暑期预习讲义（第3讲）——线段垂直平分线与角平分线 - 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

暑期预习讲义（第3讲）——线段垂直平分线与角平分线（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】线段的垂直平分线（基础必考） 2 【题型 1】垂直平分线概念辨析、性质基础应用 2 【题型 2】利用垂直平分线性质定理求线段长度、周长 4 【题型 3】利用垂直平分线判定定理求值证明 7 【题型 4】利用垂直平分线性质与判定定理求值证明 10 【知识点二】角平分线的定义与性质（核心重难点） 14 【题型 5】】利用角平分线性质进行基础角度、长度计算 14 【题型 6】利用角平分线判定进行求值证明 16 【题型 7】利用角平分线性质与判定进行求值证明 20 【知识点三】垂直平分线与角平分线做题择优技巧（自学提速核心） 22 【题型 8】中垂线、角平分线基础混合训练 23 【知识点四】两大平分线综合拔高证明（期末、中考必考） 27 【题型 9】垂直平分线与角平分线综合大题 27 二.同步自测 32 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 32 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 39 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 44 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握垂直平分线与角平分线所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念学知识→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】线段的垂直平分线（基础必考） 1、垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 2、垂直平分线两大条件（缺一不可）：① 与线段互相垂直；② 经过线段中点（平分线段）。 3、线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 【要点提示】这是几何最常用“等量代换神器”，看到中垂线直接出两组边相等，无需再证全等。 4、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、拓展结论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 垂直平分线口诀：线上点，距端等；距端等，在线上 【题型 1】垂直平分线概念辨析、性质基础应用 【例题1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在下方求作一点P，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点即为所求； 【分析】利用尺规作的中垂线，交于点，易得，进而得到，再以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点即可． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 【变式2】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，则长为___________． 【答案】5 【分析】根据垂直平分线上的性质解答即可． 解：由题意知点在的垂直平分线上， 则． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，． （1）在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）作线段的垂直平分线，由此可得； （2）先求解的度数，再根据等边对等角可得，再求解出的度数，由此可证明． 解：（1）解：分别以点A，点B为圆心，大于线段的长度的一半为半径画弧， 两弧相交于点E，点F，连接， 直线与的交点即为点D，点D即为所求，如图： （2）证明：∵在中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴平分． 【题型 2】利用垂直平分线性质定理求线段长度、周长 【例题2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在等腰中，，垂直平分． （1）若的周长为35，求的长度； （2）若，求的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长； （2）由（1）知，的周长为，据此求解即可． 解：（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长为35， ， ， ． ； （2）解：由（1）知，的周长为． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，又由的周长等于15，可得，继而求得答案； 解：∵点D在边的垂直平分线上， ∴， ∵，的周长为15， ∴， ∴． 【变式2】（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【答案】22 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 解：由作图可得，垂直平分， ， 的周长为． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ， ∵是的角平分线，， ， ∵在和中， ， ， ． （2）2 【分析】（1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据（1）可知，结合已知条件得到，进而得到． 解：（1）略 （2）解：根据（1）可知， ， ∴， ∴． 【题型 3】利用垂直平分线判定定理求值证明 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【答案】证明：如图，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）， 同理：， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）， ∴边的垂直平分线经过点P． 【分析】如图，连接，利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即点 P在线段的垂直平分线上，从而证明结论． 解：略 【变式1】（2026·贵州遵义·一模）如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（     ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知，，即可得出结论． 解：根据作图痕迹可以判断作图过程为过点作直线的垂线，且，， 所以垂直平分一定正确． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，由题意得，， 进而根据线段垂直平分线的判定得到是的垂直平分线，再根据得到，代入已知计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：如图，设与相交于点， 由题意知，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ， ∵，四边形的面积为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 解：（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 【题型 4】利用垂直平分线性质与判定定理求值证明 【例题4】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． （1）若，的周长为，则的长为______； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）点在边的垂直平分线上，理由见分析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 解：（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． （1）求证：； （2）连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 解：（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【知识点二】角平分线的定义与性质（核心重难点） 1、角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 2、角平分线性质定理：角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 【要点提示】距离特指垂线段长度，不是斜线段，做题必须作垂直！ 3、角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 4、拓展结论：角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。 角平分线口诀：线上点，距边等；距边等，在平分 【题型 5】】利用角平分线性质进行基础角度、长度计算 【例题5】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见分析 【分析】作舞台两个角的角平分线，两条角平分线的交点即为舞台中心M的位置，根据角平分线的性质可知舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等． 解：舞台中心M的位置如解图所示． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出答案． 解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）点在的平分线上，点到边的距离为6，点是边上的任意一点，请写出一个符合条件的线段的长是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了角平分线的性质．点在角平分线上，故到两边和的距离相等，均为．点在上，当为垂足时最小为，因此可写出． 解：因为点在的平分线上，所以点到角的两边和的距离相等． 已知点到边的距离为，所以点到边的距离也为．点是边上的任意一点，当点为点到边的垂足时，线段的长度最小，为． 因此，符合条件的线段的长可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知， （1）在边上求作一点，使得点到边的距离相等； （2）在（1）的基础上，求作上的点，满足点D到点之间的距离最短． 【答案】（1）图见分析；（2）图见分析 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）过点作的垂线即可． 解：（1）解：如图，点即为所作． （2）解：如图，点即为所作． 【题型 6】利用角平分线判定进行求值证明 【例题6】（2026·河北邯郸·二模）如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． （1）求证：； （2）当时，把沿直线翻折得到，证明：． 【答案】（1）证明：平分， ， 又，， ∴． （2）证明：由翻折得， ， 由（1）得， ， ， ， ， ，即， ． 【分析】（1）通过角平分线的性质得到，再根据已知条件证全等即可； （2）由翻折得到，根据全等得到，根据推出，即可得证； 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可． 解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【答案】2 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∴， ∵的长为， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·山西太原·期中）已知：如图，等腰中，． （1）【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点；②过点作的垂线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）【灵活运用】 在（1）条件下，若，直接写出的周长为__________． 【答案】（1）见详解；（2）20 【分析】（1）①理解题意，结合题干要求作的平分线，交于点； ②理解题意，结合题干要求过点作的垂线，交于点； （2）先证明，则，即，整理 ，即可作答． 解：（1）解：①依题意，角平分线，如图所示： ②垂线，如图所示． （2）解：∵等腰中，， ∴， 由（1）得出，是的平分线， ∴， ∵， ∴， 则， 即， ∴ ， ∴的周长为． 【题型 7】利用角平分线性质与判定进行求值证明 【例题7】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 解：于点，于点，且， 平分， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． （1）求证：AD平分； （2）请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【知识点三】垂直平分线与角平分线做题择优技巧（自学提速核心） 1、求线段相等、三角形周长、端点距相等：优先用垂直平分线； 2、求垂线段相等、角内距离、证明角平分：优先用角平分线； 3、两大定理可直接得结论，无需再证全等，简化解题步骤。 【题型 8】中垂线、角平分线基础混合训练 【例题8】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）15；（2）见分析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 解：（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）以下说法中错误的是（　　） A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么 B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上 C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识点，是做题的关键．根据线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定，逐项进行判断即可． 解：∵直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，则， ∴ A正确，故不符合题意； ∵点P到线段两个端点的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上， ∴ B正确，故不符合题意； ∵ 角平分线的判定要求点到和的垂直距离相等，但选项C中和是点到和上点M、N的距离，不一定垂直， ∴ 不能推出是的平分线， ∴ C错误，故符合题意； ∵是的平分线，P是上一点，则点P到、的距离相等， ∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】根据垂直平分线及全等三角形的判定和性质依次对各个结论进行判断即可得． 解：∵，， ∴BD垂直平分AC，①正确； 在与中， ， ∴，④正确； 由可得： ， ∴BD平分，②正确； ③无法证明； 故正确结论有：①②④， 故答案为：①②④． 【点拨】题目主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的大小； （3）如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 【知识点四】两大平分线综合拔高证明（期末、中考必考） 综合考点：中垂线+角平分线结合、线段和差证明、角度推导、定点定值问题 【题型 9】垂直平分线与角平分线综合大题 【例题9】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，点在边上，连接，过点作于点，连接，垂直平分线段，点在边上． （1）求证：平分； （2）若． ①试判断与相等吗？并说明理由； ②若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）①相等，理由见分析； ②10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据角平分线的判定定理解答即可； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，可证明，即可求证；②根据题意可得，再由，可得，即可解答． 解：（1）解：垂直平分线段， ． 又，， 平分； （2）解：①；理由如下： 垂直平分线段， ． ， ． 在和中， ， ， ； ②由（1）知， ， ， ． 由①知， ， ． 【变式1】（23-24七年级下·山东·期末）如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握角平分线的判定；先根据角平分线的判定得到角相等，再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形得到角相等，进而得到答案； 解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，是三边都不相等的三角形，平分，平分，且是三边垂直平分线的交点．当点，同时在的内部，且时，的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 先根据点O是三边垂直平分线的交点求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 解：连接，如图． 平分，平分， ，， ． 是三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ． ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点D为斜边上一点，且，过点D作的垂线交于点E． （1）求证：平分． （2）若， ①求证：点E在的垂直平分线上； ②若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）①证明见分析；② 【分析】（1）证明得到，即可证明平分； （2）①先根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义推出，则，据此可得点E在的垂直平分线上；②根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，再求出，则． 解：（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：①：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上； ②∵在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，证明是解题的关键． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可知，可得，即可求得答案． 解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等， ∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得平分，进而得到即可． 解：∵，， ∴平分， ∴； 故选：D． 5．（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】连接，由作图可得，由即可得出结果． 解：如图，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， 的周长为． 6．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 【答案】D 【分析】过O点分别作、、的垂线、、，利用角平分线性质可以得到，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 解：如图，过O点分别作、、的垂线、、， ∵是的角平分线， ∴， 同理， ∴， ∴． 7．（2022·广西南宁·模拟预测）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（     ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到，根据同角的余角相等得到，即可判断A正确；由角平分线的性质定理即可判断C正确；证明，得到，即可判断D正确；由和不一定相等得到和不一定相等，即可判断B错误． 解：由作图得，， ∴， ∴， ∴，故A正确； 由作图得，平分， 又∵， ∴，故C正确； 又∵， ∴， ∴，故D正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故B错误． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，过点E作，交的延长线于点G，证明，进一步结合全等三角形的性质即可得到答案． 解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 过点E作，交的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在锐角中，边的垂直平分线分别交边、于点、，边的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，从而将的周长转化为 ，结合图形及已知条件，判断线段与在上有重叠部分，利用线段的和差关系即可求解． 解：∵垂直平分，垂直平分 ∴， ∴的周长 ∵， ∴的周长． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（22-23八年级上·山东菏泽·开学考试）如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 12．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）在中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为_______． 【答案】4或12 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，先利用，可判断点、都在的垂直平分线上，然后分类讨论：当点在的内部时，易得；当点在的外部时，易得． 解：， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 所在直线是的垂直平分线， 如图，为直线与的交点， ∵若点到的距离为8，点到的距离为4， ∴，， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，． 综上，的长为4或12． 故答案为：4或12． 13．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 【答案】2 解：如图，过点作， ，， ， 平分，， ， 点D到的距离为2． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是内的射线，，，垂足分别为，且，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】先求出平分，再结合已知的度数求出的度数． 解：∵,，且， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 15．（18-19八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是________． 【答案】 【分析】将三角形面积转化为三个小三角形的面积和求解即可． 解：如图，过O点分别向和作垂线，垂足分别为E和F，连接， ∵、分别平分和，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线的性质和求三角形的面积，解题关键是得到O点到三边的距离相等． 16．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，是的角平分线，，垂足为点F，，和的面积分别为50和38，则的面积为______． 【答案】6 【分析】过点D作于点H，证明得到，根据四边形的内角和及，得到，根据同角的补角相等得到，从而证得，得到．设，根据列出方程，求解即可． 解：过点D作于点H，则． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在四边形中，， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为______． 【答案】6 【分析】利用线段垂直平分线的性质得到，再进行等量代换，最终求出答案． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见分析 【分析】的角平分线与线段的垂直平分线的交点，即为点的位置． 解：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，射线与直线交于点． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，先证明，则，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·吉林辽源·期末）如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 【答案】见分析 【分析】利用角平分线的性质求得，再利用证明，可得，进而可得垂直平分． 解：证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测），直线与交于点． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）成立，理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理， （1），先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而根据角平分线的判定定理得出答案； （2）过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N，由（1）得，可知，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据角平分线的判定定理得出答案． 解：（1）证明：∵ ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）解：成立，理由：过点C作直线的垂线，垂足分别为M，N， 由（1）得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴平分． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）由、得；结合已知、公共边，用定理证明，由全等三角形对应角相等，得，从而证出结论． （2）由（1）中得，又已知，根据线段垂直平分线的判定定理，得直线是的垂直平分线，因此． 解：（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·山东德州·期末）综合实践活动课上，同学们准备研究如下问题： 将直角三角板的直角顶点放在直线上，作射线平分．探索和的关系 （1）【基础尝试】在图①中，若，求； （2）【变式探究】在图①中，若，________（用含的式子表示）； （3）【拓展运用】将图①中的三角板绕顶点旋转至图②的位置，写出和的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见分析 【分析】本题考查角平分线的性质以及角的运算，解题的关键是利用角之间的数量关系进行推导． （1）结合平角的定义和角平分线的定义解答； （2）结合平角的定义和角平分线的定义解答； （3）由平角定义知，由角平分线的定义推知，再由得到． 解：（1）解：如图1， ∵，， ∴，， 又平分， ∴， ∴； （2）解：如图1， ∵，， ∴，， 又平分， ∴， ∴； （3）解：理由如下： 如图2， ∵点在上， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第3讲）——线段垂直平分线与角平分线（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】线段的垂直平分线（基础必考） 2 【题型 1】垂直平分线概念辨析、性质基础应用 2 【题型 2】利用垂直平分线性质定理求线段长度、周长 3 【题型 3】利用垂直平分线判定定理求值证明 4 【题型 4】利用垂直平分线性质与判定定理求值证明 5 【知识点二】角平分线的定义与性质（核心重难点） 6 【题型 5】】利用角平分线性质进行基础角度、长度计算 7 【题型 6】利用角平分线判定进行求值证明 7 【题型 7】利用角平分线性质与判定进行求值证明 9 【知识点三】垂直平分线与角平分线做题择优技巧（自学提速核心） 10 【题型 8】中垂线、角平分线基础混合训练 10 【知识点四】两大平分线综合拔高证明（期末、中考必考） 11 【题型 9】垂直平分线与角平分线综合大题 11 二.同步自测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 15 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握垂直平分线与角平分线所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念学知识→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】线段的垂直平分线（基础必考） 1、垂直平分线定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。 2、垂直平分线两大条件（缺一不可）：① 与线段互相垂直；② 经过线段中点（平分线段）。 3、线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。 【要点提示】这是几何最常用“等量代换神器”，看到中垂线直接出两组边相等，无需再证全等。 4、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、拓展结论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。 垂直平分线口诀：线上点，距端等；距端等，在线上 【题型 1】垂直平分线概念辨析、性质基础应用 【例题1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在下方求作一点P，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【变式2】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，则长为___________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，． （1）在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【题型 2】利用垂直平分线性质定理求线段长度、周长 【例题2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，在等腰中，，垂直平分． （1）若的周长为35，求的长度； （2）若，求的周长． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（     ） A．5 B．6 C．3 D．7 【变式2】（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 3】利用垂直平分线判定定理求值证明 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【变式1】（2026·贵州遵义·一模）如图，点A在直线l外，以点A为圆心，a长为半径画弧，交直线l于B，C两点，分别以点B，C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，作直线．下列说法中，一定正确的是（     ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【变式3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：． 【题型 4】利用垂直平分线性质与判定定理求值证明 【例题4】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． （1）若，的周长为，则的长为______； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． （1）求证：； （2）连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【知识点二】角平分线的定义与性质（核心重难点） 1、角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线。 2、角平分线性质定理：角平分线上的点，到这个角两边的距离相等。 【要点提示】距离特指垂线段长度，不是斜线段，做题必须作垂直！ 3、角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 4、拓展结论：角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合。 角平分线口诀：线上点，距边等；距边等，在平分 【题型 5】】利用角平分线性质进行基础角度、长度计算 【例题5】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条笔直公路围成的内修建一个度假村．要使这个度假村到这三条公路的距离都相等，应在（    ）处修建这个度假村． A．三条中线的交点 B．三条高线的交点 C．三个内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线交点 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）点在的平分线上，点到边的距离为6，点是边上的任意一点，请写出一个符合条件的线段的长是_____． 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知， （1）在边上求作一点，使得点到边的距离相等； （2）在（1）的基础上，求作上的点，满足点D到点之间的距离最短． 【题型 6】利用角平分线判定进行求值证明 【例题6】（2026·河北邯郸·二模）如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． （1）求证：； （2）当时，把沿直线翻折得到，证明：． 【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【变式3】（25-26八年级下·山西太原·期中）已知：如图，等腰中，． （1）【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点；②过点作的垂线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）【灵活运用】 在（1）条件下，若，直接写出的周长为__________． 【题型 7】利用角平分线性质与判定进行求值证明 【例题7】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，平分，平分，求证：平分． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【变式3】（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． （1）求证：AD平分； （2）请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【知识点三】垂直平分线与角平分线做题择优技巧（自学提速核心） 1、求线段相等、三角形周长、端点距相等：优先用垂直平分线； 2、求垂线段相等、角内距离、证明角平分：优先用角平分线； 3、两大定理可直接得结论，无需再证全等，简化解题步骤。 【题型 8】中垂线、角平分线基础混合训练 【例题8】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）以下说法中错误的是（　　） A．如果直线l是线段的垂直平分线，点P在l上，那么 B．如果点P到线段两个端点的距离相等，那么点P在线段的垂直平分线上 C．如果点P是内一点，M、N分别在、上，且，那么射线是的平分线 D．如果是的平分线，P是上一点，那么点P到、的距离相等 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是_______． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． （1）求证：； （2）若，求的大小； （3）如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【知识点四】两大平分线综合拔高证明（期末、中考必考） 综合考点：中垂线+角平分线结合、线段和差证明、角度推导、定点定值问题 【题型 9】垂直平分线与角平分线综合大题 【例题9】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，点在边上，连接，过点作于点，连接，垂直平分线段，点在边上． （1）求证：平分； （2）若． ①试判断与相等吗？并说明理由； ②若，求的长． 【变式1】（23-24七年级下·山东·期末）如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·周测）如图，是三边都不相等的三角形，平分，平分，且是三边垂直平分线的交点．当点，同时在的内部，且时，的度数为__________． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，点D为斜边上一点，且，过点D作的垂线交于点E． （1）求证：平分． （2）若， ①求证：点E在的垂直平分线上； ②若，求的长． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，的三边、、长分别是60、70、80，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（     ） A．8：7：6 B． C． D． 7．（2022·广西南宁·模拟预测）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（     ） A． B． B． C． D． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 9．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，中，是的中点，，，交于，则的值为（　　） A． B．1 C．3 D． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在锐角中，边的垂直平分线分别交边、于点、，边的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·山东菏泽·开学考试）如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 12．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）在中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为_______． 13．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，，平分，，，则点D到的距离为______． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是内的射线，，，垂足分别为，且，，则的度数为_________． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是________． 16．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，是的角平分线，，垂足为点F，，和的面积分别为50和38，则的面积为______． 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 18．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，是的垂直平分线，连接，若的周长为，的周长为，则的长为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，D是边上一点，，于点D，交于点F．求证：垂直平分． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·吉林辽源·期末）如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·辽宁营口·阶段检测），直线与交于点． （1）如图1，若，求证：平分； （2）如图2，若，（1）中的结论是否成立？说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． （1）求证：是的平分线； （2）连接，求证：． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·山东德州·期末）综合实践活动课上，同学们准备研究如下问题： 将直角三角板的直角顶点放在直线上，作射线平分．探索和的关系 （1）【基础尝试】在图①中，若，求； （2）【变式探究】在图①中，若，________（用含的式子表示）； （3）【拓展运用】将图①中的三角板绕顶点旋转至图②的位置，写出和的度数之间的关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $