微专题07 平行四边形的性质与判定的综合解答题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题07 平行四边形的性质与判定的综合解答题 题型一 平行四边形性质与判定的综合 1. 判定优先：先根据题干条件，选择合适的平行四边形判定定理（两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等），证明四边形是平行四边形；2. 性质应用：证明为平行四边形后，利用其性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）求解边长、角度、线段关系等；3. 关键技巧：注意判定与性质的逆向运用，若已知是平行四边形，可直接用性质推导条件，再结合判定解决综合问题；计算时注意线段的等量代换，避免漏用已知条件。 1.如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，直接求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据全等结论和平行四边形性质，得，结合，推出，即为等腰三角形．由全等得，即是中点，根据等腰三角形三线合一，可知是（即）的角平分线．由平行四边形性质，即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）由（1）知， 在平行四边形中 ， ∴． ∵， ∴． ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是底边的中线、高线，及顶角的角平分线（等腰三角形三线合一）， ∴． 2．四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ，， ∵O为对角线的中点， ∴ ∴， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长； 同理可得四边形的周长， ∵四边形与四边形的周长分别是16与10， ∴， ∴， ∴的周长． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 4．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证； （2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接交于． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用对角线互相平分的条件，证明三角形全等，得到两组对边平行，从而判定平行四边形； （2）利用平行四边形性质和中点条件，证明三角形全等，得到对角线互相平分，从而判定平行四边形； （3）利用平行四边形面积关系，结合等底等高的三角形面积相等，求出的面积． 【详解】解：（1）证明：在和中， ， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， 与互相平分， 四边形是平行四边形． （3）由（2）知，四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ， 和等底同高， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，掌握平行四边形的判定定理和全等三角形的性质是解题的关键． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【分析】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想，掌握利用平行四边形和等腰三角形的性质推导线段关系，结合分类讨论解决多位置问题是解题的关键． 题型二 矩形性质与判定的综合 1. 判定思路：矩形的判定分两类——① 先证四边形是平行四边形，再证有一个角是直角或对角线相等；② 直接证四边形的三个角是直角；2. 性质应用：矩形兼具平行四边形所有性质，额外利用“四个角都是直角、对角线相等且互相平分”求解，尤其注意对角线相等的性质在求线段长度、证明线段相等中的应用；3. 关键技巧：可结合“整体思想”，将相关线段、角度看作一个整体代入计算，简化运算；涉及折叠、对称时，利用矩形的轴对称性找等量关系。 1．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 3．（25-26九年级下·全国·期末）如图所示，在矩形中，E为的中点，N为对角线的中点．连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是正确构造三角形中位线进行求解． （1）连接，延长交于点H，可得是的中位线，是的中位线，再证明四边形为矩形，则，而，即可证明； （2）先由求出，然后证明出，即可求解，再证明，即可运用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：连接，延长交于点H， ∵四边形是矩形 ∴ 又 ∵点M、E、N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ 故； （2）解：由（1）得四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴的面积． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，平行四边形的对角线与交于点O，点E是中点，连接交于点F，延长至点G，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先结合四边形是平行四边形，得，又因为，得出是的中位线，根据点E为中点，证明，得出，证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，以及证明四边形是矩形，过E作于点H，运用30度直角三角形所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， 又， ∴是的中位线， ， 又 又点E为中点， ， ， ∴四边形是平行四边形 （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， 又∵， ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴， 过E作于点H， 在中，， ∴, ∵， ， ， 又在中，， ∴， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据三线合一可得，由外角的性质和角平分线的定义得，从而，由得，从而四边形为矩形． （2）由四边形为矩形，则，结合已知可得，从而四边形是平行四边形； （3）由四边形为矩形可得F是中点，由四边形是平行四边形可得，从而是的中位线，即可解答． 【详解】（1）证明：在中，是的角平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形； （2）证明：四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形，则． 又， ， 四边形是平行四边形； （3）解：，．理由： 四边形为矩形， ， ， 是的中位线， ∴，． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·月考）综合与探究 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为，的中点，延长至点E，使，连接． (1)求证： (2)若， ①判断四边形的形状，并说明理由． ②当，时，四边形的面积是________． 【答案】(1)见详解 (2)①四边形是矩形，理由见详解；②24 【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到； （2）①依据全等三角形的性质，即可得出四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到是直角，进而得到四边形是矩形；②根据勾股定理求出，从而求出，再根据矩形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，对角线与交于点， ， 又 ∵点分别为的中点， ∴，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：①， ， 又， ， ， ， ∴，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又是的中点， ， ， 四边形是矩形； ②， ， 是的中点， ∴， ∵，， ∴ ， ∴矩形的面积． 题型三 菱形性质与判定的综合 1. 判定思路：菱形的判定分两类——① 先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；② 直接证四边形的四条边都相等； 2. 性质应用：菱形兼具平行四边形所有性质，重点利用“四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角”求解，涉及角度计算时，可借助对角线平分对角的性质转化角度； 3. 关键技巧：计算菱形边长、对角线长度时，常结合勾股定理（对角线互相垂直构成直角三角形），注意边长与对角线一半的数量关系，避免计算失误。 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长为． 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形、平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据条件得到，即可得出结论； （2）先证明四边形是菱形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴四边形的周长． 2．如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由菱形的性质得出，得出，证出四边形是平行四边形，再由，即可证出四边形是菱形； （2）求出，得出再证出，在中，由勾股定理求出， 即可得出菱形的周长． 【详解】（1）证明：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，四边形 是菱形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴菱形的周长． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键． （1）先证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而推出四边形是菱形即可； （2）过点作交的延长线于点，则，根据菱形的性质和推出和都是等边三角形，得出，再求出，根据所对的直角边等于斜边的一半，得出，最后根据勾股定理求解和即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴， ∵在中， ∴根据勾股定理，， ∴CF的长是． 4．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． ()根据平行四边形的性质可证，，根据：点分别是的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； ()根据菱形对角线垂直且平分的性质，得；根据三角形的面积可求得，进一步求得的值，在中，利用勾股定理计算出． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ，分别是和的中点， ，. ，， 四边形为平行四边形. ， ， 四边形为菱形； （2）如图，过点作于点， 由（）知四边形为菱形， ∵，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 6．已知菱形，点E是射线上一点，点F是射线上一点，且，以为邻边作四边形，要求B，E，G，F按逆时针顺序排列（与时针走向相反即为逆时针），且，，连接，点H是的中点，连接． (1)如图，当点E在边上时， ①求证：四边形是菱形； ②试确定与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)4 【分析】（1）①先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形；②取的中点O，连接，由三角形中位线定理得到，由菱形的性质得到，，，则可证明，即，进而可证明，即O、C、H三点共线，则； （2）可证明四边形是正方形，四边形是正方形，由勾股定理得，由勾股定理得，则；取的中点O，则，由（1）可得，据此可得，则． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； ②，理由如下： 如图所示，取的中点O，连接， ∵点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即O、C、H三点共线， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， 同理可得四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴； 如图所示，取的中点O，则， 由（1）可得， ∴， ∴． 题型四 正方形性质与判定的综合 1. 判定思路：正方形的判定需兼顾矩形和菱形的特征——① 先证四边形是平行四边形，再证有一个角是直角且一组邻边相等；② 先证四边形是矩形，再证一组邻边相等；③ 先证四边形是菱形，再证有一个角是直角； 2. 性质应用：正方形兼具平行四边形、矩形、菱形所有性质，可灵活运用“四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分”求解，是综合题型的核心考点； 3. 关键技巧：灵活运用“整体思想”，对所求式子进行适当变形，将已知条件整体代入，简化运算；涉及全等三角形、等腰直角三角形时，结合正方形的性质快速构造全等。 1．（2024春•新昌县期末）如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连结AE，AF，已知BF＝DE，AF⊥AE． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）若∠DAE＝30°，DE＝1，求四边形AECB的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明∠BAF＝∠DAE，进而可依据“AAS”判定△ABF和△ADE全等，则AB＝AD，由此可得出结论； （2）在Rt△ADE中，根据∠DAE＝30°，DE＝1得AE＝2，AD，则S正方形ABCD＝AD2＝3，S△ADEAD•DE，由此可得四边形AECB的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠ABF＝∠D＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠BAF+∠BAE＝90°， ∴∠BAF＝∠DAE， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD为正方形； （2）解：在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝1， ∴AE＝2DE＝2， 由勾股定理得：AD， ∴S正方形ABCD＝AD2＝3，S△ADEAD•DE， ∴S四边形AECB＝S正方形ABCD﹣S△ADE． 2．（2024春•巴音郭楞州期末）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：四边形CEDF为正方形； （2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形； （2）利用三角形面积求法得出CE的长． 【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴四边形FCED是矩形， 又∵∠A，∠B的平分线交于D点， ∴DF＝DE＝DN， ∴矩形FCED是正方形； （2）解：∵AC＝12，BC＝16，∠C＝90°， ∴AB20， ∵四边形CEDF为正方形， ∴DF＝DE＝DN， ∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC， 则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC， 故． 3．（2024春•石狮市校级期末）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)20． 【分析】（1）连接AC，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，先证AECF是菱形，然后根据∠AED＝45°，可证∠AEC＝90°，从而证得四边形AECF是正方形； （2）由（1）可得AC＝EF，所以可以求出菱形ABCD的对角线长度，然后利用菱形的面积等于对角线的乘积的一半即可求解． 【详解】解：（1）连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD， ∵BE＝DF， ∴BE+OB＝DF+DO， ∴FO＝EO， ∴EF与AC垂直且互相平分， ∴四边形AECF是菱形， ∴∠AEF＝∠CEF， 又∵∠AED＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴菱形AECF是正方形； （2）∵BD＝4，BE＝3， ∴FD＝3， ∴EF＝10， ∴AC＝10， ∴菱形ABCD的面积AC•BD10×4＝20． 5．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 题型五 平行四边形的综合压轴题 1. 图形分析：先明确题干中四边形的类型（平行四边形、矩形、菱形、正方形），梳理已知条件（边长、角度、对角线关系等），标注图形中的等量关系； 2. 面积求解：优先用常规面积公式，不规则图形采用“割补法”（分割成三角形、平行四边形等规则图形，或补全成规则图形），结合代数式表示面积，再代入数值计算； 3. 综合突破：结合全等三角形、勾股定理、轴对称、平移旋转等知识，分步求解，先解决简单的线段、角度问题，再突破复杂的综合设问；注意多问之间的关联，前一问的结论可作为后一问的已知条件。 1．（2026·甘肃陇南·一模）如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）设，则．根据平行线的性质、垂直的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，即，由等角对等边可得，进而得到，再结合即可证明结论； （2）①先证四边形为矩形，再证明，根据全等三角形的性质即可解答；②先四边形为菱形，易得；如图：过点作于点，利用等腰三角形三线合一可得，再证明可得，进而证明结论． 【详解】（1）证明：设，则． ∵， ． ， ． ． 在中，， ． ． 又， ． ∵， 四边形为平行四边形． （2）解：①∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ， ， 由（1）可得：， ∴， ∴． ②．理由如下： ，四边形为平行四边形， 四边形为菱形． ． ， ． 如图：过点作于点， ∵， ． ∵， ． ， ． ． ． 2．（25-26九年级上·全国·月考）综合与探究 (1)如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． (2)把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①证明是的垂直平分线，≌，得到，进而证明； ②根据菱形的性质推出，进而解题即可； （2）延长到M，使，连接，证明≌以及是等边三角形，证明≌以及是等边三角形，推出，，即可得解． 【详解】（1）①证明：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长到M，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∵H为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵ ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 4．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平分，可得，利用四边形是平行四边形，求证即可; （2）连接、，根据平分，四边形是矩形，可得和都是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一，可得，，，证明，即可得是等腰直角三角形，即可求解； （3）延长、交于点，连接，求证四边形是菱形，证明可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，． ，． 平分， ． ． ， ． ． （2）如图，连接、， ∵四边形是矩形， ，． ． 平分， ． ． ，，． ． 又是的中点， ，，． ． 在和中， ， ． ，． ， ． ． ． （3）如图，延长、交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ∴四边形为平行四边形． ，平分， ，． ． ． ， ． ∴平行四边形为菱形． ，． 、为等边三角形． ． ， ， ∴四边形为平行四边形． ，． ，， ． 在和中， ， ． ． ， ． ． 5．（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2) ； 【分析】（）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （）根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长； 通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点与关于对称， ∴， ∴； （2）解： ，，三点共线，且点与关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴四边形的周长为； 设与交于点，过点作的平行线，交，分别于点，， ∵点关于的对称点为点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等腰的边的中点， ∴为中点，为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， 在Rt中，， 解得， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形判定与性质、勾股定理，轴对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键． 6．（2025八年级上·上海·专题练习）如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接交于点G，延长交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，求证：； (3)如图③，四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点P．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点作交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答； （3）由勾股定理可得的值，可得，证明，再证明为等边三角形，可得，最后根据梯形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵ ∴四边形为矩形， 则， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过点作交于，如图2所示： 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）得四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ∵四边形与四边形关于直线对称， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ∴梯形的面积为： ， 故答案为：． 【点睛】本题为四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握上述性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（），得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接，则，，， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键． 8．（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)矩形是正方形；见解析； (3)线段的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题07 平行四边形的性质与判定的综合解答题 题型一 平行四边形性质与判定的综合 1. 判定优先：先根据题干条件，选择合适的平行四边形判定定理（两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等），证明四边形是平行四边形；2. 性质应用：证明为平行四边形后，利用其性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）求解边长、角度、线段关系等；3. 关键技巧：注意判定与性质的逆向运用，若已知是平行四边形，可直接用性质推导条件，再结合判定解决综合问题；计算时注意线段的等量代换，避免漏用已知条件。 1.如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，直接求的度数． 2．四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 4．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 题型二 矩形性质与判定的综合 1. 判定思路：矩形的判定分两类——① 先证四边形是平行四边形，再证有一个角是直角或对角线相等；② 直接证四边形的三个角是直角；2. 性质应用：矩形兼具平行四边形所有性质，额外利用“四个角都是直角、对角线相等且互相平分”求解，尤其注意对角线相等的性质在求线段长度、证明线段相等中的应用；3. 关键技巧：可结合“整体思想”，将相关线段、角度看作一个整体代入计算，简化运算；涉及折叠、对称时，利用矩形的轴对称性找等量关系。 1．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 3．（25-26九年级下·全国·期末）如图所示，在矩形中，E为的中点，N为对角线的中点．连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)连接，若，求的面积． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，平行四边形的对角线与交于点O，点E是中点，连接交于点F，延长至点G，使，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长度． 5．已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·月考）综合与探究 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为，的中点，延长至点E，使，连接． (1)求证： (2)若， ①判断四边形的形状，并说明理由． ②当，时，四边形的面积是________． 题型三 菱形性质与判定的综合 1. 判定思路：菱形的判定分两类——① 先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；② 直接证四边形的四条边都相等； 2. 性质应用：菱形兼具平行四边形所有性质，重点利用“四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角”求解，涉及角度计算时，可借助对角线平分对角的性质转化角度； 3. 关键技巧：计算菱形边长、对角线长度时，常结合勾股定理（对角线互相垂直构成直角三角形），注意边长与对角线一半的数量关系，避免计算失误。 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 2．如图，E，F是菱形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 3．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 6．已知菱形，点E是射线上一点，点F是射线上一点，且，以为邻边作四边形，要求B，E，G，F按逆时针顺序排列（与时针走向相反即为逆时针），且，，连接，点H是的中点，连接． (1)如图，当点E在边上时， ①求证：四边形是菱形； ②试确定与的位置关系，并说明理由； (2) 若，，，求线段的长．（直接写出答案） 题型四 正方形性质与判定的综合 1. 判定思路：正方形的判定需兼顾矩形和菱形的特征——① 先证四边形是平行四边形，再证有一个角是直角且一组邻边相等；② 先证四边形是矩形，再证一组邻边相等；③ 先证四边形是菱形，再证有一个角是直角； 2. 性质应用：正方形兼具平行四边形、矩形、菱形所有性质，可灵活运用“四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分”求解，是综合题型的核心考点； 3. 关键技巧：灵活运用“整体思想”，对所求式子进行适当变形，将已知条件整体代入，简化运算；涉及全等三角形、等腰直角三角形时，结合正方形的性质快速构造全等。 1．（2024春•新昌县期末）如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连结AE，AF，已知BF＝DE，AF⊥AE． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）若∠DAE＝30°，DE＝1，求四边形AECB的面积． 2．（2024春•巴音郭楞州期末）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F． （1）求证：四边形CEDF为正方形； （2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长． 3．（2024春•石狮市校级期末）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 4．（2024春•淮南期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形． （2）若AD＝AE，AB＝2， （ⅰ）求AG的长； （ⅱ）求OF的长． 5．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 题型五 平行四边形的综合压轴题 1. 图形分析：先明确题干中四边形的类型（平行四边形、矩形、菱形、正方形），梳理已知条件（边长、角度、对角线关系等），标注图形中的等量关系； 2. 面积求解：优先用常规面积公式，不规则图形采用“割补法”（分割成三角形、平行四边形等规则图形，或补全成规则图形），结合代数式表示面积，再代入数值计算； 3. 综合突破：结合全等三角形、勾股定理、轴对称、平移旋转等知识，分步求解，先解决简单的线段、角度问题，再突破复杂的综合设问；注意多问之间的关联，前一问的结论可作为后一问的已知条件。 1．（2026·甘肃陇南·一模）如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 2．（25-26九年级上·全国·月考）综合与探究 (1)如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． (2)把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 3．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 4．（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）在平行四边形中，的平分线交直线于E，交直线的延长线于点F． (1)在图1中证明； (2)若四边形是矩形，G是的中点（如图2），直接写出的度数； (3)若，，，分别连接，（如图3），求的度数． 5．（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：； (2)当，且时． 如图，若，，三点共线，求四边形的周长； 如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 6．（2025八年级上·上海·专题练习）如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接交于点G，延长交的延长线于点F． (1)若，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，求证：； (3)如图③，四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点P．若，求四边形的面积． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 8．（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $