4.8 解三角形解答题应用（精讲）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦解三角形解答题核心考点，涵盖三角形中线、角平分线、面积计算及最值等高考高频问题，知识复习按向量形式、角形式等逻辑层次梳理，通过典例精讲、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于融合数学思维与数学语言，设计分层典例（如中线问题、角平分线问题等），通过对比向量法与角形式等解题策略培养学生推理能力，设置从基础到综合的例题梯度，配合即时方法总结，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，有效提升学生应考能力。

4.8 解三角形解答题应用（精讲） 第一部分：知识复习 三角形中线、角平分线问题 1、中线： 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 1.2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 2、角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 2.1内角平分线定理： 核心技巧：或 2.2等面积法 核心技巧 2.3角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 三角形中面积 1、三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 2、三角形面积最值： 核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围： 核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. 第二部分：典型例题 典例一：中线长问题 1．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 2．（25-26高三上·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 3．（25-26高三上·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 4．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 5．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 6．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 典例二：角平分线问题 7．（25-26高三上·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 8．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 9．（25-26高三上·四川南充·期末）已知分别为三个内角的对边，点是的中点，，且． (1)求； (2)求的面积； (3)点是边上的点，且为的角平分线，求的长． 10．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 11．（25-26高三上·湖南·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 12．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 典例三：求三角形面积的最值或范围 13．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. (1)求角； (2)求面积的最大值. 14．（25-26高三上·陕西西安·期末）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 15．（25-26高三上·广东阳江·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求； (2)若，且面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 16．（25-26高三上·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且（）． (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 17．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18．（25-26高三上·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 典例四：求三角形中的边长或周长的最值或范围 19．（25-26高三上·重庆·期末）在中，内角 所对的边分别是 ，外接圆半径为 1， (1)求角 ； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 20．（25-26高三上·广东广州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点． (1)求； (2)若是的平分线，，的周长为15，求的长度； (3)若，设，求的取值范围． 21．（25-26高三上·广东梅州·期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，且△为钝角三角形，求边长的取值范围. 22．（湖南永州市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，周长为.已知. (1)求； (2)若，证明：为直角三角形； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 23．（25-26高二下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为.已知 (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围. 24．（25-26高三上·江苏南京·期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求证：； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 典例五：几何图形中的计算 25．（25-26高二下·江苏常州·期中）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设. (1)求； (2)求的面积. 26．（25-26高二下·浙江湖州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，． (1)若，求的面积； (2)若，求， 27．（25-26高三上·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 28．（25-26高三上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 29．（2026·山东·模拟预测）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 30．（2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）.    (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 典例六：正余弦定理与三角函数性质的结合应用 31．（25-26高三上·上海普陀·期末）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 32．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 33．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 34．（安徽卓越县中联盟2025-2026学年高三上学期5月教学质量检测数学试题）在中，角所对的边分别为，且． (1)求证：； (2)若 的面积为52，求； (3)若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 35．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 36．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. (1)求在上的值域； (2)若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.8 解三角形解答题应用（精讲） 第一部分：知识复习 三角形中线、角平分线问题 1、中线： 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 1.2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 2、角平分线 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 2.1内角平分线定理： 核心技巧：或 2.2等面积法 核心技巧 2.3角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 三角形中面积 1、三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 2、三角形面积最值： 核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围： 核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围. 第二部分：典型例题 典例一：中线长问题 1．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 2．（25-26高三上·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 3．（25-26高三上·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明； （2）由（1）可得，进而得到即可求解； （3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可． 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 4．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 【答案】(1)，， . ，均为的内角，且为钝角，则为锐角，得； . (2) (3) 【分析】（1）由和，得到；根据为钝角，则为锐角，确定的范围，进而得到； （2）根据，得到，代入，整理得；根据为钝角，，确定的大小； （3）根据中线长定理，得到，再结合余弦定理求出各边长度，最后利用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，则， ， ， 为钝角， ，即； 或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 综上所述，. （3）由（2）得，， ， ， ， ， 为的中线， ，得， 由正弦定理得， 得， ， ， ，解得，. ， ，， ， 的面积为. 5．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 6．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，. (1)求角的值； (2)求的最大值； (3)若边上的中线长为，求的面积. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. （3）由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 典例二：角平分线问题 7．（25-26高三上·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 8．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 9．（25-26高三上·四川南充·期末）已知分别为三个内角的对边，点是的中点，，且． (1)求； (2)求的面积； (3)点是边上的点，且为的角平分线，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合两角和的正弦公式可得，据此可得答案； （2）由向量知识可得，据此可得，然后由（1）结合三角形面积公式可得答案； （3）由（2）分析可得，然后由等面积法结合题设可得答案. 【详解】（1）因，由正弦定理边角互化可得：， 在三角形中，，则，又，则； （2）由题可得，从而由题可得，则， 三角形面积为：； （3）由（2）解析可得，则. 注意到， 则. 10．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    11．（25-26高三上·湖南·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【详解】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图：   ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 12．（25-26高三上·山西太原·期末）在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 典例三：求三角形面积的最值或范围 13．（25-26高三上·安徽马鞍山·期末）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. (1)求角； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合正弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）由余弦定理可得，再根据基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 在中，，则，即， 因为，所以. （2）由余弦定理，得，而，， 则，当且仅当时取等号， 所以，则， 故面积的最大值为. 14．（25-26高三上·陕西西安·期末）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，可得，即可得； （2）借助正弦定理与三角形内角和关系可将用表示，再利用三角形面积公式及的范围计算即可得. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 则，因为，∴； （2）因为，所以， ，因为为锐角三角形， 则，所以，则， 故，， 所以面积的取值范围为. 15．（25-26高三上·广东阳江·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求； (2)若，且面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. （3）根据三角形面积公式及正弦定理，结合两角差的正弦公式及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，， 因为，所以，所以，即． 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以. 所以的周长为. （3）已知，面积， 由正弦定理得，则. 因为，，所以，则. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，即，所以. 所以，故. 因此，即面积的取值范围为. 16．（25-26高三上·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且（）． (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对给定的三角函数等式交叉相乘，利用两角和差的正弦、余弦公式化简，结合三角形内角和为的条件推导角的值； （2）先根据角和的值得出的大小，分别在和中应用面积公式，结合与的比例关系即可求出； （3）先用正弦定理将、表示为关于角的函数，代入三角形面积公式，结合的定值和锐角三角形的条件确定角的范围，进而推导面积的取值范围. 【详解】（1）对原式交叉相乘整理得： ， 由余弦差角公式得：， ，且，故， 整理得，又，故，得. （2）由题意，，故， 与同高，面积比等于底之比， 代入面积公式： ， 整理得. （3）由正弦定理，，得，，且， 面积， 由积化和差公式可得： ， 为锐角三角形，故，，解得， 所以，，故. 17．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 18．（25-26高三上·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）应用周长结合余弦定理及之间的关系计算求解边长.（2）（ⅰ）利用三角形面积公式以及余弦定理求解出的值，由此可求的值；（ⅱ）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系. 【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得， 将代入上式解得，所以， 则. （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又，所以， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 典例四：求三角形中的边长或周长的最值或范围 19．（25-26高三上·重庆·期末）在中，内角 所对的边分别是 ，外接圆半径为 1， (1)求角 ； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，结合两角和的正弦公式化简等式，结合角的取值范围求解； （2）先根据锐角三角形条件确定，再将转化为正弦型函数，结合角的范围求值域. 【详解】（1）已知外接圆半径为1，由正弦定理得， 即，，，代入已知等式， 得： 因为， 所以：， 因为，所以，，故或； （2）因为为锐角三角形，所以， 因为，即， 由锐角三角形条件得，解得， 因为 ， 因为，所以， 则，所以. 20．（25-26高三上·广东广州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点． (1)求； (2)若是的平分线，，的周长为15，求的长度； (3)若，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）由角平分线得，进而得，利用三角形的周长结合余弦定理即可求解； （3）由，可得，通过两边平方可得，结合角的范围可求解. 【详解】（1）由余弦定理得：， 化简整理得：， 又由余弦定理得：， 又， 所以； （2）由是的平分线，所以， 所以， 所以， 所以， 又，的周长为15，所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以， 所以； （3）由，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 由正弦定理得：， 所以 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 21．（25-26高三上·广东梅州·期末）在△中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，且△为钝角三角形，求边长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用余弦定理结合三角形内角范围即可求得角； (2)分钝角为B、钝角为C两类情况讨论，结合余弦定理转化为边的不等式，即可求得的取值范围. 【详解】（1）在△ABC中，由余弦定理， ，又因， 可得， 即， 又，因此； （2）因为锐角，故钝角只能为B或C，分两类情况讨论： ① 若C为钝角，则，由余弦定理， ，则得， 将代入得： ，化简得，即， 因，得； ②若为钝角，则，由余弦定理，，则得， 将代入得：，化简得，即， 因，得. 综上，边长的取值范围为. 22．（湖南永州市2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，周长为.已知. (1)求； (2)若，证明：为直角三角形； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)由余弦定理得， 结合，得， 即，即，故， 代入，得， 因此，则，即为直角三角形； (3) 【分析】（1）结合三角形面积公式和向量数量积公式化简，可得，即可得，结合B的取值范围即可求解； （2）结合余弦定理建立边与角的关系，对已知等式变形，可得，再结合勾股定理逆定理，即可证明； （3）利用锐角三角形的条件确定自变量的取值范围，根据b的值和余弦定理得到的关系式，结合三角形面积公式和周长表达式将​表示为关于边的函数，最后结合三角函数恒等变换以及三角函数性质求解函数的取值范围即可. 【详解】（1）由于，的面积, 结合，得， 而，故，又，则； （2）略 （3）若为锐角三角形，则 即； 故，， 由余弦定理得，即得， 则， 则； 又，则， 故 ， 结合，则，则， 则， 故. 23．（25-26高二下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为.已知 (1)若，，求的面积； (2)若，求的周长的取值范围； (3)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由正弦定理并结合条件可得，再由三角形的面积公式可得； （2）先由正弦定理将边化为，，进而可得，再由的范围可得周长的范围； （3）由（2）的分析得，再由锐角三角形得，进而可得三角形周长范围. 【详解】（1）根据正弦定理，将等式化为， 又，代入化简得， 因为，所以， 所以，，结合，所以. 又因为在中，，，​， 由三角形面积公式得. 因此的面积为. （2）由（1）分析知，且，由正弦定理​， 得，，且，. 所以 ， 由，得，故. 所以三角形的周长. 因此周长的取值范围为. （3）因为为锐角三角形，且，由（1）分析知， 由（2）分析得，，且， 因为为锐角三角形，. 所以 ， 由，得，故. 所以三角形的周长. 因此周长的取值范围为. 24．（25-26高三上·江苏南京·期末）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求证：； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)证明：由已知条件， 利用二倍角公式，有，， 代入已知等式得， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以，则， 因为和均为锐角，正切函数在上单调递增， 所以，即. (2) (3) 【分析】（1）利用商数关系、二倍角正余弦公式化简条件为，根据三角形内角性质及正切函数性质即可证； （2）由正弦边角关系及（1）结论得，再应用平方关系、二倍角正弦公式求函数值； （3）由正弦边角关系及（1）结论，应用三角恒等变换得，且，应用换元法及余弦函数的区间值域及二次函数的性质求范围. 【详解】（1）略 （2）由正弦定理，可得， 因，则， 由（1）知，代入上式得，解得， 因为为锐角，所以， 所以； （3）由正弦定理， 因为，且， 所以①， 因 ， 代入①得， 则， 由可得， 令，因为，所以， 设，可知在上单调递增， 而，，故， 即的取值范围是. 典例五：几何图形中的计算 25．（25-26高二下·江苏常州·期中）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中用余弦定理算出，再对使用正弦定理，代入与直接解出； （2）先由同角平方关系求出，再结合三角形内角和得到，利用两角差正弦公式与正弦定理求出，最后由面积公式算出面积． 【详解】（1）在中，，，， 由， 得， 由， 得． （2）由（1）知，所以， 在中，，， 由， 得， 所以． 26．（25-26高二下·浙江湖州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，． (1)若，求的面积； (2)若，求， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，进而求出的正弦值，再求面积．因为在上且，所以与同高，面积比等于底边比． （2）由和得到，再结合正弦定理和求出，最后求． 【详解】（1）因为在上，所以． 在中，，所以，从而 因为，所以 又，所以 因此 又，所以． 因为与有相同的高，所以 （2）设．因为，所以 又，即，所以 由正弦定理，得 因为，所以 于是即 因为，所以，从而 又，所以. 故． 27．（25-26高三上·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 28．（25-26高三上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 29．（2026·山东·模拟预测）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）若选①：根据面积公式求出，根据余弦定理求出，根据面积公式求出；若选②：根据两角差的正弦公式可求出结果； （2）若选①：根据正弦定理解得，可求出结果；若选②：利用正弦定理可得，进而可求的大小. 【详解】（1）选①：由，得， 由余弦定理可得，得， ，所以； 选②：在中，所以， . （2）选①：因为，所以， 在中，由正弦定理可得，解得， 又因为， 所以满足这样的三角形有两解，所以或； 选②：在中，由正弦定理可得，解得， 因为，则， 在中，解得， 又因为， 故满足这样的三角形有两解，故或． 30．（2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）.    (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. （2）设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 典例六：正余弦定理与三角函数性质的结合应用 31．（25-26高三上·上海普陀·期末）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得； （2）利用等面积法结合条件计算即可； （3）由（1）知，解直角三角形可得，，利用换元法及辅助角公式可将函数变形，再次换元结合单调性可得结果. 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形. （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为. （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，. 32．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 33．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换及三角形内角和定理求解即可； （2）求得，利用正弦定理求得，最后利用面积公式求解即可； （3）设，则，，，在、中，利用正弦定理可得出，利用换元法、三角恒等变换及三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为 所以，所以， 所以 （2）因为， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以，   ，所以. （3）设，则，，， 所以， 在中， 在中，， 作商得， 设，因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 所以. 34．（安徽卓越县中联盟2025-2026学年高三上学期5月教学质量检测数学试题）在中，角所对的边分别为，且． (1)求证：； (2)若 的面积为52，求； (3)若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)证明：由及正弦定理，得， 所以． 因为，所以， 所以或，解得或（舍）． (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换证明； （2）先根据正弦定理和三角恒等变换求出 ，再根据三角形的面积公式求； （3）分别在与中运用正弦定理求出，再应用三角形的面积公式求最值． 【详解】（1）略 （2）因为， 所以 ， 又，所以，即． 因为，所以． 因为， 所以的面积 ，解得． （3）由，得，即， 又，所以． 不妨设在线段上，设，则． 在中， ，所以， 即． 在中， ， 所以， 即． 所以的面积． 令， 因为，所以， ， 所以当时，取到最大值， 所以， 即的面积的最小值为． 35．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 (2) 【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得，再由正弦函数的单调性与对称性，即可得解； （2）根据正弦函数取值可得，再利用余弦定理求出b的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，即可得解． 【详解】（1）， . 所以. 由 ，得. 即 . 由 ， 得 ，即. 所以函数 的单调递增区间为 . 令 ，得 ， 此时 ，所以函数 的图象的对称中心为 . 综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 （2）由（1）知 ，由 得 ， 因为 为锐角，所以，则 ， 所以，解得 . 由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 . 当 时，，，此时 ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 ，所以 或 ， 若 ，则 ，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾; 若 ，则 ，此时三角形为钝角三角形，符合题意， 三角形面积 . 当 时，，，由余弦定理得 ， 所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去. 综上所述，三角形 的面积为 . 36．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. (1)求在上的值域； (2)若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数，由范围，求出范围，然后得到函数在区间上的最值，即求出函数在该区间上的值域； （2）由求得，由正弦定理求得，根据题意列关于的不等式，基于的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由题意可得. 由题意可得. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 故在上的值域为. （2）因为，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以，所以， 则，则. 因为，所以，则，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，所以， 即的取值范围是. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $