河北沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，融合三孩政策、亚运会等时代情境，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、概率、方差、棱柱概念、向量、解三角形、异面直线|以三孩政策（第2题）创设概率情境，结合立体几何（第7题）考查空间想象| |多选题|3/18|分位数、命题否定、向量性质、正方体动态问题|通过辨析次品率（第9题C项）考查统计观念，正方体轨迹问题（第11题）体现直观想象| |填空题|3/15|条件概率、立体几何最值、向量新定义|亚运会运动员奖牌概率（第12题）强化数据应用，向量新定义（第14题）渗透创新思维| |解答题|5/77|频率分布直方图、复数运算、相关系数、解三角形、立体几何证明|萌宠机器人相关系数计算（第17题）综合数学建模，折叠问题（第19题）深化逻辑推理|

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数(    ) A. B. C. D. 2.目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是(    ) A. B. C. D. 3.已知一组数据，，，，，那么这组数据的方差为(    ) A. B. C. D. 4.下列说法正确的是(    ) A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 5.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则(    ) A. B. C. D. 6.已知锐角，角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 8.已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题是假命题的有(    ) A. 若一组数据为，，，，，，，，则该组数据的分位数是 B. 命题“，”的否定为“，” C. 设有一批产品，其次品率为，则从中任取件，必有件是次品 D. 若幂函数经过点，则 10.已知向量，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 11.如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面包括边界上运动，且平面，下面结论正确的是 A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为，则平面与正方体的截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某运动员在亚运会田径比赛中准备参加米、米两项比赛，根据以往成绩分析，该运动员米比赛未能获得奖牌的概率为，米比赛未能获得奖牌的概率为，两项比赛都未能获得奖牌的概率为，若该运动员在米比赛中获得了奖牌，则他在米比赛中也获得奖牌的概率为          ． 13.如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点．点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是          ． 14.对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则          ，          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 月日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图． 求频率分布直方图中的值，并估计名学生每日的平均阅读时间同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值 若采用分层抽样的方法，从样本在，内的学生中共抽取人来进一步了解阅读情况，再从中选取人进行跟踪分析，求抽取的这名学生来自不同组的概率． 16.本小题分 设复数，，为虚数单位． 若为实数，求的值； 若，且，求的值． 17.本小题分 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展．萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 请根据上表提供的数据，通过计算变量，的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强当时，与相关性很强； 机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令．机器人执行命令的正确率为，出错率为当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为；当机器人执行出错时，使用者满意的概率为如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？ 该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答个题，若小李答对题数不小于，则挑战成功．已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值．  参考公式：相关系数． 18.本小题分 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，． 求角 ； 若外接圆的半径为，求面积的最大值． 19.本小题分 如图，在直角梯形中，，，且现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图．                         图                                         图 求证：平面 求证：平面平面； 求点到平面的距离。 答案 1. 2. 3. 4. 5.  6. 解：因为 由正弦定理可得 由，则， 因为  ，所以． 因为  是锐角三角形，所以 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是 ． 7. 解：连接 ，设正四面体 的棱长为， 因为， 分别为， 的中点，则  ， 所以异面直线 ， 所成角为  或其补角， 在  中，则  ， 由余弦定理可得  ， 所以异面直线 ， 所成角的余弦值为  ． 8. 解：因为在中，，所以由，得：，于是由正弦定理得：，因为，，所以，又，所以，． 于是由，得：由， 再由正弦定理、余弦定理得：， 化简得：． 于是由正弦定理可得：， 所以 ， 其中锐角满足：，， 所以当，，即，时，取得的最大值为． 9.  解：对于：该组数据的分位数为第位和第位的平均数，故为，故A对； 对于：命题“，”的否定为“，”故B错误； 对于：次品率为该产品的估计值，并不是对件产品来说的，故C错误； 对于：幂函数经过点，则，故D错误． 10. 解：对于，若  ，则  ，所以  ，故A正确； 对于，若  ，则  ，所以  ， 因为  ，所以  的值为  ，故B正确； 对于，  ，因为  ， 所以  ，所以  ，所以  的取值范围为  ，故C错误； 对于，  ，所以  ，  ， 若  ，则  ，得  ， 解得  ，因为  ，所以  ，解得  ， 因为  ，所以无解，故D错误． 故选：． 11. 解：对于，设，，分别为，，的中点，连接，，如图所示：易知，在正方体中，，，所以，所以四点共面，又，，平面，， 平面，，所以平面平面， 因为点在侧面包括边界上运动，平面平面，所以一定在线段上，即点的运动轨迹为线段，A正确；                         图                                                         图 对于，如图所示：连接，因为平面，平面， 所以为直角三角形，，直线与所成角小于，所以B错误； 对于，如图所示：因为一定在线段上，而，则到的距离为定值，长为定值，所以的面积为定值，又点到平面的距离即三棱锥的高也为定值，所以三棱锥的体积是定值， C正确；                      图                                                               图  对于，由选项A的判定可知，平面与正方体的截面为等腰梯形，如图所示，因为正方体的棱长为，所以，， 所以梯形的高， 截面梯形的面积，D正确． 故选ACD． 12.  13.  解：如图，连接，，， 因为，，分别为，，的中点， 所以， 又平面，平面， 则平面． 因为， 所以同理得平面， 又，、平面， 得平面平面． 因为直线平面， 所以点在直线上． 在中，，，， ， 故当时，线段的长度最小，最小值为． 14.或  解：设与的夹角为， 因为和都在集合中， 所以其取值可能为． 因为，所以， 所以 因为，所以， 所以，因此． 因为，所以，解得， 因为， 所以 ， 所以或． 当且时， 可得，故，可得． 所以，解得． 同理可得，当且时，． 15.解：由频率分布直方图可得，，即， 这名学生每日的平均阅读时间分钟． 由频率分布直方图，可知样本在，内的学生频率分布为，， 样本在，采用分层抽样的比例为：， 抽取了人分别记为，，，抽取了人分别记为，， 则再从人中抽取人共有种不同的抽取方法， 抽取的人来自不同组共有种， 抽取的人来自不同组的概率．  16.解：由于 ， 所以，解得； 由于， 所以，解得．  17.，可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 【详解】由表知，， ，   ， ，    ，  则，  由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． 设事件为“机器人执行命令正确”，事件为“机器人执行命令错误”，  事件为“使用者不满意”，  则，，  ，，  则，  所以． 当小李答对题数为时，概率为： ，  当小李答对题数为时，概率为：，  所以小李挑战成功的概率为：，  由，，，  则，当且仅当时等号成立，  所以，由二次函数的知识可知，  当时，小李挑战成功的概率最大，最大为．   18.解：由  得，  ， 所以  ， 又  ，所以  ， 所以  ，因为  ，所以  ； 由  外接圆的半径为  ，则得  ， 由余弦定理得，  ，即  ， 所以  ，解得  ，当且仅当时取等号， 所以  ， 故  面积的最大值为  ． 19.解：证明：取中点，连结，， 在中，，分别为，的中点， 所以，且， 由已知，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． 证明：在正方形中，， 因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面． 在直角梯形中，，，， 所以，在中，，， 所以，所以，而平面平面， 得知：平面，即， 因为，，所以，，， 所以，， 设点到平面的距离为，根据，即， ，解得， 即点到平面的距离为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $