精品解析：陕西西安市临潼区华清中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

华清中学2025-2026学年高一年级期末考试数学试题 一、单选题（共40分） 1. 已知复数，为的共轭复数，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：,故选D. 考点：1.复数的运算；2.复数相关概念. 2. 下列命题中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 3. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】 将水平放置的的直观图还原，可知， 由勾股定理有，注意到， 所以三角形是等腰三角形，不是等边三角形， 由大边对大角可知，三角形中最大角的余弦， 即三角形中最大角是锐角，三角形是锐角三角形，不是直角三角形， 综上所述，只有C选项符合题意， 故选：C. 4. 已知是两个单位向量，与的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模及数量积的计算公式计算即可. 【详解】因为是两个单位向量，与的夹角为， 所以 ， 所以. 故选：C 5. 已知向量，，，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的关系及向量运算律得，代入数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为与垂直，所以，即， 所以，解得. 故选：C 6. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面，面面关系判断各选项即可. 【详解】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误； 对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误； 对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误； 对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又， 则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确. 故选：D 7. 已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明平面，再将三棱锥补形成直三棱柱，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据求得表面积公式即可得解. 【详解】因为平面， 所以平面， 如图经补形可知球心在直三棱柱高的中点处为外接圆的圆心， 则， 所以， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积． 故选：A. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，则周长的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理，结合基本不等式求出最大值. 【详解】在中，， 则，， 解得，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为3. 故选：C 二、多选题（共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 与是平行向量 C. 若与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误； 对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确； 对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误； 对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误. 故选：ACD. 10. 设向量，若与的夹角为锐角，则t的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】根据题意，向量与的夹角为锐角，则且、不共线， 即，解得且， 故选：BC. 11. 2022年4月23日至25日，以“阅读新时代，查进新征程”为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（ ） A. 从高一学生中抽取40人 B. 抽取的高二学生的总阅读时间是1860小时 C. 被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时 D. 估计全体学生每天的读书时间的方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由分层抽样可求解；对B，由平均数的意义可求解；对C，由平均数的估计可求解；对D，由方差的估计可去处得解. 【详解】对A，根据分层抽样，分别从高一学生、高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确； 对B，抽取的高二学生的总阅读时间是，故B错误； 对C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为（小时），故C正确； 对D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为，所以估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（共15分） 12. 已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【详解】由，所以，所以，即. 13. 设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，根据长方体的体对角线即为球的直径，求出，再根据球的表面积计算即可. 【详解】设球的半径为， 因为长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上， 所以长方体的体对角线即为球的直径，即， 所以，所以球的表面积为. 故答案为： 14. 如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加法法则，将表示为，代入中结合数量积的定义化简，从而可求出其范围. 【详解】. 因为，所以. 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知复数，其中为虚数单位，. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由纯虚数的定义列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由复数的几何意义列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由z是纯虚数，则 ，，故. 【小问2详解】 由z在复平面内对应的点在第三象限， ，，所以. 16. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合特殊角的三角函数值求解即可. （2）利用余弦定理求得，再the和三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在锐角中，由及正弦定理，得. 而，则，又为锐角， 所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，，即 整理得，而，解得， 所以的面积. 17. 某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计此次测试的平均成绩； （2）试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 【答案】（1）79 （2）85分；能录取，但不能进入第一梯队． 【解析】 【分析】（1）根据样本频率分布直方图估计平均数. （2）根据样本频率分布直方图估计88分的学生所在的位置，进行判断. 【小问1详解】 此次测试的平均成绩为： . 【小问2详解】 由题意可知，录取率为，能进入第一梯队的概率为； 设录取分数为，因为分数落在的概率为0.1， 分数落在的概率为0.4， 所以，令，解得， 所以录取分数大概为85分，进入第一梯队的分数大概为90分， 所以学生甲能被录取，但不能进入第一梯队． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，. （1）求证：平面； （2）若棱上存在异于、的一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，，推出，再根据平面，推出，最后根据线面垂直的判定定理，从而可证平面； （2）根据题设条件建立以为坐标原点，以，，所在射线分别为轴的空间直角坐标系，设，由得出，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的余弦值为，即可求得，从而可得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：，， ， 平面,平面， ， ，且平面， 平面. （2）解: 以为坐标原点，以，，所在射线， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 由点C向AB作垂线CH, 则， ∴， ∴， 设，则， ∵在棱上，∴（）， 即，解得：， ∴， 设平面的法向量， ， ∴ ，即，即， 取，则，则， 设平面的法向量， ， ∴ ，即， 即， 取则， ∴， ∴， 解得：， ∴，， 易知平面的法向量， 所以与平面所成角的正弦值. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用空间向量求二面角和线面角，空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两向量垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：． （1）若向量，求的值； （2）若非零向量满足，且，求的取值范围； （3）已知非零向量满足，向量的夹角，且和都是集合中的元素，求的取值集合． 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义，结合数量积运算计算即得. （2）利用给定的定义求得，再由定义求解即得. （3）利用给定的定义，结合已知求得，再求出，由此求出的范围. 【小问1详解】 向量，则，， 于是，而，则， 所以. 【小问2详解】 由，，得，则， 所以. 【小问3详解】 依题意，，而，，则，， 于是，显然存在，，则，因此， 即，则，显然，即，从而， 因此，又存在，使得，即， 解得，则， 所以的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学2025-2026学年高一年级期末考试数学试题 一、单选题（共40分） 1. 已知复数，为的共轭复数，则的值为 A. B. C. D. 2. 下列命题中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知是两个单位向量，与的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知向量，，，若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，则周长的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 二、多选题（共18分） 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则或 B. 与是平行向量 C. 若与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 10. 设向量，若与的夹角为锐角，则t的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 6 11. 2022年4月23日至25日，以“阅读新时代，查进新征程”为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（ ） A. 从高一学生中抽取40人 B. 抽取的高二学生的总阅读时间是1860小时 C. 被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时 D. 估计全体学生每天的读书时间的方差为 三、填空题（共15分） 12. 已知都是非零向量，且满足，则的值是___________． 13. 设长方体的长、宽、高分别为2、1、2，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_______________. 14. 如图，均为圆上的动点（可重合），为圆心，已知该圆的半径为1，则的取值范围是__________. 四、解答题（共77分） 15. 已知复数，其中为虚数单位，. （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围. 16. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 某体育学校为储备人才，准备通过测试（按照测试成绩高分优先录取的原则）录用学生300人，其中测试成绩前100名的学生为第一梯队，剩余的200名学生为第二梯队.实际报名学生为1000人，测试满分为100分.测试后，对学生的测试成绩进行了抽样分析，得到如图所示的频率分布直方图. （1）估计此次测试的平均成绩； （2）试估计该学校本次测试的录取分数，并判断测试成绩为88分的学生甲能否被录取？若能被录取，能否进入第一梯队？ 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，. （1）求证：平面； （2）若棱上存在异于、的一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值. 19. 对任意两个非零向量，定义新运算：． （1）若向量，求的值； （2）若非零向量满足，且，求的取值范围； （3）已知非零向量满足，向量的夹角，且和都是集合中的元素，求的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $