精品解析：山东省济南市莱芜区2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题

2024—2025学年度第二学期期末考试七年级 数学试题 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件：（1）打开电视，正在播放广告；（2）任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）14名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）掷一枚正方体骰子，向上的点数是7．其中不确定事件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 的三个顶点坐标分别为，，，将平移到，其中，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C. 某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D. 试验得到的频率与概率不可能相等 7. 如图，在中，将将绕点A逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点、，连接，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知有增根，则（ ） A. B. 0 C. 或1 D. 1 9. 如图，若一次函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，P是上的任意一点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转至，使，连接．则线段长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请直接填写答案．） 11. 在不透明盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个，其中红色棋子12个，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是，则蓝色棋子个数是________． 12. 若分式的值为零，则______ 13. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为______. 14. 已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是________． 15. 已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当为时，的长为________． 三、解答题（本大题共9小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. （1）因式分解： （2）解方程： 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 先化简，再求值：已知，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕着原点O逆时针旋转，画出旋转后得到的； （3）直接写出点的坐标． 20. 小李每天开车上班，都要通过设有红、绿灯的3个交通岗． （1）小李从家到公司，经过第1个交通岗时遇到红灯的概率是_______； （2）小李想知道，他通过这3个交通岗时至少有1个绿灯的概率是多少？（请通过“画树状图”的方法给出分析过程）． 21. 如图，将一个绕点B顺时针旋转得，使得C点落在的延长线上的点处，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 22. 当时，定义一种新运算：，例如：，． （1）________． （2）若，求出n值． 23. 电影《哪吒之魔童降世》上映后，深受大家青睐，登顶全球动画票房榜榜首！与之相关玩偶也在市场上热销起来，某商店老板抓住这一商机，计划同时购进A，B两款玩偶．A款玩偶购进单价比B款玩偶购进的单价少10元，用720元购进A款玩偶的数量与用1020元购进B款玩偶的数量相同． （1）求A，B两款玩偶的购进单价分别是多少元？ （2）为满足顾客需求，商店老板决定将A款玩偶的销售单价定为35元，B款玩偶的销售单价定为50元．他计划购进A款和B款玩偶共100个，且要求A款的数量不少于B款数量的．请问当A、B两款玩偶各购进多少时，商店老板获得的总利润最高？最高总利润为多少？ 24. 观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映规律，回答下列问题： （1）________； （2）请你按利用发现的规律计算：； （3）利用上面规律解方程：． 25. 如图，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，当直线与边相交时交点为M，与边相交时交点为N． 数学思考】 （1）求的长； 【数学探究】 （2）试判断与的数量关系，并证明你的结论： 【问题延伸】 （3）当直线经过中点N时，求此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期末考试七年级 数学试题 选择题部分 共40分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件：（1）打开电视，正在播放广告；（2）任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）14名同学中一定有两人的出生月份相同；（4）掷一枚正方体骰子，向上的点数是7．其中不确定事件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不确定事件（随机事件）的定义．根据不确定事件（随机事件）的定义，可能发生也可能不发生的事件称为不确定事件．逐一分析各事件的可能性即可判断． 【详解】解：（1）打开电视，正在播放广告：电视节目可能播放广告或其他内容，结果不确定，属于不确定事件． （2） 任意掷一枚均匀硬币，正面朝上：硬币可能正面或反面朝上，结果不确定，属于不确定事件． （3）14名同学中一定有两人生日月份相同：一年有12个月，14人至少2人同月（抽屉原理），属于必然事件（确定事件）． （4）掷正方体骰子，点数为7：骰子点数范围为1~6，7不可能出现，属于不可能事件（确定事件）． 故选：B 3. 下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，进行判断即可． 本题考查的是因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义． 【详解】解：A．左边为，右边为，展开右边得，次数高于左边，且与原式不等，故A错误； B．左边为，右边为，此过程为整式乘法，而非因式分解，故B错误； C．左边为，右边为。此变形为配方法，未写成乘积形式，故C错误； D．左边为，整理为，可提取负号得，括号内为完全平方式，故右边为，符合因式分解定义，故D正确． 故选：D． 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据条件依次判断选项是解决本题的关键 ． 由结合不等式的性质判断选项即可 ． 详解】解：A选项：∵，， 则有，∴，故A正确； B选项：∵，则有，故B错误； C选项：∵，， ∴，故C错误； D选项：∵，当时， 此时，， ∴，故D错误 ． 故选：A ． 5. 的三个顶点坐标分别为，，，将平移到，其中，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点的坐标的平移规律求解即可． 【详解】解：由的对应点知，向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 所以点的对应点点的坐标为，即， 故选：A． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C. 某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D. 试验得到的频率与概率不可能相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率与频率的定义及关系．根据概率与频率的定义及关系，逐一分析选项．概率是理论值，频率是试验结果，当试验次数足够多时，频率会接近概率，即可解答． 【详解】解：A选项：中奖概率并不意味着买100张必中6张，概率仅表示可能性，实际结果可能波动，故本选项错误，不符合题意； B选项：当试验次数大时，频率会稳定在概率附近，而非概率稳定在频率附近，故本选项错误，不符合题意； C选项：频率，故本选项正确，符合题意；． D选项：试验频率与概率可能相等，例如多次试验后频率可能恰好等于理论概率，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 7. 如图，在中，将将绕点A逆时针旋转得到，点B、C的对应点分别是点、，连接，若，则旋转角的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据旋转的性质得到旋转角为，，则，然后根据三角形的内角和定理求得即可． 【详解】解：由旋转性质，得旋转角为，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知有增根，则（ ） A. B. 0 C. 或1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，增根是分式方程变形后整式方程的根，但使原方程分母为零的根。首先将方程两边通分，转化为整式方程，再令解为增根，代入求a的值． 【详解】解：， 方程变形为：， 两边同乘（），得：， 整理得：， 解得：， 若方程有增根，则增根为， 将代入整式方程的解得：， 解得：， 故选：D． 9. 如图，若一次函数和图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点确定不等式解集．利用函数图象，写出直线在直线和轴的上方所对应的自变量范围即可． 【详解】解：对于， 当时，， 由图象可知，不等式的解集是， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，P是上的任意一点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转至，使，连接．则线段长度的最小值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，在上取点E使，证明出，得到，当时，最短，即最短，如图所示，求出，进而利用含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，在上取点E使 ∵ ∴，即 ∵将绕点A按顺时针方向旋转至 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵P是上的任意一点 ∴当时，最短，即最短，如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为2，即的最小值为2． 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 非选择题部分 共110分 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请直接填写答案．） 11. 在不透明的盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个，其中红色棋子12个，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是，则蓝色棋子个数是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，先求出棋子的总个数，再乘以蓝色棋子的概率即可得出答案． 【详解】解：∵任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是， ∴摸到红色棋子的概率为， 则盒子中球的总个数为（个）， ∴蓝色棋子的个数是（个）， 故答案为：8． 12. 若分式的值为零，则______ 【答案】 【解析】 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】由题意得：x2+2x-3≠0，x2-1=0， 解得：x=-1， 故答案为：-1． 13. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售一尺共收入文列出方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺， 由题意得：， 故答案为： 14. 已知关于x的方程的根是负数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解一元一次不等式组，先求出一元一次方程的解，再根据其解为负数得出或，分别解不等式组，求出解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 当时，，此方程无解； 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的根是负数， ∴或， 解得， 故答案为：． 15. 已知和重合．如图，现将绕点A旋转（点D和点B不重合），连接，，．当为时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．分两种情况讨论：当点D在点A的下方时；当点D在点A的上方时．先利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，，再利用和全等得到，接着证明点A、D、C共线，然后计算或即可． 【详解】解：分以下两种情况： 如图，当点D在点A的下方时， ∵，， ∴，， ∵和全等， ∴， ∵，， ∴点A、D、C共线，即点D在上， ∴； 如图，当点D在点A的上方时， ∵，， ∴，， ∵和全等， ∴， ∵，， ∴点A、D、C共线，即点D在上， ∴． 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. （1）因式分解： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解及解分式方程，熟练掌握求解计算方法是解题关键． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）根据解分式方程的一般方法步骤求解即可． 【详解】解：（1）原式 （2）去分母得： 解得： 检验把代入 所以是原方程的解． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；2、3、4、5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先解每个不等式，把解集在数轴上表示出来即可得到不等式组的解集，然后确定解集中的整数即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 在此范围内整数解有：2、3、4、5． 18. 先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的计算顺序是求解本题的关键． 先将分母进行因式分解，然后计算括号里面的，最后除法变乘法，约分化简之后代入求解即可． 【详解】解：原式 ， 把代入原式得：． 19. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕着原点O逆时针旋转，画出旋转后得到的； （3）直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）由图可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：由图可得，点的坐标为． 20. 小李每天开车上班，都要通过设有红、绿灯的3个交通岗． （1）小李从家到公司，经过第1个交通岗时遇到红灯的概率是_______； （2）小李想知道，他通过这3个交通岗时至少有1个绿灯概率是多少？（请通过“画树状图”的方法给出分析过程）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用画树状图法求概率，熟练掌握用画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中至少有1个绿灯的结果有7种，根据概率公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得经过第1个交通岗时遇到红灯的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中至少有1个绿灯的情况有7种， 至少有1个绿灯的概率是． 21. 如图，将一个绕点B顺时针旋转得，使得C点落在的延长线上的点处，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质及等边三角形的判定和性质求解即可； （2）根据旋转的性质得出，，再由平行线的判定和性质证明即可． 【小问1详解】 解：绕点B顺时针旋转得， ，， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 证明：绕点B顺时针旋转得， ，， ， 又， ， ∴， ， ． 22. 当时，定义一种新运算：，例如：，． （1）________． （2）若，求出n的值． 【答案】（1）3 （2）0 【解析】 【分析】本题主要考查新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，理解题意是解题关键． （1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出， （2）根据题意代入解分式方程即可求出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 故答案为：3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得， 经检验：为原分式方程的解， ∴． 23. 电影《哪吒之魔童降世》上映后，深受大家青睐，登顶全球动画票房榜榜首！与之相关玩偶也在市场上热销起来，某商店老板抓住这一商机，计划同时购进A，B两款玩偶．A款玩偶的购进单价比B款玩偶购进的单价少10元，用720元购进A款玩偶的数量与用1020元购进B款玩偶的数量相同． （1）求A，B两款玩偶的购进单价分别是多少元？ （2）为满足顾客需求，商店老板决定将A款玩偶的销售单价定为35元，B款玩偶的销售单价定为50元．他计划购进A款和B款玩偶共100个，且要求A款的数量不少于B款数量的．请问当A、B两款玩偶各购进多少时，商店老板获得的总利润最高？最高总利润为多少？ 【答案】（1）A款玩偶的购进单价24元，B款玩偶的购进单价34元 （2）A款25个，B款75个；1475元 【解析】 【分析】题目主要考查分式方程及不等式、一次函数的应用，理解题意，列出相应关系式是解题关键． （1）设A款玩偶的购进单价为x元，则B款玩偶的购进单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购进A款玩偶m个，获得的总利润为W元，则购进B款玩偶个，根据题意列出不等式及一次函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：设A款玩偶的购进单价为x元，则B款玩偶的购进单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，也符合题意，， 答：A款玩偶的购进单价24元，B款玩偶的购进单价34元； 【小问2详解】 设购进A款玩偶m个，获得的总利润为W元，则购进B款玩偶个， 根据题意，得：． 解得：， ， ， 随m的增大而减小， 为整数， 当时，W取最大值，最大值为， 此时，，故A款玩偶购进25个，B款玩偶购进75个，获得的总利润最高，最高利润为1475元． 24. 观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： （1）________； （2）请你按利用发现的规律计算：； （3）利用上面规律解方程：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 25. 如图，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作： ①折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平； ②将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，当直线与边相交时交点为M，与边相交时交点为N． 【数学思考】 （1）求的长； 【数学探究】 （2）试判断与的数量关系，并证明你的结论： 【问题延伸】 （3）当直线经过中点N时，求此时的长度． 【答案】（1）3；（2），证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质可知，点A和点C关于对称，是的垂直平分线，再由勾股定理解三角形即可； （2）连接，根据全等三角形的判定和性质证明即可； （3）连接，由（1）可知，，再由全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可 【详解】解：（1）连接，由折叠的性质可知，点A和点C关于对称，是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， 在中，，则， ； （2）． 证明如下：连接． 由旋转的性质，得，， ， ． 在和中， ，， ， ； （3）连接，由（1）可知，， 又为的中点， ， ， 又， ， ， 由（2）可知，，， 又， ， ， ，， 在中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $