精品解析：湖南株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

湖南省株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 考试总分：150分） 命题人：熊向清 审题人：曾婉婷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案写在试题卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简得出复数，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】，则，故的虚部为. 故选：D. 2. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正弦定理得出边长关系结合余弦定理求出边长，最后根据面积公式计算即可. 【详解】由，得， ∴，解得，． ∴． 故选：D. 3. 若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由，分析出与的所有位置关系即可判断A，由，分析出的所有位置关系，即可判断B，由，分析出与的所有位置关系即可判断C；由，分析出的所有位置关系，即可判断D. 【详解】由，得与相交或或，故A错误； 由，得，故B正确； 由，得或，故C错误； 由，得或相交或异面，故D错误. 故选：B 4. 如图，已知抛物线，过作直线交抛物线于，连接，将绕轴旋转一周得到旋转体，则的体积最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线AB的方程，与抛物线联立，设，，由旋转体的体积公式，利用韦达定理，结合面积公式以及基本不等式求解即可. 【详解】设，，， 设直线：，m显然存在， 则，可得， 则：， ， 设M、N关于y轴的对称点分别为、， 记以等腰梯形绕y轴旋转一周得到圆台体积为， 以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为， 以为底面直径，O为顶点的圆锥体积为， 则所求旋转体体积为： . 当且仅当，即时等号成立，此时所求旋转体体积的最小值为． 故选：D. 5. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. 6 B. 10 C. 15 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算结合数量积的定义求解即可. 【详解】由，且与的夹角为， ， ，故C正确. 故选：C 6. 已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 0.75 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【详解】记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，， 记击中目标为事件，则， 所以， 又，所以. 7. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的数量积化简后根据正弦定理将边转化为角，通过诱导公式及两角和的余弦公式解方程即可. 【详解】如图，取的中点D，由外心的性质可知，所以. 由可得. 对两边同时点乘， 得， 所以， 由，知，所以， 由正弦定理得， 所以. 在中，，所以， 又， 所以， 所以，解得. 8. 2024年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代.如图是2024年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（注：同比，即和去年同期相比）（ ） A. 这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台 B. 这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台 C. 自2024年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降 D. 这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数、平均数、极差的定义进行计算判断即可. 【详解】将这10个月我国彩电月度产量（单位：万台）按从小到大排列依次为 1513，1540，1553，1650，1727，1783，1802，1846，1926，2097， 中位数为第5个数与第6个数的平均数，即，A错误； 这10个月我国彩电月度平均产量为 万台，B错误； 自2024年9月起，我国彩电月度产量虽然逐月减少，但同比是与去年同月相比， 由同比增长率可知，9月、10月、11月的同比增长率均为正数，故月度产量同比有所增长，C错误； 由题图可知，这10个月产量的同比增长率的最大值与最小值分别为25.6%与-8.3%， 故其极差为，故D正确. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. 的取值范围为 B. 若，则的取值范围为 C. 若且，则最大值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量线性运算可得A；利用可得，结合向量线性运算可得B；借助模长公式与三角换元计算可得C；借助向量数量积公式计算可得D. 【详解】当、、能围成三角形，且、、时，有， 则，当、、共线且同向时，有，故， 故的取值范围为，故A正确； 若，则，则当与反向时，取最大值， ，当与同向时，取最小值，，故取值范围为，故B正确； ，即，则可设，， 则，其中，故最大值为，故C错误； ，由，则， 则，故， 故的最小值为. 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错； ，故B对； 而，故C对； 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则（ ） A. B. 直线与直线相交 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：可证平面，结合线面关系分析判断；对于B：根据异面直线的判定定理可知直线与直线异面；对于C：分析可知三棱锥外接球即为长方体外接球，结合长方体的结构特征求外接球的半径和表面积；对于D：平面截正方体所得的截面为梯形，进而分析求解. 【详解】对于选项A：连接，，， 因为，且，可知为平行四边形，则，， 又因为为正方形，则， 且平面，平面，则， 又因为，平面，可得平面， 且平面，所以与不垂直，故A错误； 对于选项B：因为平面，平面，， 可知直线与直线异面，故B错误； 对于选项C：设，，的中点分别为，，， 可知为长方体，且，， 则三棱锥外接球即为长方体外接球， 可知外接球半径，外接球的表面积为，故C正确； 对于选项D：连接，，， 因为分别为的中点，则，， 且，，可得，， 可知平面截正方体所得的截面为梯形， 则，，可知等腰梯形的高， 所以截面面积为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，化简后利用实部与虚部等于零，列方程组求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，故， 故答案为：． 13. 在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，借助平面向量运算即可计算作答. 【详解】以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则， ，，， 有，由得：， 而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：， 所以. 故答案为：1 14. 若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件由正弦定理表示，判断唯一解时的范围 【详解】已知，则由正弦定理，则， 又，当时，有两解； 当或时，有唯一解，故． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 【答案】（1），150 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1求得后，再根据频率的定义可得人数； （2）根据分层抽样的定义确定各组人数，并设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为，用列举法写出所有基本事件后可计算出概率． 【小问1详解】 由频率分布直方图知：，可得， 所以估计500名志愿者中年龄在的人数为. 【小问2详解】 由题设，第2组.第4组和第5组的频率之比为， 则6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自， 不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者为， 则抽取两人的基本事件有， ，共15个， 而2名志愿者中恰好来自同一组的基本事件有：，共4个， 所以抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 16. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，根据向量共线的坐标表示求出，即可求出，再计算其模. 【小问1详解】 因为，， 由，可得，解得． 【小问2详解】 依题意， 若，则有，解得， 所以，． 17. 如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，由于，所以，且， 所以，又点为线段上靠近的三等分点， 所以，所以. 又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由相似三角形可得，所以.，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得面，即,再由等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知且，，得， ，又， 所以由余弦定理得：， 所以，所以，所以. 面，所以面， 因为面，所以. 又知，设到面的距离为， 所以，即， 解得，即点到平面的距离为. 18. 如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，． （1）证明：； （2）当角在变化时， （ⅰ）求边上高的取值范围； （ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围． 【答案】（1） 在中，由余弦定理得， 所以． 又因为，由余弦定理得． 由正弦定理得，所以． 因为，所以，从而． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求出，再由余弦定理和正弦定理分别得到和，最后相除得到． （2）以为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，用表示点的坐标；再利用“以为斜边的等腰直角三角形”的性质，通过中点和垂直旋转求出点的坐标．（ⅰ）边上的高就是点到轴的距离，转化为求的取值范围；（ⅱ）三角形面积公式求，再用向量数量积求，从而得到，最后求一次分式函数的值域． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，则，． 因为，且，所以点在点的左上方， 故．令，，则． 设为的中点，则． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且． 又，把逆时针旋转得到向量． 由于点和点在线段两侧，应取，所以． （ⅰ）设边上的高为．由于在轴上， 所以等于点的纵坐标，即． 当时，．因为， 所以．因此． （ⅱ）设．由点的坐标得，． 因为，边上的高为，所以． 又，所以． 另一方面，由向量数量积的坐标运算得， 即． 当时，，此时正切值不存在，故求正切值范围时应排除这一情形． 当时，． 令，则，且． 设，则，所以函数在区间和上均单调递减． 当时，；当时，． 综上，的取值范围为． 19. 已知，存在，使得成立，且的最小值为. （1）求的值； （2）若函数， (i)求函数的值域； (ii)若函数，求的最小值. 【答案】（1） （2）(i)；(ii) 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数值域可确定，由此可得； （2）(i)令，结合辅助角公式化简得到，由正弦函数值域可构造不等式求得结果； (ii)将配凑为，结合(i)中值域和二次函数值域求法可求得结果. 【小问1详解】 ，，，， 存在，使得，，， ，即，. 【小问2详解】 (i)由（1）知：， 令，则（其中，）， ，，解得：， 的值域为. (ii)， ，， 由(i)知：且， 在上单调递增，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市第十三中学2025-2026学年高一下学期期末考试 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 考试总分：150分） 命题人：熊向清 审题人：曾婉婷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案写在试题卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，已知抛物线，过作直线交抛物线于，连接，将绕轴旋转一周得到旋转体，则的体积最小值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. 6 B. 10 C. 15 D. 21 6. 已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（ ） A. 0.6 B. 0.8 C. 0.75 D. 0.5 7. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 2024年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代.如图是2024年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（注：同比，即和去年同期相比）（ ） A. 这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台 B. 这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台 C. 自2024年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降 D. 这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. 的取值范围为 B. 若，则的取值范围为 C. 若且，则最大值为 D. 若，则的最小值为 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件 11. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则（ ） A. B. 直线与直线相交 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是关于的方程的一个根，则______． 13. 在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________. 14. 若满足，，的恰有一个，则实数k的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组.第2组.第3组.第4组.第5组. （1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数； （2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率. 16. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 17. 如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，在中，，，在平面内以线段为斜边作等腰直角（点和点在线段两侧）．记，． （1）证明：； （2）当角在变化时， （ⅰ）求边上高的取值范围； （ⅱ）若，，三点不共线，求正切值的取值范围． 19. 已知，存在，使得成立，且的最小值为. （1）求的值； （2）若函数， (i)求函数的值域； (ii)若函数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $