精品解析：陕西西安市西北大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末数学试卷

2025-2026学年度第二学期高一年级数学期末试卷 注意：本试卷共4页，19题，满分120分，时间120分钟 一、单选题(本题共8小题.每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1. 已知为虚数单位，复数满足，则的模为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则. 2. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 3. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，的边分别在轴上，且， 所以的面积. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量坐标加减法运算，向量垂直坐标表示，以及向量模的坐标公式分析计算即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即，解得：， 所以，所以， 所以. 5. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则，是异面直线 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理、异面直线的定义，结合线面平行的性质、面面垂直的性质定理逐一判断即可. 【详解】A：只有当，相交时，才有，所以本选项说法不正确； B：当，时，，的位置关系为平行、相交、异面，所以本选项说法不正确； C：过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故本选项说法正确； D：若， 如果或，则不能判断 ，故本选项说法不正确. 6. 已知圆锥的轴截面是正三角形，侧面积为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥的轴截面求出圆锥的高，进而可以求出圆锥的体积. 【详解】因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以，. 又因为侧面积为，所以. 则. 所以圆锥的体积为. 7. 如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以， 因为为的中点，所以，所以，所以，， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 8. 如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量基本定理及共线向量定理的推论列式求解. 【详解】在中，由点O是线段BC上靠近点B的三等分点，得， 则，即， 而，，则， 由共线，得，所以. 二、多选题(本题共3小题.每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若，则的值为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的坐标运算可逐项判断. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与的夹角为锐角，所以， 又时，与的夹角为0， 所以与的夹角为锐角，，故C错误； 对于D，，，，故D正确； 故选：ABD. 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，举反例说明即可；对于B：由正弦定理可得，结合余弦定理运算求解；对于C：利用正弦定理运算求解即可；对于D：根据锐角三角形可得，，，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即， 例如，，则，， 满足，但为直角三角形，故A错误； 对于选项B：若，由正弦定理可得， 设，，，，且角为最大角， 则， 且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误； 对于选项D：若为锐角三角形，则，， 可得，，所以，故D正确. 11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 连接，总有平面 B. 点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C. 平面平面 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的判定定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断；对于B，先求出和的各边，再结合勾股定理，及三角形的性质找出二面角的平面角，再结合勾股定理，及余弦定理即可求解，进而即可判断；对于C，由线面垂直的判定定理证明平面，进而即可得证平面平面；对于D，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断． 【详解】对于A，在正方体中， 由，且平面，平面，则平面， 又，且平面，平面，则平面， 又，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，交于，则是的中点，过作于，则是的中点， 则，则， 又，， 则，即， 过作于，则，则， 则是的四等分点且靠近处，取的中点，连接， 又是等边三角形，则，则，则， 所以是二面角的平面角， 又，分别为，的中点，则， 所以在中，，故B错误； 对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以， 又是正方形，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，将和沿着展开至同一平面， 则当，，三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知向量，，向量在向量上投影向量的坐标为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义直接求解即可. 【详解】由题知，向量与向量的夹角余弦值为， 则向量在向量上投影向量的坐标为. 13. 万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出的值，再在中，由正切函数的定义求解即可. 【详解】在中，，，， 所以， 由正弦定理可得， 即，解得， 在中，，， 由， 得 14. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【答案】 ①. 27 ②. 【解析】 【分析】根据已知条件可得，求得三棱锥各面的面积即可求得表面积；利用线面垂直的判定定理可证明平面，设内切球半径为，利用等体积法求解内切球的半径，利用球的体积公式计算即可. 【详解】因为，，，在中，， 所以，又平面，所以， 因为平面，，，平面，所以，，， 故，又，，所以平面， 又平面，所以，所以，，，均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，则， 即， 解得，故三棱锥的内切球的体积为． 四、解答题(本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知复数，（为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据虚数的概念求解即可. （2）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【小问1详解】 若为纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 对应点位于第二象限，则， 解得，所以. 所以的取值范围为. 16. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 17. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求SC与底面ABCD所成角的余弦值 【答案】（1）取的中点M，连接，，因为，分别为，的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则，且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AB的中点O，连接，，，  因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 即为直线SC与底面所成角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以直线SC与底面所成角的余弦值为．    18. 如图，在中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角的大小． （2）若，，是边的中点，为边上一点，. （i）求，CE的长度； （ii）设与交于点，求． 【答案】（1） （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）（i）根据向量的数量积、向量数量积运算律、向量的模及余弦定理求解即可. （ii）根据向量的数量积、向量数量积运算律及向量夹角的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由，得. 由余弦定理得，. 又，所以. 【小问2详解】 （i）， 因为是边的中点，所以， 则， 所以，即. 由，，得. 在中，由余弦定理得， 所以. （ii）由图可知，即为与的夹角. ， 则 . 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. （1）当时， （i）求证：； （ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； （2）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 【答案】（1） （i）连接，因为平面，平面，所以， 因为底面为平行四边形且，所以四边形为菱形，则， 因为平面，所以平面， 又平面，所以； （ii）设，连接， 因为平面，平面，所以， 因为面积的最小值是9，所以，则， 故当时，，故， 则，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则，则， 因为，， 所以，则， 因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求证，，再利用线面垂直的判定定理和性质定理求证； （ii）求证，，利用线面垂直的判定定理求证； （2）点为线段的中点，求证，再利用长方体求出外接球半径即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点为线段的中点， 设，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为点为线段的中点，则，即为直角三角形， 因为， 所以，则， 故，故四面体为鳖臑； 将该鳖臑补形至长方体中，其中， 所以体对角线长为， 设外接球的半径为，所以， 则外接球表面积为，等号成立时， 故该鳖臑外接球表面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一年级数学期末试卷 注意：本试卷共4页，19题，满分120分，时间120分钟 一、单选题(本题共8小题.每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1. 已知为虚数单位，复数满足，则的模为（   ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则，是异面直线 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 已知圆锥的轴截面是正三角形，侧面积为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB、AC于点M、N．设，，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、多选题(本题共3小题.每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若，则的值为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 10. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 连接，总有平面 B. 点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C. 平面平面 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12. 已知向量，，向量在向量上投影向量的坐标为________________． 13. 万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米． 14. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 四、解答题(本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知复数，（为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 17. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点． （1）求证：平面SCD； （2）求SC与底面ABCD所成角的余弦值 18. 如图，在中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角的大小． （2）若，，是边的中点，为边上一点，. （i）求，CE的长度； （ii）设与交于点，求． 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形. （1）当时， （i）求证：； （ii）若是上任意一点，，，当面积的最小值是9时，求证：平面； （2）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.若，，且四边形的面积为8，若点可能为，，的中点，试确定点位置，使得四面体为鳖臑（需要证明），并求出该鳖臑外接球表面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $