精品解析：湖南邵阳市邵东市三校联考2025-2026学年下学期7月期末质量监测高一数学试题

2026年上学期期末质量监测 高一数学 （请将答案填写在答题卡上的指定位置） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 一个圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角的对边分别是，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 7. 函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，是的三个内角，已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 10. 在正方体中，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角为 C. 平面 D. 二面角的平面角的正切值为 11. 已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，且，则（ ） A. B. C. 是函数的一个对称中心 D. 把函数的图像向左平移个单位后图像关于轴对称 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第60百分位数为______. 13. 已知是关于的实系数方程的一个根，则______. 14. 已知正六边形的边长为，点是正六边形边上的动点（包括端点），则的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，求 （1）； （2）在上的投影向量. 16. 2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则 （1）试根据频率分布直方图求的值，并估计样本数据的第百分位数； （2）已知样本中年龄在的平均数为，年龄在的平均数为，年龄在的平均数为，求样本中年龄在的平均数. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，是的中点，且. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足. （1）求； （2）若，，，分别是边，的中点，且，相交于点. ①求中线的长； ②求的余弦值. 19. 一个袋子中装有大小和质地完全相同的8个球，其中2个红球，2个绿球，4个黑球.现从中有放回地摸球，摸出红球记2分，摸出绿球记1分，摸出黑球记0分，从中摸取次，记第次摸出的球的得分为，第次摸球后的总得分为，是3的倍数的概率为. （1）求，； （2）求； （3）推导与之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末质量监测 高一数学 （请将答案填写在答题卡上的指定位置） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以， 又，则. 2. 已知是虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】设，则，因为，代入得， 即，故在复平面内对应的点为，在第一象限. 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【详解】A选项：垂直于同一个平面的两条直线互相平行（线面垂直的性质定理），故A正确； B选项：若，，则或，故B错误； C选项：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（面面垂直的判定定理），故C正确； D选项：两个平行平面被第三个平面所截，所得的交线互相平行（面面平行的性质定理），故D正确. 4. 一个圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意知，，得. 所以该圆锥的表面积为. 5. 已知的内角的对边分别是，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由结合余弦定理求出，求出​为钝角，充分性得证，再举出反例推出必要性不成立. 【详解】​，由余弦定理得：， 即​为钝角，故充分性成立， 若钝角三角形中​为钝角，则​为锐角， ​，即有​，故必要性不成立. 故选：A. 6. 随着微信的普及，越来越多的人们购物优先选用微信支付.已知市面上最常见的微信付款码是由点阵构成，理论上不同的微信付款码的总数为个，而已知宇宙空间中原子总数约为个，则下列数据中与的值最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，即可选出答案. 【详解】， 所以 7. 函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数是定义在上的奇函数可得，进而得到，再分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，则，即， 由于时，， 当时，，解得（舍去）； 当时，，则，解得. 综上所述，. 8. 在中，，，是的三个内角，已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据同角的三角函数关系及诱导公式得到，结合二次函数性质求解即可. 【详解】令，则， 即， 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最大值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由互斥事件与独立事件的性质和概率逐项判断可得. 【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，若A与B相互独立，则与也相互独立， 所以， 显然与前提矛盾，所以A与B不是相互独立，故C错误； 对于D，若A与B相互独立，则，故D正确. 10. 在正方体中，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角为 C. 平面 D. 二面角的平面角的正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可得A正确；由异面直线所成角的定义可知异面直线与所成角为，由此可判断B错误；由与可证C正确；取，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，在中即可求出其正切值. 【详解】因为且 所以四边形为平行四边形，则 因为平面，平面， 所以平面，A正确； 因为，所以异面直线与所成角为, 易知为等边三角形，所以， 所以异面直线与所成角为，B错误； 在正方形中，, 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面 所以平面，C正确； 如图所示：取，连接， 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以二面角的平面角为， 设正方形的边长为，则，， 在中，， 所以二面角的平面角的正切值为，D正确. 11. 已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，且，则（ ） A. B. C. 是函数的一个对称中心 D. 把函数的图像向左平移个单位后图像关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【详解】由“五点法”可知：，又， 解得，即. 所以，，A选项错误，B选项正确. 令，则，当，则， 所以是函数的一个对称中心，C选项正确. 把函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，图像关于轴对称，D选项正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第60百分位数为______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可求解. 【详解】将题中数据按从小到大排列为5，5，6，8，8，8，10，10，12，18, 因为，所以这组数据的第60百分位数为. 13. 已知是关于的实系数方程的一个根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，根据复数相等，求得的值，进而求得. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以， 化简得， 又为实数， 所以. 所以. 14. 已知正六边形的边长为，点是正六边形边上的动点（包括端点），则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，取正六边形的中心，令，结合向量数量积的运算律和的取值范围即可求解. 【详解】设是正六边形的中心，如图所示 则 又 故，即的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，，，求 （1）； （2）在上的投影向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由可得， ∵，∴，即， ∵， ∴， 【小问2详解】 . 16. 2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则 （1）试根据频率分布直方图求的值，并估计样本数据的第百分位数； （2）已知样本中年龄在的平均数为，年龄在的平均数为，年龄在的平均数为，求样本中年龄在的平均数. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为可解出；由百分位的计算方法可得； （2）根据平均数的计算方法可得. 【小问1详解】 由 得； 因为，，所以第百分位数在内 设第百分位数为，则 ，解得 ， 即样本数据的第百分位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知：年龄在，，的频数分别为，，， 则样本中年龄在的平均数. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，是的中点，且. （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）∵侧面是正三角形，是的中点， ，又，平面， 平面，平面， . （2） 平面，平面，， 又底面是正方形，， ，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可. （2）根据面面垂直的判定定理求解即可. （3）首先找到线面角，再利用三角形求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点，连接，，则 又平面平面，平面，平面平面， 平面， 即为直线与平面所成的角， 设，则，，故， . 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足. （1）求； （2）若，，，分别是边，的中点，且，相交于点. ①求中线的长； ②求的余弦值. 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解即可. （2）①根据向量的数量积及数量积的运算律，结合向量的模求解即可. ②根据余弦定理、向量的数量积及数量积的运算律，结合向量夹角的计算求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 又，则， 因为，所以，所以， 又，故. 【小问2详解】 ①因为是边的中点，所以， 则 ， 所以，即. ②在中，由余弦定理得， 则， 又， 所以 ， 故. 故的余弦值为. 19. 一个袋子中装有大小和质地完全相同的8个球，其中2个红球，2个绿球，4个黑球.现从中有放回地摸球，摸出红球记2分，摸出绿球记1分，摸出黑球记0分，从中摸取次，记第次摸出的球的得分为，第次摸球后的总得分为，是3的倍数的概率为. （1）求，； （2）求； （3）推导与之间的关系. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概率公式以及有放回条件求解即可. （2）根据得分分析出所有的情况，再根据分类相加求解即可. （3）根据每次摸出红球、绿球、黑球的概率不变以及全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由于是有放回摸球，因此每次摸出红球、绿球、黑球的概率分别为，，， 事件是指第1次摸出黑球，故； 事件是指第2次摸出绿球，故. 【小问2详解】 事件是指第3次摸球后总得分是3，其情况有： ①三次均摸出绿球；②三次摸球中分别摸出一个红球、一个绿球、一个黑球. 故. 【小问3详解】 记事件“被3除余1”的概率为，事件“被3除余2”的概率为， 则 ，由于每次摸出红球、绿球、黑球的概率不变， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $