专题1.4 线段垂直平分线与角平分线（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题1.4 线段垂直平分线与角平分线 【本节预习目标】 1.经历探索线段、角的轴对称性的过程，理解线段垂直平分线、角平分线的轴对称特征，进一步发展空间观念与几何直观素养。 2.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理与判定定理，能规范运用定理进行线段长度、角度、面积的计算与简单几何证明。 3.了解三角形三边垂直平分线、三条角平分线的交点性质，能结合定理解决三角形中的基础综合问题。 4.能运用定理解决实际选址、路径规划等真实情境问题，体会转化与建模思想，发展逻辑推理与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 轴对称的性质 轴对称图形的定义；对称轴两侧的图形全等，对应线段相等、对应角相等 线段、角均为轴对称图形，其垂直平分线、角平分线所在直线是对称轴，定理可由轴对称性质推导 全等三角形 三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；全等三角形对应边、对应角相等 线段垂直平分线与角平分线的性质、判定均通过全等三角形推导，是定理证明的核心依据 距离的概念 两点之间的线段长度为两点间距离；点到直线的垂线段长度为点到直线的距离 线段垂直平分线研究“点到线段两端点的距离”，角平分线研究“点到角两边的距离”，需明确两类距离的本质区别 知识点1：线段的垂直平分线 1.性质定理与判定定理对比 类别 核心内容 符号语言 图例 性质定理 线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等 直线垂直平分线段AB，点在上 判定定理（逆定理） 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 点在线段AB的垂直平分线上 补充说明： 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合。 2.三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 符号语言：在中，若直线MN、EF、PQ分别垂直平分BC、AB、AC，且交于点，则。 知识点2：角平分线 1.性质定理与判定定理对比 类别 核心内容 符号语言 主要应用 性质定理 角平分线上的点，到角两边的距离相等 平分，， 判定定理（逆定理） 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ，，且 平分 补充说明： 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴； 角平分线可以看作是角的内部到角两边距离相等的所有点的集合； 判定定理中“角的内部”是必要前提，角外部到两边距离相等的点，不在该角的平分线上。 2.三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，该点到三角形三条边的距离相等。 符号语言：在中，若、、，的角平分线相交于点，，，，则。 【基础巩固题型】 【题型1】利用线段垂直平分线性质求线段长度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质定理；线段的和差计算 2.解题方法技巧 ①识别“垂直+平分”条件，直接得到对应线段相等； ②将待求线段通过等量代换，转化为已知线段的和或差； ③涉及三角形周长时，利用等线段替换，将分散的边整合为已知边长。 【例题1】.（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的垂直平分线，若的周长是，，则______． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（     ）    A．12 B．19 C．16 D．14 【变式题1-2】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为__________． 【题型2】利用角平分线性质求线段与面积 1.核心知识点 角平分线的性质定理；点到直线的距离；三角形面积公式 2.解题方法技巧 ①看到“角平分线+两边垂线”的条件，直接得出两条垂线段长度相等； ②计算三角形面积时，可将大三角形拆分为多个以角平分线交点为顶点的小三角形，利用等高分段计算； ③注意“距离”必须是垂线段长度，非垂直的斜线段不可直接使用性质。 【例题2】.（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，是的一条角平分线，，垂足为．是上一点，且．若，则的长为________． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【题型3】线段垂直平分线的判定证明 1.核心知识点 线段垂直平分线的判定定理；两点确定一条直线 2.解题方法技巧 ①判定一条直线是线段的垂直平分线，需证明直线上至少有两个点到线段两端距离相等； ②单个点只能说明它在垂直平分线上，不能直接判定过该点的直线就是垂直平分线； ③也可通过定义证明：直线过线段中点且与线段垂直，即“中点+垂直”双条件。 【例题3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【题型4】角平分线的判定证明 1.核心知识点 角平分线的判定定理；全等三角形的判定 2.解题方法技巧 ①先确定点在角的内部，再证明该点到角两边的垂线段长度相等； ②无现成垂线段时，作辅助线：过该点向角的两边作垂线，构造直角三角形； ③也可通过证明三角形全等得到对应角相等，从而判定角平分线。 【例题4】.（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【培优提升题型】 【题型5】线段垂直平分线与三角形角度综合计算 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质；等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理 2.解题方法技巧 ①由垂直平分线得等边，进而得到等腰三角形，推出底角相等； ②结合三角形内角和、外角性质，通过角的和差关系推导未知角度； ③多个垂直平分线共存时，分别转化等边，逐步传递角度关系。 【例题5】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分的垂直平分线交于点，交于点．连接．若，，则的度数是_________． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，是的角平分线． (1)求与的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【题型6】角平分线与三角形周长综合 1.核心知识点 角平分线的轴对称性；全等三角形性质；三角形周长计算 2.解题方法技巧 ①角平分线是对称轴，沿角平分线折叠后两边重合，对应线段、对应角相等； ②利用角平分线性质将三角形的周长转化为已知边长，实现整体代换； ③直角三角形中常结合HL全等证明线段相等，简化周长计算。 【例题6】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　） A．14 B．19 C．21 D．23 【变式题6-1】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若的周长为12，的周长为4，求的长． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 【题型7】垂直平分线的实际选址问题（真实情境） 1.核心知识点 线段垂直平分线的判定；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①“到两点距离相等的选址”：作两点连线的垂直平分线，与指定直线的交点即为所求； ②“到三点距离相等的选址”：作两条线段的垂直平分线，其交点即为所求； ③建模时先将实际地点抽象为几何点，路径抽象为线段，再运用定理求解。 【例题7】.（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，直线和射线是某厂区的两条路，点，是两个车间，现要建仓库，要求到两个车间的距离相等，并且到两条路的距离相等，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式题7-1】.（25-26八年级·全国·暑假作业）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内设一个临时休息点，使到两条道路的距离相等，且使到、两地的距离相等．用圆规、直尺作临时休息点的位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 【变式题7-3】.（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路、和两个城镇、（如图），准备建一个燃气控制中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 【压轴素养题型】 【题型8】三角形内外角平分线的夹角探究 1.核心知识点 角平分线的定义；三角形内角和与外角性质 2.解题方法技巧 ①两内角平分线形成的夹角：； ②一内角与一外角平分线形成的夹角：； ③推导时利用角平分线定义，结合三角形内角和、外角定理逐步化简，熟记结论可快速解题。 【例题8】.（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点E． (1)求的度数． (2)请猜想与之间的数量关系，请说明理由． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，从①平分、②平分、③中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成个命题． (1)这个命题中，真命题的个数为 ； (2)选择一个真命题并证明． 如图，已知 ， 求证： ． 证明： 或①③，②，证明如下： 是的外角， ， 同理， 平分， ． ， ． ， ， ， 平分． 或②③，①， 证明如下： 是的外角， ． 同理， 平分， ． ， ． ， ， ， ， 平分． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）如图，是的内角和的平分线的交点，是的内角和的平分线的交点，同样点是的内角和的平分线的交点，若，则________． 【题型9】传统文化与跨学科情境应用 1.核心知识点 角平分线、垂直平分线的实际应用；几何建模 2.解题方法技巧 ①从古代测量、工程建筑等情境中提取几何元素，转化为线段、角的数学模型； ②结合物理光路反射、地理定位等跨学科背景，利用对称性转化为平分线问题求解； ③验证结果是否符合实际情境，确保模型合理。 【例题9】.（25-26八年级下·江西景德镇·期中）图①是一个分角仪，其中； (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与定点A重合，D，E分别在边上，画射线，交于点P，是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，的面积是100，求的长． 是的平分线，， 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河北保定·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放在上，使点与点重合，点，分别在边，上，沿画射线交于点，则是的角平分线．请你对“是的角平分线”说明理由； (2)在（1）的条件下，过点作于点．若，，求的长． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 【变式题9-3】.（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【题型10】垂直平分线与角平分线的综合证明 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质与判定；角平分线的性质与判定；辅助线构造 2.解题方法技巧 ①综合题中通常双向运用性质与判定：先由条件得等边/等角，再由等边/等角证新的平分线； ②常用辅助线：见垂直平分线连端点得等边，见角平分线作两边垂线得等垂线段； ③证明过程逐步推导，每一步标注定理依据，保证逻辑严谨。 【例题10】.（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，平分交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、O、F，连接；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)试说明：． 请根据下列解答思路完成填空： 解：∵平分， ∴①__________________， ∵是线段的垂直平分线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴②__________________， ∵是线段的垂直平分线， ∴③__________________， ∴． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，对角线与交于点O，平分，平分． ①若，则的度数为_______度； ②若，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，是某农科院的一块试验田，是一条小路，为了进行更多种类农作物的培养试验，现计划对该试验田进行扩建，并将小路继续延长．首先从边的中点E处向外修一条与边垂直的小路，该小路与小路的延长线交于点F（即），再从点F向边设立一道垂直于的篱笆墙，交的延长线于点G（即），最后从F向B设立一道篱笆墙．已知平分，，，求扩建后的试验田的总面积（即四边形的面积）． 易错点 1、混淆两类“距离”：将线段垂直平分线的“点到线段两端点的距离（两点间距离）”与角平分线的“点到角两边的距离（点到直线的垂线段距离）”混淆，错误套用性质。 2、判定条件不充分：证明直线是线段垂直平分线时，仅证明一个点满足条件就下结论，忽略“两点确定一条直线”；角平分线判定忽略“角的内部”前提，误将角外部点判定为在角平分线上。 3、辅助线构造错误：应用角平分线性质时，未作两边的垂线段，直接用斜线段相等推导；遗漏垂直条件，错误套用性质定理。 重点 1、线段垂直平分线、角平分线的性质定理与判定定理，能准确运用定理进行线段、角度、面积的计算与基础证明。 2、三角形三边垂直平分线、三条角平分线的交点性质，能结合性质快速解决三角形综合问题。 3、两类定理的实际应用，能将真实情境问题转化为几何模型并求解。 难点 1、垂直平分线与角平分线综合证明中，辅助线的合理构造与逻辑推理的严谨性。 2、旋转探究、开放结论类问题的推导，以及内外角平分线等拓展模型的理解与灵活应用。 一、单选题 1．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 2．如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 3．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 二、填空题 4．如图，在中，，平分，若，，则_________． 5．如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 6．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为7，则_______． 三、解答题 7．如图，于E，于F，若，平分； (1)求证：； (2)已知，求四边形的面积． 8．如图，网格中的与为轴对称图形。 (1)利用网格线作出关于直线与对称的； (2)在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的． (3)在直线上作点使得．（不写作法，保留作图痕迹） 9．如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 10．如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，点在上，连接，． (1)试说明； (2)已知，，，求的面积．（结果用含的代数式表示） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 线段垂直平分线与角平分线 【本节预习目标】 1.经历探索线段、角的轴对称性的过程，理解线段垂直平分线、角平分线的轴对称特征，进一步发展空间观念与几何直观素养。 2.掌握线段垂直平分线、角平分线的性质定理与判定定理，能规范运用定理进行线段长度、角度、面积的计算与简单几何证明。 3.了解三角形三边垂直平分线、三条角平分线的交点性质，能结合定理解决三角形中的基础综合问题。 4.能运用定理解决实际选址、路径规划等真实情境问题，体会转化与建模思想，发展逻辑推理与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 轴对称的性质 轴对称图形的定义；对称轴两侧的图形全等，对应线段相等、对应角相等 线段、角均为轴对称图形，其垂直平分线、角平分线所在直线是对称轴，定理可由轴对称性质推导 全等三角形 三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）；全等三角形对应边、对应角相等 线段垂直平分线与角平分线的性质、判定均通过全等三角形推导，是定理证明的核心依据 距离的概念 两点之间的线段长度为两点间距离；点到直线的垂线段长度为点到直线的距离 线段垂直平分线研究“点到线段两端点的距离”，角平分线研究“点到角两边的距离”，需明确两类距离的本质区别 知识点1：线段的垂直平分线 1.性质定理与判定定理对比 类别 核心内容 符号语言 图例 性质定理 线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的距离相等 直线垂直平分线段AB，点在上 判定定理（逆定理） 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 点在线段AB的垂直平分线上 补充说明： 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相等的所有点的集合。 2.三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等。 符号语言：在中，若直线MN、EF、PQ分别垂直平分BC、AB、AC，且交于点，则。 知识点2：角平分线 1.性质定理与判定定理对比 类别 核心内容 符号语言 主要应用 性质定理 角平分线上的点，到角两边的距离相等 平分，， 判定定理（逆定理） 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ，，且 平分 补充说明： 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴； 角平分线可以看作是角的内部到角两边距离相等的所有点的集合； 判定定理中“角的内部”是必要前提，角外部到两边距离相等的点，不在该角的平分线上。 2.三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，该点到三角形三条边的距离相等。 符号语言：在中，若、、，的角平分线相交于点，，，，则。 【基础巩固题型】 【题型1】利用线段垂直平分线性质求线段长度 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质定理；线段的和差计算 2.解题方法技巧 ①识别“垂直+平分”条件，直接得到对应线段相等； ②将待求线段通过等量代换，转化为已知线段的和或差； ③涉及三角形周长时，利用等线段替换，将分散的边整合为已知边长。 【例题1】.（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的垂直平分线，若的周长是，，则______． 【答案】7 【分析】根据“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质，将中的等量替换为，由此把三角形周长转化为，再代入已知周长和的长度，即可计算的长度． 【详解】解：是的垂直平分线， ． 的周长是， ． ， ． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（     ）    A．12 B．19 C．16 D．14 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据的周长求出，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，已知在中，．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，若的周长为17，则的长为______． 【答案】 【分析】由作图可得，是的垂直平分线，因此，将的周长转化为，即可求解． 【详解】解：由作图可得，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的周长为__________． 【答案】 24 【分析】由垂直平分线的性质可得，，的周长可转化为的长度． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴． 【题型2】利用角平分线性质求线段与面积 1.核心知识点 角平分线的性质定理；点到直线的距离；三角形面积公式 2.解题方法技巧 ①看到“角平分线+两边垂线”的条件，直接得出两条垂线段长度相等； ②计算三角形面积时，可将大三角形拆分为多个以角平分线交点为顶点的小三角形，利用等高分段计算； ③注意“距离”必须是垂线段长度，非垂直的斜线段不可直接使用性质。 【例题2】.（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 【答案】5 【分析】过点P作于点F，可证明，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点F， ∵，， ∴， 又∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴点到的距离是5． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 【答案】7 【分析】过点D作于点E，于H，先根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质可以得到，求出的面积，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，于H， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，是的一条角平分线，，垂足为．是上一点，且．若，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质得到，再证明即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形， ∴． ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，在和上分别截取，使，分别以点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接射线与相交于点，过点作于点．若，则的面积为（   ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知，是的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等．过作，则；的面积可拆分为与面积之和，分别用底、和高、计算相加即可． 【详解】解：过点作于． 由尺规作图过程可得：平分， ，，根据角平分线性质： ． 的面积， ， ， ． 【题型3】线段垂直平分线的判定证明 1.核心知识点 线段垂直平分线的判定定理；两点确定一条直线 2.解题方法技巧 ①判定一条直线是线段的垂直平分线，需证明直线上至少有两个点到线段两端距离相等； ②单个点只能说明它在垂直平分线上，不能直接判定过该点的直线就是垂直平分线； ③也可通过定义证明：直线过线段中点且与线段垂直，即“中点+垂直”双条件。 【例题3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知是的高，E是上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 先根据“斜边直角边”，可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出答案． 【详解】证明：∵是的高（已知） ∴（高的定义） 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应边相等）． 又， ∴是的垂直平分线， （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】见详解 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 【题型4】角平分线的判定证明 1.核心知识点 角平分线的判定定理；全等三角形的判定 2.解题方法技巧 ①先确定点在角的内部，再证明该点到角两边的垂线段长度相等； ②无现成垂线段时，作辅助线：过该点向角的两边作垂线，构造直角三角形； ③也可通过证明三角形全等得到对应角相等，从而判定角平分线。 【例题4】.（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 【详解】证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知：垂足分别为D、E，且相交于点F．求证：平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据得，又因为，证明，结合到角的两边距离相等的点在角的平分线上，进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴平分． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 【详解】解：略 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)的周长； (2)证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 【培优提升题型】 【题型5】线段垂直平分线与三角形角度综合计算 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质；等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理 2.解题方法技巧 ①由垂直平分线得等边，进而得到等腰三角形，推出底角相等； ②结合三角形内角和、外角性质，通过角的和差关系推导未知角度； ③多个垂直平分线共存时，分别转化等边，逐步传递角度关系。 【例题5】.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知 是线段 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得 ，进而得出 ，最后利用直角三角形两锐角互余及角的和差关系求解即可． 【详解】解：由作图可知： 垂直平分 ， ， ， ， ， ． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分的垂直平分线交于点，交于点．连接．若，，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理求出与的和，利用线段垂直平分线的性质得到，从而推出，再结合角平分线的定义表示出，建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， 平分， ， 点在上， ， ， ，， ， ， ， ． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得，的度数，进而可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴平分，即， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，是的角平分线． (1)求与的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，根据等边对等角得，再根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据角平分线的定义得，则，再根据（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∴． 由（1）得，，， ∴． 【题型6】角平分线与三角形周长综合 1.核心知识点 角平分线的轴对称性；全等三角形性质；三角形周长计算 2.解题方法技巧 ①角平分线是对称轴，沿角平分线折叠后两边重合，对应线段、对应角相等； ②利用角平分线性质将三角形的周长转化为已知边长，实现整体代换； ③直角三角形中常结合HL全等证明线段相等，简化周长计算。 【例题6】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　） A．14 B．19 C．21 D．23 【答案】C 【分析】先由角平分线定义及平行线性质得到，，然后由等角对等边确定，再由的周长为，得到，进而求的周长即可． 【详解】解：在中，平分、平分， ，， ， ，， ，， 则， 的周长为， ， ， 的周长是． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若的周长为12，的周长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数； （3）根据题意可知，，根据折叠的性质得到，，进而得到，求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ∴； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ； （3）解：∵的周长为12，的周长为4， ∴，， ∵将沿直线折叠后，点C落到点E处， ∴，， ∴即， 解得：． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）【课本重现】如图1，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为． （1）求的周长． 【知识应用】如图2，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． （2）若，，求的面积； （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （3）过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）解：根据折叠可知：，，， ； （3）证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长． （2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接． ①如图1，若，求的面积； ②如图2，求证：平分； ③如图3，过点作于，若，求的长． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③ 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可． （2）①根据折叠得出，，，根据求出结果即可； ②过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可； ③过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：是由折叠而得到， ． ，． ， ． ， 的周长为：． （2）①根据折叠可知：，，， ； ②证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 即平分； ③如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接， 由题可知，，， ， 由（2）可知， ， ， ， ∵，， ∴， 解得：． 【题型7】垂直平分线的实际选址问题（真实情境） 1.核心知识点 线段垂直平分线的判定；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①“到两点距离相等的选址”：作两点连线的垂直平分线，与指定直线的交点即为所求； ②“到三点距离相等的选址”：作两条线段的垂直平分线，其交点即为所求； ③建模时先将实际地点抽象为几何点，路径抽象为线段，再运用定理求解。 【例题7】.（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，直线和射线是某厂区的两条路，点，是两个车间，现要建仓库，要求到两个车间的距离相等，并且到两条路的距离相等，则满足条件的点有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线的性质，线段的垂直平分线判断即可． 【详解】解：如图， ∵到两个车间的距离相等， ∴点P在的垂直平分线上， ∵到两条路的距离相等， ∴点P在或的角平分线上， ∴满足条件的点有2个， 故选：C． 【变式题7-1】.（25-26八年级·全国·暑假作业）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置P，并简要写出作法及作图依据． 【答案】解：如图所示，作线段的垂直平分线，再作的角平分线交线段的垂直平分线于点P，则点P即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得点P到两个城镇A，B的距离相等，由角平分线的性质可得点P到两条高速公路和的距离也相等． 【分析】点P到两个城镇A，B的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两条高速公路和的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 【变式题7-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，两个班的学生分别在、两处参加植树劳动，现要在道路、的交叉区域内设一个临时休息点，使到两条道路的距离相等，且使到、两地的距离相等．用圆规、直尺作临时休息点的位置．（不写作法，只保留作图痕迹） 【答案】如图，点D即为所求： 【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的性质，点D的位置为的平分线与线段的垂直平分线的交点，故连接，按照角平分线和线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可． 【详解】略 【变式题7-3】.（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路、和两个城镇、（如图），准备建一个燃气控制中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 【答案】 点的位置如图： 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质及其作法是解题的关键．作出与夹角的平分线、线段的垂直平分线，则它们的交点即为所求． 【详解】解：分别作出线段的垂直平分线，与夹角的平分线，两者的交点即为点的位置． 【压轴素养题型】 【题型8】三角形内外角平分线的夹角探究 1.核心知识点 角平分线的定义；三角形内角和与外角性质 2.解题方法技巧 ①两内角平分线形成的夹角：； ②一内角与一外角平分线形成的夹角：； ③推导时利用角平分线定义，结合三角形内角和、外角定理逐步化简，熟记结论可快速解题。 【例题8】.（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点E． (1)求的度数． (2)请猜想与之间的数量关系，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵平分平分， ∴， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∴ 【分析】（1）根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出，然后利用等量代换可求解； （2）根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出，然后利用等量代换可得出结论． 【详解】（1）（1）解：∵平分平分， ∴， 由三角形的外角性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由略． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，从①平分、②平分、③中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成个命题． (1)这个命题中，真命题的个数为 ； (2)选择一个真命题并证明． 如图，已知 ， 求证： ． 证明： 【答案】(1) (2)①②，③， 证明如下：（答案不唯一） 是的外角， ． 同理， 平分，平分， ，， ． ， ， ， ． 或①③，②，证明如下： 是的外角， ， 同理， 平分， ． ， ． ， ， ， 平分． 或②③，①， 证明如下： 是的外角， ． 同理， 平分， ． ， ． ， ， ， ， 平分． 【分析】（）利用角平分线定义和三角形外角性质，进行判定即可； （）已知：①②，求证：③：用角平分线表示半角，再通过外角差得到和的倍分关系；已知：①③，求证：②：用角平分线表示，结合和外角性质，推导出平分；已知：②③，求证：①：用角平分线表示，结合和外角性质，推导出平分． 【详解】（1）； （2）真命题：已知：①②，求证：③． 证明略 真命题：已知：①③，求证：②． 证明略 真命题：已知：②③，求证：①． 证明略 【变式题8-2】.（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·甘肃平凉·期末）如图，是的内角和的平分线的交点，是的内角和的平分线的交点，同样点是的内角和的平分线的交点，若，则________． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系． 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型9】传统文化与跨学科情境应用 1.核心知识点 角平分线、垂直平分线的实际应用；几何建模 2.解题方法技巧 ①从古代测量、工程建筑等情境中提取几何元素，转化为线段、角的数学模型； ②结合物理光路反射、地理定位等跨学科背景，利用对称性转化为平分线问题求解； ③验证结果是否符合实际情境，确保模型合理。 【例题9】.（25-26八年级下·江西景德镇·期中）图①是一个分角仪，其中； (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与定点A重合，D，E分别在边上，画射线，交于点P，是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，的面积是100，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)25 【分析】（1）因为，，且为公共边，所以可利用全等三角形判定定理证明和全等，那么和相等，即可判断是的平分线． （2）因为是角平分线，，所以可利用角平分线的性质得到点到的距离；由于的面积等于和的面积之和，所以可根据三角形面积公式列出关于的方程，进而求解的长． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 由题意得 ，，又 ， ， ， 即是的平分线． （2）解：过点作于， 是的平分线，， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， 解得． 即的长为． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河北保定·期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放在上，使点与点重合，点，分别在边，上，沿画射线交于点，则是的角平分线．请你对“是的角平分线”说明理由； (2)在（1）的条件下，过点作于点．若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等面积法和角平分线的判定和性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据全等三角形的判定边边边和性质，角平分线的判定知识进行作答，即可求解； （2）根据角平分线的性质的知识和等面积法进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 即是的角平分线； （2）解：过点作于点，如图： ，平分，，， ∴． ， ∵， ∴． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定； （1）证明，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分，即可解答． 【详解】解（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ∵，， ∴， ∴， 即是的平分线； （2）∵， ∴点A，C均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵是垂直的， ∴是水平的． 【变式题9-3】.（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．     请写出平分的依据：____________； 类比迁移： （2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践： （3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键． （1）先证明，可得，从而可得答案； （2）先证明，可得，可得是的角平分线； （3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故答案为： （2）∵，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （3）如图，点即为所求作的点； 【题型10】垂直平分线与角平分线的综合证明 1.核心知识点 线段垂直平分线的性质与判定；角平分线的性质与判定；辅助线构造 2.解题方法技巧 ①综合题中通常双向运用性质与判定：先由条件得等边/等角，再由等边/等角证新的平分线； ②常用辅助线：见垂直平分线连端点得等边，见角平分线作两边垂线得等垂线段； ③证明过程逐步推导，每一步标注定理依据，保证逻辑严谨。 【例题10】.（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． (2)， 理由：，D是中点， 是的垂直平分线， ， 由（1）得，， ， ． 【分析】（1）由是的角平分线，可得，由，，，可证即可； （2）先证得是的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题10-1】.（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，平分交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、O、F，连接；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)试说明：． 请根据下列解答思路完成填空： 解：∵平分， ∴①__________________， ∵是线段的垂直平分线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴②__________________， ∵是线段的垂直平分线， ∴③__________________， ∴． 【答案】(1)解：分别以为圆心，以大于为半径画四个圆弧，交于两点，连接两个交点分别交、、于点E、O、F，连接，如图： (2)，， 【分析】（1）按照垂直平分线的画法画，再连接即可． （2）根据垂直平分线的性质可得，，即可证明，得出，即可证明，据此填空即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题10-2】.（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【答案】(1) (2)7 (3)证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解． （3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】（1）解：把向下平移至， ，， ， ， 阴影部分面积梯形的面积，． （2）垂直平分 ， ． （3）略 【变式题10-3】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，对角线与交于点O，平分，平分． ①若，则的度数为_______度； ②若，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，是某农科院的一块试验田，是一条小路，为了进行更多种类农作物的培养试验，现计划对该试验田进行扩建，并将小路继续延长．首先从边的中点E处向外修一条与边垂直的小路，该小路与小路的延长线交于点F（即），再从点F向边设立一道垂直于的篱笆墙，交的延长线于点G（即），最后从F向B设立一道篱笆墙．已知平分，，，求扩建后的试验田的总面积（即四边形的面积）． 【答案】（1）①24；②27；（2） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，图形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据角平分线的定义，先得出，进一步得垂直平分，最后根据直角三角形两个锐角互余即可得出答案；根据，利用三角形的面积公式求值即可； （2）先过点作于点，连接，再依次证明和，最后根据面积之间的等量关系即可求出答案． 【详解】（1）解：①平分，平分， ，． 又， ， ，， 垂直平分，即． 在中， ． 故答案为：24． ②垂直平分， ， ． （2）解：如图，过点作于点，连接， 平分，且，， ，． 点E为的中点，且， 垂直平分， ． 又， ， ． ，， ， ． 设， 则， 即， ， 解得，， 即， （）． 答：扩建后的试验田的总面积为． 易错点 1、混淆两类“距离”：将线段垂直平分线的“点到线段两端点的距离（两点间距离）”与角平分线的“点到角两边的距离（点到直线的垂线段距离）”混淆，错误套用性质。 2、判定条件不充分：证明直线是线段垂直平分线时，仅证明一个点满足条件就下结论，忽略“两点确定一条直线”；角平分线判定忽略“角的内部”前提，误将角外部点判定为在角平分线上。 3、辅助线构造错误：应用角平分线性质时，未作两边的垂线段，直接用斜线段相等推导；遗漏垂直条件，错误套用性质定理。 重点 1、线段垂直平分线、角平分线的性质定理与判定定理，能准确运用定理进行线段、角度、面积的计算与基础证明。 2、三角形三边垂直平分线、三条角平分线的交点性质，能结合性质快速解决三角形综合问题。 3、两类定理的实际应用，能将真实情境问题转化为几何模型并求解。 难点 1、垂直平分线与角平分线综合证明中，辅助线的合理构造与逻辑推理的严谨性。 2、旋转探究、开放结论类问题的推导，以及内外角平分线等拓展模型的理解与灵活应用。 一、单选题 1．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 【答案】A 【分析】过点作于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：过点作于点， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ． 2．如图，要在A、B、C三个城镇附近修建一个物流集散中心，要使物流集散中心到三个城镇的距离相等，则物流集散中心的位置应建在（   ）． A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等． 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、B距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到B、C距离相等； 若一点在的垂直平分线上，则该点到A、C距离相等， 三条边垂直平分线的交点，同时在的垂直平分线上，因此这个点到A、B、C三点距离全部相等． 3．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 4．如图，在中，，平分，若，，则_________． 【答案】2 【分析】过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 【答案】6 【分析】先求得，再根据角平分线的性质定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵．平分，， ∴． 6．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为7，则_______． 【答案】 【分析】根据垂直平分得，则计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ． 三、解答题 7．如图，于E，于F，若，平分； (1)求证：； (2)已知，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：平分，于E，于F， ， 在和中 ， ， (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据角平分线性质得出，利用证明得出结论； （2）根据全等三角形的判定得出，得出，利用三角形面积公式得出答案． 【详解】（1）略 （2）， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ． 四边形的面积． 8．如图，网格中的与为轴对称图形。 (1)利用网格线作出关于直线与对称的； (2)在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的． (3)在直线上作点使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别作点、、关于直线的对称点、、，连接点、、得到即为所求； （2）借助网格作，，利用可证； （3）借助网格，以为边作正方形，连接、与中间格线的交点、，此时点、分别是、的中点，得到直线，交直线于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 9．如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长； （2）由（1）知，的周长为，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长为35， ， ， ． ； （2）解：由（1）知，的周长为． 10．如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，点在上，连接，． (1)试说明； (2)已知，，，求的面积．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，   ， ， ，                                             ． (2) 【分析】（1）证明，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是的角平分线，， ，       ， ， ∴， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $