01讲 图形的轴对称 暑假预习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 01讲 图形的轴对称 题型归纳 【题型1. 轴对称图形的辨别 5】 【题型2. 成轴对称的两个图形的辨别 7】 【题型3. 求对称轴条数 8】 【题型4. 轴对称和轴对称图形的性质应用 8】 【题型5. 轴对称中实际应用 10】 【题型6. 线段垂直平分线的性质——求线段长度 11】 【题型7. 线段垂直平分线的性质——求角度 12】 【题型8. 线段垂直平分线的判定 14】 【题型9. 线段垂直平分线的性质与判定综合 15】 【题型10. 命题 17】 【题型11. 尺规作图——作线段的垂直平分线 18】 【题型12. 尺规作图——作线段的垂线 19】 【题型13. 画对称轴 21】 【巩固练习 21】 知识清单 知识点1 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.元素：这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点事对应点，叫作对称点. 3.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点2 轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 成轴对称的两个图形全等. 2． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 知识点4 垂直平分线的定义及性质 1.定义：过过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. 求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB ∴∠PCA=∠PCB 又AC=BC，PC=PC ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB 知识点5 垂直平分线的判定 1.根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（证明一个点到线段的两个端点的距离相等） 知识点6 命题、定理 1.把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 3.例： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 互逆 定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 互逆 定理 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 知识点7 作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： （1）如图（1），分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）如图（2），作直线PQ，PQ就是线段AB的垂直平分线。 （3） （2） （1） 证明：由步骤（1）作法可知：AP=BP，AQ=BQ. ∵ 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ∴ P，Q两点都在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理） ∴ 直线PQ就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） 知识点8 作已知线段的垂线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂线． 作法： （1）如图（1），在点P左侧任取一点A，以点P为圆心，PA长为半径作弧，在点P的右侧交直线l与点B； （2）如图（2），分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q.（3） （1） （2） 证明： 由步骤（1）作法可知，点P为线段AB的中点，即点P在线段AB的垂直平分线上 由步骤（2）作法可知，AQ=BQ，即点Q在线段AB的垂直平分线上 ∴ 直线PQ是线段AB的垂直平分线，且经过点P，即PQ⊥l 题型专练 题型1. 轴对称图形的辨别 【例1】2024年巴黎奥运会中国代表团共获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一，历届奥运会会徽也以其独特的设计吸引观众的注意，以下奥运会会徽属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【例2】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列四个图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一、下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（　　） A． B． C． D． 【变式5】下列图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型2. 成轴对称的两个图形的辨别 【例1】观察下图，其中不成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式1】下列说法中，正确的个数是（   ） （1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）    A． B． C． D．   题型3. 求对称轴条数 【例1】下列说法中不正确的是（   ） A．如果两个图形成轴对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分 B．成轴对称的两个图形的对称轴只有一条 C．任何一个正方形的对称轴都有四条 D．如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等 【变式1】下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（   ） A．线段 B．角 C．等腰三角形 D．正方形 【变式2】在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． 题型4. 轴对称和轴对称图形的性质应用 【例1】如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 【例2】A、B两点关于直线对称，点P是直线上一点，若，则___________ ． 【变式1】如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，与关于直线l对称，若，则的长是（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为____________． 【变式4】如图，与关于直线对称，其中． (1)你认为点A与点D有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ (2)求的度数． 题型5. 轴对称中实际应用 【例1】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型6. 线段垂直平分线的性质——求线段长度 【例1】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【例2】如图，在中，已知，直线垂直平分交于点D，交于点E，连接，若的周长为14，则的周长为_______． 【变式1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【变式2】如图，在中，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，则长为___________． 【变式3】如图，在中，，是的垂直平分线．若，求的周长． 【变式4】如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，连接，，若周长为10，求线段的长． 题型7. 线段垂直平分线的性质——求角度 【例1】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【例2】如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则_______°． 【变式1】如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点．若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，垂直平分交于E，，，则的度数为_______ 【变式4】如图，，的垂直平分线交于点D．求度数． 题型8. 线段垂直平分线的判定 【例1】如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（    ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【例2】如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【变式1】已知：如图，，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 【变式2】已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【变式3】已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． 题型9. 线段垂直平分线的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，DE，且．若，求的度数． 【例2】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式2】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【变式3】和都是等腰直角三角形， (1)如图1，点，在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（请直接写出答案）． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点和点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，请直接写出四边形的面积． 题型10. 命题题型 【例1】下列各命题成立，且它们的逆命题也成立的是（   ）． A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．如果，那么 D．如果，那么 【例2】已知下列命题：①若，则；②若，则；③如果是有理数，那么是整数；④对应角相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【变式2】下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 【变式3】定理“全等三角形的对应角相等”_______（填“有”或“没有”）逆定理． 题型11. 尺规作图——作线段的垂直平分线 【例1】如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ 【例2】如图，在中，，，，． (1)用尺规作图作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求的周长． 【变式1】如图，在中，，． 请用尺规作图法，在线段上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】如图，已知△，为上一点，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【变式3】电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型12. 尺规作图——作线段的垂线 【例1】已知直线及直线外一点A，求作：一条直线垂直于，且点A在直线上．（尺规作图） 【例2】如图，已知在中，，利用尺规作图法，在上求作一点D，使． 【变式1】如图，在中， (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【变式2】如图，已知，是边上的中线，垂足为． (1)求作：射线，使，垂足为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）得到的图形中，若，求证：是等腰三角形． 【变式3】如图，在中，，，． (1)尺规作图：求作边的垂直平分线．（保留作图痕迹，不要求写出作图过程） (2)求的长． 题型13. 画对称轴 【例1】画出下列轴对称图形的所有的对称轴． 【变式1】下面图形中只能画一条对称轴的是（　　） A． B． C． 【变式2】画出每个轴对称图形的1条对称轴． 【变式3】如图，已知四边形与四边形成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点． 巩固练习 1．（2026·天津河东·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建宁德·一模）美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融合．下列四种纹样图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 5．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，将一张长方形纸条沿着折叠，点的对应点是，点的对应点是.若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 7．（2026·天津西青·一模）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 8．（25-26八年级上·重庆开州·期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 9．（25-26八年级下·江西九江·期中）命题“若，那么”的逆命题是______． 10．（25-26七年级下·上海·期中）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 11．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张长方形纸条折叠，折痕分别与，交于点，，点，分别落在，处，与交于点．若，则的度数为________． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点D，E，M是直线上的动点，则的最小值为______． 14．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，线段长度为6．（不写作法，保留作图痕迹） (1)尺规作图：如图1，在线段的上方找一点P，使． (2)尺规作图：如图2，在线段的延长线上找一点C，使． 15．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 17．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 18．（25-26七年级下·山西大同·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，恰好与平行．若，求的度数． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，垂直平分线． (1)求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 20．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 21．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为9，求的周长； (2)若，求的度数． 22．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点、的对应点分别为点、，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． 若，则的度数__________． 若，请求出的度数． 23．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即 ， ________． (1)【猜想结论】 ___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 01讲 图形的轴对称 题型归纳 【题型1. 轴对称图形的辨别 5】 【题型2. 成轴对称的两个图形的辨别 9】 【题型3. 求对称轴条数 11】 【题型4. 轴对称和轴对称图形的性质应用 13】 【题型5. 轴对称中实际应用 16】 【题型6. 线段垂直平分线的性质——求线段长度 19】 【题型7. 线段垂直平分线的性质——求角度 23】 【题型8. 线段垂直平分线的判定 26】 【题型9. 线段垂直平分线的性质与判定综合 30】 【题型10. 命题 37】 【题型11. 尺规作图——作线段的垂直平分线 39】 【题型12. 尺规作图——作线段的垂线 42】 【题型13. 画对称轴 46】 【巩固练习 48】 知识清单 知识点1 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.元素：这条直线就是它的对称轴．折叠后重合的点事对应点，叫作对称点. 3.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点2 轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称． 成轴对称的两个图形全等. 2． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 知识点4 垂直平分线的定义及性质 1.定义：过过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上. 求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB ∴∠PCA=∠PCB 又AC=BC，PC=PC ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB 知识点5 垂直平分线的判定 1.根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 2.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（证明一个点到线段的两个端点的距离相等） 知识点6 命题、定理 1.把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 把其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 2.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 3.例： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 互逆 定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 互逆 定理 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 知识点7 作已知线段的垂直平分线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： （1）如图（1），分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）如图（2），作直线PQ，PQ就是线段AB的垂直平分线。 （3） （2） （1） 证明：由步骤（1）作法可知：AP=BP，AQ=BQ. ∵ 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ∴ P，Q两点都在线段AB的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理） ∴ 直线PQ就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线） 知识点8 作已知线段的垂线 已知：线段AB，求作：线段AB的垂线． 作法： （1）如图（1），在点P左侧任取一点A，以点P为圆心，PA长为半径作弧，在点P的右侧交直线l与点B； （2）如图（2），分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q.（3） （1） （2） 证明： 由步骤（1）作法可知，点P为线段AB的中点，即点P在线段AB的垂直平分线上 由步骤（2）作法可知，AQ=BQ，即点Q在线段AB的垂直平分线上 ∴ 直线PQ是线段AB的垂直平分线，且经过点P，即PQ⊥l 题型专练 题型1. 轴对称图形的辨别 【例1】2024年巴黎奥运会中国代表团共获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一，历届奥运会会徽也以其独特的设计吸引观众的注意，以下奥运会会徽属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 【例2】下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 【变式1】下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 【变式2】下列四个图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项A、B、C中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 【变式3】围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式4】“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一、下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 【变式5】下列图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； D、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 题型2. 成轴对称的两个图形的辨别 【例1】观察下图，其中不成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的轴对称，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，据此判断即可 【详解】解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； B、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； C、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，符合题意； D、沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【例2】下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可． 【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称， 故选：B． 【变式1】下列说法中，正确的个数是（   ） （1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形的全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，故（1）不正确，不符合题意； （2）轴对称图形的对称轴是一条直线，故（2）不正确，不符合题意； （3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，故（3）正确，符合题意； （4）全等的两个图形不一定成轴对称，故（4）不正确，不符合题意； （5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言，故（5）正确，符合题意； 综上：正确的有（3）（5），共2个， 故选：B． 【变式2】下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．两个图形不成轴对称，不符合题意； B．两个图形不成轴对称，不符合题意； C．两个图形不成轴对称，不符合题意； D．两个图形成轴对称，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点． 【变式3】如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）    A． B． C． D．   【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断. 【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是   故选：A． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形. 题型3. 求对称轴条数 【例1】下列说法中不正确的是（   ） A．如果两个图形成轴对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分 B．成轴对称的两个图形的对称轴只有一条 C．任何一个正方形的对称轴都有四条 D．如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形、全等三角形的判定、轴对称的性质．利用轴对称的性质、全等三角形的判定等进行判定后即可得到正确的答案． 【详解】解：A、如果两个图形成轴对称，那么对应点所连线段被对称轴垂直平分，故原说法正确，本选项不符合题意； B、成轴对称的两个图形的对称轴有可能不止有一条，故原说法错误，本选项符合题意； C、任何一个正方形的对称轴都有四条，故原说法正确，本选项不符合题意； D、如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等，故原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（   ） A．线段 B．角 C．等腰三角形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴， 根据定义，对选项进行一一分析找出对称轴最多的图形即可． 【详解】解：A、线段有2条对称轴； B、角有1条对称轴； C、等腰三角形有1条对称轴； D、正方形有4条对称轴； 故对称轴最多是正方形，有4条； 故选：D． 【变式2】在平面上任意画个半径相同的圆（两两都不重复）构成一个图形，下列说法：这个图形可能不是轴对称图形，这个图形可能只有一条对称轴，这个图形可能有两条对称轴，这个图形可能有三条对称轴，这个图形可能有无数条对称轴，其中说法成立的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的概念，轴对称，根据轴对称的定义逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当三个圆心不构成特殊三角形时不是轴对称图形，如图， ∴这个图形可能不是轴对称图形，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离不相等时，只有一条对称轴， ∴这个图形可能只有一条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心在一条直线上，且圆心间距离相等时，有两条对称轴， ∴这个图形可能有两条对称轴，故此说法正确，符合题意； 三个圆心构成等边三角形时有三条对称轴，如图， ∴这个图形可能有三条对称轴，故此说法正确，符合题意； 只有三个圆重合时，有无数条对称轴， ∵两两都不重复， ∴这个图形不可能有无数条对称轴，故此说法错误，不符合题意； 综上正确， 故选：． 题型4. 轴对称和轴对称图形的性质应用 【例1】如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分 C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，如果把两个图形沿着某条直线折叠后，两个图形能完全重合，这两个图形关于这条直线轴对称，这条直线是对称轴，对称轴是对应点连线段的垂直平分线． 【详解】解： 与关于直线成轴对称， 是对称轴，点和点是对应点， 是线段的垂直平分线， 故A选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 线段被直线垂直平分， 故B选项正确，符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线经过线段的中点，且垂直于线段， 故C选项错误，不符合题意； 是线段的垂直平分线， 直线与线段垂直，且经过线段的中点， 故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】A、B两点关于直线对称，点P是直线上一点，若，则___________ ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的不变性是解题的关键． 根据轴对称的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵A、B两点关于直线对称，点P是直线上一点，若，则， 故答案为：． 【变式1】如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 【变式2】如图，与关于直线l对称，若，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质．根据轴对称图形的性质可得，再由全等三角形的判性质解答即可． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得出，根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：由轴对称可知：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，与关于直线对称，其中． (1)你认为点A与点D有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ (2)求的度数． 【答案】(1)点A于点D关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分 (2) 【分析】本题考查成轴对称的性质． （1）根据成轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分，作答即可； （2）根据对应角相等，作答即可． 【详解】（1）解：点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分． （2）因为与关于直线对称， 所以， 所以， 因为， 所以． 题型5. 轴对称中实际应用 【例1】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【变式2】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线的夹角相等”得到，由平行线的性质可得，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 故选：D 【变式3】光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型6. 线段垂直平分线的性质——求线段长度 【例1】如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，则的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的知识，掌握垂直平分线的尺规作图和性质是解题的关键．根据垂直平分线的尺规作图和性质，得，根据，即可． 【详解】解：由题意得，是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【例2】如图，在中，已知，直线垂直平分交于点D，交于点E，连接，若的周长为14，则的周长为_______． 【答案】22 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质知，的周长，进而求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长 ， ∴的周长． 故答案为：22 【变式1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，含的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质可得到，可求得，再根据直角三角形的性质可求得，可得答案． 【详解】解：∵为线段垂直平分线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在中，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，则长为___________． 【答案】5 【分析】根据垂直平分线上的性质解答即可． 【详解】解：由题意知点在的垂直平分线上， 则． 【变式3】如图，在中，，是的垂直平分线．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长为，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴, ， ， ， ， ∴的周长为． 【变式4】如图，在中，的垂直平分线分别交于点，的垂直平分线分别交于点，连接，，若周长为10，求线段的长． 【答案】10 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵垂直平分垂直平分， ， ∵的周长为 10 ， ， ， ∴线段的长为 10 ． 题型7. 线段垂直平分线的性质——求角度 【例1】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【例2】如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得出各个角之间的等量关系，最后再利用三角形的内角和定理计算，即可得出答案． 【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，交于点，，连接交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是关键．根据作图得到垂直平分，进而得到，得到，再根据三角形的内角和，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ， ， ， ， ； 故选：A． 【变式2】如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点．若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在中，垂直平分交于E，，，则的度数为_______ 【答案】/50度 【分析】该题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，先根据垂直平分线的性质可得，即可求得的度数，从而可以求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4】如图，，的垂直平分线交于点D．求度数． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，根据等边对等角求出的度数，中垂线的性质，得到，进而得到，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． 题型8. 线段垂直平分线的判定 【例1】如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（    ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定，根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】解：∵基站到三个村庄A，B，C的距离相等， ∴点P应设计在三条边的垂直平分线的交点上； 故选C． 【例2】如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【详解】证明：，， ， 点D在边的垂直平分线上． 【变式1】已知：如图，，．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 【答案】详见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理，线段垂直平分线的判定定理是解题关键．根据题意易证，得出，即又可证，得出，，说明直线是线段的垂直平分线． 【详解】证明：如图，设，交于点O， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，即， ∴直线是线段的垂直平分线． 【变式2】已知，如图，，，点E、F分别为垂足，，． (1)证明：； (2)延长相交于点 D，联结．证明：垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，等角对等边，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等角对等边得到，再证明，即可证明； （2）证明，得到，则可证明，再根据线段垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分线． 【变式3】已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，进而可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分，理由如下：如图，   ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 题型9. 线段垂直平分线的性质与判定综合 【例1】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，DE，且．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再证明是的垂直平分线，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【例2】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在的垂直平分线上，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【详解】（1）点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （2）∵， ∴， ∵， ∴ 【变式1】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式2】如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式3】和都是等腰直角三角形， (1)如图1，点，在，上，则，满足怎样的数量关系和位置关系？（请直接写出答案）． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点和点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)四边形的面积为． 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解∶ 和都是等腰直角三角形， ，，． ，． （2）解：，． 理由如下∶延长，分别交、于F、G． 和都是等腰直角三角形， ，，． ，， ． 在和中 ，． ，即． （3）解∶ 设和交于， 和都是等腰直角三角形， ，，． ，， ． ，． ， ． ． ． 题型10. 命题题型 【例1】下列各命题成立，且它们的逆命题也成立的是（   ）． A．对顶角相等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查真假命题的判定，逆命题的定义，熟练掌握对顶角性质、直角三角形现锐角互余的性质、等式的性质是解题的关键．先写出每个选项中命题的逆命题，然后再进行判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，此命题是假命题，故此选项不符合题意； B、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是三角形中两个角互余的三角形是直角三角形，此命题是真命题，故此选项符合题意； C、如果，那么的逆命题是如果，那么，此命题是假命题，故此选项不符合题意； D、如果，那么的逆命题是如果，那么，此命题是假命题，故此选项不符合题意． 故选：B． 【例2】已知下列命题：①若，则；②若，则；③如果是有理数，那么是整数；④对应角相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据真命题和假命题的定义，分析出各题设是否能推出结论，根据绝对值的意义，不等式的性质，有理数的定义，全等三角形的性质与判定，利用排除法得出答案． 【详解】解：①若，则，是真命题， 逆命题是若则，是真命题， ②若，则，是真命题， 逆命题是若，则，是假命题， ③如果是有理数，那么是整数，是假命题， 逆命题是如果是整数，那么是有理数，是真命题， ④对应角相等的两个三角形全等，是假命题， 逆命题是两个全等三角形的对应角相等，是真命题， 原命题与逆命题均为真命题的个数是1个； 故选：A． 【变式1】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【变式2】下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，定理与逆定理的定义，正确记忆相关知识点是解题的关键；根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理与逆定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故该命题是假命题，A选项不符合题意； B．每个定理不一定有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故“对顶角相等”没有逆定理． 故该命题是假命题，B选项不符合题意； C．等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，故该命题是假命题，C选项不符合题意； D．因为等腰三角形的两个底角相等，故两个底角的和一定小于， 故每个底角都是小于的角， 即等腰三角形的底角一定是锐角，故该命题是真命题，D选项符合题意． 故选：D． 【变式3】定理“全等三角形的对应角相等”_______（填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 题型11. 尺规作图——作线段的垂直平分线 【例1】如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ 【答案】见解析 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质及作法，作线段的垂直平分线，与直线l的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，作线段的垂直平分线，与直线l的交点P即为所求作的点． 【例2】如图，在中，，，，． (1)用尺规作图作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【变式1】如图，在中，，． 请用尺规作图法，在线段上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作垂线，等边对等角，三角形外角的性质．熟练掌握垂直平分线的性质，作垂线是解题的关键． 作线段的垂直平分线，与线段的交点即为，连接． 【详解】解：作图如下，点D即为所作． 由作图得，在线段垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，已知△，为上一点，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法和性质，连接，作的垂直平分线交于点，由线段垂直平分线的性质可得，即可得，故点即为所求，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【变式3】电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，作线段垂直平分线交n于点P即可． 【详解】解：如图，点P即为所求， 题型12. 尺规作图——作线段的垂线 【例1】已知直线及直线外一点A，求作：一条直线垂直于，且点A在直线上．（尺规作图） 【答案】见详解 【分析】此题主要考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 【例2】如图，已知在中，，利用尺规作图法，在上求作一点D，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，过点作于，则，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，点即为所求， ， 由作图可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，在中， (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，交于点，则为所作； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，进而证得的周长，由三角形的周长公式可求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：为的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ， 的周长． 【变式2】如图，已知，是边上的中线，垂足为． (1)求作：射线，使，垂足为（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）得到的图形中，若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) 如图，射线即为所求． (2) 证明：，， ． 是边上的中线， ． ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）证明，可得，则，即是等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式3】如图，在中，，，． (1)尺规作图：求作边的垂直平分线．（保留作图痕迹，不要求写出作图过程） (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的作图方法是解答本题的关键． （1）按照线段垂直平分线的作法作答即可； （2）利用含30度角的直角三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为线段的垂直平分线； （2）解： ∵，，， ∴． 题型13. 画对称轴 【例1】画出下列轴对称图形的所有的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合，作出各图形的对称轴即可． 【详解】解：如图： 【变式1】下面图形中只能画一条对称轴的是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，此题的解题关键是掌握画对称轴的方法与技巧． 根据画对称轴的步骤：找出轴对称图形的任意一组对称点；连接对称点；画出对称点所连线段的中点，再沿着中点画一条垂线，就可以得到该图形的对称轴．据此画出3个选项里图形的对称轴，找出只能画一条对称轴的图形． 【详解】 A．能画4条对称轴； B．不能画出对称轴； C．只能画一条对称轴． 故答案为：C 【变式2】画出每个轴对称图形的1条对称轴． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查画对称轴，结合图形画出相应对称轴即可． 【详解】解：如图所示对称轴即为所求 【变式3】如图，已知四边形与四边形成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，掌握其性质是关键． （1）根据轴对称图形的性质“对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等；沿对称轴将图形对折，两侧的图形能够完全重合；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”作图即可； （2）根据轴对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：根据轴对称图形的性质作图如下， （2）解：如上图所示，点即为所求点的位置． a 巩固练习 1．（2026·天津河东·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念解答即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意． 2．（2026·福建宁德·一模）美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融合．下列四种纹样图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A.图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 图形是轴对称图形，故此选项符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，则可求，然后结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵区域的围栏总长度为10米， ∴， ∴， 即的长度为4米． 5．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，将一张长方形纸条沿着折叠，点的对应点是，点的对应点是.若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平角定义求出的度数，再根据折叠性质求出的度数，进而求出的度数，最后利用平行线的性质可得的度数． 【详解】解：长方形纸条中，且， ，， 根据折叠可知：， ， ∵， 折叠后， ． 6．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，点与点关于直线对称，从而得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，点与点关于直线对称 点在上，点与点关于直线对称 的周长 两点之间线段最短 当点在同一直线上时，的值最小，最小值为的长 的周长最小值为． 7．（2026·天津西青·一模）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（   ） A．21 B．23 C．25 D．29 【答案】D 【分析】，，通过同一个圆的半径相等，和垂直平分线的性质运用可得，之后代换即可． 【详解】解：由题意可得：，， ． 8．（25-26八年级上·重庆开州·期末）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质． 连接，过点作于点，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，根据证明，可得，再根据证明，可得，继而可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作并交延长线于点， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ． 故选：B． 9．（25-26八年级下·江西九江·期中）命题“若，那么”的逆命题是______． 【答案】若，那么 【分析】交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 10．（25-26七年级下·上海·期中）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 【答案】② 【详解】解：①逆命题为如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，两个负数的积也为正数，因此该逆命题是假命题； ②逆命题为内错角相等，两直线平行，因此该逆命题是真命题； ③逆命题为如果一个三角形有两个内角为锐角，那么这个三角形是直角三角形，锐角三角形中有三个锐角，也包含两个锐角，因此该逆命题是假命题． 11．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】根据题意可得，垂直平分，于是可得，再根据的周长等于，即可得解． 【详解】解：根据题意可得，垂直平分， ， 的周长， 又，， 的周长． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张长方形纸条折叠，折痕分别与，交于点，，点，分别落在，处，与交于点．若，则的度数为________． 【答案】116 【分析】由折叠的性质得到，由平行线的性质求，最后根据邻补角的性质可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ． 13．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点D，E，M是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】15 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得 ，当、、三点共线时取最小值，即可求解． 【详解】解：连接， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 即当、、三点共线时取最小值， 此时， 的最小值为． 14．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，线段长度为6．（不写作法，保留作图痕迹） (1)尺规作图：如图1，在线段的上方找一点P，使． (2)尺规作图：如图2，在线段的延长线上找一点C，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长至点D，使，作线段的垂直平分线，再作的角平分线即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点E，再在线段的延长线上截取即可得到． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）如图，点C即为所求； 15．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）连接，作线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知点和点关于直线对称，故直线即为所求； （）作的角平分线，所在的直线为，可知线段和线段关于直线对称，且线段关于的对称线段落在上，故直线即为所求； 本题考查了线段垂直平分线的作法，角平分线的作法，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求． 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，． (1)在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作线段的垂直平分线，由此可得； （2）先求解的度数，再根据等边对等角可得，再求解出的度数，由此可证明． 【详解】（1）解：分别以点A，点B为圆心，大于线段的长度的一半为半径画弧， 两弧相交于点E，点F，连接， 直线与的交点即为点D，点D即为所求，如图： （2）证明：∵在中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴平分． 17．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即． 18．（25-26七年级下·山西大同·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，恰好与平行．若，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，根据平行线的性质得到，进而得到，即可求出． 【详解】解：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，垂直平分线． (1)求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据作角平分线的方法作出的角平分线交于点F即可； （2）过点作于点M，交的延长线于点N．证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为的角平分线； （2）解：如图，过点作于点M，交的延长线于点N． ∵平分，，， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 【答案】15 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：∵点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为9，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解； （2）证得，根据即可求解． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， 的周长为； （2）解：在和中， ，， ， ， ， ． 22．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点、的对应点分别为点、，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． 若，则的度数__________． 若，请求出的度数． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用翻折变换的性质和平行线的性质即可求得答案； （2）根据平行线性质可得，由平角定义可得，再利用翻折变换的性质、平行线的性质即可求得答案；由平行线性质可得，由翻折得，推出，根据翻折得出，结合已知，联立求得，再由平行线性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由翻折的性质得：， ， 四边形是矩形， ， ； （2）解： ，， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ； ， ， 由翻折得， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（25-26八年级上·广东东莞·期末）某数学兴趣小组进行如下探究： 如图，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即． 继续探究，如图，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即 ， ________． (1)【猜想结论】 ___________； (2)【证明结论】请证明（）中你所猜想的结论； (3)【应用结论】如图，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接． 求证：垂直平分； 在图中画出边上的高（只需体现的位置），则___________．（无需证明） 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)见解析； ． 【分析】（）根据角平分线的性质、三角形面积公式可得答案； （）过作于点，作于点，根据角平分线的性质可得，然后由，从而求证； （）连接，由得， 又， 从而得，又是的中点，则，所以，得点在垂直平分线上，然后证明，得，所以点在垂直平分线上，从而可证垂直平分； 根据高的定义画出高，然后延长交延长线于点，设，，则有，，再证明，所以，，通过，根据得出，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）证明：如图，过作于点，作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接， ∵， ∴， 由题意得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， 又∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分； 如图，即为所求， 延长交延长线于点， 设，， 由得， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，角平分线定义，三角形中线的性质，三角形面积公式，垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线，熟练知识点的应用是解题的关键． 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $