精品解析：云南省玉溪第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末素质测试数学试题

玉溪一中2024—2025学年下学期高一期末素质测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于复数的命题错误的是（ ） A. 复数的虚部是1 B. 的共轭复数的模为2 C. 方程的两根之和不等于 D. 满足方程的 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的相关概念及运算法则依次计算即可判断四个选项正误. 【详解】对于A，复数，虚部是1，故A正确； 对于B， 的共轭复数为，模为，故B正确； 对于C， 方程的两根之和为，故C错误； 对于D， ，则，故D正确. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入验证，再由集合的交集运算即可求解. 【详解】因为，又，，，， 所以，故A正确. 故选：A. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有意义求解即可. 详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆台的侧面展开图中，两个半圆的半径分别是4和6求出圆台上下底面半径和母线长，依据图形运用勾股定理求解出圆台的高，运用圆台的体积公式即可计算出圆台的体积 【详解】由题意及图得， 作出圆台的截面图如下图所示，过点作于点， 设圆台上底面圆半径为， 则，解得， ∴， 设圆台下底面圆的半径为， 则，解得：， ∴，， 由几何知识得，圆台的母线长为， 在Rt中，由勾股定理得： ， ∴圆台的体积为：， 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有， 故选：B. 7. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两个不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】当时，在上单调递增，且值域为， 所以必有唯一解； 所以当时，有两个不同的根， 即有两个不同非正根，并设其两根为， 即，解得， 由，则，解得， 综上所述：的取值范围为，故B项正确. 故选：B. 8. 某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（ ） A. 10% B. 20% C. 35% D. 70% 【答案】D 【解析】 【分析】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差小于乙得分的极差 C. 甲得分平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据统计图中数据，结合中位数、极差、平均数、方差定义分析选项即可得出结论. 【详解】由图可知甲的得分从小到大排列为， 乙的得分从小到大排列为， 对于A，甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，可得A正确； 对于B，易知甲得分的极差为6，乙得分的极差为8，因此B正确； 对于C，计算可得甲得分的平均数为， 乙得分的平均数为，可知C正确， 对于D，甲得分的方差为， 乙得分的方差为，甲得分的方差小于乙得分的方差，即D错误. 故选：ABC 10. 如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. C. 直线、、中，任意两条都是异面直线 D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意还原正方形，根据几何性质以及异面的概念，结合共面判定与菱形性质，可得答案. 【详解】由题意还图可得 对于A，由，则，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由，，则两两异面，故C正确； 对于D，取的中点为，连接，如下图： 由分别为的中点，则， 所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面， 易知，，则面积为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又进而可得，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，得到，又，则，所以A错误， 对于B，令，得到，由选项A知， 所以，故B正确， 对于C，令，则， 又，则， 又由题可知，故， 又， 所以，故C正确， 对于D，由，则， 所以， ， 由选项C中分析知，所以， 即，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用共线的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故答案为：. 13. 已知，，，则的值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数和差公式，根据同角三角函数的商式，结合角的取值范围，可得答案. 【详解】因为， ， 所以， 分子分母同时除以，得①． 由于，所以，所以， 所以， 所以，，代入①， 得，解得. 故答案为：. 14. 设定义在上的函数，当时，的值域为___________；若的最大值为1，则实数的所有取值组成的集合为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，分别求出各段上函数值的范围后可得函数的值域，若的最大值为1，则可就、分类讨论后可得实数的所有取值组成的集合. 【详解】因为，故，故. 当时，， 当时，，，当时，， 故当时，的值域为. 若的最大值为1，则，又，故或. 若， 当时，，当时，， 因为，故，此时无最大值，舍. 若， 当时，，当时，， 因为的最大值为1，故，即，即， 综上， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值． 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数单调性的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的最值性质、运用换元法进行求解即可. 【小问1详解】 由， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 令，因为，所以， 因为函数在单调递增，在单调递减， 在，， 所以， 因此当时，即当时，函数有最小值， 当时，即当时，函数有最大值. 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的外接圆半径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理与两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）借助三角形面积公式、正弦定理与余弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理（为三角形外接圆半径）， 则可化为， 又因， 则， 也即， ，； 【小问2详解】 由及三角形面积，可得， 根据余弦定理，得， 又由正弦定理（为三角形外接圆半径）， 则. 17. 当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 【答案】（1），平均数，中位数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直方图小长方形的面积之和为可求出，由题设要求求平均数，先判断中位数所在区间，然后根据直方图中小长方形面积位于面积处的数值得到中位数； （2）先确定分别需抽取的人数，然后根据列举法结合古典概型求解. 【小问1详解】 由题意，，解得， 平均数为：， 由图可知的频率为，的频率为， 故中位数位于，设中位数为， 由，解得，即中位数是， 综上，，平均数，中位数. 【小问2详解】 由图可知，频率之比是， 根据分层抽样可知，需在分别抽取人和人， 抽取的人记作，抽取的人记作， 所有情况是，共种， 这两人恰有1人体能优秀的情况有，共种， 根据古典概型的计算公式，这两人恰有1人体能优秀的概率是. 18. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，求证，即可由线面平行判定定理得证； （2）先由（1）得为异面直线与所成的角或其补角，再在中，由余弦定理即可得解. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接， 侧面为平行四边形，为的中点. 又点为的中点，， 又平面平面， 平面. 【小问2详解】 由（1）得为异面直线与所成的角或其补角. 在棱长均为2的正三棱柱中，，，， 在中，由余弦定理得， 异面直线与所成的角的余弦值为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．"意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角A； （2）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，则， 由正弦定理可得，可得 【小问2详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2024—2025学年下学期高一期末素质测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关于复数的命题错误的是（ ） A. 复数的虚部是1 B. 的共轭复数的模为2 C. 方程两根之和不等于 D. 满足方程的 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A B. C. D. 5. 如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（ ） A. 10% B. 20% C. 35% D. 70% 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分100分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差小于乙得分的极差 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. C. 直线、、中，任意两条都是异面直线 D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为 11. 已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A. B. C. D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则实数_____. 13. 已知，，，则的值为_______. 14. 设定义在上的函数，当时，的值域为___________；若的最大值为1，则实数的所有取值组成的集合为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的外接圆半径. 17. 当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 18. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．"意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角A； （2）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $