第十五章 轴对称（ 02讲 画轴对称的图形 ）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“画轴对称的图形”核心知识点，基于轴对称变换的定义与性质（全等、对称点、垂直平分），通过找关键点、作垂线、连对应点的步骤教学作图方法，并结合坐标系中对称点坐标规律（x轴(x,-y)、y轴(-x,y)），构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，涵盖基础作图、坐标系变换、实际问题（如镜子成像）、面积与最值综合问题，培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过推理训练提升逻辑思维（数学思维），规范作图步骤与坐标表达强化数学语言。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

第十五章 轴对称 02讲 画轴对称的图形 题型归纳 【题型1. 画轴对称图形 2】 【题型2. 坐标系中的轴对称变换 7】 【题型3. 轴对称的实际问题 10】 【题型4. 轴对称综合——面积问题 11】 【题型5. 轴对称综合——最值问题 15】 【题型6. 轴对称综合——其他问题 21】 【巩固练习 25】 知识清单 知识点1 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 知识点2 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤：①找图形的关键点； ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点； ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)； 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 题型专练 题型1. 画轴对称图形 【例1】按要求完成作图：已知点三个点的坐标分别为． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)写出A、B、C的对应点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，． (1)求出的面积； (2)在图中作出关于y轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 【答案】(1) (2) 解：如图所示，即为所求； (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）关键（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）略 （3）解：由（2）可得． 【变式1】已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)请以轴为对称轴，画出与对称的； (2)点与点关于轴对称，则______，______． (3)如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或或 【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形； （2）利用关于轴对称的点的坐标关系求出、的值； （3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）解：点与点关于轴对称， ，， 解得，； （3）解：要使与全等， 则或或或， 观察图形可知，不同于点的格点的坐标是或或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出与关于轴对称的； (2)在第三象限求作一点，使的面积为6，并写出点的坐标（写出一个符合条件的点即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，正确作图是解题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）可得，那么点P到x轴的距离为3即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式3】如图所示，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，四边形在直线的左侧，其四个顶点A，B，C，D都在网格的格点上（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点）． (1)请你在所给的网格中画出四边形，使四边形和四边形关于直线对称，其中点，，，分别是点A，B，C，D的对称点； (2)在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出点A到点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了轴对称变换的知识，掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称的性质，找到各点的对称点，顺次连接即可； （2）结合图形即可得出线段的长度． 【详解】（1）如图，四边形即为所求． （2）由图可知点A和点到直线l的距离都是3网格，即为3，所以点A到点的距离为6． 题型2. 坐标系中的轴对称变换 【例1】若点B与点关于y轴对称，则B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点关于坐标轴对称的点的特点，根据点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相同求解即可． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为2， 即， 故选A． 【例2】若点关于y轴对称点的坐标是，则的值为______． 【答案】1 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，a的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于y轴对称点的坐标是， ∴ 解得， ∴． 【变式1】已知点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标特征，点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标取相反数，据此求出结论即可． 【详解】解：∵点P的坐标为，关于x轴对称， ∴横坐标不变，纵坐标取相反数，即， 故选：D． 【变式2】平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则____． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】已知点与点关于x轴对称，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，涉及到方程思想的运用．解题关键是牢记“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”这一性质，易错点是容易混淆关于x轴、y轴对称的点的坐标特征． 已知两点关于x轴对称，根据上述坐标特征，可得到横坐标相等、纵坐标互为相反数的两个等式．先利用横坐标相等的等式求出m的值，再利用纵坐标互为相反数的等式求出n的值，最后将m、n的值代入计算出结果． 【详解】解：由题意得，与点关于x轴对称， ， 解得，， ． 故答案为：． 【变式4】（1）若直线过点，且与y轴平行，则点关于直线对称的点的坐标是________，点关于直线对称的点的坐标是________． （2）已知直线过点，且与y轴平行，点和点关于直线对称，求的值． 【答案】（1）， （2） 【分析】根据纵坐标不变，横坐标中点在直线上，利用该规律列方程求解． 【详解】解：（1）由题，直线：， 点关于直线对称的点的横坐标，， 故为， 点关于直线对称的点的横坐标，， 故为， 故答案为：， ． （2）由题，直线：， 、关于对称 纵坐标相等，， 横坐标中点在上，， 解得，， ． 【点睛】本题考查了与轴平行的直线的对称点坐标规律，熟练掌握与轴平行的直线，对称点纵坐标不变，横坐标满足中点在直线上是解题的关键． 题型3. 轴对称的实际问题 【例1】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查镜面对称性质，属于简单题，关键在于能够理解镜面对称性质.根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，据此作答即可. 【详解】根据镜面对称的性质，可以得到号码为， 故选：B. 【例2】某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 【答案】81088 【分析】题考查了镜面反射的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际五位数为81088， 故答案为：81088． 【变式1】小明从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示，则此时的时间应是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了镜面对称．掌握镜面对称是解题的关键． 利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为， 故选：B． 【变式2】一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（   ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【答案】A 【分析】本题考查镜面对称．解题的关键是掌握镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．据此解答即可． 【详解】解：小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动． 故选：A． 【变式3】小强从镜子中看到的电子表的度数如图所示，则电子表的实际读数是________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面成像原理，根据镜面成像原理，所成的像为反像，可判断电子表的实际读数． 【详解】解：∵镜面所成的像为反像， ∴此时电子表的实际读数是． 故答案为：． 题型4. 轴对称综合——面积问题 【例1】如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线MN的对称（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握画轴对称图形的方法是关键． （1）根据网格结构找出点、、关于的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）． 【变式1】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上， (1)在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)求的面积； (3)在图中作出关于轴对称的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点、、的坐标描点，再连线即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求, （2）的面积为； （3）如图,，即为所求， 【变式3】如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）解：如图，作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他同理， 即为所求． （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 题型5. 轴对称综合——最值问题 【例1】如图，中，，，，D为边的中点，的垂直平分线l交于点E，若P为直线l上一动点，则的周长的最小值为（） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练理解轴对称的性质是解题的关键．连接，，由，点D是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据点F是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，当A、P、D三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】如图，在中，，，点D为边的中点，连接，， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴当A、P、D三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选：C． 【例2】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用轴对称求最短路径； （1）根据轴对称的性质分别得出、、的对应点、、的位置，顺次连接即可； （2）根据利用轴对称求最短路径的方法，连接与交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图，连接与交于点，点即为所求， 连接， 点和点关于对称， ， ， ， 点、、共线时，小， 【变式1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．网格中有一个格点．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)在直线上找一点，使的距离最短，在图中作出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图轴对称图形，最短路径问题 （1）根据轴对称的性质找出对应点画即可； （2）根据最短路径问题，连接与交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求    （2）如图所示，连接与交于点，    因为由（1）可知两个图形关于直线对称，那么两个图形上的对应点到直线上任意一点的距离相等，当在线段上时，根据两点之间线段最短，即，则按照图形作出的点的位置符合题意． 【变式2】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上．    (1)在网格中画出向下平移2个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线对称的； (3)在直线上画一点，使得的值最小. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图、轴对称作图及利用轴对称性质作图，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）作出点A、B、C平移后的对应点，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B、C关于直线m的对称点，然后再顺次连接即可； （3）连接，则与直线m的交点即为点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：连接，与直线m的交点即为所求作的点P，如图所示：    连接， 根据轴对称的性质可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 【变式3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于直线l对称的； (2)在边上找一点D，连接，使平分的面积，则D点的位置在 ． (3)请在图中l上画出点P，使的和最小． 【答案】(1)见解析 (2)的中点上 (3)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的性质，三角形的中线，解题的关键是作出对应点的位置，熟练掌握轴对称的性质． （1）先作出点A、B、C关于直线l的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，因此点D在边的中点上； （3）连接交直线l于一点，该点即为点P， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：因为三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分，所以找出边的中点D，连接，则将的面积平分，因此则D点的位置在的中点上． （3）解：如图所示，连接交直线l于一点P，则点P即为所求． 连接， ∵与关于直线l对称， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 题型6. 轴对称综合——其他问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， ． (1)画出关于轴的对称图形； (2)若是关于轴的对称图形，请直接写出三个顶点的坐标： ， ， ； (3)每个小正方形的边长为个单位长度，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，若格点在线段左侧，且满足是等腰直角三角形，直接写出满足条件的点坐标； (4)若点是内部一点，则在中对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)图见解析，，， (4) 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，点的坐标，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）根据等腰直角三角形的判定以及题目要求画出点即可； （4）利用中心对称变换的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，，，． 故答案为：，，． （3）解：如图，，，即为所求． （4）解：若点是内部一点，则在中对应点的坐标为． 故答案为：． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，； (1)作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，在坐标系中画出图形，并证明点是线段的中点； (2)在（1）的条件下，在轴下方找一点，使的面积是面积的 2 倍，且是以为底的等腰三角形，利用坐标系网格画出图形，并直接写出点 坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由点关于轴对称得到点的坐标为，即可画出点，连接，得到，得出，可得，即可得到结论； （2）根据题意得出点的纵坐标为，根据等腰三角形的性质即可得到点的坐标为，在图中画出即可． 【详解】（1）解： 如图，连接， 由对称可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴是线段中点； （2）解：如图，即为所求；    ， ， ， 点坐标为 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，． (1)作出与关于轴对称的图形，并写出点，的坐标； (2)已知点，直线轴，求点的坐标． 【答案】(1)见解析；， (2) 【分析】本题考查了画轴对称，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出； （2）根据轴，可得点的纵坐标为，根据题意列出方程，求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求．， （2） ． ，轴， 点的纵坐标为， ， ， ， 点的坐标为． 巩固练习 1．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）已知点，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于x轴对称的坐标变换规律，直接运用规律即可求解． 【详解】∵平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，即横坐标不变，纵坐标取原纵坐标的相反数． 已知点 ，横坐标保持不变，原纵坐标的相反数为． ∴点关于x轴的对称点坐标为． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题利用关于y轴对称的点的坐标特征求出的值，再代入所求代数式计算即可，用到的性质是：关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数 【详解】解：∵ 点与点关于轴对称 ∴ 根据关于y轴对称的点的坐标特征可得 ， 解得 ， 将，代入得 ． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）春节是中华民族的传统节日，人们常用贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（   ） A．将灯笼向右平移7个单位 B．将灯笼向右平移5个单位 C．将灯笼向右平移4个单位 D．将灯笼向右平移2个单位 【答案】A 【分析】可知点B、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需移动A、C两盏灯笼，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，，这四盏灯笼的纵坐标都是， ∴这四盏灯笼在一条直线上，这条直线平行于x轴， ∵，， ∴点B、D关于y轴对称，只需移动A、C两盏灯笼， ∵，， ∴可以将灯笼向右平移7个单位或将灯笼向右平移7个单位， 综上，平移的方法可以是A选项的方法． 4．（2026·山西晋城·一模）若点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同求出m、n的值，再代入计算幂即可得到结果. 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴. 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】如图所示，对称轴有五种位置，与成轴对称的格点三角形有5个． 6．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，求算术平方根，熟练掌握关于轴对称的点的特征是解题的关键． 关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出a和b的值，再进行计算即可求解． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 7．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点B作于上于点D， 则，证明，由全等三角形的性质进一步写出点B坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：过点B作于上的点D， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B点的纵坐标为3，即， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点是， 故选D． 8．（2026·甘肃天水·一模）点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 9．（2026·四川泸州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫作点关于点的“关联点”．若点关于点的关联点的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据新定义，先确定对称轴，再确定平移距离． 【详解】解：∵点关于直线翻折后的横坐标为，纵坐标不变为1， 再向下平移1个单位长度后坐标为， ∴点C的坐标为． 10．（25-26八年级下·湖南·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出点，，， ，的坐标，可推出从点开始，每6次变换为一个循环，求出2025除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于直线的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ∴关于轴的对称点的坐标为， ， 以此类推，可知，从点开始，每6次变换为一个循环，变换后的点的坐标依次为，，，，， ∴， ∴点的坐标为． 11．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查了将军饮马的模型，先利用对称的性质将求面积最小转化为求的最小值，最后利用点到直线垂线段最短解出答案． 12．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出与关于x轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），并写出点D，E，F的坐标． (2)把先向右平移4个单位长度再向上平移一个单位长度得到（点A，B，C的对应点分别为点H，M，N），画出，并写出点H，M，N的坐标． 【答案】(1)图见解析，D、E、F的坐标分别是，， (2)图见解析，H、M、N的坐标分别是，， 【分析】（1）先根据轴对称的性质确定点D，E，F的位置，然后顺次连接，再写出点D，E，F的坐标即可； （2）先根据平移的性质确定点H，M，N的位置，然后顺次连接，再写出点H，M，N的坐标即可 【详解】（1）解：如图，即为所求，D、E、F的坐标分别是，，． （2）解：如图，即为所求，H、M、N的坐标分别是，，． 13．（25-26七年级下·北京·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系．使与关于轴对称，点的坐标为 (1)在图中画出平面直角坐标系： (2)画出关于轴对称的图形，并写出点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据与关于轴对称可确定y轴的位置，根据点B的坐标确定x轴的位置和原点的位置即可； （2）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得到点，的坐标，据此描点，连线作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，则． 14．（2026·安徽铜陵·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度后得到，请画出； (2)画出关于轴对称的，并写出点，的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）分别将点、、向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度得到对应点、、，即可得到； （2）先利用关于轴对称的点的性质得到点、、的对应点、、，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． ． 15．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． (2)求的面积． (3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交x轴于点P，由轴对称的性质可得，则的周长，故当三点共线时，的周长有最小值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）解：由（1）得； （3）解：如图所示，点即为所求． 16．（25-26八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出B，C两点的坐标； (2)如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，求出D，E两点的坐标． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据题意，得，，再利用轴对称性质求解即可； （2）过点D作轴，过点E作轴，证明，求解即可； 【详解】（1）解：， ，， ，， 解得，， ∴点，． ∵点A，C关于y轴对称， ∴点． （2）解：过点D作轴，过点E作轴，如图． 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，． ∵点，， ，， ， ∴点； 同理可得点． 17．（2026·河北张家口·一模）【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． (1)【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． (2)【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意可知，当点E在上时，，延长，在射线上取点，使得，点F即为点B关于的对称点，连接、； （2）根据折叠的性质证明，，从而推出，即可得出点E、D、F在一条直线上． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由折叠的性质可知，，，，， ， 在和中， ， ， ， ， 点 、D、F在一条直线上， 18．（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)将、、三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到，请在图中画出，并直接写出与的位置关系； (2)若轴上存在一点，使得的值最小，请标出点的位置． 【答案】(1)见解析，与关于轴对称 (2)见解析 【分析】（1）作出关于轴对称的图形，即可求解； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， 与关于轴对称； （2）解：如图所示，点即为所求． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据两点关于x轴对称，“ x值相同，y值互为相反数”，列方程求解即可； （2）根据两点关于y轴对称，“y值相同，x值互为相反数”，列方程求解，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵点，关于x轴对称， ∴，，解得，； （2）解：∵点，关于y轴对称， ∴，，解得，． ∴． 20．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点A的坐标是． (1)将平移，使点A平移到点，画出平移后的． (2)把沿x轴翻折，画出翻折后的． (3)P是x轴上一动点，当的值最小时，画出此时P点位置，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，点P的坐标为． 【分析】本题考查了平移作图，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别找出点的位置，再依次连接，得到； （2）根据轴对称的性质，分别找出点的位置，再依次连接，得到； （3）连接交x轴于点P，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，P点即为所求，点P的坐标为． 21．（25-26八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，对点P，R定义如下：图形M关于直线l的对称图形为图形N，点Q是图形N上一点，点R是直线上与点P不重合的一点，且，称点R为点P关于（图形M，l）的中似点．如图1，已知点． (1)在点中， 是点C关于（点B，x轴）的中似点； (2)直线l是一三象限角平分线所在直线，点D是点B关于（线段，l）的中似点，直接写出点D纵坐标的范围； (3)已知点，直线m是经过且平行于一三象限角平分线的一条直线，若坐标轴上始终只有两个点是关于的中似点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)S (2) (3)或 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，中点坐标公式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）点关于x轴的对称点，，从而得出S是点C关于（点B，x轴）的中似点， （2）线段关于直线l的对称线段是，其中，线段关于直线l的对称线段是，其中，当时，，当时，，进而得出结果； （3）当P关于的对称点在y轴时，，此时，当点P关于的对称点在y轴上时，，此时，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图1， ∵点关于x轴的对称点，， ∴S是点C关于（点B，x轴）的中似点， 故答案为：S； （2）如图2， 线段关于直线l的对称线段是，其中， 当时，， 当时，， ∴； （3）如图， 设直线与直线的交点记作， 点B关于直线m的对称点，点E关于直线m的对称点， 当y轴上只有两点时，P关于上一点的对称点在y轴上， 当P关于的对称点在y轴时，，此时， 当点P关于的对称点在y轴上时，，此时， ∴， 如图， 当x轴上只有两点时， 当P关于的对称点在x轴时， ，此时， 当P关于的对称点在y轴时， ，此时， ∴， 综上所述：或． 22．（25-26八年级上·广东广州·期末）某小区有一块休闲空地，其形状为直角，，米，米，米．社区计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案．已知白色篱笆每米20元，金色篱笆每米30元． (1)先测算空地的基础数据，点到的距离为_____米； (2)方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1，分别在，边上取点，，围成，使得的面积为2平方米，且边用白色篱笆，边用金色篱笆，边不用篱笆，求该方案所需篱笆费用的最小值； 参考公式：对任意正实数，，有下列式子成立：；（当且仅当时取等号）． (3)方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2，分别在，，边上取点，，，围成，各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用（元）的范围． 【答案】(1)米 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查了等面积法、不等式的应用、轴对称的应用等知识点，灵活运用轴对称的性质求最值是解题的关键． （1）直接运用等面积法求解即可； （2）由题意可得该方案所需篱笆费用，，即，再根据不等式的性质求解即可； （3）如图：作D关于的对称点，作D关于的对称点，连接，则的周长为，即当共线时，取最小值；进而求得，然后求费用的取值范围即可． 【详解】（1）解：设点到的距离为h， ∵的面积为， ∴，解得：米． ∴点到的距离为米． 故答案为：． （2）解：设， 根据题意可得：该方案所需篱笆费用，，即， ∵， ∴， ∴该方案所需篱笆费用的最小值元． （3）解：如图：作D关于的对称点，作D关于的对称点，连接， ∴， ∴的周长为， ∴当共线时，取最小值， ∵， ∴点C在上，即共线， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 02讲 画轴对称的图形 题型归纳 【题型1. 画轴对称图形 2】 【题型2. 坐标系中的轴对称变换 4】 【题型3. 轴对称的实际问题 5】 【题型4. 轴对称综合——面积问题 6】 【题型5. 轴对称综合——最值问题 8】 【题型6. 轴对称综合——其他问题 10】 【巩固练习 11】 知识清单 知识点1 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 知识点2 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤：①找图形的关键点； ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点； ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)； 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 题型专练 题型1. 画轴对称图形 【例1】按要求完成作图：已知点三个点的坐标分别为． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)写出A、B、C的对应点、、的坐标． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，． (1)求出的面积； (2)在图中作出关于y轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 【变式1】已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)请以轴为对称轴，画出与对称的； (2)点与点关于轴对称，则______，______． (3)如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出与关于轴对称的； (2)在第三象限求作一点，使的面积为6，并写出点的坐标（写出一个符合条件的点即可）． 【变式3】如图所示，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，四边形在直线的左侧，其四个顶点A，B，C，D都在网格的格点上（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点）． (1)请你在所给的网格中画出四边形，使四边形和四边形关于直线对称，其中点，，，分别是点A，B，C，D的对称点； (2)在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出点A到点的距离． 题型2. 坐标系中的轴对称变换 【例1】若点B与点关于y轴对称，则B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】若点关于y轴对称点的坐标是，则的值为______． 【变式1】已知点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则____． 【变式3】已知点与点关于x轴对称，则的值是________． 【变式4】（1）若直线过点，且与y轴平行，则点关于直线对称的点的坐标是________，点关于直线对称的点的坐标是________． （2）已知直线过点，且与y轴平行，点和点关于直线对称，求的值． 题型3. 轴对称的实际问题 【例1】一列数字映在镜子里的像如图，这列数字是（　　） A． B． C． D． 【例2】某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 【变式1】小明从镜子中看到身后电子钟的示数如图所示，则此时的时间应是（ ） A． B． C． D． 【变式2】一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（   ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【变式3】小强从镜子中看到的电子表的度数如图所示，则电子表的实际读数是________． 题型4. 轴对称综合——面积问题 【例1】如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线MN的对称（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 【变式1】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上， (1)在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点； (2)求四边形的面积． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在平面直角坐标系中，画出； (2)求的面积； (3)在图中作出关于轴对称的． 【变式3】如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 题型5. 轴对称综合——最值问题 【例1】如图，中，，，，D为边的中点，的垂直平分线l交于点E，若P为直线l上一动点，则的周长的最小值为（） A．7 B．10 C．12 D．14 【例2】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上画出点，使最小． 【变式1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．网格中有一个格点．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)在直线上找一点，使的距离最短，在图中作出点的位置． 【变式2】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上．    (1)在网格中画出向下平移2个单位得到的； (2)在网格中画出关于直线对称的； (3)在直线上画一点，使得的值最小. 【变式3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于直线l对称的； (2)在边上找一点D，连接，使平分的面积，则D点的位置在 ． (3)请在图中l上画出点P，使的和最小． 题型6. 轴对称综合——其他问题 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， ． (1)画出关于轴的对称图形； (2)若是关于轴的对称图形，请直接写出三个顶点的坐标： ， ， ； (3)每个小正方形的边长为个单位长度，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，若格点在线段左侧，且满足是等腰直角三角形，直接写出满足条件的点坐标； (4)若点是内部一点，则在中对应点的坐标为 ． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，； (1)作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，在坐标系中画出图形，并证明点是线段的中点； (2)在（1）的条件下，在轴下方找一点，使的面积是面积的 2 倍，且是以为底的等腰三角形，利用坐标系网格画出图形，并直接写出点 坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，． (1)作出与关于轴对称的图形，并写出点，的坐标； (2)已知点，直线轴，求点的坐标． 巩固练习 1．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）已知点，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）点与点关于轴对称，则的值为（   ） A．0 B． C． D．1 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）春节是中华民族的传统节日，人们常用贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（   ） A．将灯笼向右平移7个单位 B．将灯笼向右平移5个单位 C．将灯笼向右平移4个单位 D．将灯笼向右平移2个单位 4．（2026·山西晋城·一模）若点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知和关于轴对称，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 7．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·甘肃天水·一模）点与点关于轴对称，则________． 9．（2026·四川泸州·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下定义：将点先关于直线翻折，再向上（时）或向下（时）平移个单位，得到的点叫作点关于点的“关联点”．若点关于点的关联点的坐标是，则点的坐标是______． 10．（25-26八年级下·湖南·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为____________． 11．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 12．（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出与关于x轴对称的（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），并写出点D，E，F的坐标． (2)把先向右平移4个单位长度再向上平移一个单位长度得到（点A，B，C的对应点分别为点H，M，N），画出，并写出点H，M，N的坐标． 13．（25-26七年级下·北京·期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，，的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系．使与关于轴对称，点的坐标为 (1)在图中画出平面直角坐标系： (2)画出关于轴对称的图形，并写出点，的坐标． 14．（2026·安徽铜陵·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中小正方形的边长为1个单位长度． (1)将向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度后得到，请画出； (2)画出关于轴对称的，并写出点，的坐标． 15．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． (2)求的面积． (3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 16．（25-26八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． (1)直接写出B，C两点的坐标； (2)如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，求出D，E两点的坐标． 17．（2026·河北张家口·一模）【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． (1)【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． (2)【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 18．（25-26八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． (1)将、、三点的横坐标分别乘以，纵坐标保持不变，得到，请在图中画出，并直接写出与的位置关系； (2)若轴上存在一点，使得的值最小，请标出点的位置． 19．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，． (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 20．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点A的坐标是． (1)将平移，使点A平移到点，画出平移后的． (2)把沿x轴翻折，画出翻折后的． (3)P是x轴上一动点，当的值最小时，画出此时P点位置，并直接写出点P的坐标． 21．（25-26八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，对点P，R定义如下：图形M关于直线l的对称图形为图形N，点Q是图形N上一点，点R是直线上与点P不重合的一点，且，称点R为点P关于（图形M，l）的中似点．如图1，已知点． (1)在点中， 是点C关于（点B，x轴）的中似点； (2)直线l是一三象限角平分线所在直线，点D是点B关于（线段，l）的中似点，直接写出点D纵坐标的范围； (3)已知点，直线m是经过且平行于一三象限角平分线的一条直线，若坐标轴上始终只有两个点是关于的中似点，直接写出t的取值范围． 22．（25-26八年级上·广东广州·期末）某小区有一块休闲空地，其形状为直角，，米，米，米．社区计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案．已知白色篱笆每米20元，金色篱笆每米30元． (1)先测算空地的基础数据，点到的距离为_____米； (2)方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1，分别在，边上取点，，围成，使得的面积为2平方米，且边用白色篱笆，边用金色篱笆，边不用篱笆，求该方案所需篱笆费用的最小值； 参考公式：对任意正实数，，有下列式子成立：；（当且仅当时取等号）． (3)方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2，分别在，，边上取点，，，围成，各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用（元）的范围． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $