安徽宣城市2025-2026学年第二学期高一期末测试数学试题

2025—2026学年第二学期高一期末测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域． 3．考生作答时，请将答案答在答题卷上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．考生结束时，务必将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知一组数据12，10，8，6，15，8，这组数据的中位数是 A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知，则 A． B． C． D． 3．如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 A． B． C． D． 4．已知事件，满足，，，则 A．0.8 B．0.6 C．0.2 D．0.12 5．如图，，，，且，直线，过，，三点的平面记作，则与的交线必通过 A．点 B．点 C．点和点 D．点但不过点 6．如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离 A． B． C． D． 7．如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则 A． B． C． D． 8．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为偶数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则 A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则下列结论正确的是 A． B．的面积为 C． D． 10．下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是 A． B． C．平面 D．平面 11．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则 A．的所有试验结果构成的样本空间中共有36个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率等于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若，出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中有两个0的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数，则实数的值为________． 13．设为的重心，，，则________（用，表示），实数________． 14．点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根． （1）设、满足方程，求，； （2）设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知的内角，，的对边分别为，，，且 （1）求; （2）若，的面积为，求的周长． 17．（本小题满分15分） 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求直方图中的值和上四分位数； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，，…，）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 18．（本小题满分17分） 如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过，，三点的平面记为，与的交点为． （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，，梯形的面积为12，求平面与底面所成角正切值大小． 19．（本小题满分17分） 若点是直线外一点，点，在线段上（，异于，），我们则称以下操作：为“由点对施以张角运算”；并且记．如图，四个有序点，，，，由点对施以张角运算，得． （1）证明：为的中点； （2）已知，． ①若，求的最大值； ②若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期高一期末测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B C A D B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 题号 9 10 11 答案 AC BCD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．4 13．（2分），（3分） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由于，是实系数一元二次方程的两个虚根，故，互为共轭复数　　　2分 设，则　　　　　　　　　　　　　　　3分 代入可得， 即，则有　　　　　　　　　　　　　　　5分 故，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分 （2）设，则，故，　　　　　　　　　　　8分 那么，　　　　　　9分 由于向量与的夹角为钝角 那么且向量与不共线 则解得且　　　　　　　　　　　　　　　12分 故实数的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　13分 （注：若范围未考虑共线情形扣1分） 16．解：（1）由得得　　　　1分 所以 得　　　　　　　3分 又，， 所以或（舍去）或（舍去）　　　　6分 （注：若此处只写了第一种情况扣1分） 所以，解得　　　　8分 （2）由已知，得①　　　　10分 由余弦定理，得②　　　　12分 由①②可得　　　　14分 所以的周长　　　　15分 17．解：（1）由题意知，，解得 　　　1分 因为前四组的频率和为 所以第75百分位数在第五组，设为，则　　　　3分 所以上四分位数为82　　　　4分 （2）结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中， 2人成绩在中编号为1、2，4人成绩在中编号为、、、　　　　5分 从6人中选取2人的方法情况如下： 即样本空间中有15个样本点　　　　6分 至少有1人成绩在中有9种情况　　　　7分 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为　　　　8分 （注：若用排列组合计数得满分） （3）剩余8人成绩的平均值为　　　　10分 由10个人成绩的标准差，则，即　　　　12分 于是剩下8人的成绩的方差为　　　　15分 18．解：（1）证明：四棱柱中，四边形为梯形， 平面平面 平面与面和平面的交线平行　　　　2分 ；，为的中点　　　　4分 （2） 连接，，设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积为， 设，则， 　　　　5分 　　　　6分 　　　　7分 　　　　8分 　　　　10分 四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比　　　　11分 （3）解： 在中，作，垂足为，连接， 则平面， , 为平面与底面所成角　　　　13分 ，, 　　　　15分 梯形的面积为，， 　　　　16分 平面与底面所成角正切值为　　　　17分 19．解：（1）证明：　　　　1分 　　　　3分 其中为，的高，为中点；　　　　4分 （2）由（1）知，，， ， 　　　　6分 又为中点，，　　　　　　　　7分 设，， ①，，， 由，可得， 平方得，，　　　　　　　　9分 在中，由正弦定理可得：， 将，代入， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分 ，，， 当，即时，等号成立， ， ，当时，取最大值　　　　　12分 ②，，， ，，又， ，　　　　　　　　　　　　　　　　14分 联立得，， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分 ，　　　　　　　　　　　　17分 学科网（北京）股份有限公司 $