精品解析：重庆市九龙坡区2025-2026学年八年级下学期期末学业质量测评数学试题

2025-2026学年学业质量测评（中学） 八年级（下）数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 甲、乙、丙三人分别进行次模拟测试，甲的平均分为（满分），乙、丙的平均分都为，且三人模拟测试成绩的方差分别为，，，若根据测试结果选择一名选手参加比赛，则最合适的人选是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定 5. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线和直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 引体向上测试中，某组学生完成的个数分别是，，，，，根据组内离差平方和最小原则，若要将学生测试成绩分成两组，应该分为（ ）两组．（参考数据：和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 中国古人所使用的“五声音阶”，都由“宫徵商羽角”五个音组成．关于这五个音阶的律学理论叫做“三分损益法”．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”．由宫音的管长起算：宫三分损一得徵，即取宫管长度的得到徵管；徵三分益一得商，即取徵管长度的为商管，以此类推：商三分损一得羽，羽三分益一得角．依据上述管长的换算关系及《音乐与数学》综合与实践主题学习经验，下列说法正确的是（ ） A. 五音管中最长的音管是商管 B. 五音管中最短的音管是角管 C. 假设徵管长度为，则角管的长度为 D. 五音的高低与音管的长度有关，音管越短，音高越高 10. 如图，点是正方形内一点，连接、、，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在中，，分别为，中点，连接，若，则的长度为________． 12. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是______． 13. 某教育单位招聘教师，金老师的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、95分、90分．根据招聘规则，按笔试、试讲和面试三项得分的比例所得到的综合成绩为最后成绩，则金老师最后成绩为_____分． 14. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，若，则整数________． 15. 甲、乙两辆快递车从A城市相继出发匀速前往B城市，在整个行程中，两车离开A城市行驶的路程与时间的对应关系如图所示（图中横轴代表凌晨点，以此类推）．下列说法： ①甲车比乙车晚出发一个小时； ②A、B两城市距离千米； ③甲车先到达B城市； ④乙车速度比甲车速度每小时快千米． 其中正确的有________．（请选填正确说法的序号；若无正确说法填“无”．） 16. 如图，在平行四边形中，，与交于点，点为上一点，满足．连接，过点作交于点，连接．若，则的长度为________． 三、解答题：（本大题9个小题，每小题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展研究，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：如图，为平行四边形的对角线，，平分交于点． （1）尺规作图：作的平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明四边形为矩形． 证明：四边形为平行四边形， ，① ， ． 平分，平分， ，② ， ， ③ ． 又， 四边形为平行四边形． ④ ，平分， ， 四边形为矩形． 19. 为了解学生每天回家后体育锻炼时长的情况，学校在七、八年级学生中各随机抽取10名学生对每天体育锻炼平均时长进行整理、描述和分析（平均时长用表示，单位：分钟，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生每天体育锻炼时长分别是：11，13，17，17，20，22，25，27，28，30． 八年级10名学生每天体育锻炼时长在C组中的数据是：20，21，24，24． 七、八年级抽取的学生每天体育锻炼时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 21 21 中位数 21 众数 24 下四分位数 18 八年级抽取的学生每天体育锻炼时长扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________，________． （2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生体育锻炼时长情况更好？请判断并说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校七、八年级学生共有名，请你根据样本数据，估计该校七、八年级学生每天体育锻炼时长不低于25分钟的学生总人数． 20. 已知，求：代数式的值． 21. 农民王伯伯为了尽快给田地喷洒农药，决定租用两种型号无人机来代替人工，两种型号的无人机工作效率和租用价格如下表所示， 无人机型号 每台无人机给田地喷洒农药的覆盖面积（单位：亩/分钟） 租用每台无人机的费用（单位：元/分钟） 甲 乙 王伯伯计划租用两种型号的无人机时间共10分钟，且两种无人机给田地喷洒农药的覆盖面积不低于亩． （1）若租用甲型号无人机分钟，租用甲型号无人机时间不超过乙型号无人机时间的倍，租用两种无人机10分钟总花费元，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． （2）租用甲型号无人机多少分钟时，王伯伯所花总费用最少？最少为多少元？ 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿折线运动（点不与点、重合），设点的运动路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数的图象，当函数的图象与有个交点时，直接写出的取值范围． 23. 如图所示，某公园的东门在西门的正东方向处，游乐场位于网红打卡点的正西方向处，且游乐场与西门相距，网红打卡点与东门相距．点为游乐场与网红打卡点直线路上游客休息地点．依次连接，，，，得到一个四边形． （1）求四边形的面积； （2）小龙从游乐场出发，沿方向前往点处打卡，同时小九从东门出发，沿方向前往点处休息，恰好与小龙在点处相遇，此时两人一共走了，求他们相遇地点与网红打卡点的距离． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点，两点，一次函数与轴，轴分别交于点，两点，连接，，已知． （1）求直线的函数解析式； （2）点是第一象限内直线上一动点，过点作轴交直线于点，连接，．在轴上有一线段（点在点的左边），连接，．若，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 25. 在矩形中，，点，分别是，上一点，点是对角线上一点，连接，，，，． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若点是中点，求证：； （3）如图，在（1）的条件下，直线上有一动点，连接，过点作交直线于点，连接，取的中点，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年学业质量测评（中学） 八年级（下）数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式的两个判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不满足条件，∴A不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，∴B不是最简二次根式； C、的被开方数含分母，同时含能开得尽方的因式和，不满足条件，∴C不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴D是最简二次根式． 2. 如图，菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：在菱形中，，， ， ． 3. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】对每组数，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，不满足的即为所求． 【详解】解：A、，满足关系，能构成直角三角形； B、，，，不满足关系，不能构成直角三角形； C、，满足关系，能构成直角三角形； D、，满足关系，能构成直角三角形． 4. 甲、乙、丙三人分别进行次模拟测试，甲的平均分为（满分），乙、丙的平均分都为，且三人模拟测试成绩的方差分别为，，，若根据测试结果选择一名选手参加比赛，则最合适的人选是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】先比较三人平均成绩，再根据方差越小，成绩波动越小越稳定，选出平均成绩高且发挥稳定的选手； 【详解】解：∵甲的平均分为（满分），乙、丙的平均分都为，， ∴乙和丙的平均成绩高于甲，排除甲， ∵， ∴乙的成绩比丙更稳定， ∴平均成绩高且发挥最稳定的是乙，最合适人选是乙． 5. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得，结合邻补角定义求出，从而判定为等边三角形，进而求出的长，求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ． 6. 如图，直线和直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从函数图象的角度看，不等式的解集即为直线的图象在直线的图象上方（包括交点）时对应的自变量的取值范围； 【详解】解：直线和直线相交于点，  当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方或重合， 不等式的解集为． 7. 引体向上测试中，某组学生完成的个数分别是，，，，，根据组内离差平方和最小原则，若要将学生测试成绩分成两组，应该分为（ ）两组．（参考数据：和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为；和的组内离差平方和为）． A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】题目已给出所有可能分组的组内离差平方和，只需比较大小，选出组内离差平方和最小的分组即可． 【详解】解：比较大小得 ， ∴B选项分组的离差平方和最小，符合要求． 8. 某学校举行青少年板球锦标赛，买回若干个相同的纸杯方便运动员饮水．如图，将纸杯整齐地叠放在一起，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，个纸杯的高度为，依此类推，个这样的纸杯叠放在一起的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察已知条件中纸杯数量与总高度的变化关系，求出每增加一个纸杯增加的高度，进而推算出8个纸杯的总高度． 【详解】由题意可知：3个纸杯比2个纸杯高，4个纸杯比3个纸杯高， ∴每增加一个纸杯，高度增加， ∴8个纸杯的高度为：． 9. 中国古人所使用的“五声音阶”，都由“宫徵商羽角”五个音组成．关于这五个音阶的律学理论叫做“三分损益法”．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益一”．由宫音的管长起算：宫三分损一得徵，即取宫管长度的得到徵管；徵三分益一得商，即取徵管长度的为商管，以此类推：商三分损一得羽，羽三分益一得角．依据上述管长的换算关系及《音乐与数学》综合与实践主题学习经验，下列说法正确的是（ ） A. 五音管中最长的音管是商管 B. 五音管中最短的音管是角管 C. 假设徵管长度为，则角管的长度为 D. 五音的高低与音管的长度有关，音管越短，音高越高 【答案】D 【解析】 【分析】先设宫管长度为，根据题目给出的“三分损一”“三分益一”的换算规则，依次计算出五个音的管长，再逐一判断选项即可． 【详解】解：设宫管的长度为， ∵取宫管长度的得到徵管， ∴徵管长度为； ∵取徵管长度的为商管， ∴商管长度为； ∵商三分损一得羽， ∴羽管长度为； ∵羽三分益一得角， ∴角管长度为， 对各长度排序得：，即宫商角徵羽， A选项：最长的是宫管，不是商管，A错误； B选项：最短的是羽管，不是角管，B错误； C选项：若徵管长，即，得，则角管长为，不是，C错误； D选项：音的高低由振动频率决定，音管越短，振动频率越高，音高越高，D正确． 10. 如图，点是正方形内一点，连接、、，，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，证明和都是等腰直角三角形，求得，利用勾股定理求得，，过点作的垂线分别交和于点和，利用等积法求得，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴，，，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， 过点作的垂线分别交和于点和，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在中，，分别为，中点，连接，若，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解： 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 又， ． 12. 已知一个多边形的每一个内角都是，则这个多边形的边数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式建立一元一次方程，计算求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得： 展开得 移项合并同类项得 解得 故这个多边形的边数是． 13. 某教育单位招聘教师，金老师的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、95分、90分．根据招聘规则，按笔试、试讲和面试三项得分的比例所得到的综合成绩为最后成绩，则金老师最后成绩为_____分． 【答案】 93 【解析】 【分析】根据三项成绩给出的权重比，利用加权平均数的计算方法求出金老师的最终综合成绩； 【详解】解：金老师的最后成绩为（分）． 14. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，若，则整数________． 【答案】 11 【解析】 【分析】根据图形规律利用勾股定理求出第7个直角三角形的斜边长，进而得出周长表达式，统计长度为1的线段数量，最后进行估算即可． 【详解】解：由勾股定理得：第1个直角三角形的斜边长为， 第2个直角三角形的斜边长为， 第3个直角三角形的斜边长为，  ， 故第7个直角三角形的斜边长为， 观察图形可知，该图形的周长（实线部分）由8条长度为1的线段和第7个直角三角形的斜边组成，  ，  ，  ，即，  ， 即，  ，  ，即． 15. 甲、乙两辆快递车从A城市相继出发匀速前往B城市，在整个行程中，两车离开A城市行驶的路程与时间的对应关系如图所示（图中横轴代表凌晨点，以此类推）．下列说法： ①甲车比乙车晚出发一个小时； ②A、B两城市距离千米； ③甲车先到达B城市； ④乙车速度比甲车速度每小时快千米． 其中正确的有________．（请选填正确说法的序号；若无正确说法填“无”．） 【答案】无 【解析】 【分析】根据函数图象，分别确定甲、乙两车的出发时间、到达时间以及行驶路程，进而计算速度，逐一判断各个说法是否正确． 【详解】解：由图象可知，甲车从点出发，乙车从点出发，甲车比乙车早出发小时，故①错误． 甲车在点到达B城市，行驶路程为千米，乙车在点到达B城市，行驶路程为千米，所以A、B两城市距离千米，故②错误． 乙车点到达，甲车点到达，乙车先到达B城市，故③错误． 甲车的速度为（千米/小时），乙车的速度为（千米/小时），乙车速度比甲车速度每小时快千米，故④错误． 综上所述，无正确的说法． 16. 如图，在平行四边形中，，与交于点，点为上一点，满足．连接，过点作交于点，连接．若，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用平行四边形的中心对称性证明，从而得到，；根据线段垂直平分线的性质得出；在中，利用构造直角三角形，通过勾股定理求出的长，即为的长 【详解】解：延长交于点，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，  ， ， ，，  ， 垂直平分， ， 四边形是平行四边形，，， ， 过点作于点， 在中，，，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 三、解答题：（本大题9个小题，每小题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简各项，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可； （2）直接利用二次根式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展研究，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：如图，为平行四边形的对角线，，平分交于点． （1）尺规作图：作的平分线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）证明四边形为矩形． 证明：四边形为平行四边形， ，① ， ． 平分，平分， ，② ， ， ③ ． 又， 四边形为平行四边形． ④ ，平分， ， 四边形为矩形． 【答案】（1）如图： （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）用尺规作角平分线即可； （2）根据平行四边形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义逐步分析即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了解学生每天回家后体育锻炼时长的情况，学校在七、八年级学生中各随机抽取10名学生对每天体育锻炼平均时长进行整理、描述和分析（平均时长用表示，单位：分钟，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生每天体育锻炼时长分别是：11，13，17，17，20，22，25，27，28，30． 八年级10名学生每天体育锻炼时长在C组中的数据是：20，21，24，24． 七、八年级抽取的学生每天体育锻炼时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 21 21 中位数 21 众数 24 下四分位数 18 八年级抽取的学生每天体育锻炼时长扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________，________． （2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生体育锻炼时长情况更好？请判断并说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校七、八年级学生共有名，请你根据样本数据，估计该校七、八年级学生每天体育锻炼时长不低于25分钟的学生总人数． 【答案】（1）20.5；17；17；20 （2）七年级更好， 理由：七年级中位数为21，大于八年级中位数20.5，说明七年级一半以上学生锻炼时长高于八年级； （3）600人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、下四分位数的意义结合统计图即可求出a、b、c、n的值； （2）根据中位数的意义分析即可； （3）用样本中本校七、八年级学生每天体育锻炼时长不低于25分钟的人数和除以总样本数，再乘以七、八年级总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：八年级共抽取10名学生，A组占，B组占，C组有4人，占比， ∴，即， 八年级10个数据从小到大排列，中位数是第5、6个数的平均数，A组人、B组人，故第5、6个数是C组的和， ∴， 七年级10个数据中，出现次数最多（2次），∴， 求下四分位数，方法一：七年级10个数据的下四分位数位置为，故下四分位数为第3个数是，因此； 方法二：下四分位数为前5个数据的中位数，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级每天锻炼时长不低于25分钟的有4人，八年级有人， 样本中符合条件的总人数为人， 因此估计全校2000名学生中，符合条件的总人数为：人． 20. 已知，求：代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用非负数的性质，先求出和的值，再代入所求代数式，利用整式乘法公式和二次根式的运算法则计算即可得到结果； 【详解】解：，，且， ，， ∴， ∴， ∴ ． 21. 农民王伯伯为了尽快给田地喷洒农药，决定租用两种型号无人机来代替人工，两种型号的无人机工作效率和租用价格如下表所示， 无人机型号 每台无人机给田地喷洒农药的覆盖面积（单位：亩/分钟） 租用每台无人机的费用（单位：元/分钟） 甲 乙 王伯伯计划租用两种型号的无人机时间共10分钟，且两种无人机给田地喷洒农药的覆盖面积不低于亩． （1）若租用甲型号无人机分钟，租用甲型号无人机时间不超过乙型号无人机时间的倍，租用两种无人机10分钟总花费元，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． （2）租用甲型号无人机多少分钟时，王伯伯所花总费用最少？最少为多少元？ 【答案】（1），的取值范围是 （2）租用甲型号无人机2分钟时总费用最少，最少费用为36元 【解析】 【分析】（1）根据总费用的计算关系得到关于的函数解析式，再根据题目中覆盖面积要求和甲、乙无人机的时间限制列不等式组，求解得到自变量的取值范围； （2）利用一次函数的增减性，结合的取值范围求出总费用的最小值． 【小问1详解】 解：由题意可知，租用甲型号无人机分钟，则租用乙型号无人机分钟， 总费用，  化简得 ， 根据题意列不等式组： ， 解得， 即的取值范围为； 【小问2详解】 解：函数中， ， 随的增大而增大 ， ， 当时，取得最小值，将代入得（元） 答：租用甲型号无人机2分钟时，王伯伯所花总费用最少，最少为36元． 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿折线运动（点不与点、重合），设点的运动路程为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在图中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数的图象，当函数的图象与有个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）函数的图象如图：； 性质：函数的最大值为10（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，得出，再分两种情况分别求解即可； （2）从函数的图象，再根据函数图象写出一条性质即可； （3）在同一坐标系中画出函数与的图象，求出临界值，结合函数图象即可解答； 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵，， ∴在中，， 又， ，， 分两种情况：当时，点在边上，则； 当时，点在边上，如图，过点作， 则， ∴， 则； 综上，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当过原点时，与有1个交点， 此时，； 当过点时，与有1个交点， 将代入得，解得：， 根据图象可得当与有2个交点时，． 23. 如图所示，某公园的东门在西门的正东方向处，游乐场位于网红打卡点的正西方向处，且游乐场与西门相距，网红打卡点与东门相距．点为游乐场与网红打卡点直线路上游客休息地点．依次连接，，，，得到一个四边形． （1）求四边形的面积； （2）小龙从游乐场出发，沿方向前往点处打卡，同时小九从东门出发，沿方向前往点处休息，恰好与小龙在点处相遇，此时两人一共走了，求他们相遇地点与网红打卡点的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过作于，过作于，证明四边形是矩形，则，，根据勾股定理求出，再根据梯形面积公式求解即可； （2）根据（1）可得，设，则，由题意，则，在中，由勾股定理解答即可； 【小问1详解】 解：由题意得：、均沿东西方向， ∴， 根据题意可知，，，， 过作于，过作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∴， 设，则， 由勾股定理：， 两式相减化简得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据（1）可得， 设，则， 由题意， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴他们相遇地点与网红打卡点的距离为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点，两点，一次函数与轴，轴分别交于点，两点，连接，，已知． （1）求直线的函数解析式； （2）点是第一象限内直线上一动点，过点作轴交直线于点，连接，．在轴上有一线段（点在点的左边），连接，．若，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2），周长最小值为​ （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，两点坐标，结合求出点坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）设，则，表示出，再根据，列方程即可求出点坐标，将向左平移4个单位得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得出，作关于轴的对称点，连接，则，得出当三点共线时，最小，即的周长最小，再根据两点间距离公式求出即可解答； （3）由（2）得，求出直线解析式；证明是等腰直角三角形，得出，根据，，得出，再分两种情况：①当在上方时，如图：②当在下方时，分别画图解答即可； 【小问1详解】 解：对于一次函数： 令，得，故，， 令，得，故， 设（，由图知在正半轴）， ∴，即，解得：，故， 将、代入，得​，解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设（，在第一象限）， ∵轴，在上， ∴， ∴， ∴，​， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 将向左平移4个单位得，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴的周长， 当三点共线时，最小，即的周长最小， ∵， ∴周长最小值为​； 【小问3详解】 解：由（2）得， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况：①当在上方时，如图： ∵， ∴，即轴， ∵时，； ∴； ②当在下方时，如图：在轴上取一点，使得，连接交于点， 则， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为， 与直线联立得， 解得：​， ∴， 综上，或． 25. 在矩形中，，点，分别是，上一点，点是对角线上一点，连接，，，，． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若点是中点，求证：； （3）如图，在（1）的条件下，直线上有一动点，连接，过点作交直线于点，连接，取的中点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， 过点作， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：设，， 过点作，连接， ∵点E 是中点， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和，证明，在中，根据勾股定理和直角三角形的性质得出，，根据，，得出，求出，即可得，结合，即可证明； （2）设，，过点作，连接，得出，，证明，得出，，证明是等边三角形，得出，则，，即可证； （3）设，则，，，根据（1）条件可得，即为上距点处的定点，、均为定点；如图，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合，得点 R的轨迹是线段的垂直平分线l，作关于直线的对称点，由对称性质得，则，当且仅当、、三点共线时取等号，的最小值即为的长度，当、、共线时，画图，求出的长度即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则， 在矩形中，，， ∴， ∴， 如图1，根据（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为上距点处的定点，、均为定点； 如图，连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 又，是中点， ∴， ∴对任意动点，恒有， ∵， ∴点 R的轨迹是线段的垂直平分线l， 作关于直线的对称点，由对称性质得， ∴， 当且仅当、、三点共线时取等号，的最小值即为的长度， 当、、共线时，如图，过点作于点，令与交于点，直线与交于点， 则四边形是矩形， ∴， 根据轴对称可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点与点重合， ∴​， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $