精品解析：湖南省湘东教学联盟2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2026年7月高二期末考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算将原式化简为代数形式，再根据复数虚部的定义求解. 【详解】 ，根据虚数单位的定义， 计算分母：； 计算分子：； 因此原式化简结果为，故该复数的虚部为. 2. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 3. 若是数列的前项和，，则的值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 因此. 4. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 因焦点在轴上的双曲线渐近线为（其中为实半轴长，为虚半轴长）， 则 ，即，则， ∴ 双曲线的离心率. 5. 已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由是定义在上且周期为3的偶函数，当时，， 得. 6. 平面内一个物体受到推力与摩擦力共同作用，合力为两个力的向量相加．已知推力向量，摩擦力向量与向量共线，且摩擦力的模长．根据合力数值划分受力等级，标准如下： 等级 合力大小（N） 受力程度 1 轻微 2 中等 3 较重 4 沉重 则该物体的受力程度为（ ） A. 轻微 B. 中等 C. 较重 D. 沉重 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 摩擦力向量与向量共线， ∴ 可设，其中. ∵ 摩擦力的模长，结合向量模长公式得： ， ∴ ，即或，对应或. ∵ 合力，且推力向量， 当时，， ，满足； 当时，， ，满足. 两种情况合力大小均落在等级2对应的区间内，故该物体的受力程度为中等. 7. 小明将5张互不相同的卡片全部放入编号为的3个信封中，每个信封至少放1张卡片，则不同的放卡片方法共有（ ） A. 90种 B. 120种 C. 150种 D. 300种 【答案】C 【解析】 【分析】先将5张不同卡片按“每个信封至少1张”的要求分组，分组分为两类：3张、1张、1张的不均匀分组，以及2张、2张、1张的部分均匀分组，再将分好的三组分配到3个不同的信封，结合分步乘法与分类加法计数原理计算即可。 【详解】首先将5张互不相同的卡片分为3组，满足每组至少1张，分两类讨论： 第一类：分组为3，1，1的形式， 分组方法数为种. 第二类：分组为2，2，1的形式，分组方法数为种. 则总的分组方法数为种. 因需将分好的3组分配到编号为的3个不同信封，故有分配方法数为种. 根据分步乘法计数原理，不同的放卡片方法共有种. 8. 已知实数、满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由已知等式结合基本不等式可得出关于的不等式，可解出的取值范围，由已知等式得出，可进一步得出，于是得出，构造函数，其中，利用导数求出函数的值域，即为的范围. 【详解】对于任意实数、，有，， 则， 设，则，整理可得， 又因为，故，当且仅当时取等号， 另一方面， 可得， 由且，可得，故， 所以 ， 构造函数，其中， 则， 所以函数在上单调递增，所以， 又因为，故，即，故的取值范围是. 二、选择题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在正三棱柱中，为的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】AD 【解析】 【分析】结合正三棱柱的性质，利用线面垂直、线面平行的判定定理逐项分析判断. 【详解】正三棱柱中，底面为正三角形，侧棱均垂直于底面. 对于A：∵ 为中点，为正三角形，∴ . ∵ 平面，平面，∴ . 又 ，平面， ∴ 平面. ∵ 平面，∴ ，A正确. 对于B：若平面，因平面，则. ∵ 平面，平面，则， 又平面.这与同一平面内，经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直矛盾， 故不垂直于平面，B错误. 对于C：∵ ，与交于点，且， ∴与不平行，故与不平行，C错误. 对于D：∵ ，平面，平面， 则可得平面，D正确. 10. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】A.因为，所以，得 由正弦定理 ，得，由勾股定理逆定理，，选项 A 正确； B.代入，所以， 因为,所以，所以 即，所以，选项 B 正确； C.由，的面积为 设 ，则 得，且， ， 当，，满足以上条件，但是，C 错误； D. ，仅知，无固定值，可取，则，D 错误. 11. 设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A. B. C. 与不垂直 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由抛物线定义判断；对B，由抛物线焦点弦中通径最短可判断；对C，由判断；对D，设直线，先联立抛物线得到，求出点，再将距离平方配方因式分解，借助韦达定理整体代换化简乘积，最后由利用单调性得到最小值 . 【详解】对于A：由抛物线的定义可知，A正确； 对于B：抛物线过焦点的弦中通径最短，由抛物线方程可得焦点， 由得或，所以通径长为，所以，B正确； 对于C：当直线斜率不存在时，，由选项B分析可知，， 此时，即与垂直； 若直线斜率存在，设，则 由得， 设，则， 所以， 由，得，即， 所以 ，所以此时与垂直； 综上，C错误； 对于D：设过的直线 方程为 ，交抛物线于 ， 由 得：，由韦达定理得， 过 且垂直于 的直线斜率为 ，方程为 。 在准线 x上，代入得 ， 因此 ， 根据两点间距离公式： ， 因为 在 上，，因此 ， 所以， 同理可得：， 因此， 因为 所以 因为 ，所以 ，因此： ， 当且仅当 （即 垂直 轴）时，等号成立，故 成立，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若一个正项等比数列的前3项和为7，前6项和为63，则该等比数列的公比为________． 【答案】 【解析】 【详解】设该正项等比数列的首项为，公比为，由正项等比数列的性质得，. 若，则前3项和，前6项和，与题设矛盾，故. ∴ 由题意得. 将两式相除，得. ∵ ，且即， ∴ 代入化简得，即， 解得，满足的条件，故该等比数列的公比为2. 13. 若直线是曲线的切线，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设直线与曲线的切点坐标为. 由求导得. ，化简得，解得. ∴ 将代入切线方程，得； 再将代入曲线方程，得. 联立两式得，解得. 14. 选课系统里有门课程，编号，每次从中随机选择门课程，选完后重置，连续选择次．设被选中过的课程门数为，则数学期望________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】定义指示变量，则，求出，利用期望的线性性质可得出即可得出答案. 【详解】定义指示变量，则， 表示在连续次选课中，第门课程都未被选中，每次发生的概率都为， 所以，则， 由期望的线性性质可得. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面  （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，​，， 所以，又，所以. 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得， 而，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得 ， 解得，当且仅当时取等号， 所以的最大值是． 17. 某公司为了解员工对碳排放相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据： 了解程度 性别 合计 男性 女性 比较了解 60 60 120 不太了解 20 40 60 合计 80 100 180 （1）记被抽取到的女性中“比较了解”的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析员工对碳排放相关政策的了解程度与性别是否有关？ （3）从被抽取的“不太了解”的员工中按性别比例分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记抽到的女性人数为，求的分布列和数学期望． 附表及公式： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ． 【答案】（1） （2）在小概率值的独立性检验下，没有充分证据证明员工对碳排放相关政策的了解程度与性别有关 （3）的分布列为 1 2 3 数学期望为 【解析】 【小问1详解】 抽取的女性员工共100人，其中“比较了解”的有60人，由频率估计概率得的估计值为； 【小问2详解】 提出零假设：员工对碳排放相关政策的了解程度与性别无关， 由列联表得， 代入卡方公式 ，  已知对应的临界值为，由于，没有充分证据推翻， 因此认为员工对碳排放相关政策的了解程度与性别无关； 【小问3详解】 “不太了解”的员工中男性20人、女性40人，男女比例为，分层抽样抽取6人， 故抽取男性2人、女性4人， 随机变量的所有可能取值为，服从超几何分布， 则， ， ， 因此的分布列为： 1 2 3 所以数学期望. 18. 已知椭圆：的离心率为，下顶点为，右顶点为，且． （1）求椭圆的方程； （2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足． ①设，求点的坐标（用，表示）； ②设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率是直线的斜率的倍，求的最大值． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的关系式，解方程求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）①设，根据斜率相等以及题目条件列式，利用数乘向量求解即可；②根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知，，所以， 解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 ①设，则，又 则， 所以，， 又，则点的坐标为. ②因为，， 由,可得， 化简得，即， 所以点在以为圆心，为半径的圆上（除去轴上两个点）， 为到圆心的距离加上半径， 设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 19. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，，求的值及函数的解析式； （3）若，，令，且在上是单调函数．证明：对任意，恒成立． 【答案】（1）函数属于集合， （2）当时，；当时, （3）若是定义在上的增函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 若是定义在上的减函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 【解析】 【分析】（1）先计算二次函数在闭区间上的最值，再根据题中所给的定义判断计算可得； （2）先由函数最值之差为2可得，再通过不等式两边夹逼求得函数解析式； （3）分单调递增和单调递减结合函数的最值分别证明可得． 【小问1详解】 对任意，所以， 又因为 ， 且， 所以，故函数属于集合． 由，， 由二次函数的性质可知，． 故. 【小问2详解】 由可知，存在满足． 又，故必有． 因此必有，且，所以， 又，，所以或 当时，， 由题意，对任意，，， 即，则， 又因为，即． 故. 当时，， 由题意，对任意，，，即， 又因为，，即， 故. 综上，当时，；当时；. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月高二期末考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 3. 若是数列的前项和，，则的值为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 4. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 平面内一个物体受到推力与摩擦力共同作用，合力为两个力的向量相加．已知推力向量，摩擦力向量与向量共线，且摩擦力的模长．根据合力数值划分受力等级，标准如下： 等级 合力大小（N） 受力程度 1 轻微 2 中等 3 较重 4 沉重 则该物体的受力程度为（ ） A. 轻微 B. 中等 C. 较重 D. 沉重 7. 小明将5张互不相同的卡片全部放入编号为的3个信封中，每个信封至少放1张卡片，则不同的放卡片方法共有（ ） A. 90种 B. 120种 C. 150种 D. 300种 8. 已知实数、满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在正三棱柱中，为的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A. B. C. 与不垂直 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若一个正项等比数列的前3项和为7，前6项和为63，则该等比数列的公比为________． 13. 若直线是曲线的切线，则________． 14. 选课系统里有门课程，编号，每次从中随机选择门课程，选完后重置，连续选择次．设被选中过的课程门数为，则数学期望________（用含的式子表示）． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的最大值． 17. 某公司为了解员工对碳排放相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据： 了解程度 性别 合计 男性 女性 比较了解 60 60 120 不太了解 20 40 60 合计 80 100 180 （1）记被抽取到的女性中“比较了解”的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析员工对碳排放相关政策的了解程度与性别是否有关？ （3）从被抽取的“不太了解”的员工中按性别比例分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记抽到的女性人数为，求的分布列和数学期望． 附表及公式： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ． 18. 已知椭圆：的离心率为，下顶点为，右顶点为，且． （1）求椭圆的方程； （2）已知动点不在轴上，点在射线上，且满足． ①设，求点的坐标（用，表示）； ②设为坐标原点，是椭圆上的动点，直线的斜率是直线的斜率的倍，求的最大值． 19. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，，求的值及函数的解析式； （3）若，，令，且在上是单调函数．证明：对任意，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $