第12讲 1.5 等腰三角形（第2课时）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版数学七升八年级上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第12讲 1.5 等腰三角形（第2课时） 【学习目标】 1. 探索并证明等腰三角形的判定定理：等角对等边。 1. 能区分等腰三角形的性质定理与判定定理的条件和结论，明确两者的区别与联系。 1. 能灵活运用等腰三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或证明两条线段相等。 1. 掌握用尺规作等腰三角形的方法：已知底边及底边上的高作等腰三角形。 【知识梳理】 一、等腰三角形的判定定理 文字语言：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称为“等角对等边”） 符号语言： ∵ 在△ABC中，∠B＝∠C， ∴ AB＝AC（等角对等边）。 即△ABC是等腰三角形。 证明： 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C。 求证：AB＝AC。 证法一（作顶角的平分线）： 作∠A的平分线AD，交BC于点D。 在△ABD和△ACD中， ∠B＝∠C（已知）， ∠BAD＝∠CAD（AD平分∠BAC）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）。 ∴ AB＝AC（全等三角形对应边相等）。 证法二（作底边上的高）： 过点A作AD⊥BC，垂足为D。 在△ABD和△ACD中， ∠ADB＝∠ADC＝90°（垂直定义）， ∠B＝∠C（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）。 ∴ AB＝AC（全等三角形对应边相等）。 核心要点： （1）“等角对等边”是角相等 → 边相等的转化，即由两个角相等推出它们所对的边相等。 （2）该定理是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。 （3）它为证明两条线段相等提供了新方法——通过证明角相等来证明边相等。 二、等腰三角形的判定方法 判定一个三角形是等腰三角形，有以下两种途径： 判定方法 条件 依据 定义法 有两条边相等 等腰三角形的定义 判定定理法 有两个角相等 等角对等边 选择策略： 已知边的关系 → 用定义法直接判定。 已知角的关系 → 用判定定理法（等角对等边）。 三、性质定理与判定定理的对比 对比维度 性质定理（等边对等角） 判定定理（等角对等边） 条件 AB＝AC（两边相等） ∠B＝∠C（两角相等） 结论 ∠B＝∠C（两角相等） AB＝AC（两边相等） 转化方向 边 → 角 角 → 边 作用 已知等腰三角形，证明角相等 证明一个三角形是等腰三角形 关系 互逆定理 互逆定理 特别提醒： （1）性质定理和判定定理互为逆定理。 （2）不可混淆：性质定理是“已知等腰 → 得角相等”；判定定理是“已知角相等 → 得等腰”，方向相反。 （3）判定之前只能说“有两个角相等”，判定之后才能称这两个角为“底角”。 四、尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形 已知：线段a和线段b（其中a表示底边长，b表示底边上的高）。 求作：等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边上的高AD＝b。 作法： （1）作线段BC＝a。 （2）作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D。 （3）在MN上截取DA＝b（在BC的上方取点A）。 （4）连接AB、AC。 则△ABC就是所求作的等腰三角形。 作图依据： 由作法可知，AD⊥BC，BD＝DC（垂直平分线性质）。 在△ABD和△ACD中， AD＝AD（公共边）， BD＝DC（已证）， ∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）。 ∴ AB＝AC（全等三角形对应边相等）。 ∴ △ABC是等腰三角形。 【做一做（即时练习）】 1. 下列条件中，能判定△ABC是等腰三角形的是（　） A. ∠A＝40°，∠B＝70°　　B. ∠A＝40°，∠B＝80° C. ∠A＝40°，∠B＝110°　　D. ∠A＝40°，∠B＝120° 1. 在△ABC中，∠B＝∠C，若AB＝5，则AC的长为＿＿＿＿。 1. 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC是＿＿＿＿三角形。 1. 判断正误（对的打“√”，错的打“×”）： （1）有两个角相等的三角形是等腰三角形。（　） （2）等腰三角形的判定定理与性质定理互为逆定理。（　） （3）如果一个三角形有一个角是60°，那么这个三角形一定是等边三角形。（　） （4）“等角对等边”是指在一个三角形中，相等的角所对的边相等。（　） 1. 已知等腰三角形的一个角为70°，求另外两个角的度数。 【典例精讲】 例1（判定定理的直接应用） 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°。判断△ABC的形状，并说明理由。 分析：由三角形内角和为180°可求出∠C的度数。若∠B＝∠C，则根据“等角对等边”，△ABC是等腰三角形。 解： ∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，∠B＝70°， ∴ ∠C＝180°－40°－70°＝70°。 ∴ ∠B＝∠C＝70°。 ∴ AB＝AC（等角对等边）。 ∴ △ABC是等腰三角形。 反思：判定一个三角形是否为等腰三角形，只需证明其中有两个角相等即可。 例2（判定定理证明线段相等） 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，求线段的长．    【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出，，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得． 【详解】解：平分， ； 平分， ； ， ，； ，， ，； ，， ． 反思：本题综合运用了等腰三角形的性质定理和判定定理，体现了“边→角→边”的转化思路。 例3（判定定理与性质定理的综合运用） 如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【跟踪练习1】 1. 如图，在△ABC中，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 1. 如图，关于△ABC，给出下列四组条件： ①△ABC中，AB＝AC； ②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°； ③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC； ④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC． 其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 1. 如图，在△ABC中，的垂直平分线交于点D，交于点E，．若，求的长． 【举一反三】 1. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　） A. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2　　B. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 C. ∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶1　　D. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶2 1. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD是BC边上的中线，则△ABD与△ACD全等的依据是（　） A. SSS　　B. SAS　　C. ASA　　D. AAS 1. 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝65°，则AB与AC的大小关系是（　） A. AB＞AC　　B. AB＝AC　　C. AB＜AC　　D. 无法确定 1. 在△ABC中，∠B＝∠C＝2∠A，则∠A＝＿＿＿＿。 1. 等腰三角形的一边长为6，另一边长为9，则这个等腰三角形的周长为（　） A. 21　　B. 24　　C. 21或24　　D. 无法确定 1. 等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为（　） A. 17　　B. 22　　C. 17或22　　D. 无法确定 1. 如图，点E、F在上，，，，与相交于点O，求证． 1. 在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝75°。判断△ABC的形状，并说明理由。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、选择题 1. 下列条件中，能判定△ABC是等腰三角形的是（　） A. ∠A＝50°，∠B＝60°　　B. ∠A＝50°，∠B＝80° C. ∠A＝50°，∠B＝110°　　D. ∠A＝50°，∠B＝120° 1. 在△ABC中，∠A＝∠B，若AC＝8，则BC的长为（　） A. 4　　B. 6　　C. 8　　D. 无法确定 1. 下列命题中，正确的是（　） A. 等腰三角形是等边三角形 B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 有一个角是60°的三角形是等边三角形 1. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD是BC边上的高，下列结论错误的是（　） A. AB＝AC　　B. BD＝CD　　C. ∠BAD＝∠CAD　　D. AD＝BC 1. 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC是（　） A. 直角三角形　　B. 等腰三角形　　C. 等边三角形　　D. 无法确定 二、填空题 1. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为“＿＿＿＿＿＿＿＿”。 1. 等腰三角形的性质定理与判定定理互为＿＿＿＿。 1. 在△ABC中，∠B＝∠C，若AB＝6，则AC＝＿＿＿＿。 1. 在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，则△ABC是＿＿＿＿三角形。 1. 用尺规作已知底边和底边上的高作等腰三角形时，首先要作出底边的＿＿＿＿＿＿＿＿。 三、解答题 1. 在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝65°。判断△ABC的形状，并说明理由。 1. 已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 1. 在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　　． （2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　　． （3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明． ◆ B组·能力提升 1. 如图，为△ABC的角平分线，交于E，若，则 　　． 1. 在等腰三角形中，一个外角为100°，求这个等腰三角形各内角的度数。 16.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． ◆ C组·思维拓展 17. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数。 1. 在等腰三角形ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为30°，求等腰三角形ABC各内角的度数。 【本讲总结】 一、等腰三角形的判定定理 项目 内容 文字语言 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 符号语言 ∵ 在△ABC中，∠B＝∠C，∴ AB＝AC（等角对等边） 作用 证明一个三角形是等腰三角形；证明两条线段相等 二、等腰三角形的两种判定方法 判定方法 条件 依据 定义法 有两条边相等 等腰三角形的定义 判定定理法 有两个角相等 等角对等边 三、性质定理与判定定理的对比 对比维度 性质定理（等边对等角） 判定定理（等角对等边） 条件 两边相等 两角相等 结论 两角相等 两边相等 转化方向 边 → 角 角 → 边 关系 互逆定理 互逆定理 四、尺规作图 已知底边及底边上的高作等腰三角形： （1）作底边BC＝a； （2）作BC的垂直平分线，垂足为D； （3）在垂直平分线上截取DA＝b； （4）连接AB、AC。 依据：垂直平分线性质 + 全等三角形判定（SAS）。 五、常见错误提醒 错误类型 正确理解 混淆性质定理与判定定理 性质：已知等腰→得角相等；判定：已知角相等→得等腰，方向相反 误用“等角对等边”于不同三角形 “等角对等边”必须在同一个三角形中使用 认为有两个角相等就是等腰三角形 正确，这就是判定定理的内容 判定等腰后仍称“两底角相等”为条件 判定前只能称“两个角相等”，判定后才能称“底角” 六、学习建议与口诀 学习建议： （1）要证明一个三角形是等腰三角形，找两个角相等，用判定定理。 （2）要证明两条线段相等，可以尝试证明它们所对的角相等（等角对等边）。 （3）注意性质定理与判定定理的互逆关系，灵活选择使用方向。 口诀： 等腰三角形判定，等角对等边要记清； 两个角若相等，它们对边也相等； 性质判定互逆，边角转化方向明； 定义定理两途径，灵活选用解题灵。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：A 解析：A中∠C＝180°－40°－70°＝70°，∠B＝∠C＝70°，根据“等角对等边”，△ABC是等腰三角形。B中∠C＝60°，三角均不相等；C中∠C＝30°，三角均不相等；D中∠C＝20°，三角均不相等。故选A。 1. 答案：5 解析：∵ ∠B＝∠C，∴ AB＝AC（等角对等边）。又AB＝5，∴ AC＝5。 1. 答案：等腰 解析：∠C＝180°－40°－70°＝70°，∠B＝∠C＝70°，∴ AB＝AC，△ABC是等腰三角形。 1. 答案：（1）√　（2）√　（3）×　（4）√ 解析：（1）正确，是等腰三角形的判定定理。 （2）正确，“等边对等角”与“等角对等边”互为逆定理。 （3）错误，有一个角是60°的三角形不一定是等边三角形，还需其他条件（如等腰）。 （4）正确，这是“等角对等边”的准确表述。 1. 答案：分两种情况： （1）若70°的角为顶角，则两个底角均为(180°－70°)÷2＝55°，即三个内角为70°、55°、55°。 （2）若70°的角为底角，则另一个底角也是70°，顶角为180°－70°－70°＝40°，即三个内角为70°、70°、40°。 解析：本题体现了分类讨论思想。已知等腰三角形的一个角，必须分情况讨论该角是顶角还是底角。 典例精讲·跟踪练习1 1. D 1. D 1. 4 举一反三 1. 答案：B 解析：A中三角比为1∶1∶2，则∠A＝∠B，是等腰三角形；B中比为1∶2∶3，三角分别为30°、60°、90°，没有两个角相等，不是等腰三角形；C中∠A＝∠B，是等腰三角形；D中∠B＝∠C，是等腰三角形。故选B。 1. 答案：B 解析：∵ ∠B＝∠C，∴ AB＝AC（等角对等边）。又AD是中线，∴ BD＝CD。由AB＝AC且AD是中线，根据等腰三角形“三线合一”可得AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD。在△ABD和△ACD中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，依据为SAS。故选B。 1. 答案：B 解析：∠C＝180°－50°－65°＝65°，∠B＝∠C＝65°，∴ AB＝AC（等角对等边）。 1. 答案：36° 解析：设∠A＝x，则∠B＝∠C＝2x。x＋2x＋2x＝180°，5x＝180°，x＝36°。 1. 答案：C 解析：分两种情况讨论： （1）若6为腰，9为底，则三边为6、6、9，6＋6＞9，能构成三角形，周长为21。 （2）若9为腰，6为底，则三边为9、9、6，9＋6＞9，能构成三角形，周长为24。 故选C。 1. 答案：B 解析：分两种情况讨论： （1）若4为腰，9为底，则三边为4、4、9，4＋4＜9，不能构成三角形，舍去。 （2）若9为腰，4为底，则三边为9、9、4，9＋4＞9，能构成三角形，周长为22。 故选B。 1. 证明： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 1. 答案：等腰三角形 解析：∠C＝180°－30°－75°＝75°，∠B＝∠C＝75°，∴ AB＝AC（等角对等边），△ABC是等腰三角形。 A组·基础过关 1. 答案：B 解析：A中∠C＝70°，三角均不相等；B中∠C＝50°，∠A＝∠C＝50°，是等腰三角形；C中∠C＝20°，三角均不相等；D中∠C＝10°，三角均不相等。故选B。 1. 答案：C 解析：∵ ∠A＝∠B，∴ BC＝AC（等角对等边）。又AC＝8，∴ BC＝8。 1. 答案：B 解析：A错误，等腰三角形不一定是等边三角形；B正确，是判定定理；C错误，顶角可以是任意角度（小于180°）；D错误，有一个角是60°的三角形不一定是等边三角形。 1. 答案：D 解析：∵ ∠B＝∠C，∴ AB＝AC（等角对等边）。又AD是BC边上的高，根据三线合一，BD＝CD，∠BAD＝∠CAD。A、B、C均正确。D中AD＝BC不一定成立，错误。 1. 答案：B 解析：∠C＝180°－40°－70°＝70°，∠B＝∠C＝70°，∴ AB＝AC，△ABC是等腰三角形。 1. 答案：等角对等边 1. 答案：逆定理 1. 答案：6 解析：∵ ∠B＝∠C，∴ AB＝AC＝6。 1. 答案：等腰 解析：∠C＝180°－80°－50°＝50°，∠B＝∠C＝50°，∴ AB＝AC，△ABC是等腰三角形。 1. 答案：垂直平分线 1. 答案：等腰三角形 解析：∠B＝180°－50°－65°＝65°，∠B＝∠C＝65°，∴ AB＝AC，△ABC是等腰三角形。 1. （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． 1. （1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝75°， ∴∠EDC＝15°； （2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝40°， ∴∠BAD＝∠CAD＝40°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝70°， ∴∠EDC＝20°； （3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）；理由如下： ∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE， 即∠BAD＝2∠CDE． 故答案为：15°；20°． B组·能力提升 1. 5 1. 答案：分两种情况讨论： （1）若与顶角相邻的外角为100°，则顶角为80°，两个底角均为(180°－80°)÷2＝50°，即三个内角为80°、50°、50°。 （2）若与底角相邻的外角为100°，则每个底角为80°，顶角为180°－80°－80°＝20°，即三个内角为20°、80°、80°。 解析：本题体现了分类讨论思想。等腰三角形的一个外角为100°，这个外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需分情况讨论。 16.（1）证明：连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， 设BE＝x，则CF＝x， ∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF， ∴5﹣x＝3+x， 解得：x＝1， ∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4． C组·思维拓展 17.答案：分两种情况讨论： （1）当顶角A为锐角时，AB的垂直平分线与AC的交点在AC上。垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°。设垂足为E，则∠AEP＝40°（E在AC上），此时∠A＝90°－40°＝50°。∴ ∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°。 （2）当顶角A为钝角时，AB的垂直平分线与AC的延长线相交。设垂足为E，垂足E在AC的延长线上，∠AEP＝40°（其中P在垂直平分线上，且EP⊥AB）。此时∠EAP＝90°－40°＝50°，而∠EAP是∠A的补角，∴ ∠A＝180°－50°＝130°。∴ ∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°。 解析：本题体现了分类讨论思想。AB的垂直平分线与AC所在直线相交，交点在AC上或在AC的延长线上，取决于顶角A是锐角还是钝角。 18.分两种情况讨论： 设等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD是腰AC上的高。 （1）当顶角A为锐角时，高BD在三角形内部。BD与另一腰AB的夹角为30°，即∠ABD＝30°。 在Rt△ABD中，∠A＝90°－30°＝60°。 ∴ ∠B＝∠C＝(180°－60°)÷2＝60°。 即三个内角均为60°，为等边三角形。 （2）当顶角A为钝角时，高BD在三角形外部。BD与另一腰AB的夹角为30°，即∠ABD＝30°。 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－30°＝60°。 但∠BAD是顶角A的补角（因为高在外部），∴ ∠A＝180°－60°＝120°。 ∴ ∠B＝∠C＝(180°－120°)÷2＝30°。 即三个内角为120°、30°、30°。 解析：本题体现了分类讨论思想。一腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，取决于顶角是锐角还是钝角。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（13题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $