暑假专项提升--平行四边形的性质与判定 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 2025-2026学年人教版八年级下学期暑假专项提升题集，聚焦平行四边形性质与判定，通过9道单选、7道填空、8道解答题，实现基础巩固到综合应用的梯度训练，适配暑假提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|性质应用（对边/对角/面积）、判定条件辨析、动点问题|结合动态图形（如P点移动）考查性质不变量，辨析易混判定条件| |填空题|7|对角线性质、中位线、添加条件判定、角度计算|设置开放性条件补充题（如第11题），融合中点与面积关系| |解答题|8|全等证明、梯形转化、动点最值、综合探究|以“问题呈现-分析-解决”模式（如第24题）设计探究题，结合梯形、动点最值等综合应用|

暑假专项提升--平行四边形的性质与判定 2025-2026学年 初中数学人教版（2024）八年级下学期 一、单选题 1．在如图所示的平行四边形中，P在边上移动（不与端点重合），连接，，则下列不为定值的是（     ） A． B． C．的面积 D．面积与面积之和 2．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知四边形中，与交于点O，如果只给出条件“”，那么（    ） ①再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ②再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ③再加上条件“”，四边形一定是平行四边形； ④再加上条件“”，四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④ 4．如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 6．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 7．如图，在中，，，为边上一动点，以，为边作，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，在上取点，使，连接，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，代数式值不变的是(   ) A． B． C． D． 9．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交于点．喜欢探究的小东通过独立思考，得到以下结论：①当是的中点时；②当的形状变化时，点有可能为的中点．下列判断正确的是（    ） A．①，②都正确 B．①，②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二、填空题 10．如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 11．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 12．如图，在中，四个内角的角平分线，，，交于E，F两点，，，，则的长为______． 13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则OB的长为_____ ． 14．如图，在中，，，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若平分，则的长为 ______ 15．如图，中，，，，则______，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值______． 16．简单探究：如图1，中，，，，求的长．可在上截取点，使，连接，将转化为一个等腰三角形和一个等腰直角三角形，从而求得的长为______．如图2，在菱形中，与交于点，，，定长线段在对角线上运动，点在点上方，且，连接和．当的值最小时，的长是______． 三、解答题 17．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 18．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，在中． (1)点坐标为____________，点坐标为____________，点坐标为____________． (2)的形状为____________． (3)若以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，写出点的坐标____________． 19．如图，四边形ABCD中，，，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：． 20．已知：如图，在梯形中，，平分，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若的周长为，，求梯形的面积． 21．如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 22．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作于点G，若，，求四边形的面积． 23．如图，在四边形中，，对角线、交于点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，过点作交的延长线于点． （ⅰ）求证：为的中点． （ⅱ）连接交于点，过点作于点，若，，求的长． 24．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②、过点C、M分别作的平行线，并交于点P．作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)证明：； (2)的大小为_______度，线段长度的最小值为_______ (3)如图③，长方形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动，若，求的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C C C C A C B C 1．A 解：∵，的值无法确定， ∴不是定值， 故选项A符合题意； ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即是定值， 故选项B不合题意； 过作于， ∴，， ∴， 即的面积是定值， 故选项C不合题意； ∵， ∴面积与面积之和是定值， 故选项D不合题意； 2．C 根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 3．C 加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，①错误；加上，得出，则四边形一定是平行四边形，②正确；加上，证出，可得，则四边形一定是平行四边形，③正确；加上，证出，可得，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，④错误． 解：由题意，画出图形如下： ∵， ∴加上，则四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；①错误； ∵， ∴， 加上， ∴， ∴， ∴四边形一定是平行四边形；②正确； ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形一定是平行四边形；③正确； ∵， ∴，， 加上， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，此时四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形；④错误； 综上，正确的是②和③． 4．C 由平行四边形的性质得，，再由平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，确定，得出，即可求解． 解：在中，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ． ∴，即， 平分交于点， ． 5．C 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． ∵四边形是平行四边形， ∴，,, ∴， ∵，， ∴， ∴（）①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形；②正确； ∵， ∴不一定相等；③错误； ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴,,， ∴， ∴;④正确． 6．A 过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 7．C 根据平行四边形的对角线互相平分，设与交于点，则为中点，，当时，最小，即最小，然后通过勾股定理即可求解 解：如图，设与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为边上一动点， ∴当时，的值最小，此时的值最小，如图 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 8．B 设，则，由平行四边形的性质得，；由等腰三角形的性质及三角形内角和得，从而；在上取点G，连接，使，则，故有；再由得，得，即，从而确定答案． 解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∴； 在上取点G，连接，使， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； 故当，发生变化时，代数式的值不变； 9．C 过点F作，交于点G，根据角平分线的性质和平行线的性质证明，，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出，判断①正确；连接，则平分，证明，求出，得出，说明这与三角形内角和为矛盾，判断②错误． 解：过点F作，交于点G，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 连接，则平分， ∴， 若E为的中点，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵三角形内角和为， ∴这与三角形内角和为矛盾， ∴当的形状变化时，点有可能为的中点，故②错误． 故选：C． 本题主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练熟练掌握相关的判定和性质． 10． 先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 11． （或或） 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 12． 先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 解：如图，延长交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴， 同理可得， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 13． 6 解：∵点E、F是、的中点， ∴在中，， 且， ∴． 14． 过点B作交于H点，过点B作，交的延长线于G，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质可知，，根据勾股定理可知，，再由线段的和差关系可知，即可求解． 解：过点B作于H点，过B作，交的延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴, ∴， ∵， ∴中， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15． 5 根据勾股定理可得的长，设与交于点，过点作，由题意易得，要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长，然后问题可求解． 解：∵，，， ∴， 设与交于点，过点作，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， 要使的值为最小，则需满足的值也为最小，根据点到直线，垂线段最短可知：当时，的值为最小，即为的长， 连接，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：；在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 16． / 3 根据，，得到，，结合，得到，于是得到，根据．在上截取点，使，连接， 过点A作，且，连接，则四边形是平行四边形，，转化为，根据，当G，F，C三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值，连接交于点M，解答即可． 解：根据题意，得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 在上截取点，使，连接，菱形中，与交于点，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点A作，且， 连接， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴转化为， ∵， ∴当G，F，C三点共线时，取得最小值，此时也取得最小值， 连接交于点M， ∴当F与点M重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线定理，两点之间线段最短，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 17．(1)见解析 (2) （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解即可． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵ ∴，即 ∴． 18．(1) (2)直角三角形 (3)或或 （1）根据点A和点C的坐标，利用勾股定理可以求得的长； （2）先判断的形状，然后根据勾股定理求得、和的长，再根据勾股定理的逆定理判断的形状即可； （3）根据题意画出点D所在的位置，然后写出点D的坐标即可． （1）解：根据图象得：A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为． （2）解：根据网格得：，， ，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示， 由图可得，以、、及点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 19．(1)见解析 (2)见解析 （1）根据平行线的性质可证，又因为，等量代换可得，根据同旁内角互补两直线平行，可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）根据平行四边形的性质可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． （1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）可知四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3) （1）利用边角边论证三角形全等； （2）延长交于，则四边形为平行四边形，进而论证，利用等量代换即可得到结论； （3）通过论证是直角三角形得到梯形的高为，利用梯形面积公式求解即可． （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长交于， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴ ． 21． 容易证明，则点为的中点，由中位线的性质可得，因此． 解：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2) （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，可得，，进而判定，再利用全等三角形的性质可证四边形为平行四边形． （2）根据线段的和差，勾股定理即可求解． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理，得， ∴． 23．(1)证明：， ，； 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； (2)（ⅰ）证明：， ． ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ，即为的中点； （ⅱ）． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，结合题中给出的条件求出，根据全等三角形的性质得出，即可求证四边形是平行四边形； （2）（ⅰ）根据平行四边形的判定求出四边形是平行四边形，则有，根据平行四边形的性质可知，即可求证； （ⅱ）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可判定四边形是矩形，则有，根据求出是等腰直角三角形，根据设，即可求解． （1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 设，则，， ． ， ， ， ， ． 24．(1)证明：∵过点C、M分别作的平行线，并交于点P， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴. (2)； (3)10 （1）根据平行四边形的性质，得到，结合已知条件即可得证； （2）根据平行线的性质，结合三角形的外角的性质，等边对等角，求出，根据垂线段最短得到当时，最短，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）过点作，交于点，延长至点，使，连接，则即为的最小值，利用勾股定理进行求解即可. （1）证明：略. （2）解：∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，最短，此时的值最小， ∵， ∴当时，， ∴线段长度的最小值为； （3）解：过点作，交于点，延长至点，使，连接， ∵长方形，，G是的中点， ∴，，，，， ∴四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，，， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $