河北省NT20名校联合体2025-2026学年高二下学期期末（新高三摸底测试）数学试题

新高三摸底测试 数学 考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.若复数之=a+(a一1)i(a∈R)为纯虚数，则z为 A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知向量AB=(1,3),AC=(2,t),若AB·BC=4,则|BC= A.1 B.2 C.3 D.√2 3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sm,且a1十S2=8,a2十S3= 18,则数列{an}的公比为 3 A.2 B.- 4 c D. 人、3y2 Q已知方程。七十表示焦点在y轴上的稀圆，则加十 m十1的最小值是 A.4 B.5 c. D.6 2 5.某房地产开发商为了促销举行抽奖活动.若抽中一等奖，则抵扣房款1.5万元， 若抽中二等奖，则抵扣房款5000元.已知每位顾客都有两次抽奖机会，且每次 抽中一等奖和二等奖的概率分别为和，每次中奖情况相互独立。现有甲顾客 参与该抽奖活动，抽奖获得的抵扣房款总金额为X万元，则X的期望是 A.6 c 5 D.3 6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)+f(-x+1)=0,且当x∈(0,1) 时，f(x)=e+ex,则函数f(x)在[一4,4幻上的零点个数为 A.3 B.5 C.9 D.10 已知向量OA=(7,))(其中O为坐标原点)，把OA绕点O逆时针旋转0角 到向量O丽.若向量0正的坐标为(-，-22).则c0s9 3， 3 A.-22-3 B.-26-1 6 C.-3+22 1+2√6 D.- 6 6 高二数学第1页共4页 8.已知指数函数f(x)满足2f(x)-f'(x)=0,若不等式af(x)+x≥ln二对Hx∈ (0,+∞)成立，则实数a的取值范围为 A.[,+oo) B.[2e+o) C.[e,+∞) D.[2e,+o∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在二项式(2x一二)6的展开式中，下列说法正确的是 A.x-4的系数是-12 B.各项的系数和是64 C.第4项二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为一32 10.已知数列{am}的前n项和为Sn,且am十an+1=4n十1，a1=1,则 A.a3=6 B.a2n=4n C当n为倜数时，S,=n2+号 D.S19=370 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B,C1D1中，M,N,P分别是CC1, BC,DC的中点，则下列命题正确的是 A.平面AB,D1∥平面MNP B,三面角A一B1D,一A1的正切值为2 C.平面AB,D1与平面MNP间的距离为√3 B D.以A1为球心，√2为半径的球面与平面AB1D1的交线 落在△AB,D1内的长为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线l1:x+(1-a)y一3=0与直线l2:(2a十3)x+y+2=0垂直，则a= 13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足A=石，S△=2， sin Bsin C-了，则△ABC外接圆的面积为 14.在平面直角坐标系中，O(0,0),M(3,0),V(4,0),点P满足PO=2PM,点P 的轨迹为曲线E,直线l:x十y一a-4=0(a>0),直线l与曲线E交于不同的 两点A,B,且5NB-NA|≤NA+VB|,则实数a的取值范围是 高二数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB=2sinC, a=3. (1)若A=子，求△ABC的面积： (2)若∠CAB的平分线交BC于D,且AD=3,求边c. 16.(本小题满分15分) 为了迎接高考，某校举行模拟考试.现随机抽取其中60名考生的物理成绩进行 统计（满分100分），并将他们的成绩分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计该校学生物理成绩的平均数和第80百分位数；（同一组中的数据用该 组区间的中间值为代表) (2)用分层随机抽样的方法在分数段[80,100]内的学生中抽取一个容量为7的 样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段 [90,100]内的概率. 频率 组距 0.035 0.025 0.02 0V5060708090100成绩 高二数学第3页共4页 17.(本小题满分15分) 如图，在四陵锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，BCAD,BC=AD=1, AB=1,PC=2,AB⊥AD,E是棱PD上的点. (1)若点E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB; (2)求平面ACE与平面PCD夹角的余弦值的取值范围. B 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-x,g)= 2-ax2+1. (1)讨论g(x)的单调性； (2)若a≥？，正明：当x≥0时，f(x)≥g(x). 19.(本小题满分17分) 已知双曲线C:0≥0,0>0的有焦点为F(2,0,过点F的直 与双曲线C交于M,N两点，且MN的中点为(3,1). (1)求双曲线C的方程； (2)过P(1,1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A,B. (i)证明：直线AB的方程为x一3y一3=0； (i)设F1为双曲线C的左焦点，证明：∠AF1P十∠BF1P=π. 高二数学第4页共4页新高三摸底测试 数学参考答案 1.【答案】B 【解析】复数z=a+(a-1)i为纯虚数，则 -1z0,解得a=0,所以=卜=1 a=0, 故选B 2.【答案】D 【解析】BC=AC-AB=(2,t)-(1,3)=(1,t-3).因为AB.BC=1+3×(t-3)=4,解得t=4, 所以BC=V?+(4-3)}=2.故选D. 3.【答案】A 24+4q=8, 【解析】设等比数列{an}的公比为g.根据题意可得， 解得 4+2aq+44=18, 4=2减子因为各项均为正数，所以g=2故选A 4.【答案】B [3-m>0, 【解析】根据题意可得，{m+1>0, 解得1<m<3.令m+1=t∈(2,4)，则 3-m<+1, 9 m+_ =m+19-1=1+ m+1 m+1 21-5,当且仅当1-3，等号 9 成立，故m+ 的最小值为5.故选B. m+1 5.【答案】D 【解行】由题可知x的所台可能取值为123，则x-》-)号 所以E()=1x4+2x4+3x1- 93 故选D. 高二数学第1页共9页 6.【答案】C 【解析】由x+1)十-+1=0，得x)=-2-x),又fx)是奇函数，所以 x-2-xx-2),故x)为周期为2的函数.又f0)=0,f-1)=f1)=0,当 x∈(0,1)时，f(x)=e+e>2,无零点.又fx)是奇函数，所以当x∈(-1,0)时， fx)也无零点，在一个周期-1,1]上的零点分别为-1,0,1，根据周期规律，所 以f(x)在[-4,4]上有9个零点，分别为0,1,2,3,4，-1，-2,3，-4.故选C. 7.【答案】D 【解析】由题意得，OA=1,所以点A在单位圆上，则向量OA与x轴正半轴的 夹角为.把OA绕点O逆时针旋转日角得到的向量O的坐标为 29所 cos 0 cos 〔+号--co 6 故选D. 8.【答案】B 【解析】设f(x)=m,由题意可得，2-tm=0,解得m=e2,则f(x)=e2 因为af(x)+x≥In对xe(0,+o)恒成立，所以ae2+≥ln对x∈(0，+o)恒成立. 不等式可变形为ae2x+2x+lna≥hnx+x,即ee2x+(2x+na)≥nx+ex,即 e2x+a+(2x+lna)≥e+nx对x∈(0，+o)恒成立.记g(x)=e+x,所以 e2x+a+(2x+lna)≥e血x+lnx可写为g(2x+na)≥g(lnx).因为g'(x)=e+1>0,所以 g(x)在R上单调递增，所以2x+lna≥lnx对x∈(0，+o)恒成立，即na≥nx-2x对 ∈(0+o)恒成立记h(y=血x-2x,只需血a≥h(x因为i(y)=1-2=1-2r,故 在〔0上，0，h(单调递增，在}上，()k0,e)单调递减， 所以4(e=得-}1=-h2-1,所以加a心21解得a产名，放a的取值 范罔为2故选B 高二数学第2页共9页 9.【答案】AC 【解析】二项 2x‘的辰开式通项=c2( =C26-*(-1)产x6-2h 对于A,令6-2k=-4可得k=5,故x4的系数是C2-5(-1)=-12,故A正确： 对于B,令x=1,则各项的系数和是(2-1)=1，故B错误； 对于C,二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，故C正确： 对于D,奇数项二项式系数和为25=32，故D错误.故选AC 10.【答案】BCD 【解析】对于A,a,+a,=5,a,+a=9,解得a=4,4=5,故A错误： 对于B,an+an+1=4n+1,a+1+a+2=4n+5,所以an+2-an=4,所以数列{an} 是以a2=4为首项，4为公差的等差数列，数列{an1}是以a,=1为首项，4为公 差的等差数列，所以a4m=4,4m-1=4n-3,故B正确： 对于CS=a+a++a)+a+4++a)n+分，故c正确： 对于D,Sg=4+(a+4)++(a3+a4g)=1+9+17++(4×18+1）=370,故D 正确故选BCD. 11.【答案】ACD 【解析】对于A,连接BC,,M,N分别为CC1,BC的中点，∴.N∥BC1,易 证BC1∥AD1,.MN∥AD1,又AD1C平面AB1D1,Nt平面ABD1, ∴.MN∥平面AB1D1,同理可证，NP∥平面AB1D1,.MN∩NP=N,W,NPC 平面NP,.平面AB1D1∥平面NP,故A正确： 对于B,取B1D1的中点O,连接A1O,AO,因为B1D1⊥A1O,B1D1⊥AO, 所以∠A1OA即为二面角A-BD1A1的平面角，因为AA1⊥平面A1B1C1D1,A1OC 平面A1B1CD1,所以AA1LA1O,在△AAO中，AA1=2,A1O=√5，所以 an∠A1OA=4=V2,故B错误： AO 对于C,连接A1C,则A1C⊥平面AB1D1,又平面AB1D1∥平面NP,所以A1C 平面wMNP,因为点A1到平面AB1D,的距离为AC,点C到平面MNP的距离为AC, 3 6 高二数学第3页共9页 所以平面ABD,与平面MP间的距离为4C-4,C-4C-AC=V5,故C正确： 362 对于D,因为点A1到AD1中点的距离恰好为√2，所以球面与平面AB1D1的交线 恰为△AB1D1的内切圆，设其圆心为O1,半径为R,则A1到平面AB1D1的距离 A0S=25,所以R-240=后，周长为26元放D正确枝选ACD 33 3 12.【答案】-4 【解析】因为1⊥2，所以(2a+3)十(1一)=0，解得a=-4. 13.【答案】6元 【解析】设△4BC外接圆的半径为R,因为S=-besin A=2,A=T,所以bc=8, 2 6 又因为sin BsinC=1 ,所以4R'=、be =24,所以R2=6,所以△4BC外接圆 sin B sin C 的面积为6π 14.【答案】[V6,2②) 【解析】设P(x,),则V2+y=2-3}+y，化简得x2-8x+y+12=0,即 (x-4)2+y2=4,所以曲线E为以N(4,0)为圆心，2为半径的圆.设AB的中点为C, 则NC⊥AB,因为V3|NB-NA≤NA+NB,所以2NC|≥3|AB|.由 1C+=4,得1c≥3，又因为直线x+”-a-4=0(a>0)与圆交于不同 的两点A,B,所以cP<4,故3≤cP<4,则3≤-a <4.因为a>0,所以 √6≤a<2W2,故实数a的取值范围为√6,2√2) 15.解：(1)因为simB=2simC,由正弦定理可得b=2c,…2分 高二数学第4页共9页 所以c84B+c-心_59-，解符c-5,…4分 2bc 4c22 所以S专5x26×-5 1 32 …6分 (2)因为e=CD2 AC-ADsin∠CAD AC =2,BC=3,…9分 BD 1 2AB·ADsin∠BAD AB 2 所以CD=2,BD=1.…11分 又四为a100+o∠4D8-0.即3忙10。C-0,解得c=2 12 6 2 ……13分 16.解：(1)由题意得，0.02+0.025+0.035+-0.1→0.01，······2分 所以该校学生物理成绩的平均数为0.1×55+0.2×65+0.35×75+0.25×85+0.1×95= 75.5(分).············5分 因为(0.01+0.02+0.035)×10=0.65<0.80， (0.01+0.02+0.035+0.025×10=0.90>0.80,···········7分 所以第80百分位数在分数段[80,90)内， 故第80百分位数为80+10x080-0.65 =86.······ ···9分 0.90-0.65 (2)由题意得，[80,90)与[90,100]矩形高的比为0.025：0.01=5：2， 所以在80.90分数段内应抽取7×5=5（人），在90,10]分数段内应抽取 5+2 7×2=2(人).··.······.13分 5+2 设从样本中任取2人，至多有1人在分数段90,100)内为事件A,则P(A)= 1-=20...15分 c21 17.(1)证明：如图，取PA的中点F,连接BF,EF 因为E是棱PD的中点，所以FWAD且EF=AD1分 因为BC∥AD且BC-AD,所以EF∥BC且EF=BC, 高二数学第5页共9页 所以四边形BCEF为平行四边形，则CE∥BF.·3分 因为CE￠平面PAB,BFC平面PAB,所以CE∥平面PAB.··5分 (2)解：取AD的中点O,连接PO,OC. 因为△PAD是边长为2的等边三角形，所以AO=DO=1,PO=√5，POLAD. 因为BC/AD,BC-4D,0为4D的中点，所以nc/A0且BC=40, 所以四边形ABCO为平行四边形，则CO∥AB,CO=AB=1. 又PC-2,所以PO+C0=PC2,所以P0LOC. 又因为AD∩OC=O,所以POL平面ABCD.·7分 以O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 则A(0,一1,0)，C(1,0,0),P(0,0,1V3),D(0,1,0), 所以AC=(1,1,0),CD=(-11,0),PD=(01,-5）…9分 设D亚=元Dp=0,-1,V5)=(0,-元，52)，其中0≤≤1， 则AE=AD+DE=(0,2,0)+(0,-元，V5=(0,2-元，5 设平面4CE的法向量n=(k,y,,所以4C=x+y=0, AE=(2-)y+5z=0, 。10分 令z=2-,得n=(V32,-V32,2-). 设平面PCD的法向量m=(a,b,C,所以mCD=-a+b=0, nPD=b-3c=0, 令c=1,得m=(V3,√3,1…11分 设平面ACE与平面PCD的夹角为B,则 高二数学第6页共9页 cos0=cos红mmmV万x7元-4+4 n.m 2- ,0820= (2-2)月 7×(722-4元+4】 ·12分 令2-=t∈1,2}则cos2日= 1 7×(7r-241+24)7×24-24+7 所以≤cog0≤号，所以上≤co≤5，所以平面ACE与平面CD夹角的余 49 7 弦值的取值范围为 0…15分 7 18(0)解：g()的定义线为R,g(x)=3Y2m=3x-4a…1分 2 2 ①当a>0时，当x∈(-o,0)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 当0智)时，g)0,e(单调造减 当x（积时，g)>0g)单调选增…4分 ②当a0时.当x-（n智时.g)>e(啡调这将， 当x(智0]时，g)<0g单明道减。 当x∈(0，+o)时，g'(x)>0,g(x)单调递增.…7分 ③当a=0时，g(x)≥0，g(x)单调递增.…8分 综上，当a>0时，g(x)在(-m,0), 上单调递 减：当a=0时，g)在R上单调选增：当a<0时，g()在(，智)，(0列 高二数学第7页共9页 Aa 上单调递增， 在 上单调递减.·9分 (2②)证明：要证fx)≥g(x),即证e-x- 二+ax2≥1，其中x≥0 因为a所以e--号m≥e--号+x,…1分 2 22 令hr)=e-x+r-xx0), 22 则(x)=e- 3x 2+x-1h(x)=e-3x+1. 令F(x)=e-3x+1,则F'(x)=e-3.…14分 当x∈(0，n3)时，F'(x)<0,F(x)单调递减，当x∈(n3,+m)时，F'(x)>0,F(x)单 调递增，所以F(x)≥F(ln3)=4-3ln3>0, 故h'(x)在(0，+oo)上单调递增，故N(x)≥h(O)=0, 故函数h(x)在(0，+o)上单调递增，故h(x)≥h(0)=1, 故e-x-号+m2≥h(x)≥1，即f(x)≥g(x).…17分 90解：设以，魔等答1盛答1 两式作差可得5-三公-2-0，即任-名s+为4+为-0 a a 八上=k52,龙+5=6y+为=2，所a3动…3分 x1-x2 又d+b6=4,所以4=3,6=1，所以双曲线C的方程为号-y=1.…5分 3 (2)证明：(i)显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y-1=k(x-1), A(,为)，B(x4,y4) 高二数学第8页共9页 x2 联立3=1， 得(3k2-1)x2-6k(k-1)x+3(k-1)2+3=0, y-1=k(x-1), 则4=36k2(k-1)2-4(3k2-1)×3(k2-2k+2)=0,化简得k2+k-1=0.·7分 因为方程有两个相等实根， 所以x= -6k(k-1)3k2-3k 则=3， 23-)32-1，为=年+1-k=k-1, 所以=x)+为，即网=受享+， 3y3 故直线A的方程为号-%-1，同理可得直线PB的方程为弩-%-1. ……10分 又直线PA,PB均过点P(1,1), 所以等⅓1，兰-为=1，放直线4B的方程为营y=1,即x-3y-3=0, 。······12分 (i)FP·FA=(3,1)(x3+2,⅓)=3x+6+, EP.FB=(3,1)(x4+2,4)=3x4+6+4.…14分 不妨设点B在第一象限，则<0，>0，所以5<-5，x≥V3, 10 3 3x3+为3+6 x3+2】 3 则Cos<FP,EA>- √30 V32+1PVx+2)2+ 2W10. 6, V35+2 + cos<FP,FB>=- 3x4+y4+6 3 √30 32+12Vx+2)2+ 2W10..3 6’ V5+2 故cos<F2,FA>=-cos<2,RB>,故∠AEP+∠BEP=元.…17分 高二数学第9页共9页