精品解析：四川省成都市石室天府中学2024-2025学年高二下学期零诊模拟数学试卷

成都石室天府中学高2023级零诊模拟 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. 2或 B. 3 C. 2 D. 4. 函数在上的最大值为4，则的值为（ ） A. 7 B. C. 3 D. 4 5. 已知方程，现从集合中随机取出一个元素作为的值，记事件：表示的曲线为椭圆，事件：表示的曲线的焦点在轴上，则（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），若面，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.68 C. 0.6 D. 0.2 8. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足的前项和为，则（ ） A. B. C. 构成等差数列 D. 数列前100项和为 10. 已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（ ） A. 双曲线的虚轴长为 B. （为坐标原点） C. 双曲线的渐近线方程为 D. 为圆上一点，的最小值为1 11. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若方程有唯一的解，则 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为________． 13. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 14. 有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若是等比数列，且，，求数列的前项和. 16. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 17. 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立. 参考数据：，， （1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； （2）请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值. 18. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. （1）求，的方程； （2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 19. 已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室天府中学高2023级零诊模拟 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求得中，常数项及项，即可求解. 【详解】因为中常数项为1，项的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故选：D 2. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 3. 设正项等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A. 2或 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程求得. 【详解】依题意， 即， ，依题意， 所以，由于，故解得. 故选：B 4. 函数在上的最大值为4，则的值为（ ） A. 7 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题先求导函数，并运用导函数判断原函数的单调性，最后求函数的最大值并令其等于4，建立方程求参数即可. 【详解】解：∵，∴ ∴ 导数在时，，单调递减； 导数在时，，单调递增； ∵ ，， ∴在处取得最大值为，即， 故选：D. 【点睛】本题考查运用导函数求原函数的最值以及求参数，是基础题. 5. 已知方程，现从集合中随机取出一个元素作为的值，记事件：表示的曲线为椭圆，事件：表示的曲线的焦点在轴上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率计算公式即可得到答案. 【详解】事件发生时，；事件发生时，； 则， 所以． 故选：B． 6. 在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），若面，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可证即为，因此可得. 【详解】如图在中， ，又平面，平面， 所以面， 因为点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），面， 所以即为，因此， 故选：B. 7. 某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为0.6，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时，猜对的概率为0.2，那么他答对题目的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.68 C. 0.6 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率和全概率公式求解即可. 【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B， 则，，， ． 故选：B． 8. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，则小球落入（ ）号格子的概率最大. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用n次独立重复试验中，小球掉入号格子的概率为，设小球掉入k号格子的概率最大，则，再利用组合数公式，结合题目已知条件进行求解. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子，需要向左10次，则概率为； 小球掉入1号格子，需要向左9次，向右1次，则概率为； 小球掉入2号格子，需要向左8次，向右2次，则概率为； 小球掉入3号格子，需要向左7次，向右3次，则概率为； 依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右k次，概率为， 设小球掉入k号格子的概率最大，显然， 则，即， 即 解得， 又k为整数，， 则小球落入7号格子的概率最大. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足的前项和为，则（ ） A. B. C. 构成等差数列 D. 数列前100项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出通项公式判断AB；求出前项和并结合等差数列定义判断C；利用裂项相消法求和判断D. 【详解】数列中，， 对于A，，A正确； 对于B，，则， 解得，当时，，而满足上式，因此， 所以，B正确； 对于C，，， ，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：ABD 10. 已知是双曲线的右焦点，为右支上一点，则（ ） A. 双曲线的虚轴长为 B. （为坐标原点） C. 双曲线的渐近线方程为 D. 为圆上一点，的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用之间的关系求出；B根据右顶点是的中点可判断；C渐近线方程为；D将转化为，再结合双曲线的定义即可. 【详解】由题意知，，则，虚轴长为，A项正确； 易知右顶点是的中点，当点在右支上运动时，有，B项正确； 双曲线的渐近线方程为，C项错误； 易知为双曲线的左焦点，则， 则，D项正确． 故选：ABD 11. 设函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若方程有唯一的解，则 C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，开六次方即可判断；对于B，先看方程有唯一的解时的范围，具体可以利用导数研究函数单调性，进而研究方程的根的情况；对于C，用分析可知，只需判断是否成立即可，构造函数结合导数即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，令，由复合函数单调性可知，的单调性相同， 对求导得，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 令，当从0的右边趋于0时，趋于负无穷，此时趋于0， 当趋于正无穷时，也趋于正无穷，注意到， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当从0的右边趋于0时，此时趋于， 当趋于正无穷时，也趋于正无穷，， 所以若方程有唯一的解，则或，故B错误； 对于C，要证，只需证明， 即只需证明， 令，求导得， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，故C正确； 对于D， 取，满足，但不成立，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为________． 【答案】224 【解析】 【分析】利用分布乘法计数原理结合排列知识进行计算即可直接得答案. 【详解】从四个数中任选一个数放在个位，有4种方法， 再从其他八个数中任选2位数放在十位和百位，有种方法， 故九个数组成没有重复的三位数且是偶数共有种方法， 故答案为：224. 13. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知函数是上的增函数，也是奇函数，可将所求不等式等价变形为在上恒成立，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，其中，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设取出的5个数为，则可推得，，即可得出.进而只需要分析出事件以及表示的含义，并求出概率，即可得出答案. 【详解】设从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内. 设， 则， 所以，，， 所以，，，. 又表示，共有种可能； 表示中有4个选择1和1个选择2，共有种可能， 且所有的取法种数为， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数据的取法规则，得出概率具有对称性. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若是等比数列，且，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公差为，由题意列方程组，解方程可求出，再由等差数列的通项公式可得出答案； （2）由（1）求出，再由分组求和法即可得出答案. 【小问1详解】 设的公差为. 由得，解得 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 因为是等比数列，所以公比为， 所以，所以. 所以. 16. 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断线面垂直； （2）利用向量法求二面角的正弦值； （3）利用向量法求点到面的距离. 【小问1详解】 在正三棱柱中，取中点，过作，连接， 由平面，得平面，平面，则，，而，即两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 有，于是，， 即，，而又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，则是平面的法向量， 设平面的法向量，而，， 则，取，得， 则，设二面角的平面角为， 因此， 所以二面角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）知是平面的法向量，而向量， 所以点到平面的距离为． 17. 天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分. 为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格. 经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为. 某学校共有2000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立. 参考数据：，， （1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； （2）请估计符合该项指标的学生人数（四舍五入结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值. 【答案】（1）X的分布列如下： X 1 2 3 4 P 数学期望； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，X的所有可能取值为1，2，3，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列以及期望； （2）根据题意，由正态分布可得，然后由二项分布的期望公式，即可得到结果. 【小问1详解】 由题可知X的所有可能取值为1，2，3，4，则 ，， ， ∴X的分布列如下： X 1 2 3 4 P . 【小问2详解】 ∵. ∴符合该项指标的学生人数为：人， 每个学生通过选拔的概率对， ∴最终通过学校选拔人数，， ∴. 18. 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点. （1）求，的方程； （2）过点的直线交于两点，交于两点，若，求的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入方程即可求出焦点坐标为，进而求出椭圆方程； （2）当直线斜率为0时，不合要求，故直线的斜率不为0，设方程为，分别联立方程组，利用根于系数的关系化简条件，即可得解. 【小问1详解】 将代入得，则的方程为， 其焦点坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以① ； 又过点，所以② ，联立① ② 得， 所以，故的方程为． 【小问2详解】 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为， 联立与，可得，， 设，故， 则， 故， 联立与，可得，， 设，则， 则， 所以，解得，所以直线方程为. 19. 已知函数. （1）若函数为增函数，求的取值范围； （2）已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解； （2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可； （ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果. 【小问1详解】 ∵，则， 若是增函数，则，且，可得， 故原题意等价于对恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递增，在递减， 故，∴的取值范围为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知：当时，单调递增， ∵，则，即， 整理得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递减，在递增， 故， 即，当且仅当时等号成立， 令，可得， 综上； （ii）∵，则， 可知有两个不同实数根，由（1）知， 可得， 同理可得， 构建，则， 当时，；当时，； 当时，； 且，故对恒成立，故在上单调递减， ∵，则，即， 且，则，故， 可得； 又∵，由（i）可得，即， 则， 且，则，可得； 综上所述：. 可得，则 故. 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $