精品解析：江西抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年高一下学期7月学科阶段性作业（期末）数学试题

2025-2026学年下学期高一数学学科阶段性作业 说明： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项是符合题目要求.） 1. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与向量共线，且向量不共线， 得，所以. 2. 已知为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论． 【详解】对于A，若，则取内任意两条相交直线，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故C错误； 对于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正确； 故选：C． 3. 函数，则下列结论正确的是（    ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项分析即得. 【详解】选项A: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故A错误； 选项B: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故B错误； 选项C: 因为的定义域为R， 又， 所以是奇函数，故C正确； 选项D: 因为的定义域为R， 又， 所以是偶函数，故D错误. 故选：C. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 5. 如图，某同学为了测量抚河对岸的抚州融媒体中心电视塔塔高时，选取与电视塔塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求得，再证得为等腰直角三角形，结合，即可求解. 【详解】如图所示，在中，因为，且， 可得， 由正弦定理得， 所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以为等腰直角三角形，且. 6. 如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为60°，则点A到平面BCE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】为中点，异面直线BE与AC所成角为，可得，由已知条件求解所需线段的长，设点A到平面BCE的距离为，由，求解即可. 【详解】AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，∴，， CD⊥平面ABC，平面ABC，有， 又∵，平面，∴平面， ∵，平面，∴平面， 为中点，连接，如图所示， E为AD的中点，，， 平面，平面，， 异面直线BE与AC所成角为，∴，， ∴，，，，， 到平面的距离为，∴， ，， 设点A到平面BCE的距离为，由，∴. 故选：C 7. 设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，非零向量的夹角为，且， 则， 不等式对任意恒成立， 所以，即， 整理得恒成立， 因为，所以，即，可得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】求平面向量的模的两种方法： 1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算； 2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 8. 已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案. 【详解】已知 由正弦定理可知：， ， 整理得：， 两边同除得：， 根据余弦定理得：，即， ，，，当且仅当，即时等号成立. 又，当且仅当时，等号成立. 综上所述：且， 故得：，此时且， ，. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】因为，为第二象限角，故， 得， 所以A错，B对，C错，D对. 10. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 为纯虚数 B. 满足的复数对应的点在第一象限 C. 若方程（）的一个根为，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，设， 则，所以，当时为实数，所以A不正确. 对于B，由题意，，整理得， 所以，解得或， 即或，对应点均不在第一象限，结论为B不正确。 对于C，由题意，为方程的另外一根， 所以，所以C正确. 对于D，由题意，复数对应的点在点的线段上， 故，所以D正确. 11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，正内切圆即为球的截面大圆，又正的边长为2，求出球的半径，得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体被平面截成体积相等的两部分，设到平面的距离为，求出正三角形的边长和面积，求出；D选项，动点的轨迹是圆，可得，故，因此，由均值不等式得到，故D正确. 【详解】A选项，连接，等边三角形内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上， 又等边三角形的边长为2，所以，， 则球的半径， 所以球的表面积，故A正确； B选项，圆锥的侧面积，故B错误； C选项，由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分， 设到平面的距离为， 球的半径，三角形为等边三角形，设其边长为， 则，故， 故三角形的面积为， 即，故C正确； D选项，依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为， ，故，是边，的中点，可得，， ， 则有，故， 又，故， 即，因此， 由均值不等式，得，即， 当且仅当时取“”，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周十六步，径八步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长16步，其所在圆的直径是8步，则这块田的面积是_____________平方步. 【答案】32 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】因为弧长16步，其所在圆的直径是8步， 所以（平方步）. 13. 三棱锥中，二面角的平面角为，平面，则直线与面所成夹角余弦值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】过点作平面的垂线，利用面面垂直的性质，证得平面，利用线面角和二面角的定义，得到二面角所成平面角等于直线与面所成夹角等于，结合题意，即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为， 因为平面，且平面，所以平面平面， 又因为平面，且平面平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 因为平面，且平面，所以， 所以为二面角的平面角， 二面角的平面角等于直线与面所成的角都等于， 又因为二面角的平面角为，即， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 14. 已知函数（，），则以下正确命题的序号是_____________. ①若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3； ②若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为； ③若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值是1； ④若函数在区间上单调，则. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据二倍角公式进行化简，结合余弦型函数的性质及三角函数图象的平移变换逐项分析判断即可. 【详解】 . 对于①，因为函数的图象关于直线对称，所以， 则，因为，则的值不可能为3，故①错误； 对于②，当时，， 若在上恰有四个实根，则，解得，故②正确； 对于③，由已知得， 因为函数为奇函数，所以，即， 因为，所以的最小值是1，故③正确； 对于④，当时，， 因为，所以，所以函数在区间上不单调，故④错误. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先由向量数量积公式化简得到，再由同角三角函数关系求； (2)利用余弦定理求边，再代入面积公式计算. 【小问1详解】 ， 根据两角和的余弦公式，得. 已知，故. 因为，所以. 因此. 【小问2详解】 由余弦定理，代入， 得， 即，解得（负值舍去）. 面积. 16. 已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接代入求解即可 （Ⅱ）利用三角恒等变换，得到，再利用，得到，得到，即可求出，最后利用求解即可 【详解】解：（Ⅰ） （Ⅱ） ， 若，则， 即， ∵，∴， ∵， ∴（舍）或， 则， 则 【点睛】本题考查三角恒等变换的运用，难点在于对等式进行化简，属于中档题 17. 如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与夹角的余弦值． 【答案】（1）在三棱台中，设的中点为，连接，由为的中点， 得，又平面，平面，则平面， 由为梯形的中位线，得，又平面，平面， 则平面，而，平面，平面， 因此平面平面，又平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面平行、面面平行的判定推理得证. （2）取的中点，的中点，利用几何法求出异面直线的夹角余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接、、、、， 由，是中点，得四边形是平行四边形， 则，又是中点，是中点，则， 即就是异面直线与夹角， 又底面，与都是等腰直角三角形，， 则，， ，因此， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 18. 为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量（单位：人）与时间之间，可以近似地用函数（，）来刻画，其中，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后游客逐渐减少. （1）求出函数的解析式； （2）腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？ 【答案】（1）， （2）选择在12点之前或16点之后两个时间，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得到方程组，求出和，得到答案； （2）在（1）的基础上得到方程，求出或，得到答案. 【小问1详解】 由题意得，，且， 故，故， 又，， 解得， 故函数的解析式为，； 【小问2详解】 当时，， 令，解得或， 解得或， 结合函数图象及，可得或， 为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在12点前或16点之后两个时间段赠送福 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角，，所对的边分别为，，，内一点到三边，，的距离，，满足，称点为的“莱莫恩点”． （1）若在中，，，，求常数的值； （2）在（1）的条件下，若，求，的值； （3）若，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）(1)  （2）(2)  （3） 是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用面积等于莱莫恩点分割出的三个小三角形面积和，结合定义的比例关系代入边长、面积求解； （2）以直角顶点为原点建系，根据距离关系得到的坐标，结合向量线性运算求解； （3）代入小三角形面积之比得到的一般表达式，结合题设等式化简得到边长关系，判断三角形形状. 【小问1详解】 已知，满足，故为直角三角形，面积，  又，且， 所以 ，又， 所以，解得. 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 设，则到直线的距离​， 到直线的距离​，故， 由，即，得​， 解得. 【小问3详解】 若，则，整理得， 延长交于，则， 所以， 又，所以， 所以，即， 所以， 又由得， 所以，所以， 由，得，整理得，即，所以，  由正弦定理，得，又，故， 所以，所以是等腰三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高一数学学科阶段性作业 说明： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，在试题卷上作答不给分. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项是符合题目要求.） 1. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 2. 已知为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 函数，则下列结论正确的是（    ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某同学为了测量抚河对岸的抚州融媒体中心电视塔塔高时，选取与电视塔塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝5，BC＝3，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，且异面直线BE与AC所成角为60°，则点A到平面BCE的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 为纯虚数 B. 满足的复数对应的点在第一象限 C. 若方程（）的一个根为，则 D. 若，则 11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 我国古代某数学著作中记载：“今有宛田，下周十六步，径八步，问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长16步，其所在圆的直径是8步，则这块田的面积是_____________平方步. 13. 三棱锥中，二面角的平面角为，平面，则直线与面所成夹角余弦值为_____________. 14. 已知函数（，），则以下正确命题的序号是_____________. ①若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3； ②若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为； ③若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的函数为奇函数，则的最小值是1； ④若函数在区间上单调，则. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且. （1）求的值； （2）若，，求的面积. 16. 已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求的值． 17. 如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与夹角的余弦值． 18. 为弘扬中华民族优秀传统文化，春节前后，各地积极开展各种非遗展演、文化庙会活动.某地庙会每天8点开始，17点结束.通过观察发现，游客数量（单位：人）与时间之间，可以近似地用函数（，）来刻画，其中，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1250人，之后游客逐渐减少. （1）求出函数的解析式； （2）腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？ 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角，，所对的边分别为，，，内一点到三边，，的距离，，满足，称点为的“莱莫恩点”． （1）若在中，，，，求常数的值； （2）在（1）的条件下，若，求，的值； （3）若，且满足，试判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $