专题5.3一元一次方程应用题大全(12大经典题型+期末压轴真题汇集)2025-2026学年人教版七年级数学上册

专题5.3一元一次方程应用题大全 【82 道经典题（含拓展闯关题）】 常考题型 精讲精炼 1.一元一次方程应用:配套问题 2.一元一次方程应用:工程问题 3.一元一次方程应用:销售问题 4.一元一次方程应用:比赛积分问题 5.一元一次方程应用:方案选择问题 6.一元一次方程应用:数字问题 7.一元一次方程应用:几何问题 8.一元一次方程应用:动点问题 9.一元一次方程应用:和差倍分问题 10.一元一次方程应用:水电费问题 11.一元一次方程应用:行程问题 12一元一次方程应用:其他问题 分层 专练 基础 巩固 单选题(9) 填空题(6) 解答题(8) 能力 提升 单选题(8) 填空题(7) 解答题(8) · 审：读懂题意，找已知量、未知量和数量关系 · 设：设未知数（直接 / 间接，带单位） · 列：根据等量关系列方程 · 解：求解方程 · 验：检验解是否符合实际 【题型01.一元一次方程应用:配套问题】 1.基础等量关系（核心公式） 若配套方案为：m 个 A 物品 + n 个 B 物品 = 1 套 则恰好配套时，满足公式： + 变形公式(更常用，便于列方程）： nA物品的数量=m物品的数量 2.易错点提醒 不(1)不要混淆 “配套比” 的前后项，比如 “1 个甲配 2 个乙”，不能写成 甲数量乙数量，正确的是 甲数量乙数量 若(2)题目中存在 “剩余” 或 “不足”，则不是恰好配套，等量关系需调整为不等式。 【典例】近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【跟踪专练1】在手工制作课上，老师组织七年级班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒七年级班共有学生人，其中男生人数比女生人数少人，并且每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个． (1)七年级班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【跟踪专练2】某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天有多少人生产A型部件？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【题型02.一元一次方程应用:工程问题】 *基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 *常用思路： 若工作总量未给出，通常设为单位 1。 合作效率 = 各部分效率之和。 *等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量（通常为 1）。 【典例】汉服是传承四千多年的传统民族服装，以清雅平易为主，讲究天人合一．服装厂要生产一批汉服，已完成的与未完成的套数比是．如果再生产600套，已完成的比未完成的少，这批汉服有多少套？ 【跟踪专练1】现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【跟踪专练2】在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【题型03.一元一次方程应用:销售问题】 核心公式（精准推导，双向可逆） 1. 基础等量关系 利润 = 售价 - 成本价（成本价又称进价；售价＞成本价为盈利，售价＜成本价为亏损） 利润率 = ×100%（利润率为正表示盈利，为负表示亏损） 2. 变形公式 售价 = 成本价 + 利润 售价 = 成本价 ×(1+利润率) 成本价 = （利润率 ≠0） 折扣价 = 标价 × 折扣率（如 8 折即标价×0.8，9.5 折即标价×0.95） 【典例】某商品的进价是100元，原定售价为180元，由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保持利润率为，则商店应打几折？ 【跟踪专练1】“榆宝宝”和“林贝贝”体现冰雪热情与陕北风情，作为陕西省第一届冬季运动会的形象大使，它们是冰雪世界中最具地方特色的文化使者与冬运精神的象征．某工厂应官方要求生产“榆宝宝”、“林贝贝”的挂件和玩偶这两种产品，每个玩偶的成本价比每个挂件的成本价贵25元．若要生产800个挂件和200个玩偶，共需要20000元成本． (1)求每个挂件和每个玩偶的成本价分别是多少元？ (2)若每个玩偶的出售标价是75元．为了促销，现对每个玩偶在标价基础上进行打折出售．若按标价打折售出18个玩偶所获得的利润，与按64元/个的售价出售15个玩偶所获得的利润相同．求的值． 【跟踪专练2】克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【题型04.一元一次方程应用:比赛积分问题】 一.核心公式与关系 *总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分（无平场则省略） *单场积分关系：胜场得分＞平场得分≥0，负场得分通常为 0（特殊题型会注明负场扣分） *场次关系：总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数 二、易错点警示 1.混淆胜、负、平的单场积分，漏看题目中 “负场扣分” 等特殊规则； 2.计算总场次时重复或遗漏，导致列方程时数量关系错误； 3.忽略解的实际意义，未检验场次是否为非负整数。. 【典例】在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？ 分析：设该队共胜了x场，根据题意，用含x的式子填空： (1)该队平了______场； (2)按比赛规则，该队胜场共得______分； (3)按比赛规则，该队平场共得______分； (4)依题意，可列出方程：____________，该队共胜了______场． 【跟踪专练1】在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【跟踪专练2】红星中学七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答。下表记录了5个参赛者的得分情况。 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者F得76分，他答对了几道题？ (4)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【题型05.一元一次方程应用:方案选择问题】 核心等量关系：当不同方案的核心指标（成本、收益、用量等）数值相等时，即为方案优劣判定的临界点。通过建立方程求解该临界值，是比较方案性价比的关键依据。 常用公式：结合实际应用场景选取对应公式，典型公式参考如下 购物总价 = 单价 × 数量 + 固定费用 收费总额 = 基础费用 + 单价 × 计费用量 工程总费用 = 人均费用 × 参与人数 + 材料成本 【典例】英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【跟踪专练1】某制造厂采购厂服，服装公司报价每套150元．当制造厂订购数量超过100套时，服装公司给出两种优惠方案： 方案一：制造厂先交1200元设计费后，按每套120元购买． 方案二：不收设计费，每套在报价150元的基础上打八五折购买． 设订购的厂服为套． (1)选用方案一需花费多少钱？选用方案二需花费多少钱？ (2)请你帮助该制造厂采购员计算下，如何选择购买方案更省钱？ 【跟踪专练2】周末，数学老师带同学们去某市博物馆参观，在坐车途中，数学老师和大家玩游戏．数学老师说：“我们刚刚学习完一元一次方程，现在我们就用一元一次方程来解决一些数学应用题吧．” 【基础闯关】 （1）小明和爸爸下围棋，一共下了8局，规定：爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，每盘都分出了胜负，比赛结束后，爸爸说：“我的得分比你的得分多2分．”请你帮小明判断爸爸的说法是否正确，并给出理由． 【能力闯关】 （2）我们将要到达的博物馆内有售文创用品，博物馆有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费（元）． 假如小明消费了元． ①若使用代金券，实际花费______元（用含x的代数式表示）． ②选择哪种方案更省钱？ 【拓展闯关】 （3）在参观完博物馆后，所有人员乘客车返回相距的酒店，客车的行驶速度为，同时，酒店工作人员小李开着小轿车以的速度从酒店出发，前去迎接，数学老师在两车相遇后换乘小李的小轿车，和小李立刻返回酒店先为大家办理入住手续（车辆掉头、数学老师下车和上车的时间忽略不计），在两车行驶过程中，求客车行驶多长时间时两车相距． 【题型06.一元一次方程应用:数字问题】 1.两位数基本公式:两位数 = 十位数字 × 10 + 个位数字 2.三位数基本公式:三位数 = 百位数字 × 100 + 十位数字 × 10 + 个位数字3.数字位置互换类等量关系新数 - 原数 = 差值（或原数 - 新数 = 差值） 4.数字和差倍分类等量关系 各数位数字之和 = 已知和 某数位数字 = 另一数位数字 × 倍数 ± 偏移量 【典例】规定，当时，试求的值． 【跟踪专练1】在有理数范围内定义一种新运算，规定（为常数），若． (1)求； (2)设，试比较M，N的大小； (3)无论取何值，都成立，求此时的值． 【跟踪专练2】如表是有规律的三行数，用如图的“H”字形框在这三行数中框出七个数，“H”字形框可以左右移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 2      8      第二行 0      6      第三行                     (1)先观察图1第一行数的规律，再思考第二、三行数与第一行数的关系．写出第一、二、三行的第五列数分别是 ， ， ； (2)记框出的七个数分别为：，a．设． ① （用含x的代数式表示）； ②求的值； (3)若框出的七个数中，最大数与最小数的差是，求的值． 【题型07.一元一次方程应用:几何问题】 核心公式（初中基础必备） 1.平面图形 长方形：周长C=2(a+b)，面积S=ab（a为长，b为宽）； 正方形：周长C=4a，面积S=a2（a为边长）； 三角形：周长C=a+b+c，面积S=ah（a为底，h为高）； 圆：周长C=2πr，面积S=πr2（r为半径）。 立体图形（基础） 长方体体积V=abc，正方体体积V=a3（a,b,c为棱长）。 【典例】如图，，是的平分线，，求的度数． 【跟踪专练1】如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，． (1)求的长； (2)若F为的中点，求长． 【跟踪专练2.】一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，． (1)图1中________． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值； ②在转动过程中，若，请直接写出满足要求的所有旋转角度α的值． 【题型08.一元一次方程应用:动点问题】 1.基础公式 路程公式（核心）路程 = 速度 × 时间变形公式： 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 2.动点位置表示 直线上：设动点起点为A，对应数轴数为xA​，速度为v，运动时间为t 向右运动：位置 = xA+vt 向左运动：位置 = xA−vt 线段上：设线段AB=L，动点从A向B运动，速度v，时间t 动点距A的距离 = vt 动点距B的距离 = L−vt 【典例】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 【跟踪专练1】【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．已知，点A，B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段的中点．点A，B，M分别表示数a，b，x．请回答下列问题． 【特例感知】 （1）若，，则________，x表示的数为________； 【规律探究】 （2）如图，利用数轴思考探究，点A，B之间的距离表示为________，x表示的数为________________（用含a，b的式子表示）； 【拓展应用】 （3）若，，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．E为的中点，F为的中点．求运动几秒后，点E和点F相距3个单位长度？ 【跟踪专练2】如图，数轴上有两条线段和（点在点的左侧，点在点的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是和14．线段、同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动未开始时，点表示的数是________，点表示的数是________． (2)当运动开始后，运动时间为多少秒时，线段与线段开始有重叠部分；运动时间为多少秒后，线段与线段不再有重叠部分． (3)当点在线段上，且时，求的值． 【题型09.一元一次方程应用:和差倍分问题】 一、 核心公式（基础关系） 和的关系总量 = 部分量₁ + 部分量₂ + … + 部分量ₙ 差的关系较大量 = 较小量+差值变形：较小量 = 较大量-差值；差值 = 较大量 - 较小量 倍的关系几倍量 = 一倍量 × 倍数变形：一倍量 = 几倍量 ÷ 倍数 分的关系分量 = 总量 × 分率（或比例）变形：总量 = 分量 ÷ 分率 二、 常用组合等量关系 和倍问题已知两数和+倍数关系→和 = 一倍量+一倍量×倍数=一倍量×(倍数 + 1) 差倍问题已知两数差+倍数关系→差 = 一倍量×倍数 - 一倍量=一倍量 ×(倍数 - 1) 和差问题已知两数和+两数差→较大量= (和+差) ÷ 2较小量= (和 - 差) ÷ 2 【典例】某高中一年级有团员128人，不是团员有42人，一年后不是团员的人数是团员人数的，求这一年有几个同学入团？ 【跟踪专练1】方程是一种重要的工具，利用它可以解决很多问题．试用一元一次方程解决以下两个问题： (1)某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问有多少个小朋友？”若设共有个小朋友，则列出的方程是______． (2)某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．这列队伍一共有多少名学生？ 【跟踪专练2】如图，已知线段，延长线段到点，使，反向延长到点，使． (1)画出图形，并直接写出______； (2)若点为线段中点，当时，画出图形，并求的长． 【题型10.一元一次方程应用:水电费问题】 一、 基础公式 1.无阶梯计费:总费用 = 单价 × 用量（水 / 电） 2.阶梯计费:（核心考点） 总费用=第一阶梯单价×第一阶梯用量+第二阶梯单价×第二阶梯用量 + … + 第 n 阶梯单价×第n阶梯用量（注超过上一阶梯上限的部分，才按下一阶梯单价计算） 二、 核心等量关系 1.已知用量求费用 直接按阶梯分段计算，各段费用相加等于总费用。 2.已知费用求用量 先判断费用落在哪个阶梯区间； 设超出基础阶梯的用量为x，总费用 = 基础阶梯总费用 + 超出部分单价 ×x。 3.水电混合计费:水费总额 + 电费总额 = 应付总金额 【典例】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 【跟踪专练1】某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过，每立方米4元；超过部分每立方米5元．完成以下问题： (1)把下表填完整： 月用水量 2 15 28 用水交费/元 8 ________ ________ (2)若某家庭上月用水交费为140元，求该户家庭上月用水多少立方米？（用方程解答） 【跟踪专练2】下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【题型11.一元一次方程应用:行程问题】 基本公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 常见类型 （1）相遇问题：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程 （2）追及问题： 同地不同时：快者路程 = 慢者路程 同时不同地：快者路程 = 慢者路程 + 初始距离差（3）航行问题： 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 【典例】某校六年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学活动．小明因事迟到小时才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了半小时在路上追上了大客车．已知小汽车的速度比大客车的速度每小时多千米，则大客车、小汽车的速度各是多少？ 【跟踪专练1】一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时． (1)求水流的速度是多少千米/时？ (2)求两个码头之间的距离是多少千米？ 【跟踪专练2】列一元一次方程解决下列实际问题 (1)我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ (2)轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时，求船在静水中的速度．（船在顺流中速度=船在静水中速度+水流速度，船在逆流中速度=船在静水中速度﹣水流速度） 【题型12.一元一次方程应用:其他问题】 一、常见题型分类及核心要点 1.年龄问题 *核心关系：年龄差始终不变（无论过去、现在、未来，两人年龄差固定）；年龄增长 / 减少的量相同。 *设元技巧：常设现在的年龄为x，用含x的式子表示过去或未来的年龄。 2.浓度问题（基础入门） *核心公式：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量。 *解题关键：稀释 / 加浓过程中，溶质质量不变（以此为等量关系列方程）。 3.配套购买问题 *核心关系：根据实际需求确定购买数量比例（如 1 个篮球配 2 个打气筒），结合总费用建立方程。 *常用等式：单价 × 数量 = 总价；各物品总价之和 = 总预算。 4.分段计费延伸问题 （非水电类，如话费、打车费、快递费等）核心：明确分段节点（如打车 3 公里内起步价，超 3 公里按里程计费），超段部分单独计算。 二、易错点警示 年龄问题：误将年龄倍数当作不变量（年龄倍数随时间变化，年龄差才固定）； 浓度问题：混淆 “溶液”“溶质”“溶剂” 概念，误将溶剂质量当作溶液质量； 分段计费问题：漏看 “不足 1 单位按 1 单位计费” 等隐含条件，导致计费区间判断错误。 【典例】普宁英歌队在广场表演时一共有人，其中是锣鼓队员，剩余的队员按分成“双龙出海”阵型和“飞虎展翼”阵型两部分．表演“飞虎展翼”阵型的人数是多少人？ 【跟踪专练1】为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸张． (1)若到甲商店购买，应付_____元；若到乙商店购买，应付_____元（用含的代数式表示，要化简）； (2)若时，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)小新根据需要购买的宣纸数量，通过计算发现去两家商店需要支付金额相同，请你帮忙算一算，小新需要购买多少张宣纸？ 【跟踪专练2】某公园门票价格规定如表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 15元 13元 11元 某校七年级一班和二班两个班共102人去游园，其中一班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1422元． (1)求两个班各有多少学生； (2)如果一班少去5人，两个班去游园最少花_____元钱． 一.单选题 1．某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，且每天生产的螺栓和螺母按配套，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 3．某商品进价为元，售价为120元，按售价的8折出售仍可获利，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．2022年11月足球世界杯又一次让人们沉浸在了足球竞技的美好中，某校举办足球比赛，计分规则：胜一场积2分，负一场扣1分，平场积0分．如果某队在本次比赛共参赛10场（无平场），积14分，那么该队胜场数为（） A．9 B．8 C．7 D．6 5．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 6．幻方最早源于我国，南宋以后被数学家系统研究并称为纵横图．在如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 7．一个长方形的周长为，长比宽多．设宽为，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若点C到A、B两个点的距离相等，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．1 9．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二.填空题 10．某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为 ． 11．已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是7千米/小时，水流速度是1千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 千米． 12．甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 13．若日历中连续五天的日期之和为70，则这五天中的第一个日期是 ． 14．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房间，则可列方程为 ． 15．根据图中的信息有两个圆柱量筒，可列出的方程是 ． 16．一台仪器由2个部件和3个部件构成．用钢材可以做80个部件或240个部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 三.解答题 17．列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 18．某合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元种水果收购单价为15元． (1)A，B两种水果各购进多少千克？ (2)若种水果全部售出，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 19．中国航天实现历史性高质量跨越式发展，太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评，某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分，萌萌同学在此次知识竞赛中的得分是72分，求她答对了多少道题？ 20．为了丰富课后服务课程，某校开设了篮球兴趣班和足球兴趣班．现需要给兴趣班每人分别购买一个篮球或一个足球，已知篮球每个元，足球每个元，足球兴趣班的人数比篮球兴趣班的人数多，买篮球和足球的总费用相等，问两个兴趣班各有多少人？ 21．某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 22．如图是某年11月的月历，请回答下列问题： (1)图中用框数器“”框出的五个数的和是多少？ (2)将框数器“”在图中换个位置框出五个数，记正中间的数为a，则框出的五个数的和是多少？ (3)用框数器“”框出的五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 23．“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是斤，设每个士兵的体重是斤． (1)可列出等量关系：“块条形石的重量”“个士兵的体重”“______块条形石的重量”“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 一.单选题 1．某商店卖出两件衣服，每件售价元，其中一件赚，另一件亏，那么两件衣服卖出后，商家（    ） A．不赚不亏 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 2．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40 … 现用表示第组从左往右数第个数，则当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，甲、乙、丙三根笔直木棒平行摆放在桌上．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲、丙没有与乙重叠部分的长度分别为．若乙的长度最长且与甲、丙的长度差分别为，则乙的长度为（   ） A． B． C． D． 4．已知在数轴上点从原点出发，每次随机向左移动3个单位长度或向右移动2个单位长度．移动次后，点位于数字1上，则下列说法正确的是（   ） A．是奇数 B．是偶数 C．是3的倍数 D．是5的倍数 5．甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，甲乙二人从A、B两地同时出发，沿连接A、B两地的一条笔直道路相向而行，二人在离A、B两地中点120米处相遇；如果甲在途中休息了一段时间，那么二人在离中点120米处相遇，甲休息了（）分钟． A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（   ） A．75 B．100 C．115 D．120 7．图是我国古代传说中的“洛书”，图是“洛书”的数字表示相传，大禹时，洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹大禹依此治水成功，遂划天下为九州又依此定九章大法，治理社会、流传下来收入尚书中，名洪范，易系辞上说：“河出图洛出书，圣人则之”“洛书”是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等图中，若，，，，则常数的值（    ） A． B． C． D． 8．一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，小猴子从最边上的一块石头（起点）处开始，每两块之间的距离是1.5米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有（    ） A．5块 B．16块 C．17块 D．18块 二.填空题 9．乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事．在圆柱形玻璃杯中已有定量的水，将大小相同的石子一个个慢慢投入其中．图①，②，③分别为投入2个，3个，10个石子后的水位情况，当投入10个石子时，水位恰好到达水杯的高度．若水位高度为，则此时杯中投入了 个石子． 10．《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 11．2025年11月的日历如图所示，用的正方形框出四个数．如果这四个数的和能被12整除，这四个数和的最大值为 ． 12．为进一步改善生态环境，村委会决定将一块土地分成甲，乙，丙三个区域来种树．村委会将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原甲区域的面积错划分给了乙区域，而原乙区域30%的面积错划分给了甲区域，丙区域面积未出错，造成现乙区域的面积占甲，乙两区域面积和的．为了协调三个区域的面积占比，村委会重新调整三个区域的面积，将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域．如果调整结束后，甲，乙，丙三个区域的面积比变为，那么村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为 ． 13．如示意图，两地间有一条河，两地间路程共米（包括旱路与水路），且两地到河岸均有一定距离，甲、乙二人从地出发到地，乙先于甲出发，当乙走到岸边处登船渡河时，甲从地出发；当小船将乙送过河后再空船原路返回到达地岸边处时，甲刚好到达处登船；当小船将甲送到对岸处时，乙恰好到达地，现已知甲、乙二人步行速度均为米／分钟，小船在水中行驶的平均速度为米／分钟（不考虑水流速度影响），则两地间水路的长度为 米． 14．某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 15．甲仓库原有货物吨，乙仓库原有货物吨，现需从两个仓库共调出吨货物支援灾区，当货物完成调配后，其中一个仓库剩余货物是另一个仓库剩余货物的倍，则需要从甲仓库中，调出 吨货物． 16．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资＋奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 17．小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比 ①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决 如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 18．如图①，在直角三角形 中，，，， (1)动点E，F同时从A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，经过 秒两点首次相遇，相遇时它们距点B 个单位长度： (2)如图②，动点K从B出发，沿折线运动，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，设点K的运动时间为t秒，当的面积最大时，直接写出t的值为 ； (3)如图③，将三角形的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿折叠在三角形的两边上，得到一条“折线数轴”．把两点所对应的两数之差的绝对值叫做这两点间的距离．例如点M和点N在折线数轴上的距离为个单位长度，点P从点M出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度沿数轴的正方向向点N运动，同时，点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向向点M运动．设运动时间为t秒，一点到达终点时另一点也同时停止运动，当时，请你列出含有t的等式．例如，当秒时，，，列等式为：； 在点P和Q运动过程中，请你列出其他的含有t的等式． 19．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 20．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 21．图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 22．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 23．《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何．”其译文如下：现有甲、乙两人，身上各有多少钱，不清楚。如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，那么甲一共是48钱；如果乙的钱数加上甲的钱数的，那么乙一共也是48钱．问甲、乙两人原来各有多少钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3一元一次方程应用题大全 【82 道经典题（含拓展闯关题）】 常考题型 精讲精炼 1.一元一次方程应用:配套问题 2.一元一次方程应用:工程问题 3.一元一次方程应用:销售问题 4.一元一次方程应用:比赛积分问题 5.一元一次方程应用:方案选择问题 6.一元一次方程应用:数字问题 7.一元一次方程应用:几何问题 8.一元一次方程应用:动点问题 9.一元一次方程应用:和差倍分问题 10.一元一次方程应用:水电费问题 11.一元一次方程应用:行程问题 12一元一次方程应用:其他问题 分层 专练 基础 巩固 单选题(9) 填空题(6) 解答题(8) 能力 提升 单选题(8) 填空题(7) 解答题(8) · 审：读懂题意，找已知量、未知量和数量关系 · 设：设未知数（直接 / 间接，带单位） · 列：根据等量关系列方程 · 解：求解方程 · 验：检验解是否符合实际 【题型01.一元一次方程应用:配套问题】 1.基础等量关系（核心公式） 若配套方案为：m 个 A 物品 + n 个 B 物品 = 1 套 则恰好配套时，满足公式： + 变形公式(更常用，便于列方程）： nA物品的数量=m物品的数量 2.易错点提醒 不(1)不要混淆 “配套比” 的前后项，比如 “1 个甲配 2 个乙”，不能写成 甲数量乙数量，正确的是 甲数量乙数量 若(2)题目中存在 “剩余” 或 “不足”，则不是恰好配套，等量关系需调整为不等式。 【典例】近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板， 由题意得：， ， ， 解得：， （名）． 答：20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套． 【跟踪专练1】在手工制作课上，老师组织七年级班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒七年级班共有学生人，其中男生人数比女生人数少人，并且每名学生每小时剪筒身个或剪筒底个． (1)七年级班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，那么如何进行人员调配，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？ 【答案】(1)男生人，女生人 (2)人剪筒身，人剪筒底，剪出的筒身与筒底刚好配套 【分析】（）设七年级班有男生人，则女生有人，根据题意列出方程即可求解； （）设安排人剪筒身，则安排人剪筒底，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键 【详解】（1）解：设七年级班有男生人，则女生有人， 由题意得，， 解得， ， 答：七年级班有男生人，女生人； （2）解：设安排人剪筒身，则安排人剪筒底， 由题意得，， 解得， ， 答：人剪筒身，人剪筒底，剪出的筒身与筒底刚好配套． 【跟踪专练2】某车间生产的一套产品由3个A型部件和4个B型部件组成，该车间现有40个工人，每个工人每天能加工3个A型部件或6个B型部件．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种部件，并要求每天加工的A、B型部件数量正好组成若干套该产品． (1)按照这样的生产方式，该车间每天有多少人生产A型部件？ (2)春节后工厂补充20名新工人，这些新工人只能独立进行B型部件的加工，且每人每天只能加工4个B型部件，则补充新工人后每天能配套生产多少套该产品？ 【答案】(1)按照这样的生产方式，该车间每天有24人生产A型部件 (2)补充新工人后每天能配套生产32套该产品 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，利用已知条件设出未知数和列出正确的方程是解题的关键． （1）根据已知条件列出x人生产A型部件，则有人生产B型部件，再利用已知条件列出方程即可求解； （2）根据已知条件列出安排y个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件，再根据已知条件列出方程，注意引入的新工人只能独立进行B型部件的加工，再解方程即可求解． 【详解】（1）解：设有x人生产A型部件，则有人生产B型部件， 根据题意：得， 解得：， 答：按照这样的生产方式，该车间每天有24人生产A型部件； （2）解：设安排y个老员工生产A型部件，则安排个老员工生产B型部件， 根据题意：得， 解得：， ∴（套）， 答：补充新工人后每天能配套生产32套该产品． 【题型02.一元一次方程应用:工程问题】 *基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 *常用思路： 若工作总量未给出，通常设为单位 1。 合作效率 = 各部分效率之和。 *等量关系：各部分工作量之和 = 总工作量（通常为 1）。 【典例】汉服是传承四千多年的传统民族服装，以清雅平易为主，讲究天人合一．服装厂要生产一批汉服，已完成的与未完成的套数比是．如果再生产600套，已完成的比未完成的少，这批汉服有多少套？ 【答案】这批汉服有9000套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，按比例设未知数是解题关键．分析题意，设开始已完成的有套，未完成的有套，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设开始已完成的有套，未完成的有套． 根据题意可列： 解得： 则， （套） 答：这批汉服有9000套． 【跟踪专练1】现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【答案】(1)6 (2)18000 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，再根据工作总量等于1列出方程，求出解即可； 对于（2），根据甲队需支付工资加上乙队需支付工资可得答案． 【详解】（1）解：甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙两工程队还需要合作6天才能完成； （2）解：， 所以完成这项工程需要支付两队工资一共18000元． 【跟踪专练2】在繁忙的都市生活中，地铁作为城市交通的重要组成部分，承载着无数人的日常出行需求．某线路地铁进行修建，修建后产生的建筑垃圾需要清理．现计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要9天，乙车队单独运完需要12天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队共同合作运完剩下的垃圾．（列方程解决下列问题） (1)甲、乙两车队共同合作了多少天？ (2)已知甲车队每天的租金比乙车队多80元，运完垃圾后需支付甲、乙两车队租金共5740元，求乙车队每天的租金． 【答案】(1)甲、乙两车队共同合作了3天 (2)乙车队每天的租金是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）设乙车每天租金为y元，则甲车每天租金为元，据此根据“共需支付租金5740元”列出方程求解即可.； 【详解】（1）解：设甲、乙两车队共同合作了天， 由题意可得：， 解得：． 答：甲、乙两车队共同合作了3天． （2）解：设乙车队每天的租金是元，则甲车队每天的租金是元，由题意可得： ， 解得：． 答：乙车队每天的租金是500元． 【题型03.一元一次方程应用:销售问题】 核心公式（精准推导，双向可逆） 1. 基础等量关系 利润 = 售价 - 成本价（成本价又称进价；售价＞成本价为盈利，售价＜成本价为亏损） 利润率 = ×100%（利润率为正表示盈利，为负表示亏损） 2. 变形公式 售价 = 成本价 + 利润 售价 = 成本价 ×(1+利润率) 成本价 = （利润率 ≠0） 折扣价 = 标价 × 折扣率（如 8 折即标价×0.8，9.5 折即标价×0.95） 【典例】某商品的进价是100元，原定售价为180元，由于该商品积压，商店准备打折销售，若要保持利润率为，则商店应打几折？ 【答案】打了六折 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设商店打了折，根据利润率（售价成本）成本，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设商店打了折，根据题意得： ， 解得， 答：打了六折． 【跟踪专练1】“榆宝宝”和“林贝贝”体现冰雪热情与陕北风情，作为陕西省第一届冬季运动会的形象大使，它们是冰雪世界中最具地方特色的文化使者与冬运精神的象征．某工厂应官方要求生产“榆宝宝”、“林贝贝”的挂件和玩偶这两种产品，每个玩偶的成本价比每个挂件的成本价贵25元．若要生产800个挂件和200个玩偶，共需要20000元成本． (1)求每个挂件和每个玩偶的成本价分别是多少元？ (2)若每个玩偶的出售标价是75元．为了促销，现对每个玩偶在标价基础上进行打折出售．若按标价打折售出18个玩偶所获得的利润，与按64元/个的售价出售15个玩偶所获得的利润相同．求的值． 【答案】(1)每个挂件的成本价是15元，每个玩偶的成本价是40元 (2)的值为8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个挂件的成本价是元，则每个玩偶的成本价是元．根据“生产800个挂件和200个玩偶，共需要20000元成本”列一元一次方程求解即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个挂件的成本价是元，则每个玩偶的成本价是元． 根据题意，得，解得：， 所以 答：每个挂件的成本价是15元，每个玩偶的成本价是40元． （2）解：根据题意可得：， 解得：． 所以的值为8． 【跟踪专练2】克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【答案】(1)40； (2)种商品40件 (3)580元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率利润进价，即可求出每件B种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得，再解方程即可； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分及两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种商品每件进价为a元， 依题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元， 每件B种商品利润率为． 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （3）设小华打折前应付款元． 当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即， 由题意得，解得， 当打折前购物金额超过600元，即， ， 解得：． 综上，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 【题型04.一元一次方程应用:比赛积分问题】 一.核心公式与关系 *总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分（无平场则省略） *单场积分关系：胜场得分＞平场得分≥0，负场得分通常为 0（特殊题型会注明负场扣分） *场次关系：总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数 二、易错点警示 1.混淆胜、负、平的单场积分，漏看题目中 “负场扣分” 等特殊规则； 2.计算总场次时重复或遗漏，导致列方程时数量关系错误； 3.忽略解的实际意义，未检验场次是否为非负整数。. 【典例】在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？ 分析：设该队共胜了x场，根据题意，用含x的式子填空： (1)该队平了______场； (2)按比赛规则，该队胜场共得______分； (3)按比赛规则，该队平场共得______分； (4)依题意，可列出方程：____________，该队共胜了______场． 【答案】(1) (2) (3) (4)，6 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）用总场数减去胜场数，列出代数式即可； （2）用胜场数乘以胜一场得到的分数，列出代数式即可； （3）用平场数乘以平一场得到的分数，列出代数式即可； （4）根据总分是23分，列出方程，进行求解即可． 读懂题意，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：该队平了场； 故答案为：． （2）按比赛规则，该队胜场共得分； 故答案为：； （3）按比赛规则，该队平场共得分； 故答案为：； （4）由题意，得：， 解得：． 故答案为：，6． 【跟踪专练1】在一次数学测试中，老师出了25道选择题，每道题都有四个选项，有且只有一个选项是正确的．老师的评分标准：答对一道题给4分，不答或答错一题倒扣1分．若某位同学得了90分，则这位同学答对了几道题？ 【答案】23道 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题，根据这位同学得了90分，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这位同学答对了道题，则不答或答错了道题． 根据题意，得， 解得：． 答：这位同学答对了23道题． 【跟踪专练2】红星中学七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答。下表记录了5个参赛者的得分情况。 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)观察、分析、推理表格数据，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分； (2)用式子表示得分与答对题数之间的数量关系； (3)参赛者F得76分，他答对了几道题？ (4)参赛者G说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)道题 (4)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设答对x道题，得分为y分，则答错道题，根据得分答对题目数答错题目，即可得出y关于x的数量关系式； （3）根据得分为76分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）根据得分为80分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，由该值不为整数，即可得出参赛者G不可能得80分． 【详解】（1）解：由题意得：答对题得：（分）， 答错题得：（分）， 故答案为：，； （2）解：设答对道题，得分为分，则答错道题， 由题意得：； （3）解： 由题意得：， 解得：， 答：他答对了道题； （4）解：不可能，理由如下： 由题意得：， 解得：，不符合题意， 参赛者说他得了分，是不可能的． 【题型05.一元一次方程应用:方案选择问题】 核心等量关系：当不同方案的核心指标（成本、收益、用量等）数值相等时，即为方案优劣判定的临界点。通过建立方程求解该临界值，是比较方案性价比的关键依据。 常用公式：结合实际应用场景选取对应公式，典型公式参考如下 购物总价 = 单价 × 数量 + 固定费用 收费总额 = 基础费用 + 单价 × 计费用量 工程总费用 = 人均费用 × 参与人数 + 材料成本 【典例】英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【答案】(1)学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元 (2)方案一，二所需要的租金分别是元元，选择方案二更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元，列方程，解得，故，即可作答． （2）理解题意，分别算出方案一和方案二所需要的租金，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设学校租用25座大巴车每辆每天的租金是元， 则学校租用45座大巴车每辆每天的租金是元， 根据题意得， 解得， ∴（元）． 答：学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； （2）解：由（1）得学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； 依题意，设全部租用45座的大巴车需要租用辆， 则全部租用25座的大巴车需要租用辆， 根据题意得， 解得， ∴（元）； （元）． 方案一，二所需要的租金分别是元元， ∵， ∴选择方案二更省钱． 【跟踪专练1】某制造厂采购厂服，服装公司报价每套150元．当制造厂订购数量超过100套时，服装公司给出两种优惠方案： 方案一：制造厂先交1200元设计费后，按每套120元购买． 方案二：不收设计费，每套在报价150元的基础上打八五折购买． 设订购的厂服为套． (1)选用方案一需花费多少钱？选用方案二需花费多少钱？ (2)请你帮助该制造厂采购员计算下，如何选择购买方案更省钱？ 【答案】(1)选用方案一需花费为元；选用方案二需花费为元 (2)时，方案一与方案二花费一样多；时，方案一省钱；时，方案二省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、列代数式等知识点． （1）分别根据方案一、二列出花费的代数式即可； （2）设当购买a套时方案一与方案二花费一样多，再根据“方案一与方案二花费一样多”列出关于a的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：选用方案一需花费为元； 选用方案二需花费为元． 答：选用方案一需花费为元；选用方案二需花费为元； （2）解：设当购买a套时方案一与方案二花费一样多， 由题意可得：， 解得：． 答：时，方案一与方案二花费一样多；时，方案一省钱；时，方案二省钱． 【跟踪专练2】周末，数学老师带同学们去某市博物馆参观，在坐车途中，数学老师和大家玩游戏．数学老师说：“我们刚刚学习完一元一次方程，现在我们就用一元一次方程来解决一些数学应用题吧．” 【基础闯关】 （1）小明和爸爸下围棋，一共下了8局，规定：爸爸赢一盘记2分，小明赢一盘记6分，每盘都分出了胜负，比赛结束后，爸爸说：“我的得分比你的得分多2分．”请你帮小明判断爸爸的说法是否正确，并给出理由． 【能力闯关】 （2）我们将要到达的博物馆内有售文创用品，博物馆有以下两种优惠方案： 方案一 可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多可使用3张，未满100元的部分不得使用代金券 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费（元）． 假如小明消费了元． ①若使用代金券，实际花费______元（用含x的代数式表示）． ②选择哪种方案更省钱？ 【拓展闯关】 （3）在参观完博物馆后，所有人员乘客车返回相距的酒店，客车的行驶速度为，同时，酒店工作人员小李开着小轿车以的速度从酒店出发，前去迎接，数学老师在两车相遇后换乘小李的小轿车，和小李立刻返回酒店先为大家办理入住手续（车辆掉头、数学老师下车和上车的时间忽略不计），在两车行驶过程中，求客车行驶多长时间时两车相距． 【答案】（1）爸爸的说法不正确，理由见解析；（2）①，②答案见解析；（3）客车行驶或或时两车相距． 【分析】（1）设小明赢盘，则爸爸赢盘．得方程，根据方程解的整数性质判断即可． （2）①根据题意，实际花费元，计算即可． ②根据题意，方案二的实际花费为元，结合，解得，后分类计算解答即可． （3）根据题意，相遇前，设客车从出发到两车相距行驶的时间为． 根据题意，得，解答即可；相遇后，设两车相遇所需时间为，根据题意，得，解得．设在两车相遇之后到两车相距时所需时间为．根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，方案问题，相遇问题，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设小明赢盘，则爸爸赢盘． 所以，解得， 因为不是正整数， 所以爸爸的说法不正确． （2）①解：根据题意，得实际花费元， 故答案为：． ②解：根据题意，使用方案二的实际花费为元， 故时，解得， 当时，选择方案一更省钱； 当时，费用一样； 当时，选择方案二更省钱． （3）①在两车相遇之前，设客车从出发到两车相距行驶的时间为． 根据题意，得，解得． ②设两车相遇所需时间为，根据题意，得，所以． 设在两车相遇之后到两车相距时所需时间为． 根据题意，得，解得， 所以此时客车行驶的时间为． ③当轿车到达酒店，客车距离酒店， 此时 综上所述，客车行驶或或时两车相距． 【题型06.一元一次方程应用:数字问题】 1.两位数基本公式:两位数 = 十位数字 × 10 + 个位数字 2.三位数基本公式:三位数 = 百位数字 × 100 + 十位数字 × 10 + 个位数字3.数字位置互换类等量关系新数 - 原数 = 差值（或原数 - 新数 = 差值） 4.数字和差倍分类等量关系 各数位数字之和 = 已知和 某数位数字 = 另一数位数字 × 倍数 ± 偏移量 【典例】规定，当时，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：． 【跟踪专练1】在有理数范围内定义一种新运算，规定（为常数），若． (1)求； (2)设，试比较M，N的大小； (3)无论取何值，都成立，求此时的值． 【答案】(1)12 (2) (3)此时的值为 【分析】本题考查了有理数的新定义运算、整式的运算和一元一次方程的应用，正确理解新定义法则是解题的关键． （1）先确定定义中的b值，后代入计算即可； （2）先根据定义，求出M，N并化简，再进行作差法进行大小比较即可； （3）先根据定义，求出，再根据求出n的值，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得， 当时， ； （2）解：由题意得， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得 ， ∵无论取何值，都成立， ∴ ， ∴ 解得， ∴ 解得． 【跟踪专练2】如表是有规律的三行数，用如图的“H”字形框在这三行数中框出七个数，“H”字形框可以左右移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 2      8      第二行 0      6      第三行                     (1)先观察图1第一行数的规律，再思考第二、三行数与第一行数的关系．写出第一、二、三行的第五列数分别是 ， ， ； (2)记框出的七个数分别为：，a．设． ① （用含x的代数式表示）； ②求的值； (3)若框出的七个数中，最大数与最小数的差是，求的值． 【答案】(1)32，30， (2)①；② (3) 【分析】本题考查了数字规律探究与代数式的化简求值，解题的关键是找出三行数的变化规律，并用含字母的式子表示框中各数． （1）先确定第一行第列数的表达式，再根据第二、三行与第一行的关系，计算第五列的数； （2）①根据的位置，用表示出；②用表示框中各数，代入式子化简计算； （3）分和两种情况，确定最大数与最小数，根据差为1027列方程求解． 【详解】（1）解：通过观察可得，第一行的第列数是：， 第一行的第五列数是：； 第二行的第列数是：， 第二行的第五列数是：； 第三行的第列数是：， 第三行的第五列数是：． 故答案为：32，30，． （2）①解：设是第一行的第列数，即， 则a是第二行的第列数：， ∴， 即． ②解∵，，，，，，． ， 的值为． （3）解：设“”字形框左上角的第一个数． 当时，最大的数为，最小的数为， ， 解得，，不符合实际，舍去； 当时，最大的数为，最小的数为， ， 解得，， 即为第一行第六列的数，符合题意， ∴． 【题型07.一元一次方程应用:几何问题】 核心公式（初中基础必备） 1.平面图形 长方形：周长C=2(a+b)，面积S=ab（a为长，b为宽）； 正方形：周长C=4a，面积S=a2（a为边长）； 三角形：周长C=a+b+c，面积S=ah（a为底，h为高）； 圆：周长C=2πr，面积S=πr2（r为半径）。 立体图形（基础） 长方体体积V=abc，正方体体积V=a3（a,b,c为棱长）。 【典例】如图，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，几何图形的角度运算，一元一次方程的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设，则又因为，得，再结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 解得 ∴ 【跟踪专练1】如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，． (1)求的长； (2)若F为的中点，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，得到，解答即可； （2）根据题意，得，根据F为的中点，得到，故． 本题考查了线段的和差，线段的中点，一元一次方程的应用，熟练掌握中点，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故的长为． （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴． 【跟踪专练2.】一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，． (1)图1中________． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值； ②在转动过程中，若，请直接写出满足要求的所有旋转角度α的值． 【答案】(1) (2)①旋转角度α的值为，，，②或 【分析】本题考查了角的和差关系，平角的定义及角平分线的性质． （1）根据已知条件利用平角的定义即可求得结果； （2）①分三种情况讨论：当平分时，根据已知条件列出的关系式，从而得到的方程并求解即可；当平分时，根据已知条件得到的方程并求解即可；当平分时，由已知条件利用平角的定义即可求得结果； ②分两种情况讨论：当在的左侧时，表示出和的度数，根据列出方程，解方程可得α的值；当在的右侧时，表示出和的度数，根据列出方程，解方程可得α的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：①当平分时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当平分时， ∵， ∴， ∴； 当平分时， ∵， ∴， ∴， 综上所述，旋转角度α的值为，，． ②当在的左侧时， ，， ∵， ∴， ∴； 当在的右侧时， ，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当或时，． 【题型08.一元一次方程应用:动点问题】 1.基础公式 路程公式（核心）路程 = 速度 × 时间变形公式： 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 2.动点位置表示 直线上：设动点起点为A，对应数轴数为xA​，速度为v，运动时间为t 向右运动：位置 = xA+vt 向左运动：位置 = xA−vt 线段上：设线段AB=L，动点从A向B运动，速度v，时间t 动点距A的距离 = vt 动点距B的距离 = L−vt 【典例】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 【答案】(1)；2 (2)A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是 (3)4或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据运动方向和数轴的方向，路程等于速度乘以时间，即可求得t秒后A，B点表示的数； （2）先求出A，B之间的距离，再根据相遇时两点表示的数相等，据此列出一元一次方程解方程求解即可，进而求得相遇点所表示的数； （3）分两种情况，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵A点表示的数是，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点A运动后所在位置表示的数为； ∵B点表示的数是8，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动， ∴点B运动后所在位置表示的数为； 故答案为：；2 （2）解：∵A，B两点分别表示的数是，8， ∴A，B之间的距离为， 根据题意得：， 解得：， 此时相遇点所表示的数是； 即A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：当两点相遇前相距2个单位长度时， ， 解得：； 当两点相遇后相距2个单位长度时，， 解得：； 综上所述，A，B两点经过4或秒后相距2个单位长度． 【跟踪专练1】【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．已知，点A，B是数轴上不重合的两个点，且点A在点B的左边，点M是线段的中点．点A，B，M分别表示数a，b，x．请回答下列问题． 【特例感知】 （1）若，，则________，x表示的数为________； 【规律探究】 （2）如图，利用数轴思考探究，点A，B之间的距离表示为________，x表示的数为________________（用含a，b的式子表示）； 【拓展应用】 （3）若，，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿数轴正方向运动．点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．E为的中点，F为的中点．求运动几秒后，点E和点F相距3个单位长度？ 【答案】（1）3，5；（2），；（3）运动12秒或24秒后，点E和点F距离3个单位长度 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上线段中点表示的数，解一元一次方程等知识． （1）先求出，根据中点定义得到，根据点在数轴上的位置求出x即可； （2）按照（1）求出，即可得到； （3）根据题意得出、表示的数，进而分①当点E在点F左侧时，②当点E在点F右侧时，根据点和点相距个单位长度，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1），，点A，B分别表示数a，b， ， 点M是线段的中点． ， 表示数x． ， 故答案为：3，5； （2）由题意可知，，即点A，B之间的距离表示为， 点M是线段的中点． ， ，即x表示的数为； 故答案为：，； （3）由题意，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 因为E是中点， 所以点E表示的数为， 因为F是中点， 所以点F表示的数为； ①当点E在点F左侧时，由E和F距离3个单位长度得， ，解得； ②当点E在点F右侧时，由E和F距离3个单位长度得， ，解得； 综上，运动12秒或24秒后，点E和点F距离3个单位长度． 【跟踪专练2】如图，数轴上有两条线段和（点在点的左侧，点在点的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是和14．线段、同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动未开始时，点表示的数是________，点表示的数是________． (2)当运动开始后，运动时间为多少秒时，线段与线段开始有重叠部分；运动时间为多少秒后，线段与线段不再有重叠部分． (3)当点在线段上，且时，求的值． 【答案】(1)；10 (2)运动时间为5秒时，线段与线段开始有重叠部分；运动时间为秒后，线段与线段不再有重叠部分 (3)或 【分析】本题是数轴与一元一次方程的综合，考查了数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用等知识，分类讨论思想，表示出各点表示的数是解题的关键． （1）根据数轴上点运动时表示的数：右加左减的原则求解即可； （2）线段与线段开始有重叠部分时，此时点B与点C重合，此时这两点表示的数相等，由（1）中结论得到关于t的一元一次方程，解方程即可；当点A与点D重合后，两线段不再有重叠部分，也可得关于t的一元一次方程，解方程即可； （3）分两种情况：点C在线段上，点D在点B的右侧；点C在线段上，点D在点B的左侧；由建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵的长度为6个单位长度，点A在点B左侧，且点B表示的数为， ∴点A表示的数为； ∵线段的长度为4个单位长度，且C在点D左侧，且点D表示的数为14， ∴点C表示的数为； （2）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，且D表示的数为， （3）当点B与点C重合时，线段和线段恰好开始有重叠的部分， 则， 解得； 当点A与点D重合时，线段和线段恰好开始没有重叠的部分， 则， 解得； ∴运动时间为5秒时，线段与线段开始有重叠部分；运动时间为秒后，线段与线段不再有重叠部分； 解：由（2）可知，运动t秒时，点A、B、C、D四点表示的数分别为； 当点C在线段上，点D在点B的右侧时， ，， ∵， ∴， 解得； 当点C在线段上，点D在点B的左侧时， ，， ∵， ∴， 解得； 综上，当点C在线段上，且时，t的值为或． 【题型09.一元一次方程应用:和差倍分问题】 一、 核心公式（基础关系） 和的关系总量 = 部分量₁ + 部分量₂ + … + 部分量ₙ 差的关系较大量 = 较小量+差值变形：较小量 = 较大量-差值；差值 = 较大量 - 较小量 倍的关系几倍量 = 一倍量 × 倍数变形：一倍量 = 几倍量 ÷ 倍数 分的关系分量 = 总量 × 分率（或比例）变形：总量 = 分量 ÷ 分率 二、 常用组合等量关系 和倍问题已知两数和+倍数关系→和 = 一倍量+一倍量×倍数=一倍量×(倍数 + 1) 差倍问题已知两数差+倍数关系→差 = 一倍量×倍数 - 一倍量=一倍量 ×(倍数 - 1) 和差问题已知两数和+两数差→较大量= (和+差) ÷ 2较小量= (和 - 差) ÷ 2 【典例】某高中一年级有团员128人，不是团员有42人，一年后不是团员的人数是团员人数的，求这一年有几个同学入团？ 【答案】25个 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系解题关键． 根据题意找到等量关系：“一年后不是团员的人数是团员人数的”设这一年有个同学入团，列出方程求解即可． 【详解】解：设这一年有个同学入团． 解得： 答：这一年有个同学入团． 【跟踪专练1】方程是一种重要的工具，利用它可以解决很多问题．试用一元一次方程解决以下两个问题： (1)某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问有多少个小朋友？”若设共有个小朋友，则列出的方程是______． (2)某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．这列队伍一共有多少名学生？ 【答案】(1) (2)21 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意、找到所求的量的等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设共有x个小朋友，根据“若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个”以及苹果的个数不变列出方程即可； （2）设开始队长后面有x名学生，由“他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多”列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：设共有x个小朋友，根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设开始队长后面有x名学生， 由题意得， 解得：， 共有学生（名）， 答：这列队伍一共有21名学生． 【跟踪专练2】如图，已知线段，延长线段到点，使，反向延长到点，使． (1)画出图形，并直接写出______； (2)若点为线段中点，当时，画出图形，并求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，一元一次方程的应用，列代数式等知识． （1）画出图形，设，结合已知条件可得出，，进而可得出，然后相比即可得出答案． （2）画出图形，同（1），，，则，，在根据线段中点的有关定义可得出，进而求出x的值，进一步即可得出． 【详解】（1）解：根据题意画出图形如下： 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：根据题意画出图形如下： 同（1），，， ∴，， ∵点为线段中点， ∴， 即， 解得：， ∴． 【题型10.一元一次方程应用:水电费问题】 一、 基础公式 1.无阶梯计费:总费用 = 单价 × 用量（水 / 电） 2.阶梯计费:（核心考点） 总费用=第一阶梯单价×第一阶梯用量+第二阶梯单价×第二阶梯用量 + … + 第 n 阶梯单价×第n阶梯用量（注超过上一阶梯上限的部分，才按下一阶梯单价计算） 二、 核心等量关系 1.已知用量求费用 直接按阶梯分段计算，各段费用相加等于总费用。 2.已知费用求用量 先判断费用落在哪个阶梯区间； 设超出基础阶梯的用量为x，总费用 = 基础阶梯总费用 + 超出部分单价 ×x。 3.水电混合计费:水费总额 + 电费总额 = 应付总金额 【典例】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)20元 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先确定用水量属于第二档，再求出水费即可； 对于（2），先确定该用户属于超过用水量，再根据水费相等列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（元）， 所以某户居民1月份用水，应缴水费20元； （2）解：第一档最高水费为（元）； 第二档最高水费为（元）； 可知， 所以该用户用水量超过10，设用水量为x，根据题意，得 ， 解得（）． 所以该用户2月份的用水量为11.5． 【跟踪专练1】某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过，每立方米4元；超过部分每立方米5元．完成以下问题： (1)把下表填完整： 月用水量 2 15 28 用水交费/元 8 ________ ________ (2)若某家庭上月用水交费为140元，求该户家庭上月用水多少立方米？（用方程解答） 【答案】(1)60；120 (2)32立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出方程是关键； （1）根据收费标准计算即可； （2）该户家庭上月用水x立方米，根据水费为140元列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：用水量为时，水费为（元）； 用水量为时，水费为（元）； 故答案为：60，120； （2）解：该户家庭上月用水x立方米， 由于，则用水量超过， 由题意得：， 解得：， 答：该户家庭上月用水32立方米． 【跟踪专练2】下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)42吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的应用——水费问题，正确列出方程是解题的关键． （1）根据7月用水16吨，交水费32元，可得，根据8月费用水28吨，交水费67元，可得，解方程即可； （2）先判断9月份用水量超过了30吨，设为x吨，根据计费规则列方程，解方程即可； （3）设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：7月用水16吨，交水费32元， ， 解得； 8月份用水28吨，交水费67元， ， 解得； （2）解：当用水量为30吨时，水费为：（元）， 9月份上交水费115元，， 9月份用水量超过30吨，设为x吨， 则， 解得， 即小王家9月用水42吨； （3）解：设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨， 当时，， 解得， 当时， ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上可得，小王家11月份用水13吨． 【题型11.一元一次方程应用:行程问题】 基本公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 常见类型 （1）相遇问题：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程 （2）追及问题： 同地不同时：快者路程 = 慢者路程 同时不同地：快者路程 = 慢者路程 + 初始距离差（3）航行问题： 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 【典例】某校六年级学生从学校乘大客车去实践基地开展研学活动．小明因事迟到小时才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了半小时在路上追上了大客车．已知小汽车的速度比大客车的速度每小时多千米，则大客车、小汽车的速度各是多少？ 【答案】大客车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 设大客车的速度为千米/小时，可用表示出小汽车的速度，再根据“小李因事迟到小时才赶到学校，他立即坐上爸爸的小汽车从学校出发，沿相同的路线用了半小时在路上追上了大客车”列出方程求解． 【详解】解：设大客车的速度为千米/小时，则小汽车的速度为千米/小时， 由题意可得，， 解得， ∴， 答：大客车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时． 【跟踪专练1】一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时． (1)求水流的速度是多少千米/时？ (2)求两个码头之间的距离是多少千米？ 【答案】(1)4千米/时 (2)96千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设水流的速度是x千米/时，根据题意列出方程求解即可； （2）根据（1）中结果计算即可 【详解】（1）解：设水流的速度是x千米/时， 由题意得，， 解得：． ∴水流的速度是4千米/时； （2）两个码头之间的距离是：千米， ∴两个码头之间的距离是96千米． 【跟踪专练2】列一元一次方程解决下列实际问题 (1)我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？房客多少人？ (2)轮船在河流中来往航行于A、B两码头之间，顺流航行全程需7小时，逆流航行全程需9小时，已知水流速度为每小时，求船在静水中的速度．（船在顺流中速度=船在静水中速度+水流速度，船在逆流中速度=船在静水中速度﹣水流速度） 【答案】(1)该店有客房8间，有房客63人 (2)船在静水中的速度为每小时24千米 【分析】（1）设该店有x间客房，则， 解答即可． （2）设轮船在河流中的静水速度为x千米/时，则逆水行驶的速度为千米/小时，顺水行驶的速度为千米/小时， 由题意得，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店有x间客房， 则， 解得． ． 答：该店有客房8间，有房客63人． （2）解：设轮船在河流中的静水速度为x千米/时，则逆水行驶的速度为千米/小时，顺水行驶的速度为千米/小时， 由题意得， 解得：． 答：船在静水中的速度为每小时24千米． 【题型12.一元一次方程应用:其他问题】 一、常见题型分类及核心要点 1.年龄问题 *核心关系：年龄差始终不变（无论过去、现在、未来，两人年龄差固定）；年龄增长 / 减少的量相同。 *设元技巧：常设现在的年龄为x，用含x的式子表示过去或未来的年龄。 2.浓度问题（基础入门） *核心公式：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量。 *解题关键：稀释 / 加浓过程中，溶质质量不变（以此为等量关系列方程）。 3.配套购买问题 *核心关系：根据实际需求确定购买数量比例（如 1 个篮球配 2 个打气筒），结合总费用建立方程。 *常用等式：单价 × 数量 = 总价；各物品总价之和 = 总预算。 4.分段计费延伸问题 （非水电类，如话费、打车费、快递费等）核心：明确分段节点（如打车 3 公里内起步价，超 3 公里按里程计费），超段部分单独计算。 二、易错点警示 年龄问题：误将年龄倍数当作不变量（年龄倍数随时间变化，年龄差才固定）； 浓度问题：混淆 “溶液”“溶质”“溶剂” 概念，误将溶剂质量当作溶液质量； 分段计费问题：漏看 “不足 1 单位按 1 单位计费” 等隐含条件，导致计费区间判断错误。 【典例】普宁英歌队在广场表演时一共有人，其中是锣鼓队员，剩余的队员按分成“双龙出海”阵型和“飞虎展翼”阵型两部分．表演“飞虎展翼”阵型的人数是多少人？ 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找准等量关系列出方程求解． 设表演“飞虎展翼”阵型的人数为人，用表示出“双龙出海”阵型的人数，再列方程求解． 【详解】解：设表演“飞虎展翼”阵型的人数为人， 根据剩余的队员按分成“双龙出海”阵型和“飞虎展翼”阵型两部分， 可得“双龙出海”阵型的人数为人， 可列方程为：， 解得：， 答：表演“飞虎展翼”阵型的人数是人。 【跟踪专练1】为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10支，宣纸张． (1)若到甲商店购买，应付_____元；若到乙商店购买，应付_____元（用含的代数式表示，要化简）； (2)若时，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)小新根据需要购买的宣纸数量，通过计算发现去两家商店需要支付金额相同，请你帮忙算一算，小新需要购买多少张宣纸？ 【答案】(1)，； (2)甲商店购买较为合算，说明见解析 (3)小新需要购买50张宣纸 【分析】本题考查了列代数式的知识，代数式求值及有理数四则运算的实际应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． （1）到甲商店购买的费用：10支毛笔的费用张宣纸的费用；到乙商店购买的费用：（10支毛笔的费用张宣纸的费用），把相关数值代入求解即可； （2）把代入（1）得到的式子进行计算，然后比较结果即可； （3）根据去两家商店需要支付金额相同列方程求解即可． 【详解】（1）解：到甲商店购买的费用：（元）； 到乙商店购买的费用：（元）； 故答案为：，； （2）解：当时， 到甲商店购买的费用：（元）； 到乙商店购买的费用：（元）； ， 则到甲商店购买较为合算； （3） 解得： 答：小新需要购买50张宣纸． 【跟踪专练2】某公园门票价格规定如表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 15元 13元 11元 某校七年级一班和二班两个班共102人去游园，其中一班有40多人，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1422元． (1)求两个班各有多少学生； (2)如果一班少去5人，两个班去游园最少花_____元钱． 【答案】(1)七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有54名学生 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方案问题，有理数的计算，找出其等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意，设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有名学生，然后列出方程即可； （2）先算出此时的总人数，分2种情况考虑，第一种按实际人数97张购票，第二种，购买101张票，分别算出费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有名学生， 依题意得：， 解得：， ． 答：七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有54名学生． （2）解：一班少去5人后，总人数为人， 此时有两种购票方案： 第一种，按实际人数97张购票： 费用为元； 第二种，购买101张票： 费用为元； 比较可知，最少花费为1111元， 故答案为：． 一.单选题 1．某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，且每天生产的螺栓和螺母按配套，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．设有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母，从而可得每天生产的螺栓为个，生产的螺母为个，再根据每天生产的螺栓和螺母按配套列出方程即可． 【详解】解：由题意，设有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母， ∴每天生产的螺栓为个，生产的螺母为个， ∵每天生产的螺栓和螺母按配套， ∴． 故选：B． 2．一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并正确找出等量关系．设还需要天完成这项工程，将工作总量视为单位“”，列方程求解即可． 【详解】解：设还需要天完成这项工程， 根据题意可得 解得， 即还需要天完成， 故选：A． 3．某商品进价为元，售价为120元，按售价的8折出售仍可获利，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找准等量关系是解题的关键． 根据题意，商品按售价8折出售后仍可获利20%，即利润为进价的20%，利润等于打折售价减去进价，由此建立方程． 【详解】解:根据题意列方程得， 故选：A． 4．2022年11月足球世界杯又一次让人们沉浸在了足球竞技的美好中，某校举办足球比赛，计分规则：胜一场积2分，负一场扣1分，平场积0分．如果某队在本次比赛共参赛10场（无平场），积14分，那么该队胜场数为（） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐蔽，要注意仔细审题，耐心寻找．设该队胜了场，根据共参赛10场，得了14分，列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设该队胜了场，根据题意得： ， 解得：， 所以该队胜了8场； 故选：． 5．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 6．幻方最早源于我国，南宋以后被数学家系统研究并称为纵横图．在如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，先求出，再列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：如图，设第一行中间的数为， 由题意得，， 解得， ∴， 解得， 故选：C． 7．一个长方形的周长为，长比宽多．设宽为，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据长方形周长公式和长比宽多的条件，列出方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为，由题意可列方程为； 故选D． 8．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移2个单位长度，得到点C．若点C到A、B两个点的距离相等，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间距离，先用含a的式子表示出点C表示的数，再根据点C到A、B两个点的距离相等，列方程，解方程即可． 【详解】解：将点A向右平移2个单位长度，得到点C， 点C表示的数为， 点C到A、B两个点的距离相等， ， 解得， 故选C． 9．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下5棵树苗未种：如果每人种11棵，则缺3棵树苗，若设种树的人数为人，则依题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．根据树苗总棵数不变，由两种种树方案列出方程． 【详解】解：设种树的人数为人， ∵每人种10棵，剩下5棵树苗未种， ∴树苗总棵数为； ∵每人种11棵，缺3棵树苗， ∴树苗总棵数为； ∴， 故选：A． 二.填空题 10．某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据收费标准，用电量超过100度时，电费由两部分组成：前100度按每度元收费，超出部分按每度元收费，已知总电费为77.4元，据此列方程． 【详解】解：依题意，（元）， ∵， ∴用电量x超过度， 因此，总电费为前度的电费加上超出部分的电费，即， 故答案为：． 11．已知、、三点在同一直线上，某人乘船由地顺流而下到地，然后又逆流而上到地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是7千米/小时，水流速度是1千米/小时，若、两地距离为2千米，则、两地之间的距离是 千米． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可知，船顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时，设、两地之间的距离为千米，分两种情况讨论：当在线段上时和当在线段的反向延长线上时，根据顺流速度和逆流速度列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，船顺流速度为千米/小时，逆流速度为千米/小时， 设 、两地之间的距离为千米， 情况一：当在线段上时， 有， 两边同乘得：， 即， ， 解得； 情况二：当在线段的反向延长线上时， 有， 两边同乘得：， 即， ， 解得； 综上可知，、两地之间的距离为或千米， 故答案为：或． 12．甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 【答案】24 【分析】本题考查了列方程解应用题，设未知数，利用等量关系列方程是解题的关键. 【详解】解：设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得： ， 解得：， ， 故答案为： ． 13．若日历中连续五天的日期之和为70，则这五天中的第一个日期是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 设第一个日期为x，则连续五天的日期分别为，根据它们的和为70列方程求解即可． 【详解】解：设第一个日期为x，则这五天日期依次为． 根据题意，得． 整理得，解得：． 所以这五天中的第一个日期是12． 故答案为12． 14．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房住；如果每一间客房住人，那么就空出一间客房，求该店有客房多少间？设该店有客房间，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了古代问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 根据题意，总人数保持不变，通过两种住宿方案分别表示总人数并建立等式． 【详解】解：设客房有间，则第一种住宿方案的总人数为，第二种住宿方案的总人数为，由于总人数相等，故可列方程为． 故答案为：． 15．根据图中的信息有两个圆柱量筒，可列出的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形量筒中水的体积为右边一个圆柱形量筒中水的体积为，然后再根据两个量筒里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒中水的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 16．一台仪器由2个部件和3个部件构成．用钢材可以做80个部件或240个部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（2个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解． 本题主要考查一元一次方程在配套问题中的应用，熟练掌握根据部件配套比例建立方程是解题的关键． 【详解】解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件, 由题意得， 解得， ∴， 做A部件数量：（个），做B部件数量：（个）， 可制作仪器数量：台（此时A部件和B部件数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成台仪器． 三.解答题 17．列方程解应用题:某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【答案】(1)甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米 (2)甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由题意得，设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米，根据甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队单独修建了y天，则甲单独修建的费用为万元，甲乙共同修建的费用为万元，甲乙每天共同费用为万元，进而可求出共同修建的天数为天，再根据“地下路段总长220米”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米， 由题意得， 解得， ∴乙每天修建：米， 答：甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米； （2）解：∵工程二期，甲、乙每天修建地下道路的长度为一期的一半， ∴甲每天修地下道路：米；乙每天修地下道路：米， 设甲工程队单独修建了y天， ∴甲单独修建的费用：万元，甲乙共同修建的费用：万元，甲乙每天共同费用为万元， ∴共同修建的天数为天， ∵“地下路段总长220米”， ∴ 解得． 答：甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天． 18．某合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中种水果收购单价为10元种水果收购单价为15元． (1)A，B两种水果各购进多少千克？ (2)若种水果全部售出，要使种水果获得的利润，不计其他费用，求种水果的销售单价． 【答案】(1)种水果购进，种水果购进 (2)A种水果的销售单价为12元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设种水果购进，则种水果购进，根据该合作社用元从农户处购进，两种水果共进行销售，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设种水果的销售单价为元，根据种水果获得的利润，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设种水果购进，则种水果购进． 根据题意，得， 解得，． 故种水果购进，种水果购进． （2）解：设种水果的销售单价为元． 根据题意，得， 解得． 故种水果的销售单价为元． 19．中国航天实现历史性高质量跨越式发展，太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评，某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分，萌萌同学在此次知识竞赛中的得分是72分，求她答对了多少道题？ 【答案】她答对了16道题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错或不答道题，通过设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， ， ， ， ， 答：她答对了16道题． 20．为了丰富课后服务课程，某校开设了篮球兴趣班和足球兴趣班．现需要给兴趣班每人分别购买一个篮球或一个足球，已知篮球每个元，足球每个元，足球兴趣班的人数比篮球兴趣班的人数多，买篮球和足球的总费用相等，问两个兴趣班各有多少人？ 【答案】篮球兴趣班有人，足球兴趣班有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设篮球兴趣班有人，则足球兴趣班有人，则买篮球的总费用为元，买足球的总费用为元，根据题意，得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设篮球兴趣班有人，则足球兴趣班有人，买篮球的总费用为元，买足球的总费用为元， 根据题意，得， 解得：， ∴足球兴趣班有， 答：篮球兴趣班有人，足球兴趣班有人． 21．某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 【答案】(1)C (2)三个体育社团的总人数为95人 【分析】本题考查了一元一次方程解应用题，解题的关键是理解题意，找出数量之间的关系． （1）由题意可知：篮球社人数最多，进而可知篮球社人数所占比例最多、比足球社人数多，可得答案； （2）设三个体育社团总人数为x人，列方程，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：篮球社人数最多， 所以篮球社人数所占比例最多，比足球社人数多， 所以选项A、B错误，选项C正确； （2）设三个体育社团总人数为x人，由题意可得： 解这个方程得：， 所以三个体育社团的总人数为95人． 22．如图是某年11月的月历，请回答下列问题： (1)图中用框数器“”框出的五个数的和是多少？ (2)将框数器“”在图中换个位置框出五个数，记正中间的数为a，则框出的五个数的和是多少？ (3)用框数器“”框出的五个数的和可能等于93吗？若能，求出最中间的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)65 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了月历中的数字规律与一元一次方程的应用，解题的关键是找出框出的五个数与中间数的数量关系． （1）直接计算框出五个数的和； （2）用中间数表示其余四个数，求和化简得和为； （3）根据和与中间数的关系列方程，判断解是否为整数且符合月历实际． 【详解】（1）解：框出的五个数为、、、、，和为． 答：这五个数的和是． （2）解：设正中间的数为，则左上角、右上角、左下角、右下角的数分别为、、、，和为． 答：这五个数的和是． （3）解：假设和为，则， 解得． 是月历中的数，应为整数， 不存在这样的数． 答：这五个数的和不可能等于． 23．“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是斤，设每个士兵的体重是斤． (1)可列出等量关系：“块条形石的重量”“个士兵的体重”“______块条形石的重量”“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 【答案】(1)， (2)的值是 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据船上条形石块的重量和士兵的个数找到相等关系． (1)根据船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变，可知相等关系是块条形石的重量个士兵的体重块条形石的重量个士兵的体重； (2)根据(1)中的相等关系列方程求解即可； (3)根据条形石块的重量和士兵的重量求出大象的重量． 【详解】（1）解：船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变， 块条形石的重量个士兵的体重块条形石的重量个士兵的体重, 故答案为：，； （2）解：设每个士兵的体重是斤， 根据题意可得：， 解得：； （3）解：由(2)可知一个士兵的体重是斤， 大象的体重是(斤)， 答：大象的重量是斤， 故答案为：6020． 一.单选题 1．某商店卖出两件衣服，每件售价元，其中一件赚，另一件亏，那么两件衣服卖出后，商家（    ） A．不赚不亏 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设赚的衣服成本为元，亏的衣服成本为元，分别计算两件衣服的成本价：赚的衣服成本为售价除以，亏的衣服成本为售价除以，比较总成本与总售价，判断盈亏即可， 【详解】解：设赚的衣服成本为元，亏的衣服成本为元， ∵ 售价成本（利润率）”， ∴ ， 即， ∴， 同理，， 即 ， ∴ ， ∴总成本为元，总售价为元， ∴元， ∴亏了元， 故选：C． 2．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组： 第1组：2，4 第2组：6，8，10，12 第3组：14，16，18，20，22，24 第4组：26，28，30，32，34，36，38，40 … 现用表示第组从左往右数第个数，则当时，的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字规律探索、一元一次方程的应用，确定前组的偶数总数与组内数的特征是解题关键． 由分组规律可知，第组有个偶数，前组共有个偶数，第组最后一个偶数为，通过计算可以确定位于第组，即，再求出组内位置，从而计算． 【详解】解：∵前组共有偶数个数为， ∴第组最后一个偶数为， 当时，， 当时，， ∴位于第组，即， 第组第一个偶数为， 设第个偶数为， 则， 解得， ∴． 故选：． 3．如图，甲、乙、丙三根笔直木棒平行摆放在桌上．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲、丙没有与乙重叠部分的长度分别为．若乙的长度最长且与甲、丙的长度差分别为，则乙的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式、整式加减的应用，理解题意，找到三根木棒长度间的等量关系是解答的关键． 设乙的长度为，根据题意得甲的长度为：；丙的长度为：，根据甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度=乙的长度列等量关系即可求解． 【详解】解：设乙的长度为， ∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差，乙、丙的长度相差， ∴甲的长度为：；丙的长度为：， ∴甲与乙重叠的部分长度为：； 乙与丙重叠的部分长度为：， 由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度=乙的长度， ∴， 整理，得， 解得 ∴乙的长度为：， 故选：B． 4．已知在数轴上点从原点出发，每次随机向左移动3个单位长度或向右移动2个单位长度．移动次后，点位于数字1上，则下列说法正确的是（   ） A．是奇数 B．是偶数 C．是3的倍数 D．是5的倍数 【答案】D 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 设向左移动次数为，向右移动次数为，则总次数，最终位置为．联立方程可得，因此必须是5的倍数，才为整数． 【详解】解：点移动次后位于1，设向左移动次，向右移动次， ，且． 将代入得：，化简得． 为整数， 必须是5的倍数， 故选D． 5．甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，甲乙二人从A、B两地同时出发，沿连接A、B两地的一条笔直道路相向而行，二人在离A、B两地中点120米处相遇；如果甲在途中休息了一段时间，那么二人在离中点120米处相遇，甲休息了（）分钟． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先根据第一次相遇点离中点120米，利用速度比求出A、B距离和中点位置；第二次相遇点同样离中点120米，但甲休息，乙继续走，通过相遇点位置关系列方程求解． 【详解】解：设A、B两地距离为S米，中点为M，离M点120米处相遇． 第一次相遇：甲速度80米/分，乙速度60米/分， ∵甲速度快， ∴相遇点在M靠近B侧，甲走距离为，乙走距离为，速度比， ∴， 解得． 第一次相遇时间（分钟）． 第二次相遇：甲休息x分钟，乙走t分钟，甲走分钟． 甲走距离，乙走距离，总和， 简化得． ∵甲休息后走得少， ∴相遇点在M靠近A侧，甲走距离米，乙走距离米． ∴ 即， 解得， ∴甲休息了7分钟． 故选：C． 6．如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（   ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了日历中数的排列规律，一元一次方程的应用及整数的计算，先设出中间的数，再根据日历中数的排列规律表示出其余四个数，进而得出这五个数的和的表达式，最后根据表达式逐一分析选项． 【详解】解：设中间的数为x，则上面一行的两个数分别为和，下面一行的两个数分别为和， ∴这五个数之和为， A项：若五个数之和为75，即，解得，此时最小的数是，最大的数是，在日历表中可以框出这样的五个数，不符合题意； B项：若五个数之和为100，即，解得，此时最小的数是，最大的数是，在日历表中可以框出这样的五个数，不符合题意； C项：若五个数之和为115，即，解得，此时最小的数是，最大的数是，在日历表中可以框出这样的五个数，不符合题意； D项：若五个数之和为120，即，解得，此时最小的数是，最大的数是，而日历中一个月最多31天，不存在32号，所以结果不可能是120，在日历表中不可以框出这样的五个数，符合题意， 故选：D． 7．图是我国古代传说中的“洛书”，图是“洛书”的数字表示相传，大禹时，洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹大禹依此治水成功，遂划天下为九州又依此定九章大法，治理社会、流传下来收入尚书中，名洪范，易系辞上说：“河出图洛出书，圣人则之”“洛书”是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等图中，若，，，，则常数的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据每一横行三个数之和等于，可找出，，由，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每一横行的和为，则每一竖列的和、每条斜对角线上的数字之和的和都为， 则，，，，，， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， 解得：． 故选：D． 8．一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，小猴子从最边上的一块石头（起点）处开始，每两块之间的距离是1.5米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有（    ） A．5块 B．16块 C．17块 D．18块 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，规律问题的探索，解题的关键是表示出当石头个数为块时，所需要走的距离． 设有块石头，为自然数，中间石头的两边都有块石头，两边最远的距离都是米，再往中间的距离依次为，，……，，，除第一次搬石头走1次外，其余石头都需要走2次，列式求解即可． 【详解】解：设有块石头，为自然数， 由题意可得：中间石头的两边都有块石头，两边最远的距离都是米，再往中间的距离依次为，，……，，， 除第一次搬石头走1次外，其余石头都需要走2次， 则： 即 因为石头的总数为奇数个， 所以排除B、D选项， 当石头总数为5块时，即，解得 将代入可得，A选项不符合题意； 当石头总数为17块时，即，解得 将代入可得，则C选项符合题意， 即这些石头共有17块 故选C 二.填空题 9．乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事．在圆柱形玻璃杯中已有定量的水，将大小相同的石子一个个慢慢投入其中．图①，②，③分别为投入2个，3个，10个石子后的水位情况，当投入10个石子时，水位恰好到达水杯的高度．若水位高度为，则此时杯中投入了 个石子． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意和图意，找到相应的变化规律，是解决本题的关键． 设圆柱形玻璃杯的高度为，根据题意，投入3个石子时，水位的高度为，比①中的水位增高，此时多投了一个石子，继而得到投入一个石子水位上升，③比①多投了8个石子，水位升高，根据题意列方程为，解方程解答即可． 【详解】解：设圆柱形玻璃杯的高度为，根据题意，投入3个石子时，水位的高度为，比①中的水位增高，此时多投了一个石子，继而得到投入一个石子水位上升，③比①多投了8个石子，水位升高， 根据题意，得， 解得， 当水位高度为，实际升高了， 此时增加的石子个数为：（个） 故此时杯中投入了8个石子． 故答案为：8． 10．《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题得关键. 设太仓距上林里，利用时间路程速度，结合日往返次，即可得出关于的方程． 【详解】解：设太仓距上林里， 依题意得：． 故答案为：． 11．2025年11月的日历如图所示，用的正方形框出四个数．如果这四个数的和能被12整除，这四个数和的最大值为 ． 【答案】96 【分析】本题考查的是列代数式，合并同类项，求解代数式的值． 先根据表格中的数据信息分别表示这四个数，再求和即可，再根据能被12整除的数的特征结合表格特点可得答案. 【详解】解：设被框住的最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴被框住的这4个数的和为． ∵能被12整除， ∴． ∴x的最大值为：． ∴和的最大值为：． 故答案为：96． 12．为进一步改善生态环境，村委会决定将一块土地分成甲，乙，丙三个区域来种树．村委会将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原甲区域的面积错划分给了乙区域，而原乙区域30%的面积错划分给了甲区域，丙区域面积未出错，造成现乙区域的面积占甲，乙两区域面积和的．为了协调三个区域的面积占比，村委会重新调整三个区域的面积，将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域．如果调整结束后，甲，乙，丙三个区域的面积比变为，那么村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为 ． 【答案】 【分析】设甲，乙，丙三个区域原来的面积分别为x，y，z，根据原甲区域的面积错划分给了乙区域，而原乙区域30%的面积错划分给了甲区域，现乙区域的面积占甲，乙两区域面积和的列方程为，求出，再利用将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域．如果调整结束后，甲，乙，丙三个区域的面积比变为解出，由甲、乙后来面积相等得出从丙区域划分给甲区域的面积为，求出比值即可． 【详解】解：设甲，乙，丙三个区域原来的面积分别为x，y，z， ， 解得 则此时，甲区域： 乙区域：， 将丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域和乙区域，甲，乙，丙三个区域的面积比变为， 则 解得：， 设最后从丙区域面积的分两部分划分给现在的甲区域面积为，则 ， 解得， ∴村委会调整时从丙区域划分给甲区域的面积与三个区域总面积的比为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，关键是理解题意找出等量关系，正确列出一元一次方程． 13．如示意图，两地间有一条河，两地间路程共米（包括旱路与水路），且两地到河岸均有一定距离，甲、乙二人从地出发到地，乙先于甲出发，当乙走到岸边处登船渡河时，甲从地出发；当小船将乙送过河后再空船原路返回到达地岸边处时，甲刚好到达处登船；当小船将甲送到对岸处时，乙恰好到达地，现已知甲、乙二人步行速度均为米／分钟，小船在水中行驶的平均速度为米／分钟（不考虑水流速度影响），则两地间水路的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设两地水路的长度为米，则乙从A到C的时间为船渡河的往返时间：分钟，甲从D到B的时间为船从D到C的时间加上乙乘船C到D的时间：分钟，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设两地水路的长度为米，则乙从A到C的时间为船渡河的往返时间：分钟，甲从D到B的时间为船从D到C的时间加上乙乘船C到D的时间：分钟，由题意得， ， 解得， ∴两地间水路的长度为米， 故答案为：． 14．某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意分情况列一元一次方程是解题的关键． 设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时，由题意知，，解得，，分①当时，②当时，③当时，三种情况列方程计算求解即可． 【详解】解：设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时， 由题意知，，解得，， ①当时， 依题意得，， 解得：， ∴月份的用电量为千瓦⋅时； ②当时， 依题意得，， 解得：，不合题意，舍去； ③当时， 依题意得，， 方程无解； 综上所述，月份的用电量为千瓦⋅时； 故答案为：． 15．甲仓库原有货物吨，乙仓库原有货物吨，现需从两个仓库共调出吨货物支援灾区，当货物完成调配后，其中一个仓库剩余货物是另一个仓库剩余货物的倍，则需要从甲仓库中，调出 吨货物． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程应用的调运问题，核心是先设从甲仓库调出吨，用含的式子表示两仓库调出量和剩余量，再针对“一个仓库剩余是另一个倍”分两种情况列方程，求解后结合实际验证解的合理性，同时考查了分类讨论思想和实际问题的验证能力． 【详解】解：设从甲仓库调出吨货物，则从乙仓库调出吨货物．调配后，甲仓库剩余货物为吨，乙仓库剩余货物为吨． 由题意，剩余货物满足倍数关系，有两种情况： 情况一：甲仓库剩余是乙仓库剩余的倍，即． 解方程：． 情况二：乙仓库剩余是甲仓库剩余的倍，即． 解方程：． 检验：当时，从甲调出吨，甲剩余吨；从乙调出吨，乙剩余吨，，符合题意． 当时，从乙调出吨，调出量为负，不合理，舍去． 故从甲仓库调出吨货物． 故答案为：． 16．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资＋奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 表1 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表2 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表3 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 【答案】(1)1盒饼干售价为370元 (2)每盒糖果的进价为250元 (3)当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意和正确列方程并求解． （1）设1盒饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，根据购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元，建立一元一次方程，求解即可； （2）根据题意得12月份1盒饼干售价为410元，1盒糖果的售价为400元，饼干销售量为500盒，糖果的销售量为盒，根据总销售额等于总成本，建立一元一次方程，求解即可； （3）由销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元，可计算出月成交销售额为376000元，设购进饼干的数量为m盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额为376000元，建立一元一次方程，求解出m的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盒饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，由题意得， ， 解得：， 答：1盒饼干售价为370元． （2）解：12月份1盒饼干售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干销售量为500盒，糖果的销售量为（盒）， 设每盒饼干的进价为y元，则每盒糖果的进价为元，由题意得， ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为250元． （3）解：由题意得， （元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， ①当饼干的数量大于1500盒，糖果的数量小于500盒时， 此时饼干的总进价为， 糖果的总进价为， ∴， 解得：， （盒）； ②当饼干的数量大于1000盒小于1500盒，糖果的数量大于500盒小于1000盒时， 此时饼干的总进价为， 糖果的总进价为：， ∴， 解得：， （盒）； 综上，购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒；或购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒； 当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利： （元）； 当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利： （元）， 答：当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元． 17．小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比 ①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决 如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②或或 【分析】本题考查线段和差，几何图形中的角度计算，一元一次方程； （1）①根据题意得，，，再结合中点得到，即可求出； ②根据题意得，，，由角平分线得到，即可求出； （2）①由角平分线得，根据题意得，，当射线与重合时，，根据列方程求解；再根据与不重合时，根据列方程求解即可； ②先求出与两次次相遇时间，当到达时间，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时间；当到达时间，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时间；再根据这些时间段分别画出图形，表示出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； ②根据题意得，，， ∵射线平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，平分， ∴， 根据题意得，，          当射线与重合时，，此时，即，解得； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 综上所述，当时，； ②由①得当时，与第一次相遇； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当和第二次相遇时，，解得； 当时，与第一次相遇之前， ， 由得， 解得； 当时，与第一次相遇之后，到达之前， ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之前，此时，，   ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之前，此时，，   ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之后，直到旋转至时，、均停止转动．此时，，   ， 由得， 解得，不合题意， 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或或． 18．如图①，在直角三角形 中，，，， (1)动点E，F同时从A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，经过 秒两点首次相遇，相遇时它们距点B 个单位长度： (2)如图②，动点K从B出发，沿折线运动，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，设点K的运动时间为t秒，当的面积最大时，直接写出t的值为 ； (3)如图③，将三角形的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿折叠在三角形的两边上，得到一条“折线数轴”．把两点所对应的两数之差的绝对值叫做这两点间的距离．例如点M和点N在折线数轴上的距离为个单位长度，点P从点M出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度沿数轴的正方向向点N运动，同时，点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向向点M运动．设运动时间为t秒，一点到达终点时另一点也同时停止运动，当时，请你列出含有t的等式．例如，当秒时，，，列等式为：； 在点P和Q运动过程中，请你列出其他的含有t的等式． 【答案】(1)8，2 (2) (3)或 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）用总路程除以两点的速度和，求出相遇时间，进而求出点走的路程，即可得出结果； （2）根据题意，易得当点与点重合时，的面积即为的面积，此时面积最大，进行求解即可； （3）分5种情况进行讨论，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：相遇时间：（秒）， E走的路程为：， 相遇点到B的距离为：， 故答案为：8，2； （2）解：当K运动到与点C重合时，的面积最大，此时 故答案为：4； （3）解：从M到A所用时间：， P从A到C所用时间：， P从C到N所用时间：， Q从N到C所用时间：， Q从C到A所用时间：， 当时，，， ， ， 解得，符合题意； 当时，，， ， ∴， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意 当时，，， ，不符合题意； 当时，，， ， ∴， 解得，不符合题意； 综上所述，或． 19．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为， 根据题意可得， ∵， ∴， 解得：或 ∴的值为或． （3）解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即， 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法． 20．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 【答案】(1)15 (2)1，2，4 (3) 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可； （2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子； （3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）由题意知，， 解得． 21．图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，． (1)______（填“”，“”或“”）； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______可得______； (3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由． (4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)= (2)，0 (3)不能，理由见解析 (4)是定值，定值为 【分析】此题考查列代数式及整式加减的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，弄清楚数字的排列规律． （1）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （2）分别用含的式子表示，，，，列出代数式，化简后比较即可得出结论； （3）分别用含的式子表示，，，，根据，列出方程求解即可； （4）分别用含的式子表示，，，，代入到，再化简，即可解决问题． 【详解】（1）解：设，则，，， ，， ． 故答案为：=． （2）由（1）得，， ． 故答案为：，0． （3）由（1）得，，，，， ， 整理得：，解得． 8在月历表中第二行最后一个数， 无法框出九方格． ∴不能； （4）由（1）得，，，，， ． ∴代数式的值是定值，它的值为． 22．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，；③3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． ③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元）， 一台A型号冰箱的利润为（元）， B型号冰箱的成本价为（元）， 一台B型号冰箱的利润为（元）， 假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台； 故答案为：3或6． 23．《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何．”其译文如下：现有甲、乙两人，身上各有多少钱，不清楚。如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，那么甲一共是48钱；如果乙的钱数加上甲的钱数的，那么乙一共也是48钱．问甲、乙两人原来各有多少钱． 【答案】甲原来有36钱，乙原来有24钱 【分析】本题可通过设甲原有钱数为未知数，根据乙的钱数的两种不同表示方法列出一元一次方程来求解。解题思路是先设甲的钱数，再根据题目条件表示出乙的钱数，最后利用乙的钱数不变建立等式． 【详解】解：设甲原来有钱，则乙原来有钱． 根据题意，得， 解得，则． 故甲原来有36钱，乙原来有24钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握设甲的钱数为未知数，根据乙的钱数的不同表示方法列出方程求解是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $