律是解题的关键． 延长，交与x轴于点D，根据光的反射定律，可证明，从而求得延长线与x轴的交点坐标，将它代入函数的函数关系式即可． 【详解】解：延长交x轴于点D， 根据光的反射可得， 又 ， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在光线：上， ， 解得：， 故选：A． 12. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之左右移动，已知是边的中点，连接，．下列判断正确的是　　 结论Ⅰ：在移动过程中，的长度不变； 结论Ⅱ：当时，四边形是平行四边形． A. 结论Ⅰ、Ⅱ都对 B. 结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C. 只有结论Ⅰ对 D. 只有结论Ⅱ对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以判断结论Ⅰ；根据，证明，，即可判断结论Ⅱ，进而可以解决问题． 【详解】解：是边的中点，， ，故结论Ⅰ正确； ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形，故结论Ⅱ正确， 故选：A 二、填空题（共4小题，共12分） 13. 已知一组数据3、a、4、6的众数为3，则这组数据的中位数是_______． 【答案】3.5 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，确定，再根据中位数的定义进行求解即可. 【详解】解：∵3、a、4、6的众数为3， ∴， ∴这组数据3、3、4、6的中位数为. 14. 点，关于轴对称，则___． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点，关于轴对称， ，， ． 15. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图—作垂线，菱形的判定和性质，勾股定理，根据作图可知：垂直平分，证明，得到，推出四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：10． 16. 如图，正方形的边长为，为坐标原点，和分别在轴、轴上，点是边的中点，过点的直线交线段于点，连接，若平分，则的值为________． 【答案】1或3 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，分类讨论当点与点重合和当点不与点重合的情况即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 如图所示：作， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， ∴； 当点与点重合时，满足平分， 此时， 将代入得：， ∴． 综上所述，的值为1或3． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 2025年4月15日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人，探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（）与操控无人机的时间t（）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： （1）图中的自变量是_____；无人机在高的上空停留的时间是_____ ； （2）在上升或下降过程中，无人机速度为____； （3）图中a表示的数是_____；b表示的数是_____ ； （4）当第时无人机的飞行高度是_____． 【答案】（1）操控无人机的时间；5 （2）25 （3）2；15 （4）25 【解析】 【分析】（1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案； （2）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （3）根据（2）中的速度代入行程公式即可得到答案； （4）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案. 【小问1详解】 解：由题意可得，∵无人机高度随时间变化而变化， ∴自变量是操控无人机的时间（或t）； 由图象可得，分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟； 【小问2详解】 解：由分钟图象可得， 无人机的速度为：（米/分钟）， 【小问3详解】 解：由（2）可得， ，， 解得：，， 【小问4详解】 解：由（2）可得， ， ∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米）， 答：第分钟时无人机的飞行高度是米． 18. 如图1，嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． （1）嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是__________度； （2）如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且 求行程中珍珍转过的角度的和（即的值）． 【答案】（1）360 （2） 【解析】 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【小问1详解】 解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵在五边形中， ∴ ． 19. 有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相同，在生长旺季，两家均排出优惠方案.甲园的优惠方案是:采摘的草莓不超过时，按原价销售；若超过超过部分折优惠；乙园的优惠方案是:游客进园需购买元门票.采摘的草莓直接按降价出售.已知在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同. 在乙采摘园所需费用( 元)与草梅采摘量(千克)满足一次函数关系，如下表: 数量/千克 ··· 费用元 ··· （1）求与的函数关系式(不必写出的范围)； （2）求两个采摘园的草莓在生长旺季前的销售价格.并求在甲采摘园所需费用(元)与草莓采摘量(千克)的函数关系式； （3）若嘉琪准备花费元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多数量的草莓？ 说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）去乙园采摘可以得到更多数量的草莓. 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法由当时，； 当时，即可求解； （2）设草莓在生长旺季前的销售价格为元/千克，根据在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同列方程即可求出销售价格为元/千克；依据收费规则直接可得； （3）利用已求出函数解析式分别求出当花费元可得草莓数量进行比较即可解答． 【详解】解:（1）设与的函数关系式为 当时，； 当时， 解得: ． （2）设草莓在生长旺季前的销售价格为元/千克，根据题意，得： 解得:(元/千克)． ． 答：去乙园采摘可以得到更多数量的草莓． 当时，有:． 解得； 当时，， ， 解得， ． 去乙园采摘可以得到更多数量的草莓． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． 20. 如图，若三角形是由三角形平移后得到的（点的对应点分别是点），且三角形中任意一点经过平移后的对应点为，且，，． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）求三角形的面积． （3）在轴正半轴上是否存在点，使得三角形为等腰三角形，若存在请直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图，三角形即为所求；点的坐标为； （2）； （3）存在，点P的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中任意一点经过平移后的对应点为，得到平移规则为三角形先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，画出三角形，进而写出点的坐标即可； （2）根据割补法计算即可； （3）根据等腰三角形的定义分三种情况，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：三角形的面积； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴，，， 分三种情况讨论： ：可知，即， 解得：， ∵， ∴​， 即； ：可知，即， 由完全平方公式可知， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 即； ：可知， 解得：， 即； 综上所述，存在，点P的坐标为或或． 21. 年是“十五五”规划开局之年，人工智能与机器人制造被明确列为高质量发展核心抓手．我国人工智能机器人已进入规模化商用爆发期，在人形机器人硬件集成、产业链完备度、场景落地应用等方面全球领先，正从“技术追赶”迈向“定义标准”新阶段．某校组织九年级学生进行人工智能机器人知识答题竞赛，竞赛共有道单选题，答对一题得分，答错得分，根据最终成绩分为四个等级（等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分，等级得分为分及以下），并抽取了部分学生的成绩整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）该调查的样本容量为______，等级所在扇形对应圆心角的度数为______． （2）请补全条形统计图． （3）若该校九年级共人参加此次竞赛，请估计此次竞赛成绩达到分及以上的九年级学生人数． 【答案】（1）， （2） （3）人 【解析】 【分析】用等级的人数除以其百分比可求出样本容量，用等级的人数占比乘以可求出其所在扇形对应圆心角的度数； 求出等级的人数，进而补全条形统计图即可； 利用样本估计总体的方法解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴该调查的样本容量为， ∵， ∴等级所在扇形对应圆心角的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校此次竞赛成绩达到分及以上的九年级学生约有人． 22. 石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）根据菱形的性质，得到，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据勾股定理求得，根据菱形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， 在中，为的中点， ， 在中，， ， 四边形为菱形， 菱形的周长为． 23. 如图，已知一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数； （2）若点在该函数图象上，连接，求的面积； （3）若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）能， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，较难的是（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可得； （3）先求出点的坐标为，再求出两个临界位置：①当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上和②当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，利用全等三角形的性质求出的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 24. 综合与实践 【问题情境】 如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将沿所在的直线折叠，得到． 【特例感知】 （1）如图1，当点在上时，请判断四边形的形状，并证明． （2）如图2，当点在对角线上时， ①的长为__________，的长为__________． ②求此时的长． （3）如图3，当点在对角线上时，与相交于点，求的长． 【深入探究】 （4）连接，当的面积为4时，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形，见解析；（2）①10，4；②3；（3）；（4）或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由折叠的性质以及正方形的判定定理解答即可； （2）由折叠，得，，，根据勾股定理得，进而求出， ②设，则，，由勾股定理得，即，解得，即可得解； （3）由折叠，得，，由勾股定理得，根据等面积法得，解得，再根据垂直平分得，即可得解； （4）分两种情况讨论：如图1，当点在矩形内部时；当点在矩形外部时；综上即可得解． 【详解】（1）四边形是正方形， 证明：由折叠的性质得，， ∴ ∴四边形是矩形 ∵， ∴四边形是正方形； （2）①由折叠，得，，， 在中，， ∵点在对角线上， ∴， 故答案为：10，4． ②设，则，， 在中，，即， 解得， ∴； （3）由折叠，得，， ∵点在对角线上， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵垂直平分， ∴； （4）或， 分两种情况： 如图1，当点在矩形内部时，过点作，延长，交于点，则， ∴四边形是矩形，则， ∵的面积为4，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 由折叠可知，， 设，则 在中， ∴ 解得：， 由折叠可知，； 如图2，当点在矩形外部时，过点作，交于点，则， ∵的面积为4，， ∴， ∴， 在中，， 同理在中， ∴ 解得：， 由折叠可知，， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $