第14讲 有理数的乘除混合运算 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.2.4 有理数的乘除混合运算 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 掌握乘除混合运算的运算顺序——同级运算从左到右；理解并会用“变除为乘、统一运算”的化归策略，把乘除混合运算全部转化为几个有理数的连乘。 1. 熟练运用符号法则——通过数负因数的个数先定符号，再算绝对值；掌握“负偶正、负奇负”的一句口诀。 1. 能灵活运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算——学会“约分优先、凑整结合、分配律逆用”三招。 【过程与方法】 1. 经历“具体验证 → 化归转化 → 灵活运用”的完整过程，深刻体会化归思想——把乘除混合运算这个新问题，转化为连乘这个已经掌握的旧问题。 1. 在“约分/凑整/分配”三种简便思路的对比选择中，学会观察题目“相貌”决定策略的运算素养。 【情感态度与价值观】 1. 感受“先定符号，再算绝对值”两步走的清爽之美；体会统一比多样更强大——把“乘和除”统一为“乘”之后，运算律的威力就完全释放了。 二、学习重难点 重 点 ① 乘除混合运算的运算顺序与化归策略——同级从左到右，或统一变乘再自由结合；② 熟练运用符号法则先定符号再算绝对值。 难 点 ① 何时用运算律进行简便运算——看题目“相貌”选“约分/凑整/分配”三种思路；② 分数乘除混合的规范书写——一步一约分、一步一符号，不能跳步。 易错点 ① 忘先变除为乘就使用交换律——除号不能随便换位，必须先化成乘号；② 数负号时漏数或多数导致最终符号错； ③ 分配律逆用时公因数带符号错；④ 出现0 因子时直接判 0，但常被学生忽略而继续计算。 三、知识回顾与情境导入 回顾一：三大法则一览表（乘除混合的“装备清单”） 法 则 内 容 字母表示 乘法法则 同号得正、异号得负、绝对值相乘；任何数乘 0 都得 0。 除法法则 除以一个数（不等于 0）等于乘以这个数的倒数。 a÷b = a×（b≠0） 运算律 交换律：a×b = b×a； 结合律：(a×b)×c = a×(b×c)； 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c。 只对乘法有效；除法要先变乘才能用！ 回顾二：“乘除可换位”三组亲手验证（2.2.3 作业🅲(3) 结论） 上一节我们已经亲手验证过： 1. (-24) ÷ 6 × (-2) = (-24) × (-2) ÷ 6 = 8　　（乘除位置互换，结果不变） 1. 12 ÷ (-3) × 4 = 12 × 4 ÷ (-3) = -16　　（乘除位置互换，结果不变） 1. (-) ÷ × (-6) = (-) × (-6) ÷ = 9　　（乘除位置互换，结果不变） 💡 结论：在同级运算（乘除混合）中，只要先把除法变成乘以倒数，就可以像纯乘法一样自由使用交换律、结合律！这就是本节要掌握的核心策略——统一变乘、化归为一。 情境导入：股票 3 日变化（乘除混合的生活原型） 小明爷爷手里有一只股票，昨天开盘价为20 元。 第 1 日下跌 25%（即变成原价的）；第 2 日再下跌 20%（即变成前一日的 ）；第 3 日上涨到某价再除以 （收盘时的价格通过 ÷ 反算得出）…… 最终价格 = 20 × × ÷ 解答：按运算顺序从左到右算，或统一变乘后简算—— 最终 = 20 × × × = 20 元 💡 妙算：变除为乘后， 和分母 3 约掉、 和 中的 5 约掉。用了交换律 + 约分——这就是本节要学的“简便运算”。 👉 这一节我们就来系统学习乘除混合运算，看看“变除为乘、统一简算”的威力！ 四、探究新知 探究一：运算顺序与化归策略——两条路，你选哪条？ 问题引入：计算 (-6) × ÷ (-) × 【路径一】按顺序算（从左到右） 步骤 运 算 说 明 ① (-6) × = -10 异号得负，6 与 3 约分。 ② -10 ÷ (-) = -10 × (-2) = 20 除以-等于乘以 -2；同号得正。 ③ 20 × = 15 同号得正，4 与 20 约分。 结果 15 三步走，稳但慢。 【路径二】变除为乘 + 交换律（更快！） 步骤 运 算 说 明 ① 原式 = (-6) × × (-2) × 把 ÷(-) 改写成 × (-2)（乘以倒数）。 ② 先定符号：负号 2 个 → 正 数负号：-6、-2，共 2 个负因数 → 结果为正。 ③ 绝对值：6 × × 2 × 提取全部绝对值，可任意排列约分。 ④ = 6 × 2 × × = 12 × = 15 先算整数，再合并分数。 结果 15 两步走，先定符号+算绝对值。 💡 归纳（乘除混合运算的三步法）： 第一步：把所有除法变成乘法——除以一个数改为乘以它的倒数。 第二步：数负因数的个数——先定结果的符号（负偶正、负奇负）。 第三步：算所有因数的绝对值的乘积——利用交换律、结合律优化，能约分先约分。 探究二：符号法则总应用——数负号，定符号 请填写下表，观察负因数个数与结果符号的关系： 算 式 负号个数 结果符号 运算结果 2 × 3 ÷ 6 0 + 1 (-2) × 3 ÷ 6 1 - -1 (-2) × (-3) ÷ 6 2 + 1 (-2) × (-3) ÷ (-6) 3 - -1 (-2) × (-3) × (-4) ÷ (-12) 4 + 2 　 🎯 一句话口诀： 负因数有几个？——偶正奇负！（0 个也算偶，所以全正的乘除结果为正。） 适用范围：这条口诀只对乘法有效——所以必须先把除法变成乘法，才能“数负号定符号”。 探究三：简便运算三种思路——观察题目“相貌”选策略 【思路 1】约分优先——分数多的时候看约分 典型题：(-) ÷ (-) × 解：① 变除为乘 → (-) × (-) × ② 负号 2 个 → 正号；绝对值 = × × ③ 约分：= = = 答案：　（正号） 【思路 2】结合律凑整——出现互为倒数、可凑整数时看结合 典型题：(-) × ÷ (-) × 10 解：① 变除为乘 → (-) × × (-) × 10 ② 结合律：( × ) 恰好互为倒数，积为 1 ③ 原式 = (-) × 1 × 10 = -6 答案：-6　（负号 2 个但注意其中一个已被结合掉，剩 1 个负 → 负） ⚠️ 关键：看到 和 这样的“倒数搭子”，一定要结合到一起——它们的积是 1，直接消失！ 【思路 3】分配律逆用——同一个公因数出现多次时看分配 典型题：(-) × 25 + (-) × 27 - (-) × 12 解：三项都含公因数 -，提出来—— 原式 = (-) × (25 + 27 - 12) = (-) × 40 = - = -15 答案：-15 ⚠️ 关键：公因数要连符号一起提！- 提出后，括号内保持原符号。 　 🔍 三招选择口诀： 看分数——多且乱？　　→　用【约分优先】，交叉约到最简。 看倒数——恰好出现？　→　用【结合律凑整】，先凑 1 再算。 看公因数——反复出现？→　用【分配律逆用】，一提了事。 探究四：特殊情形——含 0、含 1、含带分数的处理 【情形 A】乘除混合中出现 0 计算：(-8) × × 0 ÷ (-2) × 💡 观察：式中出现因数 0——只要除数不含 0（这里除数是 -2 ≠ 0，合法），整个式子结果必为 0。 答案：0 ⚠️ 注意：如果 0 出现在除数位置（如 5 ÷ 0），则整个式子无意义，直接写“无意义”。 【情形 B】乘除混合中出现 1 或 -1 因数 1 可以直接省略；因数 -1 只需给结果多添一个负号。 1. 例如 (-) × (-1) × = + (-1 抵消了一个负号，负号总数由 2 变 1)……不，请仔细数：- 有 1 个负，-1 有 1 个负，共 2 个负 → 结果为正。 1. 正确计算：(-) × (-1) × = × 1 × = 。 【情形 C】乘除混合中出现带分数 铁律：带分数在乘除运算中必须先化成假分数再运算！ 例如 (-1) ÷ 2 × 解：① 化假分数：-1 = -；2 = ② 原式 = (-) × × ③ 负号 1 个 → 负；绝对值 = = = 答案：- ⚠️ 常见错：直接把 -1 的倒数写成-1 是错的！倒数必须先化假分数再“分子分母倒过来”，正确倒数为 -。 五、例题精讲 例 1 基础乘除混合运算（3 步走标准示范） 题目：计算下列各式： 1. (-6) ÷ (-3) × (-2) 1. (-) × ÷ (-) 1. (-3) ÷ × (-) 1. 0 × (-7) ÷ (-3) × (1) (-6) ÷ (-3) × (-2) 解：① 变除为乘 → (-6) × (-) × (-2) ② 负号 3 个 → 负 ③ 绝对值 = 6 × × 2 = = 4 答：原式 = -4 　 (2) (-) × ÷ (-) 解：① 变除为乘 → (-) × × (-2) ② 负号 2 个 → 正 ③ 绝对值 = × × 2 = = = 1 答：原式 = 1 　 (3) (-3) ÷ × (-) 解：① 化假分数：-3 = - ② 变除为乘 → (-) × × (-) ③ 负号 2 个 → 正 ④ 绝对值 = × × = = = 1 答：原式 = 1 　 (4) 0 × (-7) ÷ (-3) × 解：式中出现因数 0，且除数 -3 ≠ 0（合法），→ 结果直接为 0 💡 陷阱提醒：看到 0 因子先确认除数是否为 0——除数不为 0，结果就是 0；千万别继续算下去浪费时间。 例 2 简便运算——三招灵活切换 题目：用简便方法计算： 1. (-) × ÷ (-)　　（约分优先） 1. (-) ÷ × (-) ÷ (-)　　（结合律凑整） 1. (-24) × ( - + ) ÷ (-2)　　（分配律逆用） (1) 约分优先 → (-) × ÷ (-) 解：原式 = (-) × × (-) 负号 2 个 → 正；绝对值 = × × = = 答：= 　 (2) 结合律凑整 → (-) ÷ × (-) ÷ (-) 解：变除为乘 → (-) × × (-) × (-) 重新配对（结合律）：[(-) × (-)] × [ × (-)] = (+1) × (-1) = -1 💡 妙：每一对都是互为倒数（ 与 ； 与 ），积都是 ±1；总的负号数 3 个→ 负。 　 (3) 分配律逆用 → (-24) × ( - + ) ÷ (-2) 解：先合并前面的乘除 → (-24) ÷ (-2) = 12，故原式 = 12 × ( - + ) 再用分配律 → 12 × - 12 × + 12 × = 10 - + 11 = 21 - 4.5 = = 16.5 答：= 16.5 💡 关键：先处理括号外的 (-24) ÷ (-2) = 12，再对括号内三项用分配律；不要把 ÷(-2) 忘掉。 例 3 实际应用——数学来自生活 题目：某市今冬遭遇寒潮，气温连续 5 天变化情况如下（单位：℃）：+2、-3、-4、-1、+1。 (1) 求 5 天平均气温变化； (2) 若周初气温为 8 ℃，求周末气温； (3) 若寒潮持续，气温按同样的“平均变化率”继续变化 3 天，则 3 天后气温是多少？ (1) 5 天平均气温变化： 总变化 = (+2) + (-3) + (-4) + (-1) + (+1) = -5 ℃ 平均变化 = (-5) ÷ 5 = -1 ℃/天 　 (2) 周末气温： 周末气温 = 8 + (-5) = 3 ℃ （或者用平均变化率 × 天数：8 + (-1) × 5 = 3 ℃，答案一致） 　 (3) 3 天后气温（乘除混合登场）： 3 天后气温 = 3 + (-1) × 3 = 3 + (-3) = 0 ℃ 💡 追问：如果告诉你 3 天后气温是 -6 ℃，问平均每天变化多少？列式：变化总量 ÷ 天数 = (-6 - 3) ÷ 3 = (-9) ÷ 3 = -3 ℃/天——这就是除法在实际问题中的意义：把总变化平均分给若干天。 六、当堂检测 【一】概念填空（每空 4 分，共 16 分） 1. 乘除混合运算的三步法：第一步 __________、第二步 __________、第三步 __________。 变除为乘 / 数负号定符号 / 算绝对值 2. “负偶正、负奇负” 中“偶”和“奇”指的是 __________。 负因数的个数 3. 乘除混合运算中如果出现因数 0，且除数不为 0，则结果为 __________。 0 4. 简便运算的三种思路：__________ / __________ / __________ 。 约分优先 / 结合律凑整 / 分配律逆用 【二】辨析选择（每题 6 分，共 12 分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. (-2) × 3 ÷ (-6) = -1 B. (-) ÷ × (-2) = 4 C. (-) × 4 ÷ (-2) = -1 D. 6 ÷ (-3) × (-) = -1 答：B A 错：(-2) × 3 ÷ (-6) = -6 ÷ (-6) = +1，不是 -1（负号 2 个应为正）。 B 对：(-) ÷ × (-2) = (-) × × (-2) = +4（负号 2 个为正；绝对值 × × 2 = 4） C 错：(-) × 4 ÷ (-2) = (-) × 4 × (-) = +1，不是 -1（负号 2 个应为正）。 D 错：6 ÷ (-3) × (-) = 6 × (-) × (-) = +1，不是 -1（负号 2 个应为正）。 🔴 常见错因分析： 选 A：只看 (-2)、(-6) 是同号，直接写正结果 1，却没数完全部负号——正确答案确实是 +1，A 项写 -1 明显是符号数错了。 选 C：符号数错，把“负号 2 个 → 正”错认为“最后一步是乘 -1 → 负”，混淆了“分步定符号”与“统一定符号”。 选 D：忘了变除为乘时 ÷(-3) → ×(-) 也是负号，导致漏数负号。 2. 要使算式 (-5) × ___ ÷ (-2) × ___ = -10 成立（两个空为整数），下面填空合理的是（　　） A. 第一空 4，第二空 1 B. 第一空 -4，第二空 -1 C. 第一空 2，第二空 2 D. 第一空 -2，第二空 2 答：D 分析：A：(-5) × 4 ÷ (-2) × 1 = -20 ÷ (-2) × 1 = 10 × 1 =10≠ -10 → A不合理 B：(-5) × (-4) ÷ (-2) × (-1) = 20 ÷ (-2) × (-1) = (-10) × (-1) = 10≠ -10 → B 不合理 C：(-5) × 2 ÷ (-2) × 2 = -10÷ (-2) × 2 = 5× 2 =10 ≠ -10 → C 不合理 D：(-5) × (-2) ÷ (-2) × 2 = 10÷ (-2) × 2 = -5× 2 =-10 → D 合理 ⚠️ 注：此题推荐用简单的验算法——把每个选项代入原式，若结果 = -10 则合理，反之不合理。教师在使用时可提示学生逐一验算。 💡 教学建议：此题的意义在于训练“逆向思考+验算意识”——正向计算容易掉符号陷阱，让学生自己发现“原来负号是 3 个 → 结果为负”的规律。 【三】计算题（每题 8 分，共 32 分）——先定符号，再算绝对值 1. (-15) ÷ 3 × (-) 解：变乘 → (-15) × × (-) = 1　（负号 2 个，绝对值 15×⅓×⅕=1） 2. (-) ÷ (-) × 解：变乘 → (-) × (-) × = 　（负号 2 个 → 正；绝对值 ×× = = = ） 3. -2 × ÷ (-1) 解：化假分数：- × × (-) = + = 1.5　（负号 2 个 → 正；绝对值 ×× = = = ） 4. (-24) × ( - + ) ÷ (-3) 【用分配律简算】 解：先算 (-24) ÷ (-3) = 8；再分配 → 8 × - 8 × + 8 × 　　　= 6 - + = 6 - = 6 - 2 = 4 【四】生活应用（20 分） 题：某储户 6 月起连续 5 个月存入或取出金额如下（正为存入、负为取出）：+800、-500、+1200、-300、-600（单位：元）。 (1) 5 个月平均每月增减多少元？ (2) 若以此“平均月增减”速率再持续 4 个月，账户总变化是多少？ (3) 起始余额 5000 元，第 5 月末余额是多少？（列乘除混合式） (1) 总变化 = 800 - 500 + 1200 - 300 - 600 = 600 元；平均 = 600 ÷ 5 = +120 元/月 (2) 4 × 120 = +480 元（继续增加 480 元） (3) 第 5 月末余额 = 5000 + 600 × 5 ÷ 5 = 5000 + 600 = 5600 元 或直接列：5000 + (800 - 500 + 1200 - 300 - 600) = 5000 + 600 = 5600 元。 💡 教学：(3) 意图训练“总变化 = 平均 × 天数（乘） 或 = 各次变化的和（加减）”两种等价路径。 七、知识梳理·思维导图 ┌── ① 变除为乘 ─── 除以一个数 = 乘以它的倒数 │ ┌── 三步法 ───┼── ② 数负号定符号 ── 偶正奇负 │ │ │ └── ③ 算绝对值 ────── 交换/结合/约分 │ 2.2.4 │ ┌── ①【约分优先】── 分数多且乱时 乘除 ├── 三招简算 ─┼── ②【结合律凑整】── 互为倒数搭配时 混合 │ └── ③【分配律逆用】── 公因数反复出现时 │ │ ┌── 有 0 因子且除数≠0：结果为 0 └── 特殊情形 ─┼── 有 ±1 因子：正负省略/翻转 └── 带分数：先化假分数再算 　 🎯 一句话总结：　先变乘、再定号、后简算——三步走遍乘除混合！ 八、分层作业 🅰 基础巩固 一、判断（对写“√”，错写“×”，每题 3 分） (1). 乘除混合运算按同级从左到右的顺序进行，因此不能交换乘除因数的位置。 【×】 解析：先变除为乘之后，乘除因数就可以自由交换位置——这正是本节的核心策略。 (2). 算式 (-2) × 3 ÷ (-4) 中负号有 2 个，所以结果为正。 【√】 解析：负号 2 个 → 结果为正；绝对值 = 2×3÷4 = 1.5，所以结果为 +1.5。 (3). 0 除以任何数都得 0。 【×】 解析：0 除以非 0 数得 0；但 0 不能作除数——0÷0 无意义。要加“任何非零数”的限定。 (4). 只要出现因数 0，乘除混合的结果一定是 0。 【×】 解析：还要保证 0 不出现在除数位置——若除数为 0 则整个式子无意义。 (5). 乘法运算律（交换、结合、分配）对乘除混合运算直接适用。 【×】 解析：必须先变除为乘，把混合运算转化为纯乘法之后，运算律才能自由使用。 (6). 带分数在乘除运算中可以直接用整数部分和分数部分分别参与运算。 【×】 解析：带分数必须先化成假分数再运算，否则会算错——如 -2⅓ ≠ -2 - ⅓，倒数也不是 -⁠2 - ⁠3。 二、填空（每空 3 分，共 24 分） (1). (-8) × 3 ÷ (-2) = 12 (2). 18 ÷ (-6) × (-2) = 6 (3). 计算 (-3) × (-4) ÷ (-2) × (-5) = 30（负号 4 个 → 正；绝对值 3×4÷2×5=30） (4). 算式 (-1) × 2 × (-3) × 4 ÷ (-5) 中负号个数为 ______ ，结果符号为 ______ 。 3 个 / 负 三、计算（每题 6 分，共 36 分）——请按“变乘 → 定号 → 算值”三步 (1). (-12) × ÷ (-4) 解：变乘：(-12) × × (-) = 1　（负 2 个 → 正；|·| = 12×⅓×¼=1） (2). (-) ÷ 解：变乘：(-) × = - (3). (-2) × ÷ (-1) 解：化假分数：- × × (-) = 　（负 2 → 正；|·|=×× = ） (4). 0.25 × (-8) ÷ (-) × (-4) 解：化分数：× (-8) × (-) × (-4) = -20　（负 3 → 负；|·|=×8××4=20） (5). (-9) ÷ × (-) ÷ 4 解：变乘：(-9) × × (-) × = 2　（负 2 → 正；|·|=9××× = 2） (6). 48 × ( - - ) ÷ (-1) 【用分配律】 解：48 × - 48 × - 48 × = 16 - 12 - 8 = -4；再 ÷(-1) = 4 🅱 能力提升 1. 简算大比拼（先说思路，再计算，每题 8 分） (1) (-) × (-25) × 12 ÷ (-5)　　〔思路提示〕约分优先 思路：先变除为乘 → (-) × (-25) × 12 × (-) 负 3 个 → 负；绝对值 = ×25×12×= = = 10 答：-10 (2) (-19) × 20　　〔思路提示〕拆项+分配律 思路：把 -19 拆成 -(20 - ) = -20 + 原式 = (-20 + ) × 20 = -400 + 1 = -399 💡 妙：看到形如 19 的“接近整数”的带分数，一定要拆成“整数 - 小分数”——这是分配律的经典应用！ 2. 定义新运算（12 分） 定义新运算 “ ※ ”：对任意有理数 a、b，规定 a ※ b = a × (-2) ÷ b（b ≠ 0）。 (1) 计算 (-3) ※ 4；(2) 计算 [(-6) ※ 3] ※ (-4)；(3) 判断 a ※ b 是否等于 b ※ a，用一个例子说明。 (1) (-3) ※ 4 = (-3) × (-2) ÷ 4 = 6 ÷ 4 = 1.5 (2) 先算 (-6) ※ 3 = (-6) × (-2) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4；再 4 ※ (-4) = 4 × (-2) ÷ (-4) = 2 (3) a ※ b 与 b ※ a 一般不相等。例：3 ※ 2 = 3 × (-2) ÷ 2 = -3；2 ※ 3 = 2 × (-2) ÷ 3 = -。故不满足交换律。 💡 教学：此题训练按定义代入 + 规范书写，是初一开始接触“运算符号可以自定义”的思想，为后续代数式打基础。 🅲 拓展挑战 1. 特殊技巧综合（12 分） 计算 (1 - ) × (1 - ) × (1 - ) × … × (1 - ) 解：逐个化简每个括号——1 - = 原式 = × × × … × 这是“望远镜积”——分子分母交叉约分：分子的 2 与分母的 2 约、分子的 3 与分母的 3 约……最终只剩分子最左的 1 和 分母最右的 100！ 答：原式 = 💡 拓展：这类连续因子中分子与后一个分母相约的题目，是初一数学的“经典拓展题”，为后续裂项、望远镜求和铺路。 2. 逆向思维（10 分） 已知 a、b、c 是有理数，满足 a × b > 0，b ÷ c < 0，a × c < 0。判断 a、b、c 的正负号。 解： 由 a × b > 0 → a 与 b 同号 由 b ÷ c < 0 → b 与 c 异号（且 c ≠ 0） 由 a × c < 0 → a 与 c 异号 综合：a、b 同号 → 设 a、b 都正；则 c 与 b 异号 → c 负；再验 a 与 c 异号 ✓。或者 a、b 都负；则 c 正；验 a 与 c 异号 ✓。 答：a、b 同号；c 与它们 异号。（具体正负两组解都可） 3. 章节预告——2.2.5 有理数的乘方（承前启后·连乘的简写） 问：我们已经掌握了乘除混合运算，接下来若同一个数反复相乘许多次（比如 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 一共 10 个 2 相乘），有没有更简便的记法？ 请你尝试计算并思考： (1) (-2) × (-2) × (-2) = ______ (2) (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = ______ (3) 观察：当负数自乘偶数次时符号是 ______ ；当负数自乘奇数次时符号是 ______ 。（负负得正原理的推广） (1) (-2) × (-2) × (-2) = -8　（负号 3 个 → 负） (2) (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16　（负号 4 个 → 正） (3) 负数自乘偶数次 → 正；负数自乘奇数次 → 负。 🎯 章节预告：下一节 2.2.5 我们要学的乘方（幂运算）——就是把“几个相同的数相乘”这件事，用aⁿ 的形式简写。今天“数负号定符号”的思想将直接推广为“负数偶次幂为正、负数奇次幂为负”——是不是很自然？ 九、学习反思 请你静下心来，认真回顾这节课的学习，如实填写下表： 反思项 反思问题 自我评价（★☆） 记录/改进措施 三步法 变除为乘 → 数负号 → 算绝对值，你能独立完成吗？ 　　　 　　　 负号法则 “负偶正、负奇负”口诀你能脱口而出吗？ 　　　 　　　 三招简算 看到题目会主动想“约分/结合/分配”三招吗？ 　　　 　　　 带分数处理 在乘除运算中记得先化假分数吗？ 　　　 　　　 常见错误 本节最容易错的地方是什么？（0 因子、符号数错、忘化倒数、忘约分……） 　　　 　　　 下节链接 预告 2.2.5 乘方——“负偶次为正、负奇次为负”你是否已经猜到了？ 　　　 　　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4 有理数的乘除混合运算 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 掌握乘除混合运算的运算顺序——同级运算从左到右；理解并会用“变除为乘、统一运算”的化归策略，把乘除混合运算全部转化为几个有理数的连乘。 1. 熟练运用符号法则——通过数负因数的个数先定符号，再算绝对值；掌握“负偶正、负奇负”的一句口诀。 1. 能灵活运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算——学会“约分优先、凑整结合、分配律逆用”三招。 【过程与方法】 1. 经历“具体验证 → 化归转化 → 灵活运用”的完整过程，深刻体会化归思想——把乘除混合运算这个新问题，转化为连乘这个已经掌握的旧问题。 1. 在“约分/凑整/分配”三种简便思路的对比选择中，学会观察题目“相貌”决定策略的运算素养。 【情感态度与价值观】 1. 感受“先定符号，再算绝对值”两步走的清爽之美；体会统一比多样更强大——把“乘和除”统一为“乘”之后，运算律的威力就完全释放了。 二、学习重难点 重 点 ① 乘除混合运算的运算顺序与化归策略——同级从左到右，或统一变乘再自由结合；② 熟练运用符号法则先定符号再算绝对值。 难 点 ① 何时用运算律进行简便运算——看题目“相貌”选“约分/凑整/分配”三种思路；② 分数乘除混合的规范书写——一步一约分、一步一符号，不能跳步。 易错点 ① 忘先变除为乘就使用交换律——除号不能随便换位，必须先化成乘号；② 数负号时漏数或多数导致最终符号错； ③ 分配律逆用时公因数带符号错；④ 出现0 因子时直接判 0，但常被学生忽略而继续计算。 三、知识回顾与情境导入 回顾一：三大法则一览表（乘除混合的“装备清单”） 法 则 内 容 字母表示 乘法法则 同号得正、异号得负、绝对值相乘；任何数乘 0 都得 0。 除法法则 除以一个数（不等于 0）等于乘以这个数的倒数。 a÷b = a×（b≠0） 运算律 交换律：a×b = b×a； 结合律：(a×b)×c = a×(b×c)； 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c。 只对乘法有效；除法要先变乘才能用！ 回顾二：“乘除可换位”三组亲手验证（2.2.3 作业🅲(3) 结论） 上一节我们已经亲手验证过： 1. (-24) ÷ 6 × (-2) = (-24) × (-2) ÷ 6 = 8　　（乘除位置互换，结果不变） 1. 12 ÷ (-3) × 4 = 12 × 4 ÷ (-3) = -16　　（乘除位置互换，结果不变） 1. (-) ÷ × (-6) = (-) × (-6) ÷ = 9　　（乘除位置互换，结果不变） 💡 结论：在同级运算（乘除混合）中，只要先把除法变成乘以倒数，就可以像纯乘法一样自由使用交换律、结合律！这就是本节要掌握的核心策略——统一变乘、化归为一。 情境导入：股票 3 日变化（乘除混合的生活原型） 小明爷爷手里有一只股票，昨天开盘价为20 元。 第 1 日下跌 25%（即变成原价的）；第 2 日再下跌 20%（即变成前一日的 ）；第 3 日上涨到某价再除以 （收盘时的价格通过 ÷ 反算得出）…… 最终价格 = 20 × × ÷ 最终股价 = __________ 元　（请你算完后写在这里） 👉 这一节我们就来系统学习乘除混合运算，看看“变除为乘、统一简算”的威力！ 四、探究新知 探究一：运算顺序与化归策略——两条路，你选哪条？ 问题引入：计算 (-6) × ÷ (-) × 【路径一】按顺序算（从左到右） 步骤 运 算 说 明 ① (-6) × = -10 异号得负，6 与 3 约分。 ② -10 ÷ (-) = -10 × (-2) = 20 除以 - 等于乘以 -2；同号得正。 ③ 20 × = 15 同号得正，4 与 20 约分。 结果 15 三步走，稳但慢。 【路径二】变除为乘 + 交换律（更快！） 步骤 运 算 说 明 ① 原式 = (-6) × × (-2) × 把 ÷(-) 改写成 × (-2)（乘以倒数）。 ② 先定符号：负号 2 个 → 正 数负号：-6、-2，共 2 个负因数 → 结果为正。 ③ 绝对值：6 × × 2 × 提取全部绝对值，可任意排列约分。 ④ = 6 × 2 × × = 12 × = 15 先算整数，再合并分数。 结果 15 两步走，先定符号+算绝对值。 　 💡 归纳（乘除混合运算的三步法）： 第一步：把所有除法变成乘法——除以一个数改为乘以它的倒数。 第二步：数负因数的个数——先定结果的符号（负偶正、负奇负）。 第三步：算所有因数的绝对值的乘积——利用交换律、结合律优化，能约分先约分。 探究二：符号法则总应用——数负号，定符号 请填写下表，观察负因数个数与结果符号的关系： 算 式 负号个数 结果符号 运算结果 2 × 3 ÷ 6 ____ ____ ________ (-2) × 3 ÷ 6 ____ ____ ________ (-2) × (-3) ÷ 6 ____ ____ ________ (-2) × (-3) ÷ (-6) ____ ____ ________ (-2) × (-3) × (-4) ÷ (-12) ____ ____ ________ 　 🎯 一句话口诀： 负因数有几个？——偶正奇负！（0 个也算偶，所以全正的乘除结果为正。） 适用范围：这条口诀只对乘法有效——所以必须先把除法变成乘法，才能“数负号定符号”。 探究三：简便运算三种思路——观察题目“相貌”选策略 【思路 1】约分优先——分数多的时候看约分 典型题：(-) ÷ (-) × 【思路 2】结合律凑整——出现互为倒数、可凑整数时看结合 典型题：(-) × ÷ (-) × 10 【思路 3】分配律逆用——同一个公因数出现多次时看分配 典型题：(-) × 25 + (-) × 27 - (-) × 12 　 🔍 三招选择口诀： 看分数——多且乱？　　→　用【约分优先】，交叉约到最简。 看倒数——恰好出现？　→　用【结合律凑整】，先凑 1 再算。 看公因数——反复出现？→　用【分配律逆用】，一提了事。 探究四：特殊情形——含 0、含 1、含带分数的处理 【情形 A】乘除混合中出现 0 计算：(-8) × × 0 ÷ (-2) × 【情形 B】乘除混合中出现 1 或 -1 因数 1 可以直接省略；因数 -1 只需给结果多添一个负号。 1. 例如 (-) × (-1) × = + (-1 抵消了一个负号，负号总数由 2 变 1)……不，请仔细数：- 有 1 个负，-1 有 1 个负，共 2 个负 → 结果为正。 1. 正确计算：(-) × (-1) × = × 1 × = 。 【情形 C】乘除混合中出现带分数 铁律：带分数在乘除运算中必须先化成假分数再运算！ 例如 (-1) ÷ 2 × 五、例题精讲 例 1 基础乘除混合运算（3 步走标准示范） 题目：计算下列各式： 1. (-6) ÷ (-3) × (-2) 1. (-) × ÷ (-) 1. (-3) ÷ × (-) 1. 0 × (-7) ÷ (-3) × 例 2 简便运算——三招灵活切换 题目：用简便方法计算： 1. (-) × ÷ (-)　　 1. (-) ÷ × (-) ÷ (-)　　 1. (-24) × ( - + ) ÷ (-2)　　 例 3 实际应用——数学来自生活 题目：某市今冬遭遇寒潮，气温连续 5 天变化情况如下（单位：℃）：+2、-3、-4、-1、+1。 (1) 求 5 天平均气温变化； (2) 若周初气温为 8 ℃，求周末气温； (3) 若寒潮持续，气温按同样的“平均变化率”继续变化 3 天，则 3 天后气温是多少？ (1) 5 天平均气温变化 = ______________________________ (2) 周末气温 = ______________________________ (3) 3 天后气温 = ______________________________ 六、当堂检测 【一】概念填空（每空 4 分，共 16 分） 1. 乘除混合运算的三步法：第一步 __________、第二步 __________、第三步 __________。 ____________ 2. “负偶正、负奇负” 中“偶”和“奇”指的是 __________。 ____________ 3. 乘除混合运算中如果出现因数 0，且除数不为 0，则结果为 __________。 ____________ 4. 简便运算的三种思路：__________ / __________ / __________ 。 ____________ 【二】辨析选择（每题 6 分，共 12 分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. (-2) × 3 ÷ (-6) = -1 B. (-) ÷ × (-2) = 4 C. (-) × 4 ÷ (-2) = -1 D. 6 ÷ (-3) × (-) = -1 2. 要使算式 (-5) × ___ ÷ (-2) × ___ = -10 成立（两个空为整数）,下面填空合理的是（　　） A. 第一空 4，第二空 1 B. 第一空 -4，第二空 -1 C. 第一空 2，第二空 2 D. 第一空 -2，第二空 2 【三】计算题（每题 8 分，共 32 分）——先定符号，再算绝对值 1. (-15) ÷ 3 × (-) 　 　 2. (-) ÷ (-) × 　 　 3. -2 × ÷ (-1) 　 　 4. (-24) × ( - + ) ÷ (-3) 　 　 【四】生活应用（20 分） 题：某储户 6 月起连续 5 个月存入或取出金额如下（正为存入、负为取出）：+800、-500、+1200、-300、-600（单位：元）。 (1) 5 个月平均每月增减多少元？ (2) 若以此“平均月增减”速率再持续 4 个月，账户总变化是多少？ (3) 起始余额 5000 元，第 5 月末余额是多少？（列乘除混合式） 七、知识梳理·思维导图 ┌── ① 变除为乘 ─── 除以一个数 = 乘以它的倒数 │ ┌── 三步法 ───┼── ② 数负号定符号 ── 偶正奇负 │ │ │ └── ③ 算绝对值 ────── 交换/结合/约分 │ 2.2.4 │ ┌── ①【约分优先】── 分数多且乱时 乘除 ├── 三招简算 ─┼── ②【结合律凑整】── 互为倒数搭配时 混合 │ └── ③【分配律逆用】── 公因数反复出现时 │ │ ┌── 有 0 因子且除数≠0：结果为 0 └── 特殊情形 ─┼── 有 ±1 因子：正负省略/翻转 └── 带分数：先化假分数再算 　 🎯 一句话总结：　先变乘、再定号、后简算——三步走遍乘除混合！ 八、分层作业 🅰 基础巩固 一、判断（对写“√”，错写“×”，每题 3 分） (1). 乘除混合运算按同级从左到右的顺序进行，因此不能交换乘除因数的位置。 【　　】 (2). 算式 (-2) × 3 ÷ (-4) 中负号有 2 个，所以结果为正。 【　　】 (3). 0 除以任何数都得 0。 【　　】 (4). 只要出现因数 0，乘除混合的结果一定是 0。 【　　】 (5). 乘法运算律（交换、结合、分配）对乘除混合运算直接适用。 【　　】 (6). 带分数在乘除运算中可以直接用整数部分和分数部分分别参与运算。 【　　】 二、填空（每空 3 分，共 24 分） (1). (-8) × 3 ÷ (-2) = __________ (2). 18 ÷ (-6) × (-2) = __________ (3). 计算 (-3) × (-4) ÷ (-2) × (-5) = __________ (4). 算式 (-1) × 2 × (-3) × 4 ÷ (-5) 中负号个数为 ______ ，结果符号为 ______ 。 __________ 三、计算（每题 6 分，共 36 分）——请按“变乘 → 定号 → 算值”三步 (1). (-12) × ÷ (-4) 　 　 (2). (-) ÷ 　 　 (3). (-2) × ÷ (-1) 　 　 (4). 0.25 × (-8) ÷ (-) × (-4) 　 　 (5). (-9) ÷ × (-) ÷ 4 　 　 (6). 48 × ( - - ) ÷ (-1) 　 　 🅱 能力提升 1. 简算大比拼（先说思路，再计算，每题 8 分） (1) (-) × (-25) × 12 ÷ (-5)　　(2) (-19) × 20　　 2. 定义新运算（12 分） 定义新运算 “ ※ ”：对任意有理数 a、b，规定 a ※ b = a × (-2) ÷ b（b ≠ 0）。 (1) 计算 (-3) ※ 4；(2) 计算 [(-6) ※ 3] ※ (-4)；(3) 判断 a ※ b 是否等于 b ※ a，用一个例子说明。 🅲 拓展挑战 1. 特殊技巧综合（12 分） 计算 (1 - ) × (1 - ) × (1 - ) × … × (1 - ) 2. 逆向思维（10 分） 已知 a、b、c 是有理数，满足 a × b > 0，b ÷ c < 0，a × c < 0。判断 a、b、c 的正负号。 3. 章节预告——2.2.5 有理数的乘方（承前启后·连乘的简写） 问：我们已经掌握了乘除混合运算，接下来若同一个数反复相乘许多次（比如 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 一共 10 个 2 相乘），有没有更简便的记法？ 请你尝试计算并思考： (1) (-2) × (-2) × (-2) = ______ (2) (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = ______ (3) 观察：当负数自乘偶数次时符号是 ______ ；当负数自乘奇数次时符号是 ______ 。（负负得 正原理的推广） 九、学习反思 请你静下心来，认真回顾这节课的学习，如实填写下表： 反思项 反思问题 自我评价（★☆） 记录/改进措施 三步法 变除为乘 → 数负号 → 算绝对值，你能独立完成吗？ 　　　 　　　 负号法则 “负偶正、负奇负”口诀你能脱口而出吗？ 　　　 　　　 三招简算 看到题目会主动想“约分/结合/分配”三招吗？ 　　　 　　　 带分数处理 在乘除运算中记得先化假分数吗？ 　　　 　　　 常见错误 本节最容易错的地方是什么？（0 因子、符号数错、忘化倒数、忘约分……） 　　　 　　　 下节链接 预告 2.2.5 乘方——“负偶次为正、负奇次为负”你是否已经猜到了？ 　　　 　　　 学科网（北京）股份有限公司 $