安徽合肥百花中学等四校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 覆盖高一数学核心知识，通过复数、立体几何、解三角形等模块，考查空间观念、运算推理及数据意识，解答题融合统计应用与几何证明，体现数学思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、概率、立体几何、向量|第3题考查面面垂直判定，体现空间观念（数学眼光）| |多选|3/18|向量运算、统计量、正四棱柱|第10题对比样本数据统计量，培养数据意识（数学语言）| |填空|3/15|解三角形、方差计算、向量数量积|第13题考查数据变换的方差，强化数学思维| |解答|5/77|向量运算、统计应用、立体几何证明与计算、解三角形综合|17题三棱柱面面垂直证明及点面距离，综合空间想象与推理（数学思维）|

合肥百花中学等四校2025~2026学年第二学期高一年级期末考试 数 学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 z 满足( 则 A. z的虚部为i B.|z|=2 C. D.在复平面内对应的点位于第一象限 2.若事件A，B相互独立， 则 A.0 C. B. D. 3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是 A.若m∥α,m∥β,则α∥β B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n D.若m∥α,m⊥β,则α⊥β 4.已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 A.2 B.2 C.4 D.4 5.正方形 ABCD 的边长是2,若 E 是AB 的中点,则 A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.若三角形三边长的比为5：7：8，则它的最大角与最小角的和是 A.90° B.120° C.135° D.150° 7.如图,点N为正方形ABCD 的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点，则 A. BM=EN,且直线 BM,EN 是相交直线 B. BM≠EN,且直线 BM,EN 是相交直线 C. BM=EN,且直线 BM,EN 是异面直线 D. BM≠EN,且直线 BM,EN 是异面直线 8.在△ABC中,AB=2,AC=3, 则BC= A. B. C.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若平面向量 与 的夹角为60°,| |=| |=2,则 A. · =2 D.< , - >=60° 10.若y是样本数据x₁,x₂,x₃,x₄的平均数(x₁,x₂,x₃,x₄不全相等),则 A. x₁,x₂,x₃,x₄的极差等于x₁,x₂,x₃,x₄,y的极差 B. x₁,x₂,x₃,x₄的平均数等于x₁,x₂,x₃,x₄,y的平均数 C. x₁,x₂,x₃,x₄的中位数等于x₁,x₂,x₃,x₄,y的中位数 D. x₁,x₂,x₃,x₄的标准差大于x₁,x₂,x₃,x₄,y的标准差 11.如图,在正四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁中, AB=2,P为线段AD₁ 上一动点，则 A.直线 PB₁∥平面 BC₁D B.三棱锥 P-BCC₁ 的体积为定值4 C.存在点 P 使得异面直线C₁P 与BD 所成角为90° D.三棱锥 C₁-ABD 外接球的体积为16π 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°, ,c=3,则A= . 13.已知一组数据x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的平均数是2,方差是 3,那么另一组数据 的平均数为 ；方差为 . 14.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若 且 -4,则λ的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知平面向量=(1,3),=(-1,2),=(2,1). (1)若= m+ n,求实数m,n的值; (2)若(+ k)∥(2-),求实数k的值; (3)若t∈R,求|+ t|的最小值. 16.(15分) 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试.已知参加此次测试的学生的分数x，(i=1，2，…，50)全部介于45分到95分之间(满分100分)，学校将所有测试分数分成5组:[45,55),[55,65),…、[85,95],整理得到如图所示的频率分布直方图(同组数据以这组数据的中间值作为代表). (1)求图中 m的值； (2)估计此次数学测试分数的平均数x与第60百分位数；(保留一位小数) (3)若采用比例分配的分层随机抽样方法，从分数在[65，85)内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75，85)内的概率. 【高一数学试卷·第3 页(共4 页)】 学科网（北京）股份有限公司 17.(15分) 如图,在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC, ,BC=1,E,F 分别是A₁C₁,BC的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B₁BCC₁; (2)求证:C₁F∥平面ABE; (3)求点 C到平面ABE 的距离. 18.(17分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 (1)求 A; (2)若 D为BC 中点,AD= ,sinB=3sinC,求 a; (3)若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC的周长的取值范围. 19.(17 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是等腰梯形,CD=4,AB=6,AD=BC=2,侧面 PCD 是等边三角形,H 为AB 的中点,且 PH=3. (1)求证:PH⊥平面ABCD;(2)求二面角 A-BC-P 的余弦值; (3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $