重难点培优03 解三角形的5大秘技：射影定理、中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心考点，围绕射影定理、中线定理等5大定理构建知识体系，按“知识精讲-题型深研-分层进阶”流程，通过考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生系统掌握定理应用，突破解题难点。 讲义以“定理应用”为主线，创新设计“定理证明-题型归纳-分层训练”教学链，如通过张角定理推导角平分线长度公式，培养学生数学思维与推理能力。分层练习覆盖基础到创新题，配合方法技巧总结，助力教师高效把控复习节奏，提升学生解题效率与应考能力。

重难点培优04 解三角形的5大秘技： 射影定理、中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 射影定理的应用 4 题型2 中线定理的应用 4 题型3 角平分线定理的应用 5 题型4 张角定理的应用 6 题型5 平行四边形定理的应用 7 分层进阶·双阶训练验成效 8 巩固过关 8 创新提升 10 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 证明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作于点D, 则 即同理可证b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 知识点2 角平分线定理 1．角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 知识点3 中线定理 1. 中线长定理 中, 是边上的中线，则. 2.中线向量定理 在中，若点D是的中点，则＝＋)， 两边平方后，得＝，就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系. 知识点4 张角定理 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 知识点5 平行四边形定理 1．平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 2．定理的证明 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 题型深研·通法变式提能力 题型1 射影定理的应用 【典例1-1】 (2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A..C. D. 【典例1-2】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 方法技巧 利用射影定理秒解解三角形问题 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意正确应用. 【变式1-1】（2026·云南·模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则______． 【变式1-2】（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 题型2 中线定理的应用 【典例2-1】（中线长定理的应用）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 ． 【典例2-2】（中线向量定理的应用）（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 方法技巧 利用中线定理妙解三角形 解三角形遇中线相关问题时，按需选定理：求边长或中线长，用中线长定理，将三边与中线的平方关系列方程，代入已知量求解；若涉及角度、向量关系，用中线向量定理，将中线向量表示为两边向量的平均值，平方后转化为数量积，结合余弦定理建立关系。通过定理将中线与边、角关联，化未知为已知，联立方程或结合其他解三角形定理求解目标量. 【变式2-1】在中，已知，，BC边上的中线AD长度为3，则BC的长度为（ ） A. B. C. 3 D.4 【变式2-2】（25-26高三下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 题型3 角平分线定理的应用 【典例3-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的平分线与边交于点，则（    ） A． B． C．2 D．4 方法技巧 结合图象平移求的取值范围 1.常见考法：平移后重合、对称、对称轴重合等，核心是“平移量与周期成倍数关系”。 2.通用流程 (1)定：用整体代换求的区间； (2)列关系：结合单调性、对称性等性质，建立的不等式； (3)解：解不等式并结合、整数赋值； (4)验端点：排除不符合题意的边界值. 【变式3-1】（2026·河北雄安·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 题型4 张角定理的应用 【典例4-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 【典例4-2】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 方法技巧 张角定理的应用策略 1.张角定理的本质是通过三角形面积公式构建三角方程，适用于同线段同侧双张角、多三角形共边、含线段分点比例的解三角形问题. 2．解题步骤可归纳为： (1)锁定张角顶点、公共边，对应好两个子角、分线段的位置关系； (2)根据张角定理列出方程. (3)结合三角恒等变换、正余弦定理消元求解，可大幅简化多三角形联立的计算量. 【变式4-1】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD=（ ） A. B. C.4 D.6 【变式4-2】在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 题型5 平行四边形定理的应用 【典例5-1】在中，. （1） 求； （2） 求边上的中线. 【典例5-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 方法技巧 平行四边形定理的应用 1．平行四边形定理给出了平行四边形的四边和两条对角线的关系，而三角形的中线相当于对角线的一半，故常寻找或构造平行四边形，利用平行四边形定理解决三角形的中线问题. 2．利用平行四边形定理解决三角形的中线长问题，体现了“知三求一”的思想. 3．利用平行四边形定理解决三角形的中线长的最值问题时，要主要合理构造平行四边形，进而得到三边与中线长的关系. 【变式3-1】在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6     C．     D．9 【变式5-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（25-26高三下·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3． 已知在中，，，角的平分线，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 5．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 7．（多选）（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，则（    ） A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 8．△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 ． 11.在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 12．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为_____ 13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD= . 14．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 15．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 创新提升 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论错误的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则为钝角三角形 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．在中，是边的中线，若，且，，则 3．（多选）（2026·河南开封·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，角A的平分线交BC于点D，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为 4．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为 ；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为 ． 5．（2026·河南安阳·二模）已知中，角的对边分别为，且，点在线段上，且， ，则的值为_____ 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在平行四边形中，分别是线段的中点，延长交于点，且，则平行四边形面积的最大值为__________. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 解三角形的5大秘技： 射影定理、中线定理、角平分线定理、张角定理、平行四边形定理内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 射影定理的应用 4 题型2 中线定理的应用 5 题型3 角平分线定理的应用 8 题型4 张角定理的应用 11 题型5 平行四边形定理的应用 14 分层进阶·双阶训练验成效 17 巩固过关 17 创新提升 25 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 证明：如图，记AB=c，BC=a，AC=b，作于点D, 则 即同理可证b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 知识点2 角平分线定理 1．角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 知识点3 中线定理 1. 中线长定理 中, 是边上的中线，则. 2.中线向量定理 在中，若点D是的中点，则＝＋)， 两边平方后，得＝，就可以得到中线、∠A及其两邻边的关系. 知识点4 张角定理 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 知识点5 平行四边形定理 1．平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 2．定理的证明 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 题型深研·通法变式提能力 题型1 射影定理的应用 【典例1-1】 (2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A..C. D. 【答案】C 【解析】由射影定理acos B－bcos A＝c＝acos B＋bcos A，则cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C. 【典例1-2】（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【解析】解法一：由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 秒解：由射影定理得， 所以所以，即， 以下同解法一： 方法技巧 利用射影定理秒解解三角形问题 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意正确应用. 【变式1-1】（2026·云南·模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则______． 【答案】 【解析】由正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以． 秒解：由，得， 由射影定理得，所以，所以，所以． 【变式1-2】（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【解析】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 秒解：由射影定理及，得，由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 题型2 中线定理的应用 【典例2-1】（中线长定理的应用）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 ． 【答案】 【解析】易求得，由中线长定理得，而 所以，， （当且仅当=时，“=”成立）.或求得后，利用“形”易得，当中线即为高线时，面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单. 【典例2-2】（中线向量定理的应用）（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 方法技巧 利用中线定理妙解三角形 解三角形遇中线相关问题时，按需选定理：求边长或中线长，用中线长定理，将三边与中线的平方关系列方程，代入已知量求解；若涉及角度、向量关系，用中线向量定理，将中线向量表示为两边向量的平均值，平方后转化为数量积，结合余弦定理建立关系。通过定理将中线与边、角关联，化未知为已知，联立方程或结合其他解三角形定理求解目标量. 【变式2-1】在中，已知，，BC边上的中线AD长度为3，则BC的长度为（ ） A. B. C. 3 D.4 【答案】B 【解析】将题干已知条件、、代入中线定理，得 化简计算，即，解得，因此，本题选B. 【变式2-2】（25-26高三下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 题型3 角平分线定理的应用 【典例3-1】（2026·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为的平分线，且， 由角平分线定理得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 【典例3-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且的平分线与边交于点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】的平分线与边交于点， ， ，整理得． ， 即， ， 解得或（舍去）， 所以. 方法技巧 结合图象平移求的取值范围 1.常见考法：平移后重合、对称、对称轴重合等，核心是“平移量与周期成倍数关系”。 2.通用流程 (1)定：用整体代换求的区间； (2)列关系：结合单调性、对称性等性质，建立的不等式； (3)解：解不等式并结合、整数赋值； (4)验端点：排除不符合题意的边界值. 【变式3-1】（2026·河北雄安·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，，则，即， 由正弦定理将边化为角可得， 又， 则， 即，故，则； 由的平分线交于点，则，则， 又，即， 则， 由正弦定理可得、， 即、，故， （另解：由角平分线定理直接可得） 由，则，即， 由，故，整理得， 由，故，则，解得（负值舍去）， 由正弦定理，则， 由，则，即， 则， 则，则. 【变式3-2】（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 【解析】（1）由余弦定理，，即. 又由题设，则得. 即，因，则. （2）由，可得， 又，则可将a，c看成方程的两个根， 解得或.由于，所以，. 再由余弦定理，， 则. （3）因为，平分，所以， 又， 则， 则. 题型4 张角定理的应用 【典例4-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】解法1：如图，， ， 所以，故，从而， 当且仅当时取等号，所以的最小值为4. 解法2：如图，由张角定理，， 所以，故， 从而， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 【典例4-2】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 【答案】2 【解析】 如图，由题意，，， 由张角定理，， 所以，解得：，故. 方法技巧 张角定理的应用策略 1.张角定理的本质是通过三角形面积公式构建三角方程，适用于同线段同侧双张角、多三角形共边、含线段分点比例的解三角形问题. 2．解题步骤可归纳为： (1)锁定张角顶点、公共边，对应好两个子角、分线段的位置关系； (2)根据张角定理列出方程. (3)结合三角恒等变换、正余弦定理消元求解，可大幅简化多三角形联立的计算量. 【变式4-1】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD=（ ） A. B. C.4 D.6 【答案】B 【解析】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 即,即 解得, ∴ 【变式4-2】在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即， ∵，∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时取“=”. 题型5 平行四边形定理的应用 【典例5-1】在中，. （1） 求； （2） 求边上的中线. 【解析】(1)因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， 根据平行四边形定理可得， 则， 解得，即边上的中线为. 【典例5-2】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【解析】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 解法二：由平行四边形定理得， 即，解得. 方法技巧 平行四边形定理的应用 1．平行四边形定理给出了平行四边形的四边和两条对角线的关系，而三角形的中线相当于对角线的一半，故常寻找或构造平行四边形，利用平行四边形定理解决三角形的中线问题. 2．利用平行四边形定理解决三角形的中线长问题，体现了“知三求一”的思想. 3．利用平行四边形定理解决三角形的中线长的最值问题时，要主要合理构造平行四边形，进而得到三边与中线长的关系. 【变式3-1】在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6     C．     D．9 【答案】B 【解析】先利用平行四边形定理得到，设，，再由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值. 根据平行四边形定理可得， 即，又因为，且， 所以，即， 设，， 由得， 则，（当且仅当，即，是取等）， ∴周长的最大值为6． 故选：B 【变式5-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且满足 （1） 求角的大小； （2） 若为钝角，为等腰三角形，且边上的中线长为，求的周长. 【解析】（1）由余弦定理得：，所以， 由正弦定理得：，因为，所以， 所以，，即或 (2)设等腰三角形腰长为， 即，，且由于，， 在中，，解得， 设BC的中点为D，如图所示: 根据平行四边形定理可得， 则，解得：， 所以， 则的周长为． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（25-26高三下·吉林延边·期中）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 所以，又，所以， 又，则. 秒解：由射影定理得，又， 所以cosA=0，又，所以，所以 2．（25-26高三下·山东青岛·期中）已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 秒解：由射影定理得又由已知得，所以， 故为直角三角形. 3． 已知在中，，，角的平分线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理得 ，所以， 因为， 所以，， ， 在中，由正弦定理得：， 所以. 故选：C 4．（2026·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】解法1：利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：，即. 故选：D 解法2：同解法1求得，，由平行四边形定理得， 即，解得. 5．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 6．（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC的中点，（为锐角），，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由 为锐角，所以，A错误； 由，为锐角，得，由余弦定理得 ，则，B正确； 由题意，可得，则， ，所以C正确； 由，得，则，D正确． 7．（多选）（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，则（    ） A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 【答案】BC 【解析】选项A：向量与的夹角为， 所以，A错误. 选项B：设中点为，则，则 ， 故边上的中线长，B正确. 选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以外接圆的面积，D错误. 8．△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　. 【答案】 【解析】根据题意知bcos C＋ccos B＝a＝asin A，则sin A＝1，所以得A＝，由S＝＝×2bacos C＝basin C，可得tan C＝1，0＜C＜，所以C＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 【答案】 【解析】设中所对的边为， 因为，且，故，故. 而， 所以， 故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 10．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，设是的中点，若，则面积的最大值是 ． 【答案】 【解析】易求得，由中线长定理得，而 所以，， （当且仅当=时，“=”成立）.或求得后，利用“形”易得，当中线即为高线时，面积最大，下一步求出此时的面积，则更简单. 11.在中， ，，c边上的中线长为1，则的外接圆的半径长为 ． 【答案】1 【解析】如图，在中，设D为边的中点， 则，,所以, 故，而, 所以 ,则， 由于，故， 所以 ，设的外接圆的半径为R, 则 12．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即，∵，∴，∴， ∴， 当且仅当，即时取“=”， 13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD= . 【答案】 【解析】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 即 即 解得 ∴ 14．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 【解析】（1）设，．则， 又， 由余弦定理，． 记，则， 因为为的平分线， 所以， 所以，又， 故，因此． （2）三角形面积：； 由（1）可知：． 15．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 【解析】(1)法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB， 即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝， sin B＝＝ ＝， 所以tan B＝＝. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1， 则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4， 在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC， 即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，有AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，如图，过A作AE⊥BC于E， 于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，所以tan B＝＝. (2)法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得 整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝， 所以b＝c＝＝2. 法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－， 于是4＋＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2， 又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2. 创新提升 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 2．（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论错误的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若，则为钝角三角形 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．在中，是边的中线，若，且，，则 【答案】A 【解析】对于A，在中，由正弦定理，，故A错误； 对于B，由，令，得， 由余弦定理得，因，故是钝角，故B正确； 对于C，因，，由有两解可得，即，故C正确； 对于D，因，则， 解得，又是边的中线，则， 两边取平方得， 则，故D正确. 故选：BCD 3．（多选）（2026·河南开封·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，角A的平分线交BC于点D，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】选项A，由， 可得： 因为 所以，是三角形内角，故，即，A正确； 选项B，是角平分线，，， 由可得： ， 代入，整理得：，即，B正确； 选项C，由，利用基本不等式：， 当且仅当时，最小值为，C错误； 选项D，设内切圆半径为，是面积，是半周长， ，， 由内切圆半径公式，可得. 由余弦定理：， 设，， ， 随减小而增大，当取最小值时， 代入得， D正确. 4．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为 ；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为 ． 【答案】, 【解析】∵，∴， 而， ∴， ∵，∴ 即， ∵，∴，∴，故； 延长中线到点，使得， 不妨设中线长为，如图所示，即， 由平面几何知识易得四边形是平行四边形，而， ∴，，， ∴在中，由余弦定理得， ∴，当且仅当时等号成立. 5．（2026·河南安阳·二模）已知中，角的对边分别为，且，点在线段上，且， ，则的值为_____ 【答案】/ 【解析】由射影定理得，又， 所以，而，所以．    由题意，是角平分线，，设，则， 由，所以，， 由得，，解得， 所以． 6．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在平行四边形中，分别是线段的中点，延长交于点，且，则平行四边形面积的最大值为__________. 【答案】/ 【解析】如图，设，，因为 是 中点， 是 AE 中点， 所以， 则. 设，则. 由共线，则存在唯一非零实数，使得， 即，则，解得，，故， 又， 设，，则， 由，得， 则，即， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 则， 即，当且仅当时等号成立， 则平行四边形面积， 即平行四边形面积的最大值为. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $