精品解析：重庆市垫江县2026年春八年级 数学期末考试题（A卷）

2026年春期八年级数学（A卷） （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答结束后，将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026年是农历马年，下列是篆书书写的“马年吉祥”四个字，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 在实数范围内，要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）列出不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内， 有意义， ∴， 解得：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加法及除法运算法则判断各选项即可． 【详解】解：A．，原运算正确，故此选项符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，故此选项不符合题意； C．与不是同类二次根式，不能合并，原运算错误，故此选项不符合题意； D．，原运算错误，故此选项不符合题意． 4. 如图是甲、乙两地某月日平均气温（单位：）箱线图，下列分析正确的是（ ） A. 甲地日平均气温的最小值是． B. 乙地的“箱子”比甲地的“箱子”靠上，说明这个月乙地日平均气温整体高于甲地． C. 乙地日平均气温的上四分位数是． D. 甲地的“箱子”比乙地的“箱子”长，说明这个月甲地的日平均气温比乙地波动小． 【答案】B 【解析】 【分析】根据箱线图的定义解答即可． 【详解】解：由箱线图可知， A．甲地日平均气温的最小值是，原分析错误，故此选项不符合题意； B．乙地的“箱子”比甲地的靠上，说明这个月乙地日平均气温整体高于甲地，原分析正确，故此选项符合题意； C．乙地日平均气温的上四分位数是，原分析错误，故此选项不符合题意； D．甲地的“箱子”比乙地的长，说明这个月甲地的日平均气温比乙地波动大，原分析错误，故此选项不符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形． B. 矩形的对角线互相垂直且互相平分． C. 对角线相等的四边形是矩形． D. 对角线相等的菱形是正方形． 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定、矩形的判定和性质、正方形的判定逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，原说法错误，故此选项不符合题意； B．矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，故此选项不符合题意； C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原说法错误，故此选项不符合题意； D．对角线相等的菱形是正方形，原说法正确，故此选项符合题意． 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的大致取值范围，再利用不等式性质得到的范围即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即， ∴的值在和之间． 7. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中， ∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形． 8. 如图是按一定规律排列的，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，……，按照这样的规律，则当◇的个数是个时，☆的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图形找到规律，即可求解． 【详解】解：∵第个图中有个◇与个☆， 第个图中有个◇与个☆， 第个图中有个◇与个☆， …… ∴第个图中有个◇与个☆， 当时，得：， ∴当◇的个数是个时，☆的个数是个． 9. 如图，在正方形中，线段为对角线，点G为上一点，连接，过点G作于点E，点F为边上的点，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；过作于，根据正方形的性质和角平分线的性质证明四边形是正方形，得到，，利用证明，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于，  四边形是正方形，  ，，，  ，，  ，  四边形是矩形，  是正方形的对角线，  ，  ，  四边形是正方形，  ，  ，即， 在和中，  ，  ； ，  ，，  ，  ，  ，  ， 在中，． 10. 对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”． 例如：，，下列说法： ①对于“绝对和差操作”，化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果： 其中说法正确的是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式化简与绝对值的性质，按照分式运算法则对三个说法逐一验证即可． 【详解】验证①：对， 化简： 原式=， ， 当即时，原式， ①错误； 验证②：构造“绝对和差操作”计算： ， 0是常数，因此至少存在一种操作得到常数结果，②正确； 验证③：5个分式，每个分式有2种符号选择，总共有种操作； 对任意一种操作，将所有符号同时取反得到的新操作与原操作结果相同， 必然存在重复结果，因此化简后不可能有32种不同结果，③正确， 综上，正确的说法是②③． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角与外角．先求出多边形的内角和的度数，再设多边形的边数为，列出关于的方程式即可得出答案． 【详解】解：∵多边形的内角和比外角和大， ∴多边形的内角和为， 设多边形的边数为， 则， 解得：． 故答案为：6． 13. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的同旁内角的度数，再利用平角的定义求出直角右侧角的度数，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，由题意得：纸条两边平行，设为，三角尺的直角为，  ， ，  ， 又，  ． 14. 若实数a，b满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据、的正负性分情况去掉绝对值符号，得到二元一次方程组求解，再验证解是否符合情况假设，即可计算得到的值． 【详解】解：根据、的正负性分四种情况讨论： 当，时，原方程组变为，方程组无解，该情况不成立； 当，时，原方程组变为， 解得，符合假设条件， 计算得； 当，时，原方程组变为， 解得，与假设矛盾，该情况不成立； 当，时，原方程组变为，方程组无解，该情况不成立； 综上，． 15. 如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点H，若平分，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据矩形和翻折的性质，结合角平分线的定义求出，进而证明是等腰直角三角形，四边形是正方形，然后利用勾股定理求出的长，从而得到的长，最后通过证明，利用等积变形求出的长． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，，  ， 由翻折得：，，  平分，  ， 设，则，  点在上，  ，  ，  ， ，  ，  ，  ， 解得，  ， 在中，，  是等腰直角三角形，  ， ， 在中，，  ，  ，  ， 由翻折得，  ，  点在上，  ，  ，  ，即，  ，  ，  ，  ， 即， 解得：． 16. 对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先整理“星环数”定义得到核心等式，根据的取值范围得到仅两种符合条件的情况：和，求最小四位数时优先让高位数字最小得到最小星环数，再结合完全平方数条件化简，优先让高位数字最大得到满足条件的最大值． 【详解】解 ：由题意得，，满足  代入得  整理得  ∵， ∴，，且均为正整数， ∵和互质， ∴整除，可得或，对应或，仅这两组符合条件； 若最小，则优先让取最小，最小为，当时，得 此时，再让取最小，最小为，得，符合取值要求， ∴最小“星环数”是； 由题意得，  当时，， 当时， ，则，结果不是整数，不可能是完全平方数， ∴该情况无符合条件的； 当时，，， ， 代入得 则  ∴该式是完全平方数，是完全平方数， ∴是完全平方数， ∵，且 ， ∴，， 要最大，优先让取最大，得 ，此时，， ∴，范围内完全平方数为 ，得， 则，，得 验证得，符合条件， ∴满足条件的最大为． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答题每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中的对应位置上． 17. 解不等式组： 解不等式①得：______ 解不等式②得：______ 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：______ 【答案】；；解集在数轴上表示为：； 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再将不等式①和②的解集在数轴上表示，然后再取两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】略 18. 小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 【答案】（1）如图即为所求作； （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查作垂直平分线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）先证明，进而证明四边形为平行四边形．再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：证明∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． 19. 为弘扬航天精神，激发学生对航天科技的兴趣，某校八、九年级部分学生参加了“航天知识挑战赛”活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：；；；．下面给出了部分信息： 九年级20名学生的竞赛成绩为： 100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57 八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 a 100.05 八年级 87.5 b 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校九年级有800名学生，八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少? 【答案】（1），，； （2）九年级学生的竞赛成绩比较好，理由：九年级的成绩平均数和八年级一致的情况下，九年级的中位数大于八年级的； （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图表的运用，涉及众数、中位数、扇形统计图以及样本估计总体知识点 （1）是求九年级成绩中出现次数最多的数；是求八年级的竞赛成绩的中位数，竞赛成绩总数是，所以求的是第和个的平均数； （2）在平均数相同的情况下，比较中位数的大小得出结论； （3）根据九年级的A等级人数和八年级的A等级人数，计算百分比然后估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，九年级的竞赛成绩90分出现的次数最多，所以众数， 八年级的抽取人数是，C等级人数是，D等级人数是， 八年级B等级的学生竞赛成绩数量为，占比， 所以八年级的样本的中位数是第十位和第十一位，分别是：，， 中位数， 八年级A等级的学生竞赛成绩占比． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：九年级A等级人数是人，八年级A等级人数是人， 估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是： ． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，先化简分式，再计算出的值，代入化简结果即可． 【详解】解：          ；  将代入得： 原式． 21. 2026年垫江牡丹文化节期间，曹回镇万亩芍药竞相绽放．为拓宽销路、助农增收，某电商平台从农户手中统一采购芍药产品，在线上线下同步销售．本次采购两款产品：A款为芍药盆栽，B款为芍药鲜切花束．已知A款盆栽的进货单价比B款花束的进货单价少4元．平台用240元采购A款盆栽的数量与用400元采购B款花束的数量相同． （1）求A、B两款产品的进货单价各是多少元? （2）平台将A款盆栽的售价定为10元/盆，B款花束的售价定为15元/束．现计划在文化节期间采购A、B两款产品共80（盆/束），要求A款采购量不少于B款采购量的，且B款采购量不少于30束．设采购A款盆栽a盆，总利润为w元． ①写出w与a之间的函数关系式．（并注明自变量的取值范围） ②请你计算说明，当A、B两款各采购多少时，总利润最大?最大总利润是多少元? 【答案】（1） A款进货单价为6元，B款进货单价为10元； （2） ① （，且为整数）； ② 当采购A款30盆，B款50束时，总利润最大，最大总利润为370元． 【解析】 【分析】（1）设B款花束的进货单价为元，则A款盆栽的进货单价为元，根据采购数量相等的关系列分式方程求解即可； （2）先根据单利润数量得到总利润的表达式，再根据数量限制条件列不等式求自变量取值范围，最后根据一次函数的增减性求最大利润． 【小问1详解】 设B款花束的进货单价为元，则A款盆栽的进货单价为元， 根据题意可得：， ∴， ， 整理得 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴ . 答：A款进货单价为6元，B款进货单价为10元； 【小问2详解】  ① 由题意，采购A款盆，则采购B款束， A款每盆利润为元，B款每束利润为元， ∴总利润， 根据题意列不等式组：   解不等式①得， 解不等式②得， ∴ ∴与的函数关系式为（，且为整数）； ② ，一次项系数，  随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值，此时，（元） 答：当采购A款30盆，B款50束时，总利润最大，最大总利润是370元． 22. 如图1，在中，，，．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线B→C→A方向运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合）．设点P的运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合图象，请直接写出当函数值时自变量x的取值范围． 【答案】（1）； （2） 当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】（1）分点在上和上两种情况进行讨论求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）图象法求出不等式的解集即可. 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 当点在边上时，即时，， ∴； 点在边上时，即时，， ∴； 综上：； 【小问2详解】 解：列表如下： 1 4 5 6 2 8 6 4 略 【小问3详解】 略 23. 勾股定理是初等几何的核心定理，其原理是借助直角三角形的三边关系，广泛用于天文、建筑、测绘等领域．2026年“五一”假期，“新韵重庆”无人机灯光秀在两江四岸精彩上演．为保证表演顺利进行，工作人员在四个观测点布置了信号监控设备．如图，位于的正南方向且位于的正西方，位于的北偏东方向且位于的西北方向，经测得米．（参考数据：，） （1）求、两点之间的距离．（结果保留根号） （2）两架巡逻无人机同时从出发执行任务，甲机沿路线A→→飞行，速度为25米/秒，乙机沿路线→飞行，速度为23米/秒．请通过计算说明哪一架无人机先到点．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米 （2）甲无人机先到点 解：过点作于点，由（1）知，（米）， 由题意得，，， 过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形，， ，，， 在中，， （米）， （米），（米）， 在中，（米），（米）， （米），（米）， 甲机路程：（米）， 速度，时间， 乙机路程：米，速度，时间， 代入，计算数值： (米）， 秒， 秒， ， 甲无人机先到点． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中求出的长，根据即可求出、两点之间的距离； （2）先在中求、，分别计算甲总路程、乙路程，再求时间对比大小． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， 由题意得，， ， ， 在中，， ， ， 在中，（米），（米） （米）， 即、两点之间的距离为米． 【小问2详解】 略 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，直线与轴交于点，与直线交于点，（点在点右侧）． （1）求直线的解析表达式． （2）点为射线上的一点，若，求点坐标；在轴上存在一点，使的值最小，求最小值 （3）如图2，连接，将直线向右平移个单位得到直线，在上有一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求出其中一个点的过程． 【答案】（1） （2）点坐标为，的最小值为 （3）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据，直线与轴交于点，求出点坐标，再求出点坐标，运用待定系数法求出表达式即可． （2）根据的关系求出点坐标即可，作点关于轴对称点，连接与轴交点即为点，求的最小值就是求的最小值，当点、、三点共线时取得最小值． （3）分类讨论点位置，根据，求得，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线分别与轴、轴交于、两点， ∴时，， 解得， 当时，解得， ∴点坐标为，点坐标为， ∵直线与轴交于点， ∴时，， 解得 ∴点坐标为 ∵，点C在点A右侧， ∴ ∴ ∴直线． 【小问2详解】 解：由（1）知直线， ∴点坐标为，点坐标为， ∵直线与直线交于点，联立直线和直线函数表达式得， 解得 ∴点坐标为， ∵点为射线上的一点,，设点坐标为， 如图，过点作，过点作，连接， ∴, ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，，， ∵点为射线上的一点，直线与轴交于点坐标为， ∴点的横坐标， ∴不符合题意舍去， ∴点坐标为． ∵点坐标为，点坐标为， 如图，作点关于轴对称点，连接与轴交点即为要求的点， ∴点坐标为， 连接， ∴， ∴， 当点、、三点共线时取最小值，最小值为长， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：将直线向右平移2个单位得到直线， ∴直线的表达式为， ∵，直线，与轴交于点，点坐标为，与轴交于点，如图， 当时， ∴点坐标， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当点在左侧时，如图，连接与轴交于点，设点坐标为，过点作， ∴，，，， ∴中，根据勾股定理得， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，根据勾股定理， ， ， ∵，， ， 在中，根据勾股定理得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∴点坐标为或， ∵点在左侧， ∴点也在左侧， ∴点坐标不符合题意，舍去， ∴点坐标为， 设直线表达式为，代入点，点坐标得 解得， ∴直线表达式为， ∵直线与直线相交于点， ∴联立直线和直线的函数表达式得：， 解得， 将，代入直线表达式得， ∴点的坐标为． 点在右侧时，如图，点， 根据题意可知，延长到点，作，垂足为点， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 由是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形是正方形， ∴， 设点坐标为，过点作轴，轴，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ，， ∵点坐标为，点的坐标，点的坐标， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 点坐标为， 设直线的表达式为，代入点，点坐标得 解得， ∴直线表达式为， ∵直线与直线相交于点， ∴联立直线和直线的函数表达式得：， 解得， 将，代入直线表达式得， ∴点的坐标为， 综上所述，点坐标为或． 25. 已知，点是线段的中点． （1）如图1，点在线段上，连接，交于点，延长至点，使，连接．若，，求的度数． （2）如图2，点在射线上，连接，点在上，连接交于点，连接，若点为的中点，，请判断线段和之间的数量关系，并写出推理过程． （3）在（2）的条件下，若点是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点，连接，当的周长取最小时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）解：， 证明如下：如图，延长使，连接， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】1）先证明，得，再由，得，利用等腰三角形的性质得出，利用三角形内角和定理即可求得结果； （2）延长使，连接，先证明，得，，再由已知条件利用等腰三角形的性质得出，证明，从而得出结论； （3）连接，与交点，得出周长的最小值为，确定出点的位置，再通过等腰三角形三线合一的性质求得相关角的度数，并最终得出结果． 【小问1详解】 解：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∴， ∵点为上的动点，为定点， ∵垂直平分线段，点在上， ∴， ∴，为定值， 当三点共线时，最小， ∴周长的最小值为， 如图，连接，与交于点， ∵为的中点，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵点在上， ∴， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期八年级数学（A卷） （满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答结束后，将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026年是农历马年，下列是篆书书写的“马年吉祥”四个字，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数范围内，要使有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是甲、乙两地某月日平均气温（单位：）箱线图，下列分析正确的是（ ） A. 甲地日平均气温的最小值是． B. 乙地的“箱子”比甲地的“箱子”靠上，说明这个月乙地日平均气温整体高于甲地． C. 乙地日平均气温的上四分位数是． D. 甲地的“箱子”比乙地的“箱子”长，说明这个月甲地的日平均气温比乙地波动小． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形． B. 矩形的对角线互相垂直且互相平分． C. 对角线相等的四边形是矩形． D. 对角线相等的菱形是正方形． 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH 8. 如图是按一定规律排列的，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，第个图中有个◇与个☆，……，按照这样的规律，则当◇的个数是个时，☆的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图，在正方形中，线段为对角线，点G为上一点，连接，过点G作于点E，点F为边上的点，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于分式：，，，，，在每个式子前添“+”或“-”号，并求和的绝对值，称此操作为“绝对和差操作”． 例如：，，下列说法： ①对于“绝对和差操作”，化简后的结果为； ②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数； ③所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果： 其中说法正确的是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为，将用科学记数法表示为______． 12. 若一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数为_______． 13. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，已知，则的大小为______． 14. 若实数a，b满足，，则______． 15. 如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点H，若平分，则______，______． 16. 对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答题每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中的对应位置上． 17. 解不等式组： 解不等式①得：______ 解不等式②得：______ 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：______ 18. 小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 19. 为弘扬航天精神，激发学生对航天科技的兴趣，某校八、九年级部分学生参加了“航天知识挑战赛”活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用x表示，单位：分）分为A，B，C，D四个等级，分别是：；；；．下面给出了部分信息： 九年级20名学生的竞赛成绩为： 100，98，96，95，95，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57 八年级B等级的学生竞赛成绩为：89，88，88，88，88，87，83，82 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 a 100.05 八年级 87.5 b 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）． （3）该校九年级有800名学生，八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少? 20. 先化简，再求值：，其中 21. 2026年垫江牡丹文化节期间，曹回镇万亩芍药竞相绽放．为拓宽销路、助农增收，某电商平台从农户手中统一采购芍药产品，在线上线下同步销售．本次采购两款产品：A款为芍药盆栽，B款为芍药鲜切花束．已知A款盆栽的进货单价比B款花束的进货单价少4元．平台用240元采购A款盆栽的数量与用400元采购B款花束的数量相同． （1）求A、B两款产品的进货单价各是多少元? （2）平台将A款盆栽的售价定为10元/盆，B款花束的售价定为15元/束．现计划在文化节期间采购A、B两款产品共80（盆/束），要求A款采购量不少于B款采购量的，且B款采购量不少于30束．设采购A款盆栽a盆，总利润为w元． ①写出w与a之间的函数关系式．（并注明自变量的取值范围） ②请你计算说明，当A、B两款各采购多少时，总利润最大?最大总利润是多少元? 22. 如图1，在中，，，．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线B→C→A方向运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合）．设点P的运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合图象，请直接写出当函数值时自变量x的取值范围． 23. 勾股定理是初等几何的核心定理，其原理是借助直角三角形的三边关系，广泛用于天文、建筑、测绘等领域．2026年“五一”假期，“新韵重庆”无人机灯光秀在两江四岸精彩上演．为保证表演顺利进行，工作人员在四个观测点布置了信号监控设备．如图，位于的正南方向且位于的正西方，位于的北偏东方向且位于的西北方向，经测得米．（参考数据：，） （1）求、两点之间的距离．（结果保留根号） （2）两架巡逻无人机同时从出发执行任务，甲机沿路线A→→飞行，速度为25米/秒，乙机沿路线→飞行，速度为23米/秒．请通过计算说明哪一架无人机先到点．（结果保留小数点后一位） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于、两点，直线与轴交于点，与直线交于点，（点在点右侧）． （1）求直线的解析表达式． （2）点为射线上的一点，若，求点坐标；在轴上存在一点，使的值最小，求最小值 （3）如图2，连接，将直线向右平移个单位得到直线，在上有一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求出其中一个点的过程． 25. 已知，点是线段的中点． （1）如图1，点在线段上，连接，交于点，延长至点，使，连接．若，，求的度数． （2）如图2，点在射线上，连接，点在上，连接交于点，连接，若点为的中点，，请判断线段和之间的数量关系，并写出推理过程． （3）在（2）的条件下，若点是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点，连接，当的周长取最小时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $