河北省秦皇岛市山海关第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

河北省秦皇岛市山海关区第一中学2025届高二年级期未考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题 卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答策信息点涂黑：如需改动，用 橡皮擦千净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答 案无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.已知复数z满足2+名+1=0，则 A=-资± C=-± D=9± 2.函数f(x)=2+VE的值域为 A.[0,1] B.[0,+o∞) C.(1,+o) D.[1,+co) 3.设a,b,c为均不为零的实数，且la-c<lb,则 A.a-c<b B.a+b>c C.lal<+lcl D.lal +lcl<o 4.在平面直角坐标系中，圆O:x2+=1与圆O:x2+y2-6x=0相交于P,Q两点，则四边形OPOQ的 周长为 A.4 B.7 C.8 D.10 5.下列四个函数中，以x为最小正周期，且在（受，）上是减函数的是 A.y=lcosa B.y=sinccosx C.y=sin2x-cos2 D.y=tancl 6.将一个半径为2cm的金属球熔化后，先浇铸成6个半径为1cm的小球，再把剩余材料铸成1个正方 体，则该正方体的棱长大约为 A.1.5 cm B.2 cm C.2.5 cm D.3 cm 7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的三位数组成集合M,现从集合M中任取一个数，它能被3整除 的条件下，这个数能被5整除的概率为 A言 B合 c. D.号 8已知等差数列a.)的前n项和分别为8工，若会=g,对Vn∈心，自M>0会<M, 则M的最小值为 A号 B. C. D.1 数学试题第1页共7页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于双曲线C:x2-y=1,下列说法正确的是 A.离心率e=√② B.两条渐近线互相垂直 C.焦距为2 D.实轴长与虚轴长相等 10,已知数列{a}的通项公式为a,=8n+2)】,则 A.Vn∈N,anti≥an B.3m∈N,Hn∈N',an≤am C.3meN',VneN',am≥am D.3m,n∈N',m≠nan=am 11.已知函数f(x),g(x)定义域为R,其中f(x+2)为偶函数，9(x)+g(3-x)=0,且f(x)=g(x+1)-3, g(1)=2,则 A.f2025)=-5 B.g(x)为奇函数 C.f(x)+f1-x)=-6 2=d D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若[a,b]U[c,d=[a,d),则b,c满足的条件可以为.（写出一个符合条件即可） 13.2sin220°+sin130°= 14.在120°的二面角a-1-B中，A∈a,B∈B,A到棱1的距离为1，B到棱1的距离为4，AB=27,则直 线AB与棱l夹角的正弦值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a+b-c)=3ab. (1)求C: 2)若A=牙，b=3+1,求a. 数学试题第2页共7页 16.(15分) 在独立重复试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p,如果随机变量X为事件A首次出现时试验 次数，则X的可能取值为1,2，·，称X服从几何分布，其分布列为 PX=刻=1-p产k=1,2“且武凶=日 (1)有三个朋友去喝茶，他们决定用抛硬币的方式决定谁付账：每人抛一枚硬币，如果有人抛出的结果与 其他两人不一样，那么就由他来付账；如果三个人抛出的结果是一样的，那么就重新抛，一直进行下去， 直到确定由谁付账.求以下事件的概率： ①进行到了第2轮确定由谁来付账： ②进行了3轮还没有确定付账人： (2②)若随机变量Y服从分布列(Y=个=2，k=0,12,,求Y的期望 17.(15分) 如图，ABCD-A1B,CD1是平行六面体，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,∠A,AB= ∠AAD=60°，点E,F满足葩=2D-子AA. (1)求证：A,E,C,F四点共面： (2)求平面AECF与平面ABBA1夹角的余弦值. D 数学试题第3页共7页 18.(17分) 已知函数f()=x+是-(a-1)nx(a∈r). )若a=1,求不等式f(e)≤号的解集： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若不等式f(x)≤0在区间[1，e]上有解，求a的取值范围 19.(17分) 已知点A(4,4)在抛物线C=2px(p>0)上，直线1过点A与C的焦点F,交C于点B. (1)求抛物线C的方程与点B的坐标： (2)若动点P(0)在C上，且-1<劲<4. ①求△PAB面积的最大值： ②若0≤<子，直线PA交直线x=-1于点M,直线PB交直线x=-1于点N,求使得△PAB 与△PMN面积相等的点P的坐标. 数学试题第4页共7页 参考答案 一、选择题： 1-4 ADCC 5-8 DBBC 二、选择题： 9.ABD 10.BD 11.AC 三、填空题： 12.b=c(a<c<b<d,答案合理即可) 13.1 14. 2 12题解析：由题意则有，集合[a,b]与[c,d]有交集，且有a<b,c<d,a<d,所以可以是b=c或a< c<b<d,合理即可. 13题解析：2sin220°+sin130°=1-cos40°+sin(90°+40)=1-cos40°+cos40°=1. 14题解析：如图，过A做AC⊥1，过B做BD⊥l,过C做CE∥BD, 过B做BE∥，CE,BE交于点E,所以AC=1,CE⊥CD, CB=4,∠ACE=120°，在△ABC中， AE2=AC2+EC-2AC:ECcos120°=21，AE=√2I， BE⊥面ACE,则BE⊥AE,所以AB与棱I的夹角即为 AB与BE的夹角，即∠ABE,所以sin/ABE=Ag=√2匹=Y5 AB 27 2 四、解答题： 15.（13分) 解：(1)由(a+b+c)(a+b-c)=3ab→a2+-c2=ab, 由余孩光是6sC=2=品=分所议C=青 2ab …6分 (2)sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6, 4 由正弦定理品A=品。中a=2。 …13分 16.(15分) 解：()设X为所抛轮数，则X服从几何分布，且每一轮能决定付账的概率刀=1-（侵广×2=是， ①进行到了第2轮确定由谁来付账的概率为：P(X=2)=子×是=是， …3分 ②进行了3轮还没有确定付账人的概率为 PX≥4到=1-Px=1)-Px=2)-PX=3)=1-是-子×-（侵×是= 1 64 …7分 设乙=Y+1,则P亿=肉=京=1-号广是， 所以Z服从几何分布，且事件发生的概率为受，且E(2)=2, 数学试题第5页共7页 则(Z)=(Y+1)=(Y)+1=2,所以Y)=1. …15分 17.（15分) 解：)=A币+D=而+号AA,应=店+亟=A店+子AA 所以A+A应=A正+AD+AA=AC,所以A,E,C,F四点共面. …5分 (2)AB=a,AD=b,AAj=c,lal=l=1,lcl=2,a.b=0,a.c=b.c=1 设n=1a十y1b+1c为平面ADCF的法向量， 票0有60名=-3有=5=4 nAF=0' 所以n=5a+4b-3c,lnl=√23 …9分 设m=x2a+y2b+z2c为平面ABBA1的法向量， n~=0有{t0 nAA=0'有{西+h+42=0令为=-1，有=1，h=3 所以m=a+3b-c,m=√6 所以平面ABCF与平面ABB,A夹角的余弦值为m=4V3题 Inllml 69 …15分 18.(17分) 解：()=x+是-(a-1)lnx的定义城为(0，+o):若a=1,则f()=x+是（红>0）： 故解不等式f()≤号得x∈[是，2]，即不等式f()≤号的解集为[2,2] …4分 2回)=r+号-a-1hx的定义域为0，+o:f(a)=1-号-2号= x2-(a-1)z-a=（x+1x-a 2 2 ①a>0时：在(0，a)上f'(x)<0,在(a,+o)上f'(x)>0, 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增： ②当a≤0：在(0，+o)上f'(x)>0,所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增. 综上所述：当a>0时，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增： 当a≤0时，函数f(x)在(0，十o)上单调递增 …10分 (③)由题意：函数f()=x+是-a-11nx在[1，e上的最小值fa)≤0： 由(2)知：①当a≥e时：f(x)在[1，e]上单调递减， 故fmin(r)=f(e)=e+g-(a-1)≤0，解得a≥g+e e e-1 ②当a≤1时：f(x)在[1，e]上单调递增，故fmin(x)=f(1)=1+a≤0，解得a≤-1： ③当1<a<e时：fmn(x)=f(a)=a+1-(a-1)lna≤0： 而当1<a<e时a+1-(a-1)lna>0是显然的，故此时无解： 数学试题第6页共7页 缘上所述：实数a的取值范围是（一o0,-1U[,+o) …17分 19.(17分) 解：(1)由题意，42=2p×4,得p=2,所以C:y2=4x, …2分 F1,0),直线y=号(e-1, 与抛物线方程联立，解得B(子，-1) ……4分 (2)由(1)设点P(xo,6),-1<0<4,6=4ro, A=√+(4+=空， 点P到直线的距离d=4一--4=号163-3%-4=岩-号-2≤号， 5 从而△PAB面积的最大值为分×空×票=罗， 32, …10分 直线1与直线匹=-1交于点Q可得Q-1，-3)从而阿、大 因为S△MQ=SAPAB十S四边形MQBP,SABNQ=S△PMW十S四边形MQBP' 由△PAB与△PMN面积相等，从而△AMQ与△BNQ的面积相等，有 1 RBlQNlsinZAQM=-21 RAlIQMsin∠BQN,有 IQBI IQMI =1 由APy-4=二e-40,BPy+1=出e-》 0一4 得M-14-5x6千小-11-5×》 8 有号-8别 4-5×4 6+4+3 ,解得y0=0, + -1-5×17 所以使得△PAB与△PMN面积相等的点P的坐标为(O,O). …17分 数学试题第7页共7页