精品解析：四川成都市2025-2026学年高二下学期定时练习数学试题

2024级高二下学期定时练习 数学 本卷满分150分，练习时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效. 5.定时练习结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为 A. x=2 B. x=2 C. y=2 D. y=2 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查抛物线的性质． 点拨：准线方程为． 解答：根据抛物线方程的特征，，准线方程为，故选C． 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解． 【详解】在等比数列中，则也成等比数列， 则，得，得． 3. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得. 【详解】由题，可得展开式的通项为， ，则，解得. 故选：B. 4. 如图，在三棱柱中，与的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可. 【详解】因为，所以. 6. 三所友好学校的师生分别在周一、周二和周三来校访问.现有3名教师和3名学生作为志愿者负责接待，每天安排教师和学生各1人，每人安排一天，其中教师甲不能安排在周一，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，将无限制的学生全排列，与优先处理限制条件后的教师排列数相乘即可. 【详解】3名学生分配到周一、周二和周三，共有种, 甲教师只能在周二或周三，共2种，剩下2名教师全排列， 故一共有种安排方法. 7. 设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点的坐标，得到直线的方程，利用与圆相切得到关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. 8. 已知函数，若对恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得出函数的最小值，利用恒成立条件得到关于的不等式，代入， 计算出的表达式，最后验证等号成立条件，得出结论. 【详解】已知函数，则，令，可得： . 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取得最小值：. 又因为对恒成立，即： . ， ，，， 故当且仅当时，的最小值恰好为0， 满足对恒成立的条件，此时的最小值为，D正确. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 恰有3个零点 D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据函数奇偶性的概念即可判断；对于B，代入计算即可判断；对于C，根据函数单调性即可判断；对于D，根据函数单调性即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，由，得， 又，所以恒成立，所以函数单调递增， ，即函数只有一个零点，故C错误； 对于D，因为恒成立，所以函数单调递增， 当时，可得恒成立，所以，，故D正确. 10. 长时间使用电子产品会一定程度影响视力.据调查，某校学生有的人近视，而该校有的学生每天使用电子产品的时间超过1h，这些人的近视率为.则该校（ ） A. 既近视又每天使用电子产品的时间超过1h的学生有 B. 近视但每天使用电子产品的时间不超过1h的学生有 C. 近视的学生中每天使用电子产品的时间不超过1h的有 D. 不近视的学生中每天使用电子产品的时间超过1h的有 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及互斥事件的概率公式逐项求解判断. 【详解】设表示学校近视的学生，表示每天使用电子产品超过1h的学生， 则，，， 对于A，为既近视又每天使用电子产品的时间超过1h的学生，则，A错误； 对于B，为近视但每天使用电子产品的时间不超过1h的学生，则，B正确； 对于C，近视的学生中每天使用电子产品的时间不超过1h的占比为，C正确； 对于D，为每天使用电子产品的时间超过1h且不近视的学生，， 不近视的学生中每天使用电子产品的时间超过1h的占比为，D错误. 11. 已知数列满足，且，则（ ） A. 6是数列中的项 B. 是递增数列 C. 是等差数列 D. 能被15整除 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意当时，有，可得，再由累乘法求得，可判断A；由，根据反比例函数的单调性判断B；，可判断C；分组求和法判断D. 【详解】数列满足， 当时，有， 两式相减得，化简得， 所以， 当时，， 所以， 对于A，令，得或（舍）， 所以6是数列中的第三项，A正确； 对于B，， 由于随着的增大而减小，所以是递减数列，B错误； 对于C，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，C正确； 对于D， ， 所以能被15整除，D正确. 【点睛】求和公式：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小值为________. 【答案】－2 【解析】 【分析】根据题意，求导得，求得函数的极大值，即可得到结果. 【详解】函数， 则， 令，得或（舍）， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 则当时，函数有极小值，即最小值为. 13. 在等差数列中，公差，前项和为.若，则________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 所以. 14. 设表示次独立重复试验中随机事件发生的次数.已知，，则_________；变量表示对的贡献值，当最大时，___________. 【答案】 ①. 12 ②. 3 【解析】 【分析】利用二项分布的期望和方差的计算公式可得的值，再利用的单调性解决的最大值. 【详解】由已知可得，解得. 因为. 所以. 当，即时，；当，即时，. 因为，且，所以当时，；当时，. 所以当时，取得最大值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，两个正方形，所在平面互相垂直，，分别是和的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）连结，因为为正方形，且是的中点， 所以也是的中点. 又是的中点，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连结，证得，根据线面平行的判定定理即可证得平面； （2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，然后分别求出两平面的法向量，最终由法向量的夹角的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设， 则，，，，，. 故，，. 设平面的法向量，由，得. 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由，得. 取，得平面的一个法向量. 故. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知是等差数列，是等比数列，.设的前项和为，且，. （1）求和的通项公式； （2）若数列的前项和对任意都成立，求整数的最小值. 【答案】（1），，其中. （2）6 【解析】 【分析】（1）将条件分解成有关的方程组进行求解，进而可求得和的通项公式； （2）运用“错位相减法”求出数列前n项和的最大值以确定整数的最小值. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为. 由及，得，即. 由及，得，即. 将代入，得，因为，所以，故. 所以数列的通项公式为. 数列的通项公式为，其中. 【小问2详解】 因为，所以. 故. 相减得. . 故. 因为，所以. 又，故. 所以整数的最小值为6. 17. 已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线为：. （1）求的方程； （2）设的左顶点为，点在上，且. ①求的外接圆的标准方程； ②设直线与交于另一点，求的大小. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解方程组求出即可得出答案； （2）①由求得点坐标，并结合圆的有关性质求得的外接圆的圆心坐标、半径，即可得出答案； ②设直线的斜率分别为，先求及直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立求出点的坐标，通过计算得到即可求出的大小. 【小问1详解】 由已知，得，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 ①由已知，. 由知，点在线段的中垂线上. 又点在：上，联立,解得，所以. 易知的外接圆圆心也在线段的中垂线上. 设，连接并延长交的外接圆于，连接. 在中，，且. 由射影定理有. 即. 解得，故. 所以的外接圆的标准方程为. ②设直线的斜率分别为，则，故其方程为. 联立，得，解得（舍去）. 故，所以. 故. 因为，所以. 18. 盒中现有5个乒乓球，其中2个是新球，另外3个是旧球.每次训练时从盒中随机取出2个球使用，训练结束后将球全部放回盒中，新球使用后即为旧球. （1）第一次训练前5个乒乓球随机排成一列，求2个新球不相邻的概率； （2）设第一次训练时取出新球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； （3）求第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球的概率. 【答案】（1） （2） 0 1 2 0.3 0.6 0.1 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合不相邻的排列计数问题求解. （2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. （3）法一，利用概率的乘法公式及互斥事件的概率公式求解；法二，利用概率的乘法公式、互斥事件的概率公式及对立事件的概率公式求解. 【小问1详解】 设样本空间为，事件“2个新球不相邻”，，， 所以2个新球不相邻的概率. 【小问2详解】 随机变量的所有可能值为， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 0.3 0.6 0.1 随机变量的期望. 【小问3详解】 法一：设事件分别表示“第一、二次训练时取到个新球，”， 事件表示“第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球”，则， ； ； ； 而事件彼此互斥，则， 所以第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球的概率为0.63. 法二：设事件分别表示“第一、二次训练时取到个新球，”， 事件表示“第二次训练结束后，盒中全是旧球”，则， 而，， 则，又， 因此， 又，而彼此互斥，则， 所以第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球的概率为. 19. 已知函数，曲线在点处的切线为，已知在轴上的截距为. （1）求的值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若函数存在最大值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解； （3）分类讨论函数的单调性进行求解． 【小问1详解】 求导，得，故. 因为，所以切线的方程为. 令，得在轴上的截距. 由已知，，解得. 【小问2详解】 因为，所以等价于. 设函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 故的最大值为. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 ①当时，因为在上单调递增，所以不存在极大值点（至多存在极小值点），故不存在最大值，不合题意. ②当时，由（2）知，，所以在上单调递减，故不存在最大值，不合题意. ③当时，由（2）知，，故. 又，. 由零点存在定理知，存在，， 使得. 且当，或时，； 当时，. 所以在和上单调递减，在上单调递增. 故是的极大值点. 当时，，要使成为最大值， 必有. 由，得. 所以，解得. 由（2）知，. 故，解得. 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二下学期定时练习 数学 本卷满分150分，练习时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效. 5.定时练习结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为 A. x=2 B. x=2 C. y=2 D. y=2 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为15，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 如图，在三棱柱中，与的交点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 三所友好学校的师生分别在周一、周二和周三来校访问.现有3名教师和3名学生作为志愿者负责接待，每天安排教师和学生各1人，每人安排一天，其中教师甲不能安排在周一，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 7. 设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 恰有3个零点 D. ， 10. 长时间使用电子产品会一定程度影响视力.据调查，某校学生有的人近视，而该校有的学生每天使用电子产品的时间超过1h，这些人的近视率为.则该校（ ） A. 既近视又每天使用电子产品的时间超过1h的学生有 B. 近视但每天使用电子产品的时间不超过1h的学生有 C. 近视的学生中每天使用电子产品的时间不超过1h的有 D. 不近视的学生中每天使用电子产品的时间超过1h的有 11. 已知数列满足，且，则（ ） A. 6是数列中的项 B. 是递增数列 C. 是等差数列 D. 能被15整除 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小值为________. 13. 在等差数列中，公差，前项和为.若，则________. 14. 设表示次独立重复试验中随机事件发生的次数.已知，，则_________；变量表示对的贡献值，当最大时，___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，两个正方形，所在平面互相垂直，，分别是和的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知是等差数列，是等比数列，.设的前项和为，且，. （1）求和的通项公式； （2）若数列的前项和对任意都成立，求整数的最小值. 17. 已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线为：. （1）求的方程； （2）设的左顶点为，点在上，且. ①求的外接圆的标准方程； ②设直线与交于另一点，求的大小. 18. 盒中现有5个乒乓球，其中2个是新球，另外3个是旧球.每次训练时从盒中随机取出2个球使用，训练结束后将球全部放回盒中，新球使用后即为旧球. （1）第一次训练前5个乒乓球随机排成一列，求2个新球不相邻的概率； （2）设第一次训练时取出新球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望； （3）求第二次训练结束后，盒中至少还有1个新球的概率. 19. 已知函数，曲线在点处的切线为，已知在轴上的截距为. （1）求的值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若函数存在最大值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $