湖南省株洲市第十三中学2024—2025学年高一下学期期末摸底考试数学试题（B）

**基本信息** 2024-2025学年高一年级期末数学摸底卷，以立体几何、三角函数、向量等核心知识为载体，通过直观图体积计算（第7题）、新定义“类对称函数”（第19题）等设计，考查空间观念、逻辑推理与创新意识，适配高一期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、向量共线、充要条件|第5题圆锥外接球体积最值，融合空间想象与函数思想| |多选|3/18|统计方差、不等式性质|第9题数据特征分析，体现数据观念与批判性思维| |填空|3/15|三角恒等变换、解三角形|第14题圆内接四边形面积最值，考查模型应用| |解答|5/77|向量运算、三角函数、立体几何、新定义|第19题“类对称函数”证明，发展逻辑推理与创新意识|

2024—2025学年（下）高一年级期末摸底考试 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 已知向量，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 3. “”是“”的（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. ，是两个平面，m，n是两条直线，则（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，那么 D. 如果，n与相交，那么m，n是异面直线 5. 已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，是函数的一个零点，直线与是图象的两条对称轴，则当取最小值时，在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图1，三棱锥的高，底面在斜二测画法下的直观图如图2所示，其中为的中点，且，.则三棱锥的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列命题正确的个数为（ ） ①； ②的外接圆的面积是； ③的面积的最大值是； ④的取值范围是． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抽样调查得到10个样本数据， 记作， 计算得平均数， 方差 现去掉一个最大值10，和一个最小值4后，对新数据下列说法正确的是 （ ） A. 极差变大 B. 中位数不变 C. 方差变大 D. 平均数不变 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 已知函数．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为偶函数； B. 若，则单调递增； C. 若，则函数的最小值为2； D. 若时，函数在区间上有且仅有一个零点，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，那么__________. 13. 在中，，点满足，设，若，则__________. 14. 在圆内接四边形中，，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）求的坐标，的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值． 16. 在中，角所对的边分别为，设向量，记． （1）求函数的最大值； （2）若，求c． 17. 设函数，其中. （1）若的最小正周期为，求的单调增区间； （2）若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围. 18. 如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，． （1）求证：平面； （2）若平面平面，，且四棱锥的体积是． ①求的长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19. 对于函数，，若存在非零常数和，使得对任意实数都有，且等式恒成立，则称函数是“类对称函数”. （1）判断函数是否是“类对称函数”，请说明理由； （2）设，若函数是“类对称函数”，求的值； （3）设，证明：函数是“类对称函数”的充要条件是“且”. 2024—2025学年（下）高一年级期末摸底考试 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1），； （2）； （3）. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：∵平面，过的平面交平面于， ∴，又∵，∴四边形为菱形 ∴，∵平面，平面，∴平面. 又∵四边形为菱形，∴同理平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面； （2）①6；②. 【19题答案】 【答案】（1）是，理由见解析； （2）或； （3）证明见解析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $