15.3.1等腰三角形 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形的性质与判定，第一课时通过折纸剪纸操作引入，感知轴对称性探究“等边对等角”“三线合一”性质，第二课时回顾性质逆命题提出猜想，构建从性质到判定的知识支架。 以动手操作与逻辑推理结合为亮点，折叠发现性质后用全等证明培养推理能力，辅助线作法（角平分线、高）证明判定发展几何直观，例题练习强化模型意识，助力学生提升探究与逻辑思维，为教师提供结构化教学流程。

15.3.1等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 课 题 等腰三角形的性质 课 型 新授课 教学内容 教材第78-79页的内容 教学目标 1．理解并掌握等腰三角形的性质． 2．运用等腰三角形的性质解决相应的数学问题． 教学重难点 教学重点：等腰三角形的性质及应用. 教学难点：等腰三角形性质的探索. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入新课 如图，把一张长方形纸沿图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形是什么特殊三角形？它具有哪些性质？这就是本节课我们要研究的内容． 【师生活动】教师演示折纸、剪纸的过程，学生观察所得三角形的形状．教师引导学生通过折叠发现等腰三角形的轴对称性. 2.发现探究，学习新知 【问题1】把剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，通过这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？用语言描述等腰三角形的这条性质. 【师生活动】学生经过观察，找到重合的线段和角，然后小组讨论交流，总结等腰三角形的性质.能够发现等腰三角形除了腰相等以外两个底角也相等，我们得到等腰三角形的以下性质： 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 【追问】等腰△ABC中，AD有几种角色？各是什么？ 【师生活动】教师鼓励学生发言，学生能够发现AD是△ABC的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，引导学生用语言描述等腰三角形的这条性质： 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 【追问】我们知道等腰三角形是轴对称图形，从上面的操作中，能不能发现证明性质1的方法？ 【师生活动】如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C. 让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．通过前面的操作发现，△ABC的中线AD将三角形分成两个全等的三角形，考虑通过三角形的全等证明这些性质： 证明：如图，作底边BC的中线AD，则BD=CD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC， BD=CD， AD=AD， ∴△BAD≌△CAD(SSS). ∴∠B=∠C.（性质1得证） 【追问】从上述证明你能得到关于性质2的什么结论？ 【师生活动】同学们进行讨论得出：由△BAD≌△CAD可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∴AD⊥BC.也就是等腰三角形底边上的中线平分顶角并且垂直于底边. 【追问】上述说法能否充分说明性质2，若不能你能进一步证明吗？ 【师生活动】教师引导学生以同样的方法证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边. 教师引导学生类比前面的证明方法进行证明.从而性质2得证. 从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. 3.学以致用，应用新知 例 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°， ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 4.随堂训练，巩固新知 （1）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　 ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 答案：B （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是 (　　) A．AD⊥BC B．∠EBC＝∠ECB C．∠ABE＝∠ACE D．AE＝BE 答案：D （3）如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE. 证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P. ∵AB＝AC，∴BP＝PC. ∵AD＝AE，∴DP＝PE. ∴BP－DP＝PC－PE.∴BD＝CE. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.我们是怎么样探究等腰三角形的性质的呢？ 3.请描述一下等腰三角形的性质？ 6.布置作业 教材P79练习1,2,3.教材P84习题15.3第1,3,4,9，13题； 教材P91复习题第5题. 通过动手操作引入本节课的课题，激发学生的好奇心和求知欲. 通过观察、思考、描述、证明，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯. 先通过动手操作发现等腰三角形的性质，再通过几何证明验证性质. 教师要让学生注意到，“三线合一”的性质实际上包含了三个命题，需要一一证明. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括“等边对等角”“三线合一”的应用. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 等腰三角形的性质 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 2.性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”). 例题 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 等腰三角形的判定 课 题 等腰三角形的判定 课 型 新授课 教学内容 教材第80-81页的内容 教学目标 1．理解并掌握等腰三角形的判定方法． 2．等腰三角形的判定方法的应用. 教学重难点 教学重点：等腰三角形判定方法的应用. 教学难点：等腰三角形判定方法的证明. 教学活动 教 学 过 程 备 注 1.回顾旧知，引入新课 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 【师生活动】学生猜想它们所对的边相等，即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 2.发现探究，学习新知 【问题1】如何证明上述猜想呢？ 【师生活动】教师引导学生思考证明方法：①上节课我们用什么方法证明三角形里面的两个角相等？②证明线段或角相等的常用方法是什么？学生经过讨论，猜测出可以用三角形全等证明猜想. 追问：请写出上述猜想的已知与求证，并请同学回答. 【师生活动】学生回答：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC. 【追问】要通过两个三角形全等证明需要先作辅助线，请同学们思考并回答应该怎么作辅助线呢？ 【师生活动】学生思考并回答：作∠A的平分线，作边BC上的高，作边BC上的中线.教师指导同学们选择一种辅助线的作法自行证明. 教师请学生分享自己的证明过程： 证明一：如图，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠BAD=∠CAD. ∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠1=∠2， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴ AB=AC. 证明二：如图，作AD垂直于BC，垂足为点D，∴∠ADB=∠ADC. ∵在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C， ∠ADB=∠ADC， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）.∴ AB=AC. 而作边BC上的中线不能证明. 师生共同归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即得到等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 3.学以致用，应用新知 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC. 求证：AB＝AC. 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 又AD平分∠CAE， ∴∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC(等角对等边)． 例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 作法：如图. （1）作线段AB=a. （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. （3）在MN上取一点C，使DC=h. （4）连接AC，BC.则△ABC就是所求作的等腰三角形. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BE为∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中的等腰三角形有( ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 答案：B （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论． 解：△APQ是等腰三角形．证明如下： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵PD⊥BC，∴∠BDP＝∠PDC＝90°. ∴∠P＋∠B＝90°，∠DQC＋∠C＝90°. ∵∠B＝∠C，∴∠P＝∠DQC. ∵∠DQC＝∠AQP，∴∠AQP＝∠P. ∴△APQ为等腰三角形． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.我们是如何探究等腰三角形的判定的呢？ 3.请描述等腰三角形的判定定理. 6.布置作业 教材P81练习1,2,3.教材P84习题15.3第2,3,4,6,8,10题； 教材P91复习题第6题. 抛出问题展开教学，引导联想性质与判定常常是逆定理的关系，确定等腰三角形的性质的逆命题，提出猜想. 教师提示学生联想前面学过用过的知识内容，前后联系，融会贯通，强化学生对于方法的学习. 学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴． 教师强调此判定方法是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括等腰三角形的判定的应用，用尺规作等腰三角形. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 第2课时 等腰三角形的判定 1.等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 例题 练习 提纲挈领,重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $