3.1 导数的概念、运算及几何意义 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念、运算及几何意义”核心考点，依据高考评价体系梳理了导数定义、运算法则、几何意义三大考查模块，通过真题分析明确切线方程、参数取值等高频考点权重，归纳导数运算、切线求解等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，如以2022新高考Ⅰ卷切线问题为例，提炼“设切点、求导数、列方程”三步法，培养学生数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）能力。设“易错警示”和“跟踪训练”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导复习。

第一节　导数的概念、运算及几何意义 1 知识清单 1.导数的概念 (1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，我们把比值，即叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 剖析　Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 返回导航 2 (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝. (3)导函数：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝. 返回导航 3 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为______________________________________________________． 剖析　(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，具有唯一性． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条． 斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 返回导航 4 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝loga x(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 0 αxα-1 cos x －sin x ax ln a ex 返回导航 5 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝________________； [f(x)g(x)]′＝________________________； ＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝________． f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 返回导航 6 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)， u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． y′u·u′x 返回导航 7 【常用结论】 1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 返回导航 8 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) × × √ × 返回导航 9 2．(人教A版选修二P70练习T2)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　) A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0 B．f′(1)＜f′(2)＜f′(3)＜0 C．0＜f′(1)＜f′(2)＜f′(3) D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3) 答案：A 返回导航 10 解析：由函数f(x)的图象可知，∵当x≥0时，f(x)单调递增，∴f′(1)，f′(2)，f′(3)＞0，∵随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，∴f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0.故选A. 返回导航 11 3．(人教A版选修二P81习题T1，2改编)下列求导运算正确的是(　　) A．(ln 2)′＝ B．(3x＋log3x)′＝(3x＋x)ln 3 C．′＝ D．′＝ 答案：D 返回导航 12 解析：(ln 2)′＝0，A错误；(3x＋log3x)′＝3x ln 3＋，B错误；′＝ex，C错误；′＝，D正确．故选D. 返回导航 13 4．(人教A版选修二P81习题T4(2))函数f(x)＝x ln x在点(1，0)处的切线方程为____________________________________________________． x－y－1＝0 解析：因为f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1，所以函数f(x)＝x ln x在点(1，0)处的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0. 返回导航 14 命题点一　导数的概念及运算 例1：(1)已知f′(x)是f(x)的导函数，且f′(1)＝3，则＝(　　) A．3　　　B．6 C．－6　　　D．－ 答案：C　 返回导航 15 解析：因为f′(1)＝＝ ＝3，所以＝－6.故选C. 返回导航 16 (2)(多选)下列求导运算中错误的是(　　) A．′＝ B．′＝ C．(x2cos x)′＝－2x sin x D．(ln 2＋log2x)′＝ 答案：ACD 返回导航 17 解析：对于A，′＝，故A错误；对于B，′＝故B正确；对于C，，故C错误；对于D，(ln⁡2+′＝，故D错误．故选ACD. 返回导航 18 学霸笔记：(1)由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母也应该是(1－Δx) －1，要注意公式的变形． (2)求复合函数的导数应分清复合关系，适当选定中间变量，分层求导． 返回导航 19 跟踪训练　(1)函数y＝x－cos (2x－1)的导数为(　　) A．y′＝1－sin (2x－1) B．y′＝1＋sin (2x－1) C．y′＝1－2sin (2x－1) D．y′＝1＋2sin (2x－1) 答案：D　 解析：依题意，y′＝1＋sin (2x－1)·(2x－1)′＝1＋2sin (2x－1)．故选D. 返回导航 20 (2)若函数f(x)＝6x3－2f′(1)x，则f′(1)＝__________． 6 解析：f′(x)＝18x2－2f′(1)，则f′(1)＝18－2f′(1)，解得f′(1)＝6. 返回导航 21 命题点二　导数的几何意义及应用 考向1　求切点坐标 例2：已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则切点的坐标为(　　) A．(－1，1) B．(1，1) C．(－2，1) D．(2，1) 答案：B 返回导航 22 解析：由f(x)＝ln x＋a，则f′(x)＝，设直线y＝x与曲线f(x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)，则根据题意可知＝1且ln x0＋a＝x0，解得a＝x0＝1，代入f(x)＝ln x＋1得f(1)＝1，故B正确．故选B. 返回导航 23 学霸笔记：已知在某点处的切线方程(或斜率)求切点，先求导再让导数等于切线的斜率，求出切点的横坐标，再代入函数解析式求出切点的纵坐标． 返回导航 24 跟踪训练　曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为(　　) A．(－1，－1) B． C．(1，e－1) D．(1，2e－1) 答案：B 解析：y′＝(x＋1)ex－1，令(x＋1)ex－1＝－1，则(x＋1)ex＝0，故x＝－1，当x＝－1时，y＝－e-1－(－1)＝1－，即P的坐标为.故选B. 返回导航 25 考向2　求切线方程 例3：数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：A　 返回导航 26 解析：f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝.故选A. 返回导航 27 (2)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． y＝ y＝－ 解析：当x>0时，y＝ln x，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)(x1>0)，则此时切线方程为y－ln x1＝.若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝.当x<0时，y＝ln (－x)，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. 返回导航 28 学霸笔记： (1)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)·(x－x0)． (2)求过点P的切线方程的步骤． 第一步：设出切点坐标P ′(x1，f(x1))； 第二步：写出在点P ′(x1，f(x1))处的切线方程y－f(x1)＝f ′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f ′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 返回导航 29 跟踪训练　(1)函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．3x－6y－1＝0 B．4x－9y－1＝0 C．3x－3y－2＝0 D．5x－9y－2＝0 答案：B　 解析：f′(x)＝，所以f′(1)＝，又f(1)＝，则切线方程为y＝(x－1)＋，即4x－9y－1＝0.故选B. 返回导航 30 (2)过点(1，6)且与曲线y＝2x3＋4相切的直线方程为(　　) A．6x－y＝0 B．9x－y－3＝0 C．6x－y＝0或3x－2y＋9＝0 D．9x－y－3＝0或3x＋2y－15＝0 答案：C 返回导航 31 解析：设切点为，因为y′＝6x2，所以y′|x＝＝6，所以曲线y＝2x3＋4在点处的切线方程为y－＝(x－x0)．又该切线经过点(1，6)，所以6－＝(1－x0)，整理得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－，所以切线方程为6x－y＝0或3x－2y＋9＝0.故选C. 返回导航 32 考向3　求参数的值或取值范围 例4：(1)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝________. 4 返回导航 33 解析：方法一　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 方法二　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，则解得a＝4. 返回导航 34 (2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_____________________． (－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝，即，整理得＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0. 返回导航 35 真题探源　(源自人教A版选修二P82T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值． 解析：∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2ae0＝2a.又∵该切线与直线2x－y＋1＝0垂直，∴2a×2＝－1，∴a＝－. 返回导航 36 学霸笔记：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 返回导航 37 1．曲线y＝x＋在x＝1处的切线斜率为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 答案：B 解析：因为y′＝1－，所以曲线y＝x＋在x＝1处的切线斜率为1－＝－1.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 2．(2026·盘锦模拟)若函数f(x)＝cos x，则 ＝(　　) A．4sin 1 B．－4sin 1 C．sin 1 D．－sin 1 答案：B 解析：由题意得，f′(x)＝－sin x，则＝4f′(1)＝－4sin 1.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 3．(2026·南通模拟)设a是大于1的常数，则(　　) A．′＝ B．(xax)′＝ax＋xax lg a C．[ln (a－x)]′＝ D．(a sin x＋x cos a)′＝a cos x－x sin a 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 解析：′＝－'′＝ax＋xax ln a，B错误；[ln (a－x)]′＝·(a－x)′＝－，C正确；(a sin x＋x cos a)′＝a cos x＋cos a，D错误．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 4．若函数f(x)的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)<<f′(4) B．<f′(1)<f′(4) C．f′(4)<f′(1)< D．f′(4)<<f′(1) 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 解析：由题图可知，f(x)单调递增，且增长趋势越来越慢，f′(1)表示函数在(1，f(1))处切线的斜率，f′(4)表示函数在(4，f(4))处切线的斜率，表示点(1，f(1))与(4，f(4))两点连线的斜率，由题图可知f′(4)<<f′(1)．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 5．已知函数f(x)＝，f′(m)＝2，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．0或－2 答案：D 解析：函数f(x)＝，求导得f′(x)＝，则f′(m)＝＝2，解得m＝0或m＝－2.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 6．(2026·平顶山模拟)函数f(x)＝ex＋ax在x＝0处的切线与直线3x－2y－5＝0平行，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：函数f(x)＝ex＋ax的导函数为f′(x)＝ex＋a，函数在x＝0处的导数即为切线的斜率f′(0)＝e0＋a＝1＋a，且切线与直线3x－2y－5＝0平行，则有1＋a＝，可得a＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 7．过点(0，－e)作函数f(x)＝x ln x的切线方程为(　　) A．x－y－e＝0 B．x＋y＋e＝0 C．2x－y－e＝0 D．x＋2y＋2e＝0 答案：C 解析：由f′(x)＝ln x＋1，设切点为(m，m ln m)，则f′(m)＝ln m＋1，所以切线方程为y－m ln m＝(1＋ln m)(x－m)，又切线过点(0，－e)，所以－e－m ln m＝(1＋ln m)(0－m)，整理得m＝e，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 8．(2026·六安模拟)已知函数f(x)＝x(ln x＋ax)的图象与x轴相切，则a的值为(　　) A． B．－ C．e D．－e 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 解析：易知f(x)＝x ln x＋ax2，定义域为(0，＋∞)，曲线y＝f(x)与x轴相切，设切点为(x0，0)，x0>0，易得x0ln x0＋＝0，故ln x0＋ax0＝0，又f′(x)＝1＋ln x＋2ax，f′(x0)＝1＋解得故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 9．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为的点的坐标为(　　) A．(1，1) B．(－1，－1) C． D． 答案：AB 解析：切线的斜率k＝tan ＝－1，又f′(x)＝－，所以－＝－1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 10．(2026·秦皇岛模拟)若直线y＝mx－3与曲线y＝x4＋x相切，则m的值可以为(　　) A．－3 B．2 C．4 D．5 答案：AD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 解析：函数y＝x4＋x，求导得y′＝4x3＋1，设直线y＝mx－3与曲线y＝x4＋x相切的切点为(t，t4＋t)，则曲线y＝x4＋x在点(t，t4＋t)处的切线方程为y－(t4＋t)＝(4t3＋1)(x－t)，依题意，解得t＝－1，m＝－3或t＝1，m＝5，所以m的值可以为－3或5.故选AD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 11．(2026·邯郸一模)已知函数f(x)＝x3－2x2－5x，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为________________． y＝2x＋4 解析：f′(x)＝3x2－4x－5，所以切线的斜率为k＝f′(－1)＝3＋4－5＝2，f(－1)＝－1－2＋5＝2，所以曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 12．(2026·泰安模拟)若直线y＝2x是曲线y＝ax－ln (x＋1)的切线，则a＝________． 3 解析：设切点是(x0，y0)，则y0＝ax0－ln (x0＋1)，因为y′＝a－，所以切线方程是y－y0＝(x－x0)，即y＝x＋－ln (x0＋1)，所以解得x0＝0，a＝3. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 13．(13分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋4x，其导函数f′(x)的图象与x轴交于(－k，0)，(2k，0)两点，k>0. (1)求a的值； 解析：因为f′(x)＝－2x2＋2ax＋4，f′(x)的图象过点(－k，0)，(2k，0)，k>0， 所以得 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 (2)求过点(0，0)的曲线y＝f(x)的切线方程． 解析：点(0，0)在三次曲线y＝f(x)上，设切点为(x0，y0)， 由切线过原点可列方程得y0＝f′(x0)x0，且y0＝f(x0)， 由f′(x)＝－2x2＋2x＋4，得－＋4x0＝x0， 即＝0，解得x0＝0或x0＝. 又f′(0)＝4，f′＝， 所以所求切线方程为y＝4x或y＝x. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 14．(15分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根． 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 15．(5分)(2026·广州模拟)过点P(t，－2t)作曲线y＝－2x3的切线，若切线有3条，则t的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(－∞，－1) 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 解析：设f(x)＝－2x3，则f′(x)＝－6x2，设切点为(s，－2s3)，则切线斜率k＝f′(s)＝， 即－6s2＝，整理得4s3－6ts2＋2t＝0. 设g(s)＝4s3－6ts2＋2t，由题意可知g(s)有3个零点，g′(s)＝12s2－12ts，显然t≠0， 由g′(s)＝0，得s＝0或s＝t. 因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号， 所以g(0)g(t)＝2t(－2t3＋2t)<0，所以t<－1或t>1.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 16．(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x2)＝f(x1x2)，且当x>0时，f(x)>0.若f(2)＝f′(2)＝3，则f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为___________． 2x＋y＋1＝0 解析：因为f(2)＝3，所以f(2)f(x)＝f(2x)，即3f(x)＝f(2x)． 令x＝1，有3f(1)＝f(2)＝3，所以f(1)＝1. 因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝1. 由3f′(x)＝2f′(2x)，令x＝1得3f′(1)＝2f′(2)＝6，所以f′(1)＝2. 因为f(x)为偶函数，所以f′(－1)＝－2， 所以f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 $