5.3 实际问题与一元一次方程 知识归纳与题型突破 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用题，以十大题型为框架，分层设计基础理解、综合应用、拓展提升三级梯度，构建从单一知识点到复杂情境的知识巩固路径，培养模型意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一等量关系（如和差倍分、数字问题）|以选择/填空题为主，直接应用公式，强化符号意识| |综合应用|多步骤问题（如行程追及、工程合作）|解答题逐步增加条件，提升推理能力与运算能力| |拓展提升|复杂情境（如分段缴费、配套问题）|结合生活实际，需建立多量关系模型，发展应用意识|

5.3实际问题与一元一次方程知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版七年级上册（十题型） 知识归纳 一、列一元一次方程解应用题的一般步骤： 审题→找出相等关系→列出一元一次方程→解一元一次方程→写出答案． 思路：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下 关键：寻找等量关系是关键，注意两点：（1）设适当的未知数；（2）题中各个量的单位． 处理问题常用方法： （1）读题分析法: 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. （2）画图分析法: 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础. 注意：本章内容是代数学的基础核心。能做到熟练解方程、列方程。列方程是难点，需要学生综合能力。列方程解应用题需要对下面常用公式熟练掌握，在理解的基础上，灵活对公式进行变形。 二、具体问题处理 1.解决工程问题的基本思路 （1）三个基本量：工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间. ①工作量=工作效率×工作时间。 ②工作时间=， ③工作效率=。 （2）相等关系：工作总量=各部分工作量之和=1. 1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； 2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和. （3）通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1. 2.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。关系式为： （1）路程=速度×时间；（2）速度=；（3）时间=。 注意：下列行程问题的等量关系： （1）行程问题：路程=速度×时间． （2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （3）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （4）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （5）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 3．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 4.调配问题：调配与比例问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。 生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路： (1)利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； (2)利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 5．数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 数位、数位上的数字、数值三者间的关系： 如两位数ab=10a+b； 三位数abc=100a+10b+c。 在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。 题型突破 题型一：和、差、倍、分问题 1．某校七年级1班有学生a人，其中女生人数比男生人数的多3人，则女生的人数为（　　） A． B． C． D． 2．长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，设黄河的长度为千米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中正确的是（　　） A．5（x+420）＝7450 B．5（x﹣420）＝7450 C．5x+420＝7450 D．5x﹣420＝7450 4.端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（　　） A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70 5．七年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共389人，到毛泽东纪念馆的人数是雷锋纪念馆人数的2倍多56人．到雷锋纪念馆的人数为 人． 题型二：流水问题 1．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3h．已知水流的速度是3km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，根据题意列方程（　　） A．2（3+x）＝3（3﹣x） B．3（3+x）＝2（3﹣x） C．2（x+3）＝3（x﹣3） D．3（x+3）＝2（x﹣3） 2.船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为千米，则下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 3.某轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C．＝5 D．＝5 4.一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h．则甲，乙两港之间的距离为（　　） A． B．15km C．km D．20km 5.一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 题型三：行程问题 1.我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　） A．120+10x＝200x B．120x+200x＝120×10 C．200x＝120x+200×10 D．200x＝120x+120×10 2.A，B两站间的距离为335km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55km，慢车行驶1h后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶85km，设快车行驶了x h后与慢车相遇，可列方程为（　　） A．55x+85x＝335 B．55（x﹣1）+85x＝335 C．55x+85（x﹣1）＝335 D．55（x+1）+85x＝335 3．A、B两地相距1000km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）次． A．5 B．4 C．3 D．2 4．一列火车匀速行驶，经过一条长600米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要40秒的时间；在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是15秒，设该火车的长度为米，根据题意可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 5.甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 题型四：工程问题 1.某项工程，甲单独做30天完成，乙单独做40天完成，若乙先单独做15天，剩下的由甲完成，问甲、乙一共用几天完成工程？若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的是（　　） A． B． C． D． 2.某工程甲独做需8天完成，乙独做需10天完成．现在由甲先做3天，然后甲和乙合作共同完成．若设完成此项工程共需x天，则下列方程正确的是（　　） A．+ B．+ C．+ D．+ 3.整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4.某车间原计划用13小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产了60件，设原计划每小时生产x个零件，那么下列方程正确的是（　　） A．13x＝12（x+10）+60 B．12（x+10）＝13x+60 C． D． 5.某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？ （2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元．则甲、乙车每天的租金分别为多少元？ 题型五：分配问题 1．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（    ） A． B． C． D． 3．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送6件，则少4件包裹；若每个快递员派送5件，则剩下3件包裹未送，设安排x个快递员派送，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；则该校运动员人数为 人． 5．学校号召七年级学生秋季植树，如果每人种2棵，则剩下50棵树苗未种；如果每人种3棵，则缺150棵树苗，则参与植树的七年级学生有　 人． 题型六：配套问题 1.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　） A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x 2.某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（　　） A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x） C． D． 3.某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母．依题意列方程应为（　　） A．12x＝18（28﹣x） B．2×12x＝18（28﹣x） C．12×18x＝18（28﹣x） D．12x＝2×18（28﹣x） 4.某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． （1）求调入多少名工人； （2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 5.某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． （1）前3天应先安排多少名工人生产？ （2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 题型七：利润问题 1.某品牌上衣在实体店按成本价提高40%销售，在直播间又以实体店售价的8折销售，结果在直播间每卖出1件该上衣仍可获利36元．若该上衣的成本价为x元，由题意可列方程（　　） A．（1+40%•x）•0.8＝x+36 B．（1+40%•x）•0.8＝x﹣36 C．（1+40%）x•0.8＝x+36 D．（1+40%）x•0.8＝x﹣36 2.今年双11狂欢节，小区超市的部分商品也搞了促销活动，一袋标价130元的大米，按照九折销售仍可获利10%元，设这袋大米的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（　　） A．130×0.9﹣x＝0.1x B．（130﹣x）×0.9﹣x＝0.1x C．x﹣＝0.1x D．130×0.9﹣x＝130×0.1 3.淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的5%）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 4．元旦期间某商场进行促销活动，把一件进价160元的衬衫，按照八折销售希望仍可获利20%，设这件衬衫的标价为x元，根据题意列方程，正确的是（　　） A．0.8x﹣160＝160×20% B．160×0.8﹣x＝20%×160 C．0.8x＝x+20%x D．0.8x＝x+20%×160 5．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问： （1）每件服装的标价是多少元？ （2）每件服装的成本是多少元？ （3）为保证不亏本，最多能打几折？ 题型八：数字问题 1．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程（　　） A．（9﹣x）x﹣[10x+（9﹣x）]＝45 B．[10（9﹣x）+x]﹣[10x+（9﹣x）]＝45 C．[10（9﹣x）+x]＝[10x+（9﹣x）]﹣45 D．（9﹣x）x﹣x（9﹣x）＝45 2．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是　 　． 题型九：比赛积分问题 1．某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（　　） A．2（9﹣x）+x＝15 B．2（9+x）+x＝15 C．2x+（9﹣x）＝15 D．2x+（9+x）＝15 2.足球比赛的计分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队共打了14场比赛，负了5场，得19分，设该队共平x场，则得方程（　　） A．3x+9﹣x＝19 B．2（9﹣x）+x＝19 C．x（9﹣x）＝19 D．3（9﹣x）+x＝19 3.某学校开展校园篮球比赛活动，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，七年级（3）班共比赛8场，且保持不败战绩，得了22分．若设七年级（3）班胜了x场，可列方程为（　　） A．3x+8﹣x＝22 B．3（8﹣x）+x＝22 C．3x+8+x＝22 D．3（8+x）+x＝22 4.某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（　　）场． A．1 B．2 C．3 D．5 5．篮球赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜1场得2分，负1场得1分．小组积分赛中，每个队伍要进行12场比赛． （1）A队胜了8场，那么他们负了 　 　场，积分是 　 　分． （2）B队总积分为21分，那么B队胜负场数分别是多少？ 题型十：分段缴费问题 1.水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.5元/立方米收费，超过20立方米的部分按2.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费40元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，下列方程正确的是（　　） A．1.5x＝40 B．1.5×20+2.5（x﹣20）＝40 C．2.5x＝40 D．2.5×20+1.5（x﹣20）＝40 2．为了提倡节约用水，采用“阶梯水价”收费办法：每户用水不超过5方，每方水费x元，超过5方，超过部分每方加收2元，小张家今年3月份用水11方共交水费56元，根据题意列出关于x的方程，正确的是（　　） A．5x+6（x﹣2）＝56 B．5x+6（x+2）＝56 C．11（x+2）＝56 D．11（x+2）﹣6×2＝56 3．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（　　） A．2×10﹣3.5×（x﹣10）＝34 B．3.5×10+2×（x﹣10）＝34 C．2×10+3.5×（10﹣x）＝34 D．2×10+3.5×（x﹣10）＝34 4.某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（　　） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 5.为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． （1）林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ （2）马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3实际问题与一元一次方程知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版七年级上册（十题型） 知识归纳 一、列一元一次方程解应用题的一般步骤： 审题→找出相等关系→列出一元一次方程→解一元一次方程→写出答案． 思路：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下 关键：寻找等量关系是关键，注意两点：（1）设适当的未知数；（2）题中各个量的单位． 处理问题常用方法： （1）读题分析法: 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. （2）画图分析法: 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础. 注意：本章内容是代数学的基础核心。能做到熟练解方程、列方程。列方程是难点，需要学生综合能力。列方程解应用题需要对下面常用公式熟练掌握，在理解的基础上，灵活对公式进行变形。 二、具体问题处理 1.解决工程问题的基本思路 （1）三个基本量：工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间. ①工作量=工作效率×工作时间。 ②工作时间=， ③工作效率=。 （2）相等关系：工作总量=各部分工作量之和=1. 1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； 2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和. （3）通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1. 2.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。关系式为： （1）路程=速度×时间；（2）速度=；（3）时间=。 注意：下列行程问题的等量关系： （1）行程问题：路程=速度×时间． （2）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程． （3）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程． （4）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （5）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． 3．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 4.调配问题：调配与比例问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。 生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路： (1)利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； (2)利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 5．数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 数位、数位上的数字、数值三者间的关系： 如两位数ab=10a+b； 三位数abc=100a+10b+c。 在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。 题型突破 题型一：和、差、倍、分问题 1．某校七年级1班有学生a人，其中女生人数比男生人数的多3人，则女生的人数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2．长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，设黄河的长度为千米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中正确的是（　　） A．5（x+420）＝7450 B．5（x﹣420）＝7450 C．5x+420＝7450 D．5x﹣420＝7450 【答案】C． 4.端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（　　） A．10x+5（x﹣1）＝70 B．10x+5（x+1）＝70 C．10（x﹣1）+5x＝70 D．10（x+1）+5x＝70 【答案】A 5．七年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共389人，到毛泽东纪念馆的人数是雷锋纪念馆人数的2倍多56人．到雷锋纪念馆的人数为 人． 【答案】111． 题型二：流水问题 1．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3h．已知水流的速度是3km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，根据题意列方程（　　） A．2（3+x）＝3（3﹣x） B．3（3+x）＝2（3﹣x） C．2（x+3）＝3（x﹣3） D．3（x+3）＝2（x﹣3） 【答案】C． 2.船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为千米，则下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3.某轮船在静水中的速度为20km/h，水流速度为4km/h，该船从甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头，共用时5h（不计停留时间），设甲、乙两码头之间的距离为x km，则可列方程为（　　） A．20x+4x＝5 B．（20+4）x+（20﹣4）x＝5 C．＝5 D．＝5 【答案】D． 4.一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h．则甲，乙两港之间的距离为（　　） A． B．15km C．km D．20km 【答案】D． 5.一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求： （1）船在静水中的平均速度； （2）甲、乙两地之间的距离． 【答案】解：（1）设船在静水中的速度为x km/h，依题意得： 2（x+3）＝2.5（x﹣3）， 解得x＝27， ∴船在静水中的平均速度为27km/h， 答：船在静水中的平均速度为27km/h； （2）依题意，船在静水中的平均速度为27km/h， ∴甲乙两码头之间的距离为2×（27+3）＝60（km）， ∴甲乙两码头之间的距离60km． 答：甲乙两码头之间的距离60km． 题型三：行程问题 1.我国古代有很多经典的数学题，其中有一道题目是：良马日行二百里，驽马日行一百二十里，驽马先行十日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里，慢马先走10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　） A．120+10x＝200x B．120x+200x＝120×10 C．200x＝120x+200×10 D．200x＝120x+120×10 【答案】D． 2.A，B两站间的距离为335km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55km，慢车行驶1h后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶85km，设快车行驶了x h后与慢车相遇，可列方程为（　　） A．55x+85x＝335 B．55（x﹣1）+85x＝335 C．55x+85（x﹣1）＝335 D．55（x+1）+85x＝335 【答案】D． 3．A、B两地相距1000km，一列快车以200km/h的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以75km/h的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距200km的次数是（　　）次． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A． 4．一列火车匀速行驶，经过一条长600米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要40秒的时间；在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是15秒，设该火车的长度为米，根据题意可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 5.甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． （1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ （2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】解：（1）设乙车的速度是x千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时， 根据题意得：3×2x+（3﹣2）x＝210， 解得：x＝30， ∴2x＝2×30＝60（千米/小时）． 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时； （2）设经过y小时两车相距30千米， 根据题意得：60y+30y＝210﹣30或60y+30y＝210+30， 解得：m＝2或m＝． 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 题型四：工程问题 1.某项工程，甲单独做30天完成，乙单独做40天完成，若乙先单独做15天，剩下的由甲完成，问甲、乙一共用几天完成工程？若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.某工程甲独做需8天完成，乙独做需10天完成．现在由甲先做3天，然后甲和乙合作共同完成．若设完成此项工程共需x天，则下列方程正确的是（　　） A．+ B．+ C．+ D．+ 【答案】C． 3.整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 4.某车间原计划用13小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产了60件，设原计划每小时生产x个零件，那么下列方程正确的是（　　） A．13x＝12（x+10）+60 B．12（x+10）＝13x+60 C． D． 【答案】B． 5.某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？ （2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元．则甲、乙车每天的租金分别为多少元？ 【答案】解：（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾， 依题意，得：+＝1， 解得：x＝8． 答：甲、乙两车合作还需要8天运完垃圾． （2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元， 依题意，得：（8+3）（y+100）+8y＝3950， 解得：y＝150， ∴y+100＝250． 答：甲车每天的租金为250元，乙车每天的租金为150元． 题型五：分配问题 1．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 【答案】A． 2．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送6件，则少4件包裹；若每个快递员派送5件，则剩下3件包裹未送，设安排x个快递员派送，则下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4．某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；则该校运动员人数为 人． 【答案】59 5．学校号召七年级学生秋季植树，如果每人种2棵，则剩下50棵树苗未种；如果每人种3棵，则缺150棵树苗，则参与植树的七年级学生有　 人． 【答案】200． 题型六：配套问题 1.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的 是（　　） A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x 【答案】C 2.某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排x天生产桌腿，可列方程（　　） A．4×720x＝120（10﹣x） B．720x＝120（10﹣x） C． D． 【答案】D． 3.某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母．依题意列方程应为（　　） A．12x＝18（28﹣x） B．2×12x＝18（28﹣x） C．12×18x＝18（28﹣x） D．12x＝2×18（28﹣x） 【答案】B． 4.某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． （1）求调入多少名工人； （2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】解：（1）设调入x名工人， 根据题意得：16+x＝3x+4， 解得x＝6， ∴调入6名工人； （2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名）， 设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴240y×2＝400（22﹣y）， 解得y＝10， ∴22﹣y＝22﹣10＝12， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 5.某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成．为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务．假设每名工人的工作效率相同． （1）前3天应先安排多少名工人生产？ （2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？ 【答案】解：（1）设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a， 根据题意得：150a＝3ax+（x+6）a×5， 即3x+5（x+6）＝150， 解得：x＝15． 答：前3天应先安排15名工人生产； （2）设应安排y名工人生产A型配件，则安排（15+6﹣y）名工人生产B型配件， 根据题意得：＝， 解得：y＝13， ∴15+6﹣y＝15+6﹣13＝8（人）． 答：应安排13名工人生产A型配件，8名工人生产B型配件． 题型七：利润问题 1.某品牌上衣在实体店按成本价提高40%销售，在直播间又以实体店售价的8折销售，结果在直播间每卖出1件该上衣仍可获利36元．若该上衣的成本价为x元，由题意可列方程（　　） A．（1+40%•x）•0.8＝x+36 B．（1+40%•x）•0.8＝x﹣36 C．（1+40%）x•0.8＝x+36 D．（1+40%）x•0.8＝x﹣36 【答案】C． 2.今年双11狂欢节，小区超市的部分商品也搞了促销活动，一袋标价130元的大米，按照九折销售仍可获利10%元，设这袋大米的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（　　） A．130×0.9﹣x＝0.1x B．（130﹣x）×0.9﹣x＝0.1x C．x﹣＝0.1x D．130×0.9﹣x＝130×0.1 【答案】A． 3.淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的5%）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 【答案】B． 4．元旦期间某商场进行促销活动，把一件进价160元的衬衫，按照八折销售希望仍可获利20%，设这件衬衫的标价为x元，根据题意列方程，正确的是（　　） A．0.8x﹣160＝160×20% B．160×0.8﹣x＝20%×160 C．0.8x＝x+20%x D．0.8x＝x+20%×160 【答案】A． 5．某商场因换季，将一品牌服装打折销售，每件服装如果按标价的六折出售将亏10元，而按标价的七五折出售将赚50元，问： （1）每件服装的标价是多少元？ （2）每件服装的成本是多少元？ （3）为保证不亏本，最多能打几折？ 【答案】解：（1）设每件服装的标价是x元， 由题意得：60%x+10＝75%x﹣50 解得：x＝400 所以，每件衣服的标价为400元． （2）每件服装的成本是：60%×400+10＝250（元）． （3）为保证不亏本，设最多能打y折，由题意得： 400×＝250 解得：y＝6.25 所以，为了保证不亏本，最多可以打6.25折． 答：每件服装的标价为400元，每件衣服的成本价是250元，为保证不亏本，最多能打6.25折． 题型八：数字问题 1．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程（　　） A．（9﹣x）x﹣[10x+（9﹣x）]＝45 B．[10（9﹣x）+x]﹣[10x+（9﹣x）]＝45 C．[10（9﹣x）+x]＝[10x+（9﹣x）]﹣45 D．（9﹣x）x﹣x（9﹣x）＝45 【答案】B． 2．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是　 　． 【答案】45． 题型九：比赛积分问题 1．某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（　　） A．2（9﹣x）+x＝15 B．2（9+x）+x＝15 C．2x+（9﹣x）＝15 D．2x+（9+x）＝15 【答案】C． 2.足球比赛的计分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一个队共打了14场比赛，负了5场，得19分，设该队共平x场，则得方程（　　） A．3x+9﹣x＝19 B．2（9﹣x）+x＝19 C．x（9﹣x）＝19 D．3（9﹣x）+x＝19 【答案】D． 3.某学校开展校园篮球比赛活动，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，七年级（3）班共比赛8场，且保持不败战绩，得了22分．若设七年级（3）班胜了x场，可列方程为（　　） A．3x+8﹣x＝22 B．3（8﹣x）+x＝22 C．3x+8+x＝22 D．3（8+x）+x＝22 【答案】A． 4.某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了（　　）场． A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D． 5．篮球赛中，每场比赛都要分出胜负．每队胜1场得2分，负1场得1分．小组积分赛中，每个队伍要进行12场比赛． （1）A队胜了8场，那么他们负了 　 　场，积分是 　 　分． （2）B队总积分为21分，那么B队胜负场数分别是多少？ 【答案】解：（1）∵每个队伍要进行12场比赛，A队胜了4场， ∴12﹣8＝4（场）， ∴2×8+1×4＝20（分）， ∴A队负4场，积分是20分， 故答案为：4，20． （2）设B队胜x场，则B队负（12﹣x）场， 根据题意得2x+（12﹣x）＝21， 解得x＝9， ∴12﹣x＝3， 答：B队胜9场，负3场． 题型十：分段缴费问题 1.水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.5元/立方米收费，超过20立方米的部分按2.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费40元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，下列方程正确的是（　　） A．1.5x＝40 B．1.5×20+2.5（x﹣20）＝40 C．2.5x＝40 D．2.5×20+1.5（x﹣20）＝40 【答案】B． 2．为了提倡节约用水，采用“阶梯水价”收费办法：每户用水不超过5方，每方水费x元，超过5方，超过部分每方加收2元，小张家今年3月份用水11方共交水费56元，根据题意列出关于x的方程，正确的是（　　） A．5x+6（x﹣2）＝56 B．5x+6（x+2）＝56 C．11（x+2）＝56 D．11（x+2）﹣6×2＝56 【答案】B． 3．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（　　） A．2×10﹣3.5×（x﹣10）＝34 B．3.5×10+2×（x﹣10）＝34 C．2×10+3.5×（10﹣x）＝34 D．2×10+3.5×（x﹣10）＝34 【答案】D． 4.某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（　　） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【答案】C． 5.为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． （1）林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ （2）马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【答案】解：（1）12×3.2＝38.4（元）， （15﹣12）×4.6＝3×4.6＝13.8（元）， 38.4+13.8＝52.2（元）， 答：林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费． （2）设马老师家5月份一共用水x吨， 用水12吨时，水费为12×3.2＝38.4（元）， ∵84.4元＞38.4元， ∴马老师家5月份5月份用水量超过了12吨， 根据题意得38.4+4.6（x﹣12）＝84.4， 解得x＝22， 答：马老师家5月份一共用水22吨． 学科网（北京）股份有限公司 $