江西南昌新民外语学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷覆盖三角函数、立体几何、向量等核心知识，通过直观图面积计算、异面直线夹角求解等题，考查空间观念与推理能力，解答题梯度设计合理，适配高一综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直观图面积、向量线性运算|基础题占比高，如第2题结合直观图与原图形关系，考查空间观念| |多选题|3/18|复数性质、三角恒等变换|第10题综合诱导公式与同角关系，体现思维严谨性| |填空题|3/15|向量投影、立体几何线面平行|第13题以梯形为载体，考查线面平行性质应用| |解答题|5/77|复数运算、解三角形、面面平行证明|从基础运算（15题复数）到综合证明（18题四点共面），梯度分明，贴合高考立体几何命题趋势|

新民学校2025—2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题：陈慧玲 审题：高一数学组 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题本大题共8小题,每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上。 1．的值为（ ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（    ） A． B． C． D．4 3．如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．3 B． C．7 D． 5．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，且与交于点，设，则 （   ） A．-1 B． C． D． 二、多选题本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（多选）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 三、填空题本大题共3小题，每题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上。 12．设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是________． 13．如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 14．若函数在上有4个最值，则_________． 四、解答题本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知复数，. (1)求； (2)求. 16．已知向量，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求 ． 17．已知，，分别为的三个内角，，的对边，若. (1)求： (2)若，，求的面积. 18．如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点. (1)B，C，H，G四点共面吗？（判断即可，无需证明） (2)求证：B，C，H，G四点共面. 19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点. (1)求证：平面平面； (2)若PC=4，AF=2，求AF与PC所成角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《qimo》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B C B A B BD ACD 题号 11 答案 CD 1．A 【详解】 2．B 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 3．D 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 4．B 【分析】由向量模长公式，向量数量积定义结合题设可得答案. 【详解】 5．C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 6．B 【分析】结合线面平行的定义、判定定理及性质定理逐一验证各选项，即可. 【详解】对选项A：若，，则或，因此A错误； 对选项B：该命题是线面平行的性质定理，即如果一条直线与一个平面平行， 如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，因此B正确； 对选项C：若，，则或，因此C错误； 对选项D：若，，则与的位置关系为平行或异面，因此D错误. 7．A 【详解】因为在正三棱柱 中，， 所以异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角. 连接 ，在 中， 由题意可知，底面正三角形边长为 ，侧棱长为 ， 所以 . 在 中，. 同理，在 中，. 由余弦定理可得： . 因为异面直线所成角的范围是 ，且 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 . 8．B 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为，，三点共线，且，所以 又因为，，三点共线，且， 所以， 可得，解得，， 所以. 9．BD 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 10．ACD 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系，求出的三角函数值，进而根据角的范围，以及三角恒等变换，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由诱导公式可知，即，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； ，所以C正确； 由可得， 则，所以D正确； 11．CD 【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解． 故选：CD． 12． 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 则向量在向量方向上的数量投影是 13．5 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 14． 【分析】求出的范围，根据条件建立不等式求解即可. 【详解】因为，则， 因为在上有4个最值， 所以 解得. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再根据复数模的计算公式求其模； （2）根据复数乘法的运算法则计算； （3）先求出，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】（1）， . （2）. （3）因为， 所以. 16．(1) (2)． 【分析】（1）根据平面向量夹角坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， ，， 所以与夹角的余弦值为． （2）， ， 因为， 所以， 得． 17．(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理可求出，再利用面积公式计算即可得. 【详解】（1）由正弦定理将边化为角，可得， 即， 即， 又，则，故， 又，故； （2），整理得， 故（负值舍去），则. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）借助三角形的中位线，证明，可得B，C，H，G四点共面； （2）结合平行四边形性质先证，再证平面. 【详解】（1）（1）∵G，H分别是，的中点， ∴GH是的中位线，∴， 又在三棱柱中，， ∴，    ∴B，C，H，G四点共面； （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 19．(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）由中位线和平行四边形得到线线平行，证明出线面平行，面面平行； （2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直； （3）在（2）基础上得到直线与平面所成角为或其补角，再求出各边长，求出，得到答案. 【详解】（1）因为分别为棱中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，分别为棱中点， 所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面； （2）因为平面⊥平面，两平面交线为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）由（2）可知，平面， 故直线与平面所成角为或其补角， 又平面，所以， 因为，，且，所以， 故，故 故直线与平面所成角为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $