精品解析：甘肃庆阳市华池县第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

华池一中2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分150分．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、班级、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题意） 1. 以下结论错误的是（ ） A. 命题：“，”的否定为“，” B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D. 回归直线一定过样本中心 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断；对于B，根据正态分布的特征判断；对于C，根据决定系数的意义判断；对于D，根据回归直线的特征判断. 【详解】对于A，命题：“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，根据正态分布的性质可知，，则,那么 ，所以，，故B正确； 对于C，用决定系数来刻画回归效果，越大拟合效果越好，故C错误； 对于D，样本中心点一定在回归直线上，故D正确. 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.64 D. 0.72 【答案】A 【解析】 【详解】由题意. 3. 若向量，，且，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 5. 东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，再分别求出对应概率并计算期望即可． 【详解】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3， ；， ， ． 6. 对于三维向量，，定义，，，则（ ） A. B. C. D. 以上选项均不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，结合空间向量运算的坐标表示即可求解. 【详解】已知，，根据题意，， 因此. 7. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果. 【详解】若甲体验儒家文化，则有： 当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有： 当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1； 当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 所以. 8. 已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，利用导数求解函数最值，进而得到参数的范围 【详解】由题意，即， 令， 求导得， 令， 故在单调递增，且， 令，解得（舍）或， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 在处取得极小值（也是最小值）：， 所以． 故选：A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．） 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（ ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互为对立 C. 事件A与事件相互独立 D. 事件A与事件B互斥 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概念可判断AC；根据对立事件的概念可判断B；根据互斥事件的概念可判断D. 【详解】由题意可得事件“第二枚硬币正面朝上”， 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，有如下基本事件，正正，正反，反正，反反， 所以，，， 对于A，因为，所以事件A与事件B相互独立，故A正确； 对于B，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是对立事件，故B错误； 对于C，因为，所以事件A与事件相互独立，故C正确； 对于D，因为事件与事件可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，故D错误. 故选：AC 10. 在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（ ） A. 为梯形 B. 为五边形 C. 平面 D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】以为原点建立边长为的空间直角坐标系确定各已知点坐标，确定截面形状后判断AB，通过空间向量的垂直关系判断C，通过 可判断D. 【详解】 如上图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则各点坐标为: 选项A：延长交于点，交于， 连接交于，连接交于， 则共面， 由上图可知，截面是一个五边形，而非梯形，选项A错误，B正确； 选项C：若平面，则与平面中的每一条直线都是垂直的， ，， 此时，则与平面并不垂直，选项C错误； 选项D：由三角形中位线定理可知，平行于，且， 又因为平面，而平面，所以平面，选项D正确. 11. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，直接用偶函数的定义判断可得；对B，用导数判断函数的极小值及最值可得；对C，将方程的根转化为函数的零点，再结合零点存在性定理判断可得；对D，直接构造函数，求导，再构造函数，再求导，进而可判断当时，，故可判断D错误. 【详解】对于A，由知函数的定义域为，所以函数的定义域为， ， 所以是偶函数，因此A正确； 对于B，由求导得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 故在处取得极小值，也是最小值，因此B正确； 对于C，令，求导得， 所以函数在上单调递减，且当时，；当时，， 由零点存在定理，有且仅有一个零点，即方程有且仅有一个实根，故C正确； 对于D，令，. 则，. 再令，则， 所以在上单调递减，且， 故当时，，即函数在上单调递减，且， 所以当时，，即， 因此，对任意，都有错误，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从二项分布，若且，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题设，则，， 所以，可得 ，所以. 13. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接由全概率公式即可求解. 【详解】设事件表示“选中的学生选了物理”，事件分别表示“选到甲、乙、丙学校的学生”， ，，，，，， 由全概率公式可知， ， 所求概率为或. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________． 【答案】##0.3125 【解析】 【分析】由题得出的递推式，构造等比数列求解即可． 【详解】由题意得，时，，即， 设，故， 所以，其中， 即是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 所以． 四、解答题（共77分） 15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图． （1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； （2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 【答案】（1），人 （2）表格如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 【解析】 【小问1详解】 由各组频率之和为，得，解得， 则属于“优等生”的有 人. 【小问2详解】 由题意，样本中男生有人，则女生有人． 属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人. 不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人． 所以得到列联表如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关． 根据表中数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 16. 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （1）计算与的相关系数（保留三位小数）； （2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 【答案】（1）； （2），2.9万辆． 【解析】 【小问1详解】 由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． 【小问2详解】 由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 17. 某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品． （1）求第一次抽到的是A商品的概率； （2）记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望； （3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，根据全概率公式分别求得相应的概率，即可得到其分布，再根据离散型随机变量的期望公式，求得期望； （3）分别求出和则，再根据条件概率公式求得在第二次抽到的是B商品的情况下，第一次抽到的是A商品的概率． 【小问1详解】 设“第次抽到的是A商品”，“第次抽到的是B商品”，“选取到第个超市”，． 由题意得第一次抽到的是A商品的概率． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 从甲超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为； 从乙超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为； 从丙超市的抽检商品中不放回地抽取两次，每次抽到商品的概率均为. 所以. ， 则， 所以在第二次抽到的是商品的情况下，第一次抽到的是商品的概率为． 18. 如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线AC两侧． （1）求证：平面； （2）已知，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面. 取的中点，连接. 因为，所以， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 可知三点共线，所以， 所以平面. （2）； 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得平面；取中点，由得，结合中位线可证共线，从而，故平面； （2）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.利用已知长度求出各点坐标，分别计算平面与平面的法向量，代入夹角公式计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以. 又因为，， 则以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 连接，由（1）知平面，平面， 所以 ，，又， 所以. 又， 所以，，. 因此，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，则. 易得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数，，其中，e为自然对数的底数． （1）证明：； （2）若对任意恒成立，求实数a的值； （3）设数列满足，数列满足，证明：对任意成立，并求使得成立的最小正整数n． 【答案】（1）证明：由，得，令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 因此对任意，有. （2）1 （3）最小正整数 由（2）知，令，得， 于是 ， 故对任意成立，取，得，所以最小正整数， 又对任意成立，所以对任意成立， 所以 对任意成立. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调性再求解 （2）先用表示的最小值，再求的取值集合； （3）分析先放缩证明，再说明即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 当时，，在上单调递增，又，所以当时，，不符合题意； 当时，令，得，在上小于0，在上大于0， 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值， 设，则，令，得，在上大于0，在上小于0， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由恒成立得，故，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华池一中2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分150分．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、班级、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题意） 1. 以下结论错误的是（ ） A. 命题：“，”的否定为“，” B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 D. 回归直线一定过样本中心 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.36 C. 0.64 D. 0.72 3. 若向量，，且，则的值是（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 6. 对于三维向量，，定义，，，则（ ） A. B. C. D. 以上选项均不正确 7. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．） 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则（ ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互为对立 C. 事件A与事件相互独立 D. 事件A与事件B互斥 10. 在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（ ） A. 为梯形 B. 为五边形 C. 平面 D. 平面 11. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量X服从二项分布，若且，则________． 13. 天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为________． 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则________． 四、解答题（共77分） 15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图． （1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； （2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 16. 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 （1）计算与的相关系数（保留三位小数）； （2）求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 17. 某部门对当地三个超市中A，B两种商品进行随机抽检，已知第一个超市中有3件A商品和7件B商品，第二个超市中有7件A商品和8件B商品，第三个超市中有5件A商品和20件B商品．随机从这三个超市中选取一个抽检，再从该超市的抽检商品中不放回地抽取两次．每次抽取一件商品． （1）求第一次抽到的是A商品的概率； （2）记X表示抽到的A商品的个数，求X的分布列与期望； （3）在第二次抽到的是B商品的情况下，求第一次抽到的是A商品的概率． 18. 如图，在几何体中，平面平面，，，，，为中点，点，在直线AC两侧． （1）求证：平面； （2）已知，，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数，，其中，e为自然对数的底数． （1）证明：； （2）若对任意恒成立，求实数a的值； （3）设数列满足，数列满足，证明：对任意成立，并求使得成立的最小正整数n． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $