第12讲 1.5 等腰三角形（第2课时）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版数学七升八年级上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义

第12讲   1.5 等腰三角形（第2课时）

【学习目标】

1. 探索并证明等腰三角形的判定定理：等角对等边。
2. 能区分等腰三角形的性质定理与判定定理的条件和结论，明确两者的区别与联系。
3. 能灵活运用等腰三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或证明两条线段相等。
4. 掌握用尺规作等腰三角形的方法：已知底边及底边上的高作等腰三角形。

【知识梳理】

一、等腰三角形的判定定理

文字语言：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称为“等角对等边”）

符号语言：

∵ 在△ABC中，∠B＝∠C，

∴ AB＝AC（等角对等边）。

即△ABC是等腰三角形。

证明：

已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C。

求证：AB＝AC。

 

证法一（作顶角的平分线）：

作∠A的平分线AD，交BC于点D。

在△ABD和△ACD中，

∠B＝∠C（已知），

∠BAD＝∠CAD（AD平分∠BAC），

AD＝AD（公共边），

∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）。

∴ AB＝AC（全等三角形对应边相等）。

证法二（作底边上的高）：

过点A作AD⊥BC，垂足为D。

在△ABD和△ACD中，

∠ADB＝∠ADC＝90°（垂直定义），

∠B＝∠C（已知），

AD＝AD（公共边），

∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）。

∴ AB＝AC（全等三角形对应边相等）。

核心要点：

（1）“等角对等边”是角相等 → 边相等的转化，即由两个角相等推出它们所对的边相等。

（2）该定理是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。

（3）它为证明两条线段相等提供了新方法——通过证明角相等来证明边相等。

二、等腰三角形的判定方法

判定一个三角形是等腰三角形，有以下两种途径：

判定方法	条件	依据
定义法	有两条边相等	等腰三角形的定义
判定定理法	有两个角相等	等角对等边

选择策略：

已知边的关系 → 用定义法直接判定。

已知角的关系 → 用判定定理法（等角对等边）。

三、性质定理与判定定理的对比

对比维度	性质定理（等边对等角）	判定定理（等角对等边）
条件	AB＝AC（两边相等）	∠B＝∠C（两角相等）
结论	∠B＝∠C（两角相等）	AB＝AC（两边相等）
转化方向	边 → 角	角 → 边
作用	已知等腰三角形，证明角相等	证明一个三角形是等腰三角形
关系	互逆定理	互逆定理

特别提醒：

（1）性质定理和判定定理互为逆定理。

（2）不可混淆：性质定理是“已知等腰 → 得角相等”；判定定理是“已知角相等 → 得等腰”，方向相反。

（3）判定之前只能说“有两个角相等”，判定之后才能称这两个角为“底角”。

四、尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形

已知：线段a和线段b（其中a表示底边长，b表示底边上的高）。

求作：等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边上的高AD＝b。