精品解析：山西晋中市祁县2025—2026学年第二学期期末学业水平质量监测七年级数学

2025—2026学年第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 一个角的度数是，则它的余角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】互为余角的两个角的和为，这个角的度数为， 它的余角度数为． 2. 风筝起源于中国，古时先是木鸢、后称纸鸢．五代加装竹哨风吹有声，得名风筝，从军用慢慢变成民间游乐之物．下列风筝图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列计算错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的相关运算法则，包括完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法、多项式除以单项式，熟练掌握各运算法则即可判断正误． 【详解】选项A，，计算错误，故符合题意； 选项B，，计算正确，故不符合题意； 选项C，，计算正确，故不符合题意； 选项D，，计算正确，故不符合题意． 4. 如图，直线，点E在上，点F在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 年月日，华为发表“韬[]定律”，标志着半导体技术实现新突破，这是中国在全球半导体领域首次提出指导产业发展的新原则．预计到年基于该定律的高端芯片晶体管密度将达到纳米制程的同等水平．已知纳米米，故数据纳米用科学记数法可表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，掌握科学记数法的表示规则即可求解，较小数的科学记数法一般形式为，其中满足，为原数左起第一个非零数字前的个数． 【详解】∵纳米米米， ∴纳米米米． 6. 下列成语所描述的事件是不可能事件的是（ ）． A. 水中捞月 B. 水到渠成 C. 守株待兔 D. 日出东方 【答案】A 【解析】 【分析】根据不可能事件、必然事件、随机事件的定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：选项A，水中捞月：水中只有月亮的倒影，无法捞出月亮，这件事一定不会发生，属于不可能事件，故符合题意； 选项B，水到渠成：水流到之处自然形成沟渠，是一定会发生的，属于必然事件，故不符合题意； 选项C，守株待兔：兔子有可能再次撞到树桩，也有可能不会，属于随机事件，故不符合题意； 选项D，日出东方：太阳一定从东方升起，属于必然事件，故不符合题意． 7. 下表是一根高厘米的蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间之间的关系，下列说法错误的是（ ）． 燃烧时间/时 剩余的高度/厘米 A. 自变量是燃烧时间，因变量是剩余的高度 B. 在蜡烛的燃烧过程中，蜡烛的剩余高度随燃烧时间的增大而减小 C. 当燃烧时间为小时时，剩余的高度为厘米 D. 与之间的关系式为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查变量的概念和用表格表示变量间的关系，先根据表格数据得到变化规律，再逐一判断各选项的正误． 【详解】对于选项A，∵剩余高度随燃烧时间的变化而变化，∴自变量是燃烧时间，因变量是剩余高度，A说法正确，不符合题意. 对于选项B，由表格数据可知，燃烧时间增大时，剩余高度不断减小，因此剩余高度随燃烧时间的增大而减小，B说法正确，不符合题意. 对于选项C，由表格可得，每燃烧小时，蜡烛高度减少厘米，时，因此时，厘米，C说法正确，不符合题意. 对于选项D，由数据可知，蜡烛每小时燃烧厘米，原高厘米，因此与的关系式为，不是，D说法错误，符合题意． 8. 数学课上，老师让每位同学准备了一根能弯折的铁丝，折出一个，使得，如图所示．然后在上任取一点，在处进行弯折，那么当弯折后________时，可使．（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，利用平行线的性质求角的度数． 【详解】解：①如图所示， 当时，； ②如图所示， 当时，； 综上，为或． 9. 如图，在正方形中，点，分别为，边上的一点，四边形与四边形关于所在的直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由轴对称的性质得到，根据平角的定义和角的和差关系可得，据此可得答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴． 10. 如图，已知是的角平分线，点是上一点，且，连接，与交于点，连接．则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边对等角即可证明①正确；根据等腰三角形三线合一即可证明②正确；证明，即可证明③④正确． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴； 故②正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴；． 故③④正确； 综上可知，正确的是①②③④． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的点处折返一次回到点时，跑过的路程最短．理由是：________________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：， ，， 他从场地一边的点处出发，选择到对面的点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 13. 五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 14. 为了鼓励居民节约用电，晋中市采用居民阶梯电价以“双月”为周期计算每户家庭电费，如图所示．小红根据下表给出了每户家庭双月的电费（单位：元）与用电量（单位：度）之间的关系式：．已知小红家双月用电量为400度，则她家双月的电费一共是__________元． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数以及自变量取值范围，求出函数值． 【详解】解：根据题意得，当时，（元）． 15. 如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，根据，即可求解． 【详解】解∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算． （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式，按照整式的混合运算，对原式进行化简，将字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，已知，点是的中点，连接并延长，连接并延长，与的延长线交于点，且．试说明：． 【答案】证明：∵点是的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据中点的定义得到，根据平行线的性质得到，证明，得到，证明，可知． 【详解】略． 19. 某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． （1）先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． （2）若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． （3）若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【解析】 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【小问1详解】 解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． 【小问2详解】 设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． 【小问3详解】 摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 20. 甲货车装载货物后，准时从A地出发去B地．与此同时，乙货车从B地出发去A地进货，在A地停留了一会后，就以相同的速度沿原路返回了B地．已知两车与B地的距离（单位：）与行驶时间（单位：h）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________，乙货车在A地停留的时间是__________． （2）21：00时，乙货车与A地的距离是多少？ （3）甲货车经过几小时到达B地？ 【答案】（1）行驶时间t，两车与B地的距离s， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据变化过程结合图象进行解答即可； （2）根据速度乘以时间进行计算即可； （3）先求出甲货车的速度，再根据路程除以速度得到答案． 【小问1详解】 解：在这个变化过程中，自变量是行驶时间t，因变量是两车与B地的距离s，乙货车在A地停留的时间是； 【小问2详解】 解：由题意可得，（h） （km） 答：乙货车与A地的距离是． 【小问3详解】 解：（） （h） 答：甲货车经过小时到达B地． 21. 学习利用三角形全等测距离后，实践小组同学就“测量河两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B和C在同一条直线上，且； ②测得，； ③延长至点E，使得； ④测得米． （1）请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． （2）创新小组了解了他们的方案后，觉得有点麻烦，给出了新的方案及示意图，如下： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点O和点D，使得，点B，O，D在同一条直线上，且； ②…… 请帮他们补全方案及示意图． 【答案】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即 米， 米． （2）方案：在点B所在河岸同侧取点C，使得A，O，C在同一条直线上，且，测出的距离． 示意图： 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和求出，可知，证明，得到，进而可知； （2）设计方案构造全等三角形即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 22. 阅读与思考 下面是小茗同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期六 晴 尺规作的平分线 数学问题：已知，作出的平分线． 解决问题： 通过小组交流，得到了如下方案： 方案一：如图1，在和上分别截取，，使，再分别以点D和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，最后作射线．射线即为的平分线． 方案二：如图2，在上取一点，在的右侧过点作，再在上截取，最后作射线．射线即为的平分线． 收获与反思： 利用全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作的平分线． 任务： （1）方案一中判断三角形全等的依据是__________________________________． （2）请帮助小茗，在图2中根据方案二的做法用尺规完成作图，并说明理由． （3）请根据“等腰三角形三线合一”的性质在图3中用尺规作出的平分线． 【答案】（1） （2） 由作图可得 ， ， ， ， ， ∴射线即为的平分线． （3） 射线即为的平分线 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图得出三条对应边相等，可得三角形全等的依据； （2）根据题意作出图形，根据平行线的性质以及等边对等角得出相等的角，即可得出结论； （3）在的两边上截取相等的线段，然后再作线段的垂直平分线即可，根据等腰三角形的三线合一可得角平分线． 【小问1详解】 解：根据尺规作图可得， 又∵， ∴根据可得，； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：图略， 说明：在的两边上截取相等的线段，然后再作线段的垂直平分线即可． 23. 综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． （1）特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． （2）拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】（1）； （2）①解：，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ； ②或． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； （2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； ②分别讨论当点M在线段上移动时，当点M在线段的延长线上移动时，当点M在线段的反向延长线上移动时，三种情况即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略； ②解：当点M在线段上移动时，，证明见小问①； 当点M在线段的延长线上时，如图1，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在射线的反向延长线上时，如图2，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末学业水平质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题（30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 一个角的度数是，则它的余角的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 风筝起源于中国，古时先是木鸢、后称纸鸢．五代加装竹哨风吹有声，得名风筝，从军用慢慢变成民间游乐之物．下列风筝图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，直线，点E在上，点F在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 年月日，华为发表“韬[]定律”，标志着半导体技术实现新突破，这是中国在全球半导体领域首次提出指导产业发展的新原则．预计到年基于该定律的高端芯片晶体管密度将达到纳米制程的同等水平．已知纳米米，故数据纳米用科学记数法可表示为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下列成语所描述的事件是不可能事件的是（ ）． A. 水中捞月 B. 水到渠成 C. 守株待兔 D. 日出东方 7. 下表是一根高厘米的蜡烛点燃后剩余的高度与燃烧时间之间的关系，下列说法错误的是（ ）． 燃烧时间/时 剩余的高度/厘米 A. 自变量是燃烧时间，因变量是剩余的高度 B. 在蜡烛的燃烧过程中，蜡烛的剩余高度随燃烧时间的增大而减小 C. 当燃烧时间为小时时，剩余的高度为厘米 D. 与之间的关系式为 8. 数学课上，老师让每位同学准备了一根能弯折的铁丝，折出一个，使得，如图所示．然后在上任取一点，在处进行弯折，那么当弯折后________时，可使．（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，在正方形中，点，分别为，边上的一点，四边形与四边形关于所在的直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是的角平分线，点是上一点，且，连接，与交于点，连接．则下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的点处折返一次回到点时，跑过的路程最短．理由是：________________． 13. 五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 14. 为了鼓励居民节约用电，晋中市采用居民阶梯电价以“双月”为周期计算每户家庭电费，如图所示．小红根据下表给出了每户家庭双月的电费（单位：元）与用电量（单位：度）之间的关系式：．已知小红家双月用电量为400度，则她家双月的电费一共是__________元． 15. 如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算． （1） （2） （3） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知，点是的中点，连接并延长，连接并延长，与的延长线交于点，且．试说明：． 19. 某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． （1）先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． （2）若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． （3）若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 20. 甲货车装载货物后，准时从A地出发去B地．与此同时，乙货车从B地出发去A地进货，在A地停留了一会后，就以相同的速度沿原路返回了B地．已知两车与B地的距离（单位：）与行驶时间（单位：h）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________，乙货车在A地停留的时间是__________． （2）21：00时，乙货车与A地的距离是多少？ （3）甲货车经过几小时到达B地？ 21. 学习利用三角形全等测距离后，实践小组同学就“测量河两岸A、B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案： 课题 测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B和C在同一条直线上，且； ②测得，； ③延长至点E，使得； ④测得米． （1）请你根据以上方案求出A、B两点间的距离． （2）创新小组了解了他们的方案后，觉得有点麻烦，给出了新的方案及示意图，如下： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点O和点D，使得，点B，O，D在同一条直线上，且； ②…… 请帮他们补全方案及示意图． 22. 阅读与思考 下面是小茗同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期六 晴 尺规作的平分线 数学问题：已知，作出的平分线． 解决问题： 通过小组交流，得到了如下方案： 方案一：如图1，在和上分别截取，，使，再分别以点D和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，最后作射线．射线即为的平分线． 方案二：如图2，在上取一点，在的右侧过点作，再在上截取，最后作射线．射线即为的平分线． 收获与反思： 利用全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作的平分线． 任务： （1）方案一中判断三角形全等的依据是__________________________________． （2）请帮助小茗，在图2中根据方案二的做法用尺规完成作图，并说明理由． （3）请根据“等腰三角形三线合一”的性质在图3中用尺规作出的平分线． 23. 综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． （1）特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． （2）拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $