精品解析：山东省烟台市莱阳市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期期末学业水平检测 初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（ ） A. 17 B. 6 C. 33 D. 26 3. 在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A. 1 B. 9 C. 16 D. 25 4. 如图，菱形的两条对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 7. 如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 13. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 14. 如图，在正方形中，E为的中点，，垂足为F．若，则的面积为____． 15. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 16. 如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 已知，． （1）求和的值； （2）求的值． 18. 如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点G，交于点Q； ③以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，． （1）判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由； （2）若，，求的长． 19. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 20. 某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． （1）如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； （2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 21. 阅读下列解题过程： ， ， ，… 根据上面的解题思路，完成下列问题： （1）计算的值； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的规律，计算的值． 22. 如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 23. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 24. 如图，已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）点是边上一点，与相交于点，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学业水平检测 初三数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1 、被开方数不含分母；2 、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件才是最简二次根式，否则不是，据此判断即可． 【详解】解：A、 ，被开方数是整式，无开得尽方的因式，是最简二次根式； B 、，被开方数是整式，无开得尽方的因式，是最简二次根式； C 、，被开方数是整式，无开得尽方的因式，是最简二次根式； D 、，被开方数含有分母，不满足最简二次根式的条件，不是最简二次根式． 2. 一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（ ） A. 17 B. 6 C. 33 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 3. 在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A. 1 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，四个数成比例时两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算x的所有可能值，即可得到x不可能的值． 【详解】解：四个数成比例符合比例基本性质，两内项积等于两外项积，分三种情况计算x： 情况1：若3和4为外项，则，解得，对应选项A，因此A不符合题意； 情况2：若3和12为外项，则，解得，对应选项B，因此B不符合题意； 情况3：若4和12为外项，则，解得，对应选项C，因此C不符合题意； ∴x的值不能为25，只有D符合要求． 4. 如图，菱形的两条对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，， 在中，利用勾股定理求出的长，根据求出的长， 在中，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， 在中，， ， ， ， 在中，． 5. 如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算的应用，正方形的面积，根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案．利用线段的和差得出边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形①的边长为，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长为：， ∴正方形②的边长为： ∴正方形③的边长为：， ∴正方形③的面积为：． 故选：D． 6. 设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. -3 B. 5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得： 原式， ∵，是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得， ∴原式． 7. 如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，，证明，根据全等三角形的性质得到，，由勾股定理求出，再根据三角形的中位线定理得到． 【详解】如图，连接并延长交于，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，即点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 8. 如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，再由点、分别是，的中点，可得，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 9. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为，其中．若设的长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设的长为，则，根据长方体盒子的表面积为，可知阴影部分面积为，而阴影部分可以拼接成一个边长为的正方形，据此建立方程即可． 【详解】解：设的长为，则， 由题意得， 故选：D． 10. 如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”即可判断结论①；判断和是否相等即可判断结论②；首先根据已知条件可以判定，然后利用对应边成比例可证明，进而可以判断结论③；设，则，，证明，求出，即可判断结论④． 【详解】对于结论①，四边形是矩形， ， . , ． ，故结论①符合题意； 对于结论②，若平分成立，则有， ， ， ， ， 而根据现有条件无法说明，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵四边形是矩形， ． ， ， ． ， ． ， ． ， ， ，故结论③符合题意； 对于结论④， 四边形是矩形， ， ， ． F是的中点， ． 设，则，． 在和中， ， ，即 ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ，故结论④不符合题意． 综上可知，符合题意的结论有①③． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此列出不等式组求解即可，解题关键是正确列出不等式并求解。 【详解】解：由代数式有意义可得 且 解不等式得， 由解得， ∴不等式组的解集为． 12. 在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，根据题意得到关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于求解即可． 【详解】解：由题意得方程，整理得， 根据题意可得方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 13. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 14. 如图，在正方形中，E为的中点，，垂足为F．若，则的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】结合正方形的性质，利用勾股定理求得，接着证明，求得，从而得到，最后利用求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，，E为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 15. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设菱形两条对角线长分别为、．利用根与系数的关系和菱形面积公式得到相关等式．再结合勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为、． ∵,是一元二次方程的两个实数根． ∴由根与系数的关系得 ． ∵菱形面积为． ∴．解得 ． ∴菱形的边长为 ． 16. 如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，由菱形的性质可得，，即得，进而得到，则，，，由勾股定理求出，再证明和，分别求出和，最后根据计算即可求解． 【详解】解：∵，交的延长线于点E， ∴， ∵四边形是边长为6的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 已知，． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1），1 （2）10 【解析】 【分析】（1）直接把x，y的值代入进行计算即可； （2）将所求式变形得到，再把（1）中的，的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线，交于点G，交于点Q； ③以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，． （1）判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由作图知垂直平分，，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）可得，，，然后根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 由作图知垂直平分，， ，， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 在中，， ∴， ， ． 19. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 20. 某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． （1）如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； （2）如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【答案】（1）6 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据“一段长为的篱笆”可表示出，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可； （2）先表示，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴x的值为6； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 答：x的值为12． 21. 阅读下列解题过程： ， ， ，… 根据上面的解题思路，完成下列问题： （1）计算的值； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的规律，计算的值． 【答案】（1）29 （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可； （2）根据运算规律结合乘法公式即可求解； （3）利用（2）的结论，再运用乘法公式即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ． 22. 如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 23. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 24. 如图，已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）点是边上一点，与相交于点，若，求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 证明：， ， 由（1）知，四边形是菱形； ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用等腰三角形的性质证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，证明，推出，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $