14.3 课时2 角平分线的判定 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦角平分线的判定定理，通过复习角平分线性质定理，引导学生交换题设与结论提出猜想，构建从性质到判定的知识脉络，为后续学习搭建逻辑支架。 以“提出猜想-证明归纳-对比应用”为主线，通过全等证明培养逻辑推理，结合三角形角平分线交点等实例深化理解，讲练结合提升综合应用能力，帮助学生构建知识体系，助力教师高效教学。

14.3 角的平分线 课时2 角平分线的判定 课题 14.3 角的平分线（课时2） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、合作探究、讲练结合 教学用具 多媒体课件、直尺、三角板 教材分析：本节是人教版八年级上册第十四章第三节第2课时，核心内容是角平分线的判定定理及其应用。本节在学生已掌握角平分线性质定理的基础上，通过交换命题的题设和结论，探究角平分线的判定定理——角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。同时引导学生理解性质与判定的区别与联系，并将判定定理应用于实际问题。本节既是对性质定理的延伸，又为后续综合应用奠定基础。 学情分析：学生已经学习了角平分线的性质定理，理解了“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一结论。学生已有了“交换命题的题设和结论”的经验（如学习全等三角形时的探究），但对于“判定定理中‘角的内部’这一前提条件”的必要性可能理解不够深入。学生对性质与判定的区别容易混淆，需要通过对比分析加深理解。 一、教材分析 本节是人教版八年级上册第十四章第三节第2课时，核心内容是角平分线的判定定理及其应用。本节分三个主要知识点：一是角平分线的判定定理——角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；二是角平分线性质与判定的区别与联系；三是判定定理在实际问题中的应用。本节既是对性质定理的延伸，又为后续综合应用奠定基础。 二、学情分析 学生已学习了角平分线的性质定理，并能运用性质证明线段相等。学生已有了“交换命题的题设和结论”的经验，但对于“判定定理中‘角的内部’这一前提条件”的必要性理解不够深入。学生对性质与判定的区别容易混淆，需要通过对比分析加深理解。 三、核心素养目标 1. 数学抽象 能从“角平分线的性质”出发，通过交换命题的题设和结论，提出“到角两边距离相等的点是否在角平分线上”的猜想，抽象出角平分线的判定定理。 能将实际问题（如测量、证明点在角平分线上）抽象为角平分线判定的数学模型。 2. 逻辑推理 能运用全等三角形的判定方法（HL或AAS）证明角平分线的判定定理。 能综合运用角平分线的性质和判定解决多步证明问题，形成完整的逻辑推理链。 3. 直观想象 通过观察图形和实验探究，直观感知到角两边距离相等的点集合构成角平分线。 能在复杂图形中识别并运用角平分线的判定条件。 4. 数学运算 能运用角平分线的判定定理求解角度数和证明线段相等。 能综合运用角平分线判定与三角形面积公式等解决问题。 四、教学重难点 教学重点：角平分线的判定定理及其应用；角平分线性质与判定的区别与联系。 教学难点：角平分线判定定理的证明；性质与判定的综合运用；理解“角的内部”这一前提条件的必要性。 五、教学过程 环节一：复习导入（3分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了角平分线的性质。请大家回顾一下：角平分线的性质是什么？ 【学生活动】角的平分线上的点到角两边的距离相等。 【教师活动】很好！请用几何语言表述这个性质定理。 【学生活动】∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。 【教师活动】非常正确！这个定理的题设是“点在角平分线上，且这个点向角两边作垂线”，结论是“两条垂线段相等”。那么反过来，如果我们把题设和结论交换一下，会得到什么命题呢？ 【学生活动】到角两边距离相等的点在角的平分线上。 【教师活动】这个命题是否成立呢？今天我们就来探究角平分线的判定。 【设计意图】通过“交换命题的题设和结论”的方式引入新课，既复习了性质定理，又自然引出判定问题，体现数学中“逆命题”的研究方法。 环节二：探究角平分线的判定定理（10分钟） 【过渡语】交换性质定理的题设和结论，得到一个新的命题。让我们来证明它是否正确。 1. 提出问题，明确已知和求证 【教师活动】已知：点P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 【教师活动】请同学们思考：要证明点P在∠AOB的平分线上，就是要证明什么？ 【学生活动】就是要证明∠DOP=∠EOP，或者证明OP是∠AOB的平分线。 【教师活动】正确！那么我们可以通过哪两个三角形全等来证明？用哪种判定方法？ 【学生活动】可以证明Rt△POD≅Rt△POE。在Rt△POD和Rt△POE中，PD=PE（已知），OP=OP（公共边），∴Rt△POD≅Rt△POE（HL）。∴∠DOP=∠EOP，即点P在∠AOB的平分线上。 【教师活动】很好！你们用HL证全等。还有其他方法吗？ 【学生活动】也可以用AAS证明。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。又∠POD=∠POE（正是要证的）……不对，这个角不能作为已知条件。 【教师活动】说得对！要证的结论不能作为已知条件。所以用HL是最合适的方法——两个直角三角形中，斜边和一条直角边分别相等。 2. 归纳判定定理 【教师活动】通过证明，我们得到角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 【教师活动】请同学们注意，为什么要强调“角的内部”这个条件？如果不加“角的内部”会怎样？ 【学生活动】如果不限定在角的内部，那么到角两边距离相等的点还有可能在外角平分线上。所以“角的内部”是必要的前提条件。 【教师活动】非常漂亮！这就是判定定理与性质定理的关键区别之一。另外，在角的内部，角平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。这是角平分线的一个重要几何特征。 【教师活动】用几何语言表述判定定理如下： 【知识点】角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。条件：①点在角的内部；②到角两边的距离相等。结论：点在角平分线上。 易错提示：判定定理中“角的内部”不能省略。如果不限定“角的内部”，到角两边距离相等的点可能在角的外部（外角平分线上）。另外，“距离”仍然是指垂线段的长度，需要先证垂直。 【设计意图】通过“交换题设和结论→提出猜想→证明猜想→归纳定理”的完整探究过程，培养学生的逻辑推理能力和科学探究精神。 环节三：角平分线性质与判定的对比（3分钟） 【过渡语】掌握了判定定理，现在让我们将角平分线的性质和判定放在一起对比，看看它们有什么不同。 【教师活动】请同学们完成以下对比：角平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？判定定理的条件是什么？结论是什么？ 【学生活动】性质定理：条件——OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB；结论——PD=PE。判定定理：条件——PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE；结论——OP平分∠AOB。 【教师活动】很好！可以看出，性质和判定是互逆的关系。性质是已知角平分线得距离相等，判定是已知距离相等得角平分线。在解题时，要根据已知条件灵活选用。 【教师活动】请同学们注意观察：性质定理和判定定理的几何语言中，“垂直”条件是否相同？ 【学生活动】相同的。两个定理都要求“垂直于角的两边”，因为“距离”必须是垂线段的长度。 【教师活动】说得很好！无论是性质还是判定，“距离”都指垂线段的长度，这是它们的共同前提。那么两个定理还有什么不同之处呢？ 【学生活动】性质定理没有“角的内部”这个条件，但判定定理必须有“角的内部”。另外，性质定理的条件中包含“角平分线”，而判定定理的条件中包含“距离相等”。 【教师活动】非常漂亮！你已经完全掌握了两个定理的区别。让我们通过一个例题来巩固。 【知识点】角平分线性质与判定的区别：性质——已知角平分线→距离相等；判定——已知距离相等→角平分线。两者互为逆命题，在解题中常配合使用。 理解要点：角平分线的性质用于“由角平分线得线段相等”，角平分线的判定用于“由线段相等得角平分线”。实际解题时，先用性质得线段相等，再用判定得角平分线，是常见的综合应用模式。 【设计意图】通过对比分析，帮助学生理清性质与判定的区别与联系，避免混淆。 环节四：例题精讲——三角形角平分线的交点（8分钟） 【过渡语】掌握了判定定理，现在让我们通过一个重要例题来学习它的应用。 例2：三角形角平分线的交点问题 【教师活动】例1：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等；（2）△ABC的三条角平分线交于一点。 【教师活动】请同学们先分析第（1）问：要证点P到三边距离相等，需要作什么辅助线？可以用哪个定理？ 【学生活动】过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥CA于点F。用角平分线的性质定理。 【教师活动】具体怎么证？ 【学生活动】∵BM平分∠ABC，点P在BM上，∴PD=PE。∵CN平分∠ACB，点P在CN上，∴PE=PF。∴PD=PE=PF，即点P到三边的距离相等。 【教师活动】很好！第（1）问用的是角平分线的性质定理。那么第（2）问呢？要证明三条角平分线交于一点，已经知道BM和CN交于点P，还需要证明什么？ 【学生活动】还需要证明点P在∠A的平分线上，也就是证明AP是∠A的平分线。 【教师活动】正确！怎么证呢？ 【学生活动】由（1）得PD=PF，即点P到AB和AC的距离相等。又PD⊥AB，PF⊥CA，且点P在∠A的内部，根据角平分线的判定定理，点P在∠A的平分线上。所以三条角平分线交于一点。 【教师活动】非常漂亮！这道例题很好地展示了角平分线性质和判定的综合应用。第（1）问用性质，第（2）问用判定。由此我们得到一个重要结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等。 【教师活动】请同学们再想一想：这个结论说明了什么？如果我们把三角形换成四边形、五边形呢？ 【学生活动】这个结论说明三角形的三条角平分线共点。但四边形或五边形的角平分线不一定交于一点，三角形是特殊的。 【教师活动】正确！三角形角平分线交于一点是三角形的一个重要性质，这个点叫做三角形的内心，是三角形内切圆的圆心。这个知识我们以后还会进一步学习。 【知识点】三角形的三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等。证明时先用性质得距离相等，再用判定得角平分线。 【设计意图】通过例2的讲解，让学生学会角平分线性质与判定的综合应用，并得出三角形角平分线的重要性质。 环节五：练习1-3——基础巩固（7分钟） 【过渡语】通过例题的学习，我们已经掌握了角平分线判定的应用。现在通过几道练习来检验学习效果。 【教师活动】练习1：如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为B、C。若PB=PC，∠MAN=46°，则∠APC的度数为（　　） A. 23° B. 44° C. 46° D. 67° 【学生活动】选D。∵PC⊥AM，PB⊥AN，PB=PC，∴点P在∠MAN的平分线上，即∠PAC=∠MAN÷2=23°。在Rt△APC中，∠APC=90°-23°=67°。 【教师活动】正确！关键是先用判定定理得出AP平分∠MAN，然后用直角三角形两锐角互余求解。 【教师活动】练习2：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等。若∠A=40°，则∠BOC的度数为（　　） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【学生活动】选A。∵点O到△ABC三边距离相等，∴点O是△ABC三条角平分线的交点。∴∠OBC=∠ABC÷2，∠OCB=∠ACB÷2。在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°。∴∠OBC+∠OCB=140°÷2=70°。∴∠BOC=180°-70°=110°。 【教师活动】很好！这道题将角平分线判定与三角形内角和综合起来，思路清晰。 【教师活动】练习3：在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【学生活动】选A。到∠AOB两边距离相等的点在∠AOB的平分线上。观察网格，点M位于∠AOB的平分线上。 【教师活动】正确！这是判定定理在网格中的直观应用。 【知识点】判定定理应用要点：①确认“距离”是垂线段长度（可通过垂直符号或直角条件获得）；②判定定理能用于求角度数、证明角平分线、证明线段相等等多种场景；③证明“距离相等”是使用判定定理的关键前提。 判断技巧：解决“到角两边距离相等”相关问题时，直接应用角平分线的判定定理或性质定理。区分两者的关键：已知角平分线求距离用性质，已知距离相等求角平分线用判定。 【设计意图】练习1-3分别考查角平分线判定在角度计算、综合推理、网格应用三种场景中的运用。 环节六：练习4-6——综合提升（11分钟） 【过渡语】前面三题是基础应用，接下来让我们挑战三道综合题，进一步提升能力。 【教师活动】练习4：如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC。求证：AE是∠DAB的平分线。 【教师活动】这是一道证明题，请同学们分析证明思路。要证明AE是∠DAB的平分线，可以转化为证明什么？ 【学生活动】转化为证明点E到AD和AB的距离相等，即证明EF=EB。 【教师活动】很好！怎么证明EF=EB呢？ 【学生活动】过点E作EF⊥AD于点F。∵∠B=∠C=90°，∴DC⊥EC，EB⊥AB。∵DE平分∠ADC，∴EC=EF（角平分线的性质）。∵E是BC的中点，∴EC=EB。∴EF=EB。又∵EF⊥AD，EB⊥AB，∴点E在∠BAD的平分线上（角平分线的判定），即AE是∠DAB的平分线。 【教师活动】非常漂亮！这道题先用性质得EC=EF，再用中点得EC=EB，从而得EF=EB，最后用判定得角平分线。这是性质和判定配合使用的典型例子。 【教师活动】练习5：如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为4、5、6，其三条角平分线交于点O，求S△ABO∶S△BCO∶S△CAO。 【教师活动】这是一道面积比问题，请同学们思考：点O是三条角平分线的交点，有什么性质？ 【学生活动】点O到三边的距离相等，设为r。S△ABO=AB×r÷2=4r÷2=2r，S△BCO=BC×r÷2=5r÷2=2.5r，S△CAO=CA×r÷2=6r÷2=3r。∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=2r∶2.5r∶3r=4∶5∶6。 【教师活动】很好！这道题的关键是利用角平分线的交点到三边距离相等，将面积比转化为底边长度之比。这也说明了一个规律：三角形角平分线交点分割的三个三角形的面积之比等于对应底边长度之比。 【教师活动】同学们请思考：如果三边长分别为a、b、c，三角形角平分线交点分割的三个三角形面积之比是什么？ 【学生活动】面积之比等于a∶b∶c。因为点O到三边的距离相等，设x为r，则S△ABO=ar÷2，S△BCO=br÷2，S△CAO=cr÷2，所以面积之比=a∶b∶c。 【教师活动】正确！这是一个普遍结论，请同学们记住。 【教师活动】练习6：如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B、E，AB=CE，AB、CE相交于点F，连接DF。求证：FD平分∠BFE。 【教师活动】这是一道较为复杂的综合题，请同学们分析证明思路。 【学生活动】要证FD平分∠BFE，可以证明DB=DE。∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD=∠CED=90°。在△ABD和△CED中，∠ADB=∠CDE（对顶角相等），∠ABD=∠CED=90°，AB=CE，∴△ABD≅△CED（AAS）。∴DB=DE。又∵DB⊥FB，DE⊥FE，∴FD平分∠BFE（角平分线的判定）。 【教师活动】非常漂亮！这道题先用AAS证全等得DB=DE，再用角平分线的判定得结论。这是一个经典的“证全等→距离相等→判定角平分线”的证明模式。 【教师活动】请同学们注意，这道题中“距离”是通过什么来确认的？ 【学生活动】“距离”是通过垂直条件来确认的。由AB⊥CD得DB⊥FB，由CE⊥AD得DE⊥FE。所以DB和DE就是点D到∠BFE两边的距离。 【教师活动】说得很好！这就是“距离”的确认——必须是垂线段。在解这类综合题时，我们可以按以下步骤思考：第一步，找垂直条件确定“距离”；第二步，证明距离相等；第三步，用判定定理得角平分线。 解题思路总结：本节练习覆盖了角平分线判定的多种应用模式：①直接应用判定求角度数（练习1）；②判定与三角形内角和综合（练习2）；③判定在网格中应用（练习3）；④性质与判定的综合应用（练习4）；⑤判定与面积比综合（练习5）；⑥“证全等→距离相等→判定角平分线”模式（练习6）。 【设计意图】练习4-6由易到难，逐步提升学生的综合应用能力，涵盖角平分线判定在多种场景下的应用。 环节七：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了14.3角的平分线第2课时。让我们一起回顾一下。 【教师活动】今天学习了哪个主要定理？ 【学生活动】角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 【教师活动】角平分线的性质和判定有什么区别和联系？ 【学生活动】性质是已知角平分线得距离相等，判定是已知距离相等得角平分线。两者互为逆命题。 【教师活动】很好！三角形三条角平分线有什么性质？ 【学生活动】三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等。 【教师活动】非常好！使用判定定理时，一定要注意“角的内部”这个前提条件，同时要确保“距离”是垂线段的长度。请同学们课后完成课本习题，巩固今天所学内容。 【教师活动】最后，请同学们总结一下：解答角平分线相关证明题时，我们应该如何选择使用性质还是判定？ 【学生活动】看已知条件：已知角平分线则用性质得距离相等，已知距离相等则用判定得角平分线。也可以先用性质得距离相等，再用判定得角平分线，两者配合使用。 【教师活动】总结得很好！今天的课就上到这里，课后请同学们完成对应练习。 【设计意图】通过提问引导学生回顾本节核心知识，强化性质与判定的区别与联系，建立完整的知识体系。 六、板书设计 14.3 角的平分线（课时2） 角平分线的判定 一、复习：角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 几何语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 二、角平分线的判定 定理：角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE ∴OP平分∠AOB 三、性质与判定的区别 性质：已知角平分线 → 距离相等 判定：已知距离相等 → 角平分线 两者互为逆命题 四、三角形角平分线的性质 三条角平分线交于一点 该点到三边距离相等 面积比 = 底边长度之比 课题：人教版 八年级上册 14.3 课时2 角平分线的判定 七、教学反思 1. 学生从“交换性质定理的题设和结论”到“提出判定猜想”的过程是否自然？学生是否能独立完成判定定理的证明（用HL）？ 2. 学生对“角的内部”这一前提条件的必要性是否真正理解？是否能说出“不加这个条件会怎样”？ 3. 性质与判定的对比环节是否有效帮助学生理清两者的区别与联系？学生在解题时是否能正确选择使用性质还是判定？ 4. 例2的讲解是否清晰展示了“先用性质得距离相等，再用判定得角平分线”的综合应用模式？ 5. 练习5（面积比问题）和练习6（证全等+判定）的难度是否适中？学生能否独立完成这类多步证明与计算？ 6. 课堂小结时学生能否清晰地总结出角平分线性质和判定的区别与联系？是否能形成完整的知识网络？ 学科网（北京）股份有限公司 $